Zagadnienie optymalnego rozdziału zasobów wielu rodzajów podwójnie ograniczonych w sieci operacji

(1)

’ŁSZYTY NAUK W E POL? f ŁUHNIkl ŚL ISKIEJ Seria : A U TO MA TY KA z. 63

________ 1982 Nr kol. 735

Eugeniusz N O W I C K T . St a n i s ł a w Zi'it.'-' tKA Politechnika Wrocławska

Zesoół Sy st em ów Sterowania

ZAGADNIENIE O P T Y MA LN EG O ROZDZIAŁU Z A SO BÓ W WI E L U RO DZ AD ÓW PODWÓJNIE OGRANI GZ ON YC H W SIEGI OPERACJI

S t r e s z c z e n i e . Zaga dn ie ni e op ty ma ln eg o (czas. koszt) rozdziału za- sobów wielu ro dzajów podwójnie og raniczonych w sieci operacji sf or

mułowano w ooarciu o opis operacji prze ds ta wi aj ąc y prędkość c h wi lo

wą wyko ny wa ni e operacji w funkcji natężenia dopływu zasobów. Pr ze d

stawiono ogólną metodę r o z w i ą z a n i a , bazującą na w y p r ow ad zo ny ch w prac y wł as no ś c i a c h problemu. Pewną klasę zadań sprowadzono do z a gadnienia liniowego, dla którego istnieje algorytm bardziej efek

tywny od metody simoleks.

1. WR T | P

W pracy rozpatruje się problem oo ty malnego (ze wz gl ęd u na czas, koszt) rozdziału za sobów wielu rodzajów Dodwójnie ograni cz on yc h w sieci oper a

cji. Zakłada się, że operacje (tj. czynności, elementy procesu p r od uk cy j

nego) dają 8 lę opisać za pomocą funkcji ujmującej zależność prędkości re

alizacji operacji od natężenia do pływu zasobów. Modele tego typu st a n o wią, dla za sobów podzielnych w sposób ciągły, naturalne uogólnienie tra

dycyjnych opisów operacji (np. [2, ś]). Występują one w niektórych proc e

sach te ch no lo gi cz ny ch a ponadto, można Je w y k o rz ys ta ć do ap ro ks ym ac yj ne go opisu operacji o charakterze dyskretnym. Za ga dnienie rozdziału zasobow z operacjami oolsanymi za pomocą tego typu modeli rozoatrywane były w [ l , 3, 5, 6] . VI pracy konstruuje się model m a t e ma ty cz nv dla znacznie szerszej klasy zadań niż te, które były rozwiązywane do tej pory, co rozszerza ob

szar możliwych zastosowań. Ponadto, w oparciu

c

pojęcie zbioru u ś re dn io

nych stanów os ią galnych operacji, wp ro wadzone w [5], wyka zu je się pewne specyficzno włas no śc i problemu, które ułatwiają konstrukcję algorytmów p o szukiwania optymalnych rozdziałów oraz pozwalają sformułować proste (ob

liczeniowo) warunki istnienia rozwiązań optymalnych.

(2)

92 E. Nowicki, S. Zdrzałka

2. SFORMU ŁO WA NI E PR OBLEMU

Niech | A i j : 1 “ 1 rj : i “ 1 °J będzie zbiorem operacji pew

nego procesu produk cy jn eg o a zbiorem zasobów. Operacje . i - 1 Tj wyko rz ys tu ję zasób J-tego rodzaju, J = 1 p.

Operacja A ^ opisane jest równaniom

x ±j(t) » f ^ i u j i t ) ) , tSfcO. (l)

gdzie warunki brzegowa sa następujęce: x (t) ' O , t < t ij0 orar xy ( t ) =

« s ^ > O, ^ t - w równaniu tym Je8t stanom op eracji A w chwili t, u|(t) ilością zasobu Z^ , bloręcego udział w realizacji taj operacji w chwili t (natężeniem dopływu zasobu). Operację A ^ uważamy za zrealizowana. Jeżeli jej stan os ięgnęł dla pewnego czasu *ijf zadany stan ko ńcowy s ±j • S t sn ko ńcowy operacji A ^ interpretujemy Jako roz

miar zadania realizowanego w ramach taj operacji. Proces produkcyjny uw a

żamy za skończony, gdy w a zy 3t ki e Jego op eracje zo stały zrealizowane. Przez T będziemy oznaczać czas zakończenie procesu produkcyjnego.

Zakłada się, że ^ : R +~ R + Jest funkcję cięgłę i nl em al ej ac ę oraz

\ / 0 ) - 0.

Kolejność realizacji po sz czególnych operacji jest określona przez sk ie

rowany, apójny i acykliczny graf z Je dn ym po cz ęt ko wy m i Jednym końcowym w i er zchołkiem, w którym łuki od po wiadaję operacjom a w i e r zc ho łk i z d ar ze

niom czasowym.

Na zasoby mogę być nakładane różnego rodzaju o n r s n i c z e n i e . Wy ró żn ia my dwa podstawowe typy ograniczeń: og ra niczenia r.'nvilowe, które będziemy in

terpretować Jako og ra ni cz en ia nałożone na na te że ni e dopływu zasobu do operacji oraz ograniczenia całkowe, tj. oaraniczenia na łożone na zużycie zasobów podczas realizacji operacji.

Ograniczenia chwilowe na za so by maja oostać:

P

(u1 ( t ) up (t )) c ^ Uj, t e [o, t], (2) 3-1

gdzie u^(t) = (u^( t ) ,... ,u£ (t)), t « [o, ^{t] ,} ^{J ■ 1} ^p.

Zakładamy, że zbiory U ^ C R+ J , J « l,...,p spełniaję wa runki (i) U^ Jest zbiorem zwartym i wyoukłym, J « l,...,p

(ii) Jeżeli u-^tU^ oraz O ^ i J ^ ^ u ^ , i * 1,. . . ,r . (3)

— 1 u 1 1 J

to uJ £ Uj, J « 1 D.

(3)

Zagadnienie op ty malnego rozdziału zasobów. 93

Zbió r Uj ma zazwyczBj p o s t a ć :

r j

Uj - j u s R ^ ' u A < Nj , u ± > 0 , 1 » 1 ... r j , (4)

*■ i-1 '

gdzie Jest ilościę zasobu J-tego rodzaju do stępne w każdej chwili (maksymalne natężenie do pł yw u J-tego rodzaju zasobu do operacji).

W sytuacji, kiedy w y st ęp uj e z^ za so bó w J-tego rodzaju i każdy z tych za so bó w bierze udział w realizacji operacji A i , i » i ...r j , w u s t a l o nej proporcji wówczas ma postać

Uj - { u * R ^ ¿ ° f iku l s £ N j k . k - 1 ... z 3 ;

1=1 u O. i - 1 . r

gdzie Jest ilościę k-tego zasobu J-tego rodzaju dla j • 2aś oznacza maksymalne natężenie do pł yw u tego zasobu.

W zagadnieniach, w których istotnę rolę odgrywaję ograniczenia n a ł o ż o ne na zużycie za so bó w poszcz eg ól ny ch rodzajów, w praktyce wy st ę p u j e z a w sze ograniczenie natężenia do pływu zasobów do po sz cz eg ól ny ch operacji. W takich sytuacjach

1 u e R 3 : 0 < u ± ^ a ± , i - 1

Ograniczenia całkowe 93 następujęce:

u^(t) d t ^ K J - 1 p, (7)

0 i-1

gdzie Kj Jest maks ym al ny m zuży ci em zasobu J- te go rodzaju w czasie w y k o nywania operacji , i - 1 r^ .

Za ga dn ie ni a op ty ma ln eg o przydziału z a so bó w do operacji, jakie można rozpatrywać w oparciu o p r z e d s ta wi on y wyżej model mate ma ty cz ny s p ro wa dz a

my do dwóch og ólnych zadań.

Zadanie czasowo- op ty ma ln e

Należy znaleźć (u1 ( t ) , . . . ,uP (t )) , t « [o, tJ , któro spełnia og ra ni

czenia (2), (7) i zapewnia wyko na ni e w s zy st ki ch operacji w minimalnym cza

sie T.

W zależności od postaci zb iorów oraz tego, czy ograniczenie (7) występuje, czy też go brBk, sf or mułowane zadanie może mieć wiele intor-

(4)

94 E. Nowicki. . 7drzałka

pretecji. leżeli «występuję tylko ograniczenia typu (4) Iu d (51 , wówczas mamy do czynienia z problemem rozdziału zasobów, w którym maksymalne n a tężenia do pływu za sobów poszcz eg ól ny ch rodzajów sa ograniczone. Oołęcze- jęc og ra ni cz en ie (7), ot rz ymujemy problem rozdzisłu zasobów wielu ro dz a

j ó w podwójnie og ra niczonych - ograniczone sa natężenia dopływu oraz zu ży

cia za sc bó w poszcz eg ól ny ch rodzajów. W przyoaaku og ra ni cz eń ; ; 7) otrzymujemy problem, w którym pośrednio rozdziela się pomierz, operacio zużycie zasobów po sz cz eg ól ny ch rodzajów.

Za danie kosztowo -m ln lm al ne

Znaleźć (u1 ( t ) ...u p (t)), t e [o, t] , gdzie T Jest dano, które spełnia ograniczenie (2), zapewnia wykonanie ws zy s t k i c h operacji w czasie T oraz mi ni ma li zu je koszt wykonanie ws zy st ki ch operacji

o J T

Q (u1 (•),... ,uP (•) ) - ^ c^ y 1

f

^uj(t)dt, ⁽⁸⁾

j-1 i=l 0

gdzie Cj oznaczę cenę Jednostkowa j-tego rodzaju zasobu.

3. RE PR EZ EN TA CJ E ZADAŃ R O ZD ZI AŁ U ZA SO BÓ W W SK OŃ CZ EN IE W Y MI AR OW EJ PRZE

ST RZENI LI CZ B RZECZY WI ST YC H

Niech wi er zc ho łk i grafu re pr ez en tu ją ce go ograniczenia ko le jnośclowa bę

dę uporzę dk ow en e w e dł ug z a e a d y : jeżeli wi er zc ho łe k k poprzedza w i e r z chołek p, to k < p. Przez 0 o z na cz am y w i e r zc ho łe k poczętko«vy a przez m wi er zc ho łe k koócowy. Up or zę dk ow an ie takie istnieje zawsze, e ponadto Jest ono Jednoznaczne, Jeżeli graf Jest silnie spójny. W przypadku grafu, nie spełniającego tego warunku, w y bi er am y Jeden z możliwych w a r i a n t ó w ta

kiego uporzędkowanie.

Ne zbiorze w i e r z c h o ł k ó w i O , l m 1 ok re śl am y funkcję przyporzędko- wu jęcę każdemu wierzc ho łk ow i k liczbę t k * [o, T^] , tk • ip{k) , według zasady: tQ ■ 0, tm « T, tk ^ t|t_i d *8 k “ 1 m * Liczby tk będziemy in te rpretować Jako czasy, w których zachodzę zdarzenie odpotvladsjęce wierz

chołkom grafu. Zbió r wszyst ki ch funkcji <£> dla us ta lo ne go T oznaczamy przez $ T .

Dalsze rozważania prowadzimy w oparciu o nestęoujęce D o j ę c i e :

R k |( i,j): ooerecja może być wykony wa na pomiędzy k-1 e k-tyn zdBrzeniemj, k = l,...,m;

|u^ ■ (u^ .... ,u^ ) e U j : u| = 0 dla ( i , J ) ^ R kj, J » 1 P; k = 1,

(5)

Zagadnienie opty ma ln eg o rozdziału zasobów...________________________________ 95

UT = u (* ' -- (u1 ( * ) ... u p ( 0 ) : (•) : [o ,t] — R Jest przedziałami cię- g łe ,

V t « ( y t k - 1 ! . 'P k)J , u^(t) e llj, k = 1,. .. , m , vP(0' e Uj . : o 1 ... P. tpe $ T ■:

Elementem zbior.i U-r jest rozdziel za sobów określony dla przedziału c z a

sowego s n u łn *a J 9 CY ograniczenia chwilowe. dla którego ponadto określone sa liczby t^ (spełniające warunki: tQ = 0. tm » T, t^ ^ k » 1 ml takie, że Jeżeli operacja nie może być wy ko ny wa na p o między zdarzeniami k-1 i k, to uj(t) = O dis t e *(<]•

P j ■ | v = (V1 ,. . . ,v° i : » ( v | .... vj[ , vj[ + j)| ■

T

V 1 - t / ftJ • . i - 1 r y O

v r + 1 ' t / Ż « J ( t ) d t . j - 1 p. i u ( .) e u A

^ 0 1 * 1 v f

V J , | V J . (V J v ^ . - #tj (u{) .

**1 * 1 V A {uJ * Uj}'**

J ■ 1 P; k ■ i m;

V k - £ V * k » 1 ...m;

j-1 3

V » / v » ^ ^ ^ : S " . v k c C 0 V k , k « ‘1 m j

' • k - 1 - ” '

T > O;

gdzie

(6)

96 E. Nowicki. S. Zdrzałka

Lemat 1

Dla każdego T > 0 zachodzi

PT » V

Dowód wy ni ka z Lematu 1 w [5].

Niech Ft będzie funkcjonałem od wz or ow uj ąc ym zbiór U T na PT C R n + P , n »

- / r y zg odnie z definicję zbioru PT . Na podstawie Lematu 1 mamy, źa J-l

f t(ut ) - V.

W op arciu o tożsamość zb io ró w P^. i V w y s t ęp uj ąc ą dla każdego T 1> 0 udowodnić można następujące twierdzenia i własności.

Twierdzenie 1

W zadaniu czaa ow o- op ty ma ln ym u*(-) e Ut j|f Jest op ty ma ln ym rozdziałeś za s o b ó w wt ed y 1 tylko wtedy, gdy v * « Fy*(u (»)) oraz T * są rozwiąza

niem zadania:

min T (9

V ,T

przy og ra ni cz en ia ch (i) v c V;

(ii) TvJ - s tj , i - 1 . ,Tj , J - (iii) T v rJ + i ^ K j ' J “ 1 .... P-

W ł a s n o ś ć 1

Ro zw ią za ni e zadania c z a s ow o- op ty ma ln ego istnieją w t e d y 1 tylko wtedy, gdy istnieje rozwiązanie zadania (9).

Tw ie rd ze ni e 2

W za da ni u k o s z t o wo -o pt ym al nym u*(-)-e U T Jest optyma ln ym rozdziale«

z a s o b ó w wt ed y i tylko wtady, gdy - FT (u*(*)) Jest rozw ią za ni em zada

nia

J-l J

min > c,vJ ,, (lO)

v

(7)

Zagadnienie op ty malnego rozdziału zasobów. 97

przy ograni cz en ia ch (ii v s V;

(ii) Tv| * 3^ . i « 1 r^ , J ■= 1 p

Własność 2

Ro zw ię za ni e zadanie k o s z t o wo -o pt ym al neg o istnieje wt e d y i tylko wtedy, gdy istnieje rozwięzanie zadanie (lO).

W da lszym cięgu zajmiemy się tylko za daniem cz as ow o- op ty ma ln ym rozdzia

łu wielu ro dzajów za so bó w oroz Jego od po wi ed ni ki em w skończenie w y m i a r o wej pr ze st rz en i liczb rzeczywistych, zada ni em (9).

Niech V będzie zb io re m s k o n st ru ow an ym w ten sam sposób Jak zbiór V, ale dla przypadku braku og ra ni cz eń kolo jn od cl ow yc h (przyjmujemy wtedy, 2e a * i a zbiór Rj Jest równy zb iorowi w s zy st ki ch operacji). Prawdziwy Jest wt ed y na st ęp uj ąc y Lemat.

W oparciu o Lemat 2 mo2na w y ka za ć p r a w dz iw oś ć n a s t ę p uj ąc eg o twierdzenia.

Twierdzenie 3

Za danie (9) posiada ro zw ięzanio wt ed y i tylko wtedy, gdy od po wi ad aJ ęc e

*u zadania z ws ta w i o n y m w miejsce V zb io re m v' posiada rozwlęzanle.

Na podstawie Tw ie rdzenia 1 1 3 mo Zemy st wi erdzić, Ze istnienia rozwlę- zsnia zadania cz os ow o- o p t y m a l n e g o rozdziału w i e l u ro dzajów z a s o b ó w Jest cechę ni ez mi en ni cz o w z g l ęd em o g ra ni cz eń kolejnościowych. Wł as no ść ta w znakomity sp osób uł atwia konstr uo wa ni e ob li cz en io wy ch w a r u n k ó w istnienia rozwięzania. Na' przykład, dla zb io ró w o postaci (4) można wykazać, przyjmujęc szeregowę kolejność wy ko n y w a n i a operacji, pr aw dz iw oś ć naatępu- Jęcego warunku.

Lsmat 2

k-1

Własność 3

Niech funkcje będę rosnęce, zbiory Uj maję postać (4) oraz

(8)

98 £. Nowicki. S. Zdrzałka

Wtedy istnienie rozwiązania = ie c z a s ow o- op ty me lr eoo -est równoważne w a r u n k o w i :

Aj i K , , jeżeli we ws zy st ki ch r, zadaniach op ty malizacji występujących w definicji Aj istnieją skończone rozwiązania,

lub

Aj < K j , w przeciwnym przypadku, dla J *■ 1 p.

Sp ra wdzanie wa runku po dBnego w powyższej w ł as no śc i jest proste, w przy

padku gdy fAj są wk lęsłe lub wypukłe. Zach od zi bowiem:

lnf

lim t • jeżeli f jesr wklęsła.

%— oo %

'■j T ^ T N p - jeieli fij 3ast v'VD U '<ł a -

A. WŁASNOŚCI ORAZ KONS TR UK CO A OP TY M A L N Y C H RO ZD ZI AŁ ÓW Z A S O B Ó W W ZAGADNIE' NIU C Z A S OW O- OP TY MA LN YM

Niech oraz T* będę rozwiązaniem zadania (91.. Z Tw ie rd ze ni a 1 wy' nika. że każde u*(*) 6 |u(») e U-j-Jf : Ft jK( u (•") 1 =

j

= F~*(v*) Jest rot' dz iełem optymalnym. Pokażemy teraz prostą konstrukcję el ementu zbion

W tym celu, w y ko rz ys tu ją c definicję zbioru V oraz fakt, że T*

co X v5 ^■ ^{X c° v} 5 ^-

J»i 3-1

orzyDisujemy zadanie (9) do następującej równoważnej postaci

min x ^ i, k ,

przy opraniczeniach

(i) v ^ k e c o V J ' k “ 1 * * - * ’n * 3

(ii) vlk

k = i 13 ’ i • i.

•r3 : J * *•

(12)

.Pi

(9)

Zagadnienie optymalnego rozdziału zasobów. 99

“ ll) 2 X

m

! • > ...

k=l 3

(lv) H k 3^0, k o i, Niech

X jk " { * 6 { ł ... P j ) ! <i.J> 6 R k}' 3 ’ ! • • • - • Pi >< " i*

Q iJ ’ ( k * i1 ..." } : (l,j) Ł R k | * " 1 rj : 3 “ 1 ... p -

Niech * ć ^ , v * 3 k . k . l,...,*: J ■> stanowię rozwlęzanle z a d a nia (12),

w j L L f

Skoro v * J « c o V , stęd na nocy Tw ie rd ze ni a C a r a t h e d o r y ’ego istnieję j k d lkł2

cfJ e S J , gdzie d j k « card I ^ oraz

U3kl - (u3 k l u3 k l ) 6

Uk

, 1 - 1 d kj+ 2 '- k ■ 1 ... m ' i ■ 1 ____ ' t a k i e , Ze

V ł2

w * J k

S - » i k» , i ^ i kl)

i»i 3 3 i.i

K

dla k > 1,. . . ,n>; j « l,...,p. Niech t^ - , k - 0,....ra gdzie

1 * n q ’°

° ' _ r m ,

Zdefiniujmy funkcję u(t) » (u ( t ) ... u p (t)), t e 0, T * - stępujący sposób: k-1

(10)

m

gdzie = o. Oczywiste jest, że v * - ^ | ... v * p k ), gdzie &*k ■ IB k-1

- T J ^ . Jest rozwięzaniem zadanie (9). Zatem, funkcjo u (•) zdefi- q-l

niowana w (l3) Jest elem en te m zbioru F- 1 ( v * ) , czyli optyma ln ym rozdzia

łom zasobów. N a le ży tu zauważyć, źe w i el ko śc i wykorzystane w definicji funkcji u(*) można otrzymać wprost, rozwięzujęc zadanie (l2) przepisane

1 k 1 kl do postaci wy ko rz ys tu ją ce j zmienne , Of^ , uJ

Na le ży zauważyć, że funkcje u|(") Jest odci nk em i stała o liczbę prze

działów, w których jej wartość jest wi ęk sz a od zera. Jest co najwyżej równa ^ (d .+21

100________________________________________________________ E. Nowicki. S. Zdrzałka

ksQ. jk

ij

W przypadku gdy wszystkie funkcjo fjji sę wklęsłe lub wypukłe, zada

nie (12) oraz konstrukcja op ty nalnogo rozdziału znacznio uoraszcza się.

Dożęli f, sę wklęsła, możne w y ka za ć (w oparciu o re zu lt at y pracy [5]),

iJ . l , u

że w zadeniu (12) zb io ry coV, możno zast ęp ie przez V. , konsekwencję cze-

» "1 /

go Jest to, że liczbo przedziałów, w których wa rtość funkcji uj(*) Jest wi ęk sz a od zera, co najwyżej równa card Q i;j. Przypadek, kiedy f ^ sę wy

pukłe rozpatrzony zo stanie poniżej.

5. CZ AS OW O- OP TY MA LN Y R O Z D Z I A Ł Z A SO BÓ W DLA W Y P U K Ł Y C H MODELI OPERACCJI

Z a kł ad am y teraz, że w s zy st ki e f ^ sę wy pukłe i rosnęce a zbiory Uj maję postać (4). Oznaczmy przez W ^ ^ zbiór ou nktów a k s t r e ne ln yc h zbioru U j , J » l....,p; k » l,...,m. Zach od zi

U W1k “I “'’1... uJrJ + 1 j- | nj ,0 O) (0,0 N

k-1 ~ > ^

( 0 . 0 0)1 , J - 1

}

4 ...rJ + 1}= SJi * W Jkj

J - 1 ...p; k - 1 ,

W orac y [5] wykazano. że dla każdego v ^ k e c o V ^ k

■ c l taLf V " ~ Jk

(11)

V 3 k - T " ’ c C ^ 8 i - 1 r • v Jk > T T (*Jk v J ° v i * 4 - °5 s v i ' 1 * 1 ... rJ 1 v r . + 1 4 = - r, + l

0 J k J s60jk J

gdzie v ^ 8 od po wi ad a u ^ s , s = 1 ...r J +1 (dafinicja zbioru V k ).

W o D a r c i u o tę w ł a s n o ś ć zadanie (l?) sprowadza olę do zadania

ra

Zagadnienie o p t y ma ln eg o rozdziału zaaobów. . .________________________________101

L “ ik)

przy og ra ni cz en ia ch : v

( i ) S t k <yi k , i j ( N j ) “ * i r 1 = 1 r r 3 - 1 p:

k e Q u

(iii N S S <*3k J - 1,

j k c n K flf.T . 8 J k 6 Q j > e I Jk

.o ;

(iii) ^ t3fJk 4 1 , k fi Q J « 1 p; \ (14)

3 £ I J k J

( l v ) i k » 0 , op^k > 0 , s e I j k . k e Qj , j - 1 p gdzie

rJ 1

Q 3 “

U

_i-l ^{Q 1J'}

3

^*

1

^{p -}

Łatwo pokazeć, że za danie (14) posiada rozwiązanie wt ed y i tylko wtedy, gdy zachodzi

Pj

n j Z t7 7tV < k j ' 3 = 1 p ( 1 5>

i-l J 3

Spełnienie tego wa ru nk u Jest zatem równoważna istnieniu c z ae ow o- op ty ae l- nago rozdziału z a so bó w w rozważanym przypadku. Na leży tu dodać, że w a r u nek ton wy ni ka również z w ł as no śc i 3,

Oeżell zachodzi (15) to i k , c$jk spełniające (i), (lii), (iv) spał

u j ? (ll). A zate m ogra ni cz an ie (ll) w zadaniu (l4) aożna porainęć.

Worowadzajęc zaianne - X . o ę ^ . k c , i . l C y l-l,„,p sprowadzamy zadanie (14) do zadania progra mo wa ni a liniowego:

(12)

102 E. Nowicki. S. Zdrzałka

przy og raniczeniach

(i) S k«Q

(ii) i fel

ij IJ k

A i1

T U ■

1... V

1 ....d;

Jk (liii i. 5 : O,

V ijk < Łk' k e Q. J = 1 p:

* i j k » °- k C 0 i 3 ; i » 1, Zadanie to ma następującą równoważną Dostać:

(16)

min 'ijk

m \

I V max X ! V l1k J:k€Qj l i e l jk łJ kJ

przy og ra niczeniach

[i) X keQij

ij k

(ii) y ljk > o .

ij '

k e O .

i = 1,

'i' j ■ 1.

1 P.

(17)

‘u * y

Do zadania tego typu 6orovY8dzono w prac y [3] problem czasowo-optymalnego rozdziału za so bó w wielu rodzajów bez ograniczeń całkowych dla liniowych funkcji i zaprop on ów an o dla Jego rozwiązania algorytm znacznie prost

szy niż standardowe algorytmy or ogramowania liniowego. A l go ry tm ten bez mo dy fikacji można zastos ow ać do rozwiązania zadania (l7) a jego pods ta wo

wą zaletą Jest to, że uzyskuje rozwiązanie w m krokach.

Niech y * j k <

mi zadania (l7).

Wtedy

k « q

ij 1 1 rJ : 1 «= l,...,p będą rozwiązania-

£

jk

l i U l i * 4

■A k f

_{k « Q}

ij' j - 1.

3 ą rozwiązaniami zadania (14).

(13)

Zagadnienie op ty ma ln eg o rozdziału zasobów. 103

Niech

IJk

i 1* s « } x>

4 - Z V . .

S “ 1

Zdefiniujmy funkyję u(t) « (u1 (t ). . . u D (t)), t t ¡0. t* J w następujący sposób

q-l

ik

=}„<'> ■ * n 2 > » jk -f < « 2 « i 11

» n s ■, t s *

q = i , ,dj k ; k e ^J ’ ^ “ 1 P ’

Dla t e [o.l*]- dla których u^(t) nie zostało określono w (18) przyj- sujemy, że Jest równe zero.

Funkcja u ( 0 o k r e ś l B c z as o w o - o p t y m a l n y rozdział za sobów w rozważanym przypadku.

6. PRZYKŁAD

Niech p » 2, r Ł = 5, r2 ■ 4 a zbiory U j , l>2 mają postać (4) i N^ « 2 , f^2 - 4. Funkcje ^ ( u j ) « (u*)2 , i = 1... c ^ 2 ' - 2 1 D 1...4; a = 8 , s2 ^ = 4, s^j « 16, s4 ^

* 12. s22 ■ 8, sJ2 = 16. s42 - 20, K a = 18. K 2

Ograniczenia koleJnościowe określone są z e pomocą grafu orzedstawlonego

na rys. 1. .

R1 --i-(l.l). (1.2). (2.1)1. R2 = i(l,l), (1.2). (3,1). (3,21, (2 2)j, R3 - | ( l , l ) . (3.1), (3.2), (4.1), (5.1)}, R4 - | ( 3 , 2 ) . (5,2). (4,2)}.

mają postać . .5; fi 2 (ui)

= 20. S51 ■ 16

= 14.

W celu uproszczenia notacji opuszc za my indek6 jk przy 1.

x )

(14)

104 E Nowlc!< 1, S. Zdrzałka

Rys. 1. Graf określający kolejność wy ko ny wa ni a operacji

C z 8 3 ow o- op ty ma ln y rozdział za so bó w istnioje, ponieważ

**Z * - » « » . 2**

₁₌₁ _{i = l}

4

- 4 ^ - 14 ^ 14.si2

Po rozwiązaniu zadanie

(l7 )

ot rz ymujemy

y ^ 2 " 2 ' v211 ° 1

, y 3l2 "

2#

313

" 2 ' y413 “ 5 '

y514

' 1#

^ 2 1

“ 11 y 122 “ 2 *

y222

” 2 ' V 323 “ 4 ’ y ^ 24 = 5 , a pozoatałe ®3 równo zoro. natomiast i* - 1, ^*2 - 4,

"¿3 *

7

■

^ 4

* 5 - S t e<* ^ “

**1 > *2**

= 5, t*

- 12,

t* »

17.

Rys. 2. Czasow o- op ty ma ln y rozdział z a so bó w u(*)

(15)

Za ga dn ie ni e op ty ma ln eg o rozdziału zasobów. 105

Ro zdział c z as ow o- op ty ma ln y (18) isa nestępujęcę postać:

üj(t) « 2, t e (1,3] ; u*(t) - 2. t e ( O .l ]; Uj(t) = 2 , t * (3.7];

u*(t) - 2, t e (7.12] ; Ug(t) = 2 , t e (12,16]: Uj(t) - 4, t t (0.3];

Üjít) = 4 , t e (3.5]; Uj(t) = 4 , t e (5,9]: u^(t) = 4 , t e (12,17]

a poza tymi rium T^ =

przedziałami t* - 17.

u|(t) Jest równe 0. Mi ni m a l n a w a rt oś ć kryte-

LITERATURA

W BypKOB B .H .: OniHMaabHoe ynpaBJieHHe KounxeKCEuui onepaiiH.u Maxepnajiu K oh - rpeca MAK, BapnaBa, 1969, leTpaflb 35, exp. 4 6-57 ,

[2] Oevis E . W . : Project Sc he du li ng under Re so ur ce Constraints: -Historical Re view and Ca te go ri za ti on of Procedures, AIIE T r e n s . , vol. 5 (1973), s. 297-313.

[

3

] JleueKqyK B ,: iloxoKOB&jt HHTepnpexaujia h ajtropaxu peaeHKH 3a^a^H onuiuajib- Horo no BpeMeHx pacnpeflexeHHa orpaHnveKHUx pecypcoB. ABTouaiKKa, T exe- MexajtHKa, 10 1969 , exp. 168-173.

[4] E l me gh ra by S.E.: A c ti vi ty Networks Project Planning and Control by Network Models, Wiley, New York, 1977.

Nowicki E . , Zdrzalka S. : Op timal co ntrol of a complex of Independent operations. Inf. 0. Systems Sci. , 12 (1981), No. 1, s. 77-93.

[6] Wo gl ar z 0.: Project Sc he du li ng with Cont in uo us ly - Divisible, Doubly Constrained Resources, Manage me nt Sc ience 27 (l98l), No. 9, a. 1040- 1053.

Recenzent: Doc. dr hab. inż. Konrad W A L A

Wpły nę ło do Redakcji 10.05.1982 r.

(16)

106 E. Nowicki, S. Zdrzałka

3AAAHA OIHHMJUlbHOrO PACHPEJ[EJIEHHfl iBOilCTBEHHO- 0 rPAHHMEHHHX PECyPCOB HECKOJIBKRX BH^OB B CETHX OnEPAUHB

P

e 3 jo m e

PaccuaTpKBaeicii 3 a ^ a i a oimsMajibHoro no ChicTpoAeyicTBiuo h c x o h m m o c t h pac- npefleseHuh ttcTBeHHo—orpannqehhbix p e c y p c o B HecKOJiBKHX bh,hob b c e i a x one- pauHii. noKasuaaeTCfi, m o 3a # a q a ciopMyjiHpoBaHHaa b iyHKUHOHajibHOM n po c T p a H - c iBe BKBHBajieHTHa HSKOTopoii s a ^ a ^ e o n x n M H 3a u H n b k o h b ^ h o m b p h o m B e m e B O T B e H - h o u n p o c T p a H C T B e ■ nojiyqeHN HeodxoflHMue h flocTaTomiue ycJioBHJi c y m e c T B O B a H H B onxHueuiBHoro pemeHHfl h noita3a H H Mexo,HH HaxoiyteHHa onxnwajibhhx pemeHHfi, fljw K O I O p H X M0H(H0CXH p e c y p C O B JIBJIflBTCa KyCOmtO-nOCTOBHHiJliH (JiyHKUKKMH BpeMeHH.

OP TI MA L AL LO C A T I O N OF DOUBLY C O N S TR AI NE D M U L T IR ES OU RC ES IN AN ACTI VI TY NETWORK

S u m m a r y

The Daper deals wi th a project scheduling problem concerning the opti

mal (time, cost) allocation of doubly constrained resources of many typee in an activity network where the performance soeed of an activity at any moment of time is a function of resource amount. It is shown that the problem stBted in a function SDace is equivalent to a problem in a fini

te-dimensional space. Ne ce s s a r y and sufficient conditions for existence of optimal solution ere derived Bnd a method for seeking piecewise-con- stant optimal schedules is proposed.