Liczby, wyrażenia algebraiczne, zbiory Potęgi i logarytmy

Matematyka I

Liczby, wyrażenia algebraiczne, zbiory Potęgi i logarytmy

1. Wiedząc, że + = √34 oraz − = √30 oblicz · .

2. Liczba x jest rozwiązaniem równania 9 + 9 =14. Nie obliczając x wyznacz wartość wyrażenia 3 + 3 .

3. Liczby = 5 + √23, = 5 − √23 są rozwiązaniami równania

− + + + = 0. Z niewiadomą x. Oblicz p i g.

4. Oblicz a) 19 + 8√3 b) 9 − 4√2 c) 6 + 4√2 d) 7 − 2√10

5. Wykaż, że 11 + √72+ 11 − √72, jest liczbą całkowitą.

6. Wykaż, że 3 + 2√2 + 6 − 4√2 jest liczbą całkowitą.

7. Usuń niewymierność z mianownika

√

Oraz korzystając z faktu, że 2,23≤ √5 ≤ 2,24 I uzasadnij 2,615< _√ < 2,620

8. Usuń niewymierność z mianownika

a) ^"√!,

b) ^"√#$

c) ^"√ $ √^" $ √%^"

d) √ $√ $

9. Jeżeli + = 7 to + _& jest równe 10. Jeżeli + = 5 '( _"+ jest równe 11. Nie korzystając z kalkulatora uzasadnij, że:

√14 + √15 − √13 > 4 12. Sprawdź tożsamość

*+ ++ − − *+ − + +

*+ ++ − + *+ −

+ + = +

13. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej , − , jest podzielna przez 30.

14. Uzasadnij, że liczba _% 100^-$ + 4 · 10^-$ + 4 jest kwadratem liczby naturalnej , ∊ /.

15. Wyznacz A, B, C tak, aby = 0 +_1$2 3

16. Oblicz

a) 125^{456&7 8}

17. Oblicz

a) 9√13 − 81 log% 9 jeżeli2 = log₈625 18. Oblicz log 20 · =( 5 + =( 2

19. Wiedząc, że log 5 = +, oblicz log 10, log 2,5 20. Wiedząc, że log 5 = + > log 3 = ?, oblicz log_@9 21. Oblicz wyrażenie + ^A jeżeli

+ = 5log _BB3

log 3 · 3log _BB5

log 5 ^45627@

? = ⁴*36 − 16√5 4 + 2√5 22. log 2 = + (D+E log 3 = ? Oblicz 9^FG2FH

23. Uzasadnij

456& +₄₅₆

" > 1

24. Uzasadnij, że dla + > ? ∊ / liczba + + ? jest dzielnikiem +? − + ?, + − + − ? − ? , + − + ? − +? + ?

25. Wykaż, że jeżeli + + ? + I = 0 '( + + ? + I = 3+?I 26. Wykaż, że jeżeli + + ? + I = +? + +I + ?I '( + = ? = I 27. Wyznacz a, b∊W takie, aby 6 + √11 = √+ + √?

28. ^J_K= ^$J_K = _J Wyznacz wartości wyrażenia _J 29. Wiedząc, że log 27 = +. Oblicz log₈16.

30. Uzasadnij, że jeżeli + ≠ ?, + ≠ I, ? ≠ I > + + ? = 2I to _{M N}^M +_{A N}^A = 2.

31. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k, liczba O⁸− 2O^#+ O jest podzielna przez 36.

32. Oblicz ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.

33. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, dla których wartość wyrażenia ^P%_"$^{& #Q $}_& jest liczbą całkowitą.

34. Wyznacz dziedzinę funkcji R = =( _NST 9 − i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.

35. Wykaż, że jeżeli 0 = 3^{#√ $} > U = 3 ^{√ $} , '( U = 9√0.

36. Wykaż, że dla dowolnej liczby + > 0 zachodzi nierówność.

=( V+ + =( V + + ≥_{456XGF B}− log_YV.

37. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, d prawdziwa jest nierówność +I + ?Z ≤ √+ + ? · √I + Z

38. Oblicz ile jest liczb naturalnych, trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.

39. Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich, x, y prawdziwa jest nierówność + 1 _J+ + 1 ^J > 2.