Donat ORSKI
Politechnika W rocław ska
Z A STO SO W A N IE ZM IEN N Y C H NIEPEW N Y C H W O PT Y M A L IZ A C JI R O ZDZIAŁU ZASOBU
DLA K L A SY Z A L EŻ N Y C H O PERACJI PRODUK CYJNYCH *
Streszczenie. Praca dotyczy problem u rozdziału zasobu pom iędzy realizow ane szeregow o operacje produkcyjne. Czasy w ykonania operacji opisane są zależnościam i relacyjnym i z nieznanym i param etram i, o któiych zakłada się, że są w artościam i zm iennych niepew nych charakteryzow anym i przez eksperta.
W pracy przedstaw iono trzy sform ułowania problem u optym alnego rozdziału zasobu w yróżnione ze w zględu na postać w ym agania użytkow nika, wskazano sposoby ich rozw iązania oraz podano przykłady ilustracyjne.
A PPL IC A TIO N OF UNC ER TA IN VARIABLES
IN O PT IM IZA TIO N O F A RESO U RCE DISTR IBU TIO N
FOR A CLASS O F DEPE N D EN T PRO D U C TIO N O PERATIO N S
Sum m ary. The paper concerns a resource distribution problem in a cascade o f production operations with execution tim es described by relations containing unknow n param eters. The param eters are assum ed to be values o f uncertain variables characterized by an expert. The paper presents three form ulations o f optim al resource distribution problem for different forms o f u se r’s requirem ent.
Solutions and exam ples illustrating the presented approach are included.
1. W prow adzenie
Jeden z kierunków rozw oju problem atyki opartego na wiedzy zarządzania produkcją w iąże się z zastosow aniam i zmiennych niepewnych [4], [6], opisyw anych jako specyficzna w ersja liczb rozmytych, w system ach produkcyjnych składających się z operacji [5], [7], [8] polegających na w ykonaniu określonej czynności z w ykorzy
staniem przydzielonego zasobu. Zależność czasu realizacji operacji od ilości przydzie
lonego do niej zasobu, która w klasycznym podejściu je st funkcyjna, w rozpatry
wanym podejściu opartym na wiedzy ma postać relacji nie dającej się sprowadzić do funkcji. Zakłada się, że występujący w relacji nieznany param etr je st w artością zm iennej niepew nej scharakteryzow aną przez eksperta za pom ocą rozkładu pew ności 'P raca została sfinansow ana ze środków budżetow ych na naukę w latach 2005 - 2007 w ram ach proje
ktu badaw czego n r 3 T l 1A 031 28.
64 D. Orski
reprezentującego opinię eksperta na tem at m ożliw ych w artości param etru. Problem decyzyjny polega na w yznaczeniu takiego rozdziału zasobu pom iędzy poszczególne operacje, któiy optym alizuje kryterium zw iązane z w ym aganiem określonym przez użytkownika. Prace pośw ięcone problem atyce alokacji zasobów na podstaw ie tak formułowanej w iedzy o operacjach dotyczyły głów nie operacji niezależnych (np. [8], [9]), dla których rozpatryw ano problem decyzyjny z zadanym czasem wykonania oraz z zadanym poziom em pewności. W pracach dotyczących operacji o strukturze szeregowej [2] form ułow ano i rozw iązyw ano dotychczas tylko pierw szy z nich.
C elem niniejszej pracy je st przedstaw ienie dla operacji szeregow ych nowych rezultatów uzyskanych dla obydw u sform ułow ań problem u decyzyjnego, a także problem u decyzyjnego pow stałego z połączenia w spom nianych dwóch problem ów.
W rozdz. 2 zaprezentow ano sform ułow anie problem u decyzyjnego z zadanym czasem w ykonania i na podstaw ie rozw iązania analitycznego dla szczególnego przy
padku zaproponow ano sposób konstrukcji dedykowanej procedury num erycznej dla przypadku nierozw iązyw alnego analitycznie. Rozdział 3 przedstaw ia sform ułow anie i analityczny algorytm rozw iązania problem u decyzyjnego z zadanym poziom em pew ności oraz w ynikającą z niego propozycję num eryczno-analitycznego algorytm u dla problem u z zadanym czasem w ykonania. Rozw ażania uzupełniają przedstaw ione w rozdziale 4 wyniki dla połączenia problem ów z rozdziałów 2 i 3.
2. O ptym alizacja z zadanym czasem w ykonania
R ozpatrzm y kom pleks k operacji opisanych nierów nościam i (relacjam i)
Tj ^ <Pi(iii',Xj), i e \ , k , (1)
gdzie Tj oznacza czas w ykonania /-tej operacji, z/,- oznacza ilość przydzielonego zasobu, a ę-t je st znaną m alejąca fu n k cją od u, z nieznanym param etrem x;- . Zakłada się, że Xj je st w artością zmiennej niepew nej x ;- o rozkładzie pew ności /z, (x, ) (rys. 1) podanym przez eksperta. Czas w ykonania kom pleksu operacji szeregowych
T = Tl + T 2 +... + Tk . (2)
Dla całkowitej ilości zasobu U przeznaczonego do rozdziału pom iędzy k operacji rozpatryw any problem optym alizacyjny z zadanym czasem w ykonania form ułuje się następująco [6], [8]: Dla danych ę?,-, /?,-, i e l , k , U oraz wym aganego przez użytkow nika czasu w ykonania kom pleksu operacji a należy w yznaczyć rozdział
* * * *
zasobu u = (ią , u 2 ,...,uk ) m aksym alizujący w skaźnik pew ności tego, że w ym aganie użytkow nika je st w przybliżeniu spełnione
v ( u ; a , U ) = v [ t p ( u ; x ) < a ] , (3) gdzie x = (x j,...,x ^ ) , (p{u\x) = <P\(u\\x\) +... + ( p ^ u ^ k ) , przy ograniczeniach
2/j +2^2 + ••• + Uję — U , U i > 0 , i s \ , k . ( 4 )
R ozpatryw any problem decyzyjny je st problem em optym alizacji statycznej obiektu z w yjściem v, w ejściam i u, a , U i opisem opartym na reprezentacji w iedzy RW (rys. 2).
Rys. 1. Trójkątny rozkład pew ności Rys. 2. O biekt optym alizacji U zyskanie opisu (3) w przypadku operacji szeregow ych [2] je st trudniejsze niż w przypadku operacji rów noległych [8] i m oże wym agać zastosow ania dekom pozycji
a na w artości a, oraz w skaźników pew ności vi (u i \ a i , U ) ( i e l , k ) .
*
Przykład 1. Dla trójkątnych rozkładów pew ności (Rys. 1, d j < X j ) oraz
<Pj(u-,; Xj) = XjUj stosując dekom pozycję [3] otrzym ujem y opis
v ( u ; a , U ) : k x * k d ■ i
' — o O ( Y 2=1 Ul / = ! U‘
k * -1
gdy a < Y J( x i - dj)uj
2 = 1
*
*1 _ ( g d y £ ( X;. _ d i ) Uj < a < £ A-,- u i , (5 )
2=1 2 = 1
V 1 * —1
l gdy Z j x i ui ^ a
2 = 1
dla którego nie istnieje rozw iązanie analityczne. Jeśli RW spełnia założenie
* * *
^ =. . . = — = y , to w przypadku 0 < v (u) < 1 dostajem y:
d \ ¿ 2 d k
oraz
v ( u - a , u ) = \ - r + r a ( Y ^ - ' ) 1
2 = 1 ‘
(
6)
(7)
66 D. Orski
Stosow anie (7), pom im o niespełnienia dodatkow ego założenia m oże być korzystne w przypadku eksperta charakteryzującego nieznane param etry z dużym
r *
błędem [3], natom iast w przypadku w iarygodnego eksperta lepiej w yznaczać u posługując się m etodam i num erycznym i.
Dedykowana procedura numeryczna m oże bazow ać na założeniu, że optym alizow aną funkcję (5) daje się w otoczeniu u dobrze przybliżać fun kcją (6), której param etry b ęd ą popraw iane w kolejnych iteracjach procedury num erycznej,
)|(
a kolejne przybliżenia u b ęd ą w yliczane ze w zoru (7). P rzew agą takiego podejścia nad innymi typowym i proceduram i num erycznym i byłoby m.in. uniknięcie konieczności stosow ania funkcji kary dla ograniczeń (4). U zyskane w stępne wyniki badań sym ulacyjnych [ł] w skazują na szybszą zbieżność i w ięk szą dokładność zaproponow anej dedykow anej procedury num erycznej.
3. O ptym alizacja z zadanym poziom em pewności
W sform ułow aniu problem u optym alizacyjnego z zadanym poziom em pew ności użytkow nik w ym aga, aby efekt decyzji m ierzony w artością w skaźnika pew ności (3) (por. rys. 2) był nie m niejszy niż zadana w artość v , a celem optym alizacji je st m inim alizacja czasu w ykonania kom pleksu operacji a . Problem m ożna sform ułow ać analogicznie ja k dla operacji niezależnych [9]: D la danych (p\, hx, / e \ , k , U oraz v należy w yznaczyć rozdział zasobu u - (u],ii2,...,uk ) spełniający (4) i m inim alizujący wartość a , dla której w skaźnik pew ności (3) spełnia w ym aganie użytkow nika, tzn.
v (u ;a,U ) > v . (8)
Do rozw iązania rozpatryw anego problem u decyzyjnego m ożna częściow o w ykorzystać algorytm dla operacji niezależnych z proponow aną poniżej istotną m odyfikacją uw zględniającą dekom pozycję a na w artości a,- (; e 1, k ):
1. Dla
v; I <Pi («/; Xj) < aj ] = g j i u j , a,-) w yznacz rozw iązania równań
§7 (ui, ccj) = v względem .
2. Podstaw w yznaczone Uj = g,r 1 ( a ,; v) do (4) otrzym ując równanie
g \ ] (« i i v) + g i ' («2 i v ) + - + g p l {a k \ v ) = U (9) z niew iadom ym i .
3. W yznacz optym alne a j , a 3 , ..., a k m inim alizując funkcję
f { a h a 2 ,...,a k ) = a\ + a 2 +... + a k (10)
przy ograniczeniu (9).
4. W yznacz
Iii = g i l ( a h v ) , i e \ , k .
Przykład 2. D la funkcji ę-n h; ja k w przykładzie 1 otrzym ujem y:
/• ^ , a iUi - Xi - -1 / - \ (v - W i + g j(u h cci)= 1 + = v , U i=gi ( a f ;v) = ---
d i (Xi
oraz
¿ ( v = t / . ( U )
M inim alizując (10) przy ograniczeniu (11) dostajemy:
a i = J b i ' Z j b j u ~ l , a = ( ^ ) 2 U - \ (12)
7=1 »=1
* i
gdzie bj = (v - 1 ) z/; + x, . W staw iając «,• do g,- w yznaczam y optym alny rozdział:
7=1
W przeciw ieństw ie do problem u decyzyjnego dla danego a rozw iązanie problem u decyzyjnego dla danego v m ożna otrzym ać analitycznie.
Uzyskane w yniki analityczne m ożna w ykorzystać do opracow ania algorytm u rozwiązania problem u z zadanym czasem wykonania. Proponow any algorytm oparty na (12), (13) je st następującym dwuetapow ym algorytm em numeryczno-anal¡tycznym:
1. Dla zadanej wartości a zastosuj procedurę num eryczną i rozw iąż równanie:
a = ( ^ ( v - \ ) d i + x * ) 2 U - 1 i=\
ze w zględu na v, otrzym ując m aksym alną m o żliw ą wartość wskaźnika pewności dla danego a .
2. W yznaczoną w artość v = vmax w staw do (13) uzyskując rozw iązanie analityczne:
* Y (vmax ~ 0 ^ / "l" x i TT
ui = /. U •
y . ą / ( v m a x t y d j + x j
7=1
W stępną ocenę przydatności zaproponow anego podejścia num eryczno- analitycznego przeprow adzono w [1], Jego zaletą w porów naniu z dedykow aną procedurą num eryczną jest ograniczenie problem u num erycznego poszukiw ania
68 D. Orski
rozw iązania do pojedynczej zmiennej v oraz znanego przedziału jej wartości (0,1).
Zaproponow ane podejście m ożna w ykorzystać także dla innych rozkładów pew ności oraz postaci funkcji <Pj.
4. O ptym alizacja z nieznaną ilością zasobu
Sform ułowania problem ów z rozdziałów 2 i 3 m ożna połączyć przy braku założonej ilości zasobu U. W tym przypadku stanowi ona kryterium optym alizacji, a problem optym alizacyjny z nieznaną ilością zasobu sform ułujem y następująco: Dla danych <Pj, hj, i e l , k , a oraz v należy wyznaczyć rozdział u =
m inim alizujący wrartość U przy spełnieniu (4) oraz w ym agania użytkow nika (8).
M oże to oznaczać, że chcem y zaplanować w ielkość nakładu na produkcję na najniższym poziom ie, zapew niającym przy jeg o optym alnym rozdziale, spełnienie w ym agań użytkowych.
M ożna zaproponować następujący algorytm rozw iązania rozpatryw anego problem u decyzyjnego:
(14) z niewiadom ym i t ą .
3. W yznacz optym alne u \ ,u 2 ,...,uk m inim alizując funkcję f ( u i , u 2 ,...,uk ) = ui +u2 + ...+ u k przy ograniczeniu (14); U = fą + u2 + ... + uk .
(15)
Przykład 3. Dla funkcji <pt , hj ja k w przykładzie 1 otrzym ujem y:
, ajin - Xj _ _ i,
g i { u i , a i ) = 1 + = v , c c j = g j ( » , - ; v ) =
d i
(v - \)d-, -f x*
Hi oraz
£ ( y - l ) d j + x * ^
(16)
M inim alizując (15) przy ograniczeniu (16) dostajem y
Ze w zględu na identyczną postać / w (10) i (15), rozw iązania problem ów z rozdziałów . 3 i 4 są w pew nym sensie analogiczne. Przy innej postaci ograniczeń (4) i/lub innej strukturze kom pleksu operacji (np. szeregow o-rów noleglej), takiej analogii nie będzie.
5. Podsum ow anie. Uwagi końcowe
W pracy przedstaw iono trzy różne praktycznie uzasadnione sform ułow ania problem u optym alnego rozdziału zasobu w kom pleksie operacji szeregowych opisanych za p o m o cą relacji z niepew nym i param etram i. Na podstaw ie wyników uzyskanych dotychczas dla pew nej klasy opisów zaproponow ano o gó ln ą koncepcję dedykow anej num erycznej procedury rozw iązania problem u decyzyjnego z zadanym czasem wykonania. Zaproponow ano algorytm rozw iązania sform ułow anego w pracy problem u decyzyjnego z zadanym poziom em pewności, w którym w ykorzystano dekom pozycję opracow aną dla operacji szeregowych. U zyskany w ynik stał się podstaw ą zaproponow anego w pracy num eryczno-analitycznego algorytm u rozwiązania problem u decyzyjnego z zadanym czasem wykonania. Prezentowane nowe rezultaty zostały uzupełnione o sfonnułow anie i algorytm rozw iązania problem u decyzyjnego, w którym w yznaczana je st najm niejsza ilość zasobu w ystarczająca do spełnienia w ym agań użytkow nika, tzn. m inim alizow any je st koszt produkcji.
W yniki wstępnej oceny zaproponow anych podejść nieanalitycznych przedsta
wione w [1] w skazują na ich szybką zbieżność i dużą dokładność. W przyszłych pracach rozw ażania m ożna rozszerzyć na kom pleksy operacji o strukturze szeregowo- rów noległej, na przykład w zastosow aniu do pew nej klasy system ów transportow ych z jednostkam i produkcyjnym i [7], a także uw zględnić praktycznie ważne przypadki, w których nieznane param etry m odeli niektórych operacji są w artościam i zm iennych losowych.
LITERATU RA
1. Hojda M ., Orski D.: M etody nieanalityczne w ekspertow ym system ie decyzyj
nym dla kom pleksu operacji szeregow ych z niepew nym i param etram i. M at. 6 Krajowej K onferencji „Inżynieria W iedzy i System y Ekspertow e” , W rocław 2006, s. 115-124.
2. Orski D.: Q uality o f cascade operations control based on uncertain variables.
A rtificial Life and Robotics, vol.9, no. l , 2005, p. 32-35.
3. Orski D.: A pplication o f uncertain variables to planning resource allocation in a class o f research projects. Proc. 18th International C onference on System s Engineering, IEEE CS Press, Los A lam itos 2005, p. 238-243.
4. Bubnicki Z.: U ncertain Logics, Variables and Systems. Springer-Verlag, Berlin, London, N ew Y ork 2002.
70 D. Orski
5. Bubnicki Z.: Learning algorithm s and uncertain variables for a class o f know ledge-based assem bly systems. M. H. H am za (ed) M odelling, Identification and Control, Acta Press, Zurich 2002, p. 529-534.
6. Bubnicki Z.: Analysis and Decision M aking in U ncertain Systems. Springer- V erlag, Berlin, London, New Y ork 2004.
7. Bubnicki Z.: Application o f uncertain variables to know ledge-based decision m aking in a class o f production systems. Proc. 18th International C onference on Production Research, Salem o, Italy, 2005.
8. Bubnicki Z.: On allocation problem s for a com plex o f parallel operations described by uncertain variables. Foundations o f C om puting and D ecision Sciences, vol.30, no.2, 2005, p. 77-90.
9. Bubnicki Z.: O ptim ization o f a class o f uncertain system s based on uncertain variables. R. M oreno Diaz, F. Pichler, A. Quesada A rencibia (eds) C om puter Aided System s Theory - EUROCAST 2005. Lecture N otes in C om puter Science, Springer-Verlag, B erlin, Heidelberg, vol. 3643, 2005, p. 3 8-43.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Andrzej Św iem iak
A bstract
The paper concerns a resource distribution problem for a com plex o f production operations o f cascade structure. Each operation is described by a relation betw een its execution tim e and an am ount o f a resource allocated to this operation. The relations contain unknow n param eters, which are assum ed to be values o f uncertain variables characterized by an expert. For such a knowledge representation, the decision problem consists in finding an optimal distribution o f total am ount o f a resource am ong operations as to satisfy a user’s requirem ent. In the paper, three form ulations o f optim al resource distribution problem have been presented for three different form s o f a user’s requirem ent, and possibilities o f finding analytical and/or num erical solution algorithm s have been discussed. New results include: the concept o f a specific num erical algorithm and the num erical-analytical algorithm for the problem w ith a required execution time as well as the analytical algorithm based on decom position for the problem with a given certainty threshold.
