7rq?VTV POLITECHNIKI ŚLĄSKIMI 198A
S e r l a i A U T O M A TY K A z . 7 4 Hr k o l . B10
A n d rz e j'Ś w ie rn la k , M ariusz S ło n a
f
P o lite c h n ik a Ś lą s k a
A I j0R Y TM H E N IM M C SO W E G O R O Z D Z IA Ł U ZA SO BÓ W W S Y S T E M I E
S t r e s z c z e n i e : W p r a c y p rz e d s ta w io n o a lg o ry tm o k r e ś la n ia optym alnego r o z d z i a ł u zasobów w p rz y p a d k u n ie p e łn e j in f o r m a c ji o dopłyv«ch dys
k r e tn y c h zasobów do system u . Z a k ła d a ją c , ż e znane j e s t o g r a n ic z e n i e na w ie lk o ś ć ty c h dopływów p ro p o n u je s i ę minimaksowe k r y te riu m o p ty m a liz a c ji o r a z a lg o ry tm b a z u ją c y na stan d ard o w y ch p ro c e d u ra c h program ow ania m atem atycznego.
.Dynamiczny p ro b lem r o z d z i a ł u zasobów w s y s te m ie można sform ułować n astę p u ją c o :
Dane j e s t ró w n a n ie e w o lu c ji zasobów w s y s te m ie '
g dzie: x j e s t k-wyraiarowym wektorem zasobów , u - m-wymiarowym wektorem decy zji o p r z y d z ia ła c h zasobów na p o s z c z e g ó ln e z a d a n ia / p o d sy ste m y / , d - wektorem dopływów zasobów; do sy ste m u . S t a ł e 0 £■ a ^ ć 1 , 0 :< <T 1 o k r e ś l a j ą odpow iednio s to p ie ń d e p r e c j a c j i zasobów 1 zu ż y cia zasobów p r z y d z ie lo n y c h , z a ś / 1 j* j / - o k r e ś l a j ą s tr u k turę przepływ óv; m iędzy magazynami lu b różnym i ro d z a ja m i zasobów . Oznaczono p r z y tym A = { a .-j} , B = {b13} .
O k re ślić r o z d z i a ł zasobów w h o ry z o n c ie N z n a jd u ją c c ią g d e c y z ji u (n ) , a « 0 , 1 , . . . , N-1 m in im a liz u ją c y w skaźnik
1. W s t ę p
x ( n+1) = A x ( n ) - B u ( n ) + d ( n ) n » 0 , 1 , . . . , N-1 (1 ) x(0) = x Q > 0
N- 1
(?)
i = t , 2 , . . . , k j j a 1 , u , . . . , m
246 A . e r e f s k . H .S ł n a
2 . Gwarantowany wskaż nile ja k o ś c i 1 z a s to s o w a n ie o r o r ramowania dynamicznego
W yznaczanie d e c y z ji optym alnych wymagałoby zn a jo m o ści s ta n u uk ład u , t z n . w ektora zasobów w c h w ili n - t e j o ra z w s z y s tk ic h dopływów .w p r z y s z ł o ś c i , t z n . d la i » n, n+1 . . . -N
- 1
. Wymaganie to j e s t . n i e r e a l n e . W pracybodziemy z a k ł a d a l i , ¿ e p o tr a f im y o k r e ś l i ć w e k to r x ( n ) o r e z oszacować maksymalną w ie lk o ść dopływu zasobów', do s y s te m u ,tz n . :
k
Z ^ ( . n ) \i (n) (3)
i>=1
W zw iązku z tym z a d a n ie m in im a liz a c ji -wskaźnika ( 2 ) n a le ż y z a s t ą p i ć za
daniem w yznaczania s t r a t e g i i Cn))} t a k i e j , ż e c ią g
| hQ 0cQ) , . . . , h.^_ ^ (sc (ji- 1 ))} = *1J_1 a { u (P)ł j (4)
m in im a liz u je gw arantoyrany w/skaźnik ja k o ś c i o p o s ta c i - :
I - S u p I (5)
DN « W -
g d z i e :p r z e z DTI oznaczono c ią g niepew nych dopływów;, t z n . :
Djj = { d iO ), . . . , d (N -1)} (6)
a Vł oznacza z b i ó r w jynikający z o g ra n ic z e ń ( 3 ) .
Dodatkcw.-o z a k ła d a ć będziem y, t e dopływ y mogą przyjm ować je d y n ie d y s k re t
ne w a r to ś c i, ekstrem um w sk a -n ik a b ę d z ie zatem o s ią g a n e .
H ozw iązanie z a d a n ia m in im a liz a c ji w sk aź n ik a (_5 )■ otrzymamy s t o s u j ą c program ow anie dynam iczne .
Oznaczmy :
I " = i n f I = i n f sup J = i n f sup j i n i sup (.<■■ ( i n f sur I-U)
% DN? 'i' ly0 ,uęo) u (D ^ y .,,u (i) uCi-1) ‘yi!-i g d z ie ; yn oznacza w e k to r d o s tę p n e j . i n f o r m a c j i / t z .n . p rz y z a ł a t a n i u dok
ła d n e j in f o r m a c ji o z a s o b a c h / ;
yn x *<-'•)••- x T (.n), u7 CO3 ... uT( n - l ) ) n = 0 , 1 , . . . , 3-1 Ze względu na addytyw ną p o s ta ć w sk aź n ik a ( 2 ) notemy o k r e ś l i ć n a s tę p u ją c y c ią g re k u re n c y jn y
247
£m(x (N-1) , u (N-1)) = sup { Lk _ 1 ( u( K - 1 ) , x (I‘))} (7 ) x(N)6Xk I x(N -1) ,u (i!-1 )
Qn ( x W ł “ I n f En+1 ( x ( n ) , u (n )) n = 0 , 1 , . . . , N-1 (8 ) u(n)
En (x C n - l ) ,u (n-1)) = sup { Qn (x (n )) + Ln_ 1( u ( n - l) , x(n))j x (n ) ć Xn j x ( n - D ,u ( n - 1 )
n = 0 , 1 , . . . , N-1 (9)
Zbiory Ł , po k tó r y c h d o k o n u je s i ę m a k s y n filiz a c ji o k r e ś lo n e s ą ja k o :
Xn+l |x ( n ) , u ( n F W n+1) ! a l J Xj U ,+ b i j
(n)} (10)
Zauważny, ż e
10 Qo W
oraz s te ro w a n ie u ( n ) z a l e t y je d y n ie od a k tu a ln e g o w ektora zasobów x ( n ) . S tan x ( n ) j e s t zatem Ł n fo rn a c ją w y s ta r c z a ją c ą [_1] w u d a n i u m in im a li
z a c j i gw arantow anego w skaźnika j a k o ś c i i w śród s t r a t e g i i Kj._1 i s t n i e j e s t r a t e g i a op ty m aln a .
Z a ło ż e n ie o 'o s i ą g a n i u ekstrem ów ( z b i o r y x i u są Wypukłe 1 z > « rte a z b i ó r skończony i z w a rty ) urno-'-li l a z a s t ą o l e n i e r e l a c j i ( 7 ) - (10)
równaniem :
Qn (x W ) = a i n r a x { QR+1 (x (n + 1 )) +..Ln ( u ( n ) , x(n+ 1))i (H J u (n ) d(.n) | x ( r . ) , u (n )
» każdym e t a p i e p r o c e s u d ec y zy jn eg o należy- zatem rdzw inza ś s ta ty c z n y problem m in ln a k su ć y s k r e t n r r o d la u s ta lo n y c h punktów s i a t k i w ektora z a
sobów x (n ) .. P rz y jm u ją c bowiem ::(n ) ja k o ustalo n e- i b io r ą c poć u w .ri równanie’ ew o T u e jl zasobów - (1) m"-m.y - każdym e t a p i e p r o b ie r zca-'do-.mni:
sta ro w a n ia u ° ( n ) t a k l e r o , ie
: ś n max ( u(r.) , d ( n ))= max - „ { u ° ( n ) , d ( n ) ) ,
;(r.) d (n) d(n)
248 . S w i - a r n l ^ k . . . K .S lp r e
Fn ( u (n ), d (n)) = Qn+1 (A x (n ) - B u(n) + d(n)) +
+ L-n ( u (n ) , A x ( n ) - B u (n ) + d (n )) (13)
zaś d (n ) p rz y jm u je w a r to ś c i d y s k r e tn e d \ n ) j = 1 ,2 , . . . , K , p r a y czyn s p e łn io n e j e s t o g r a n ic z e n ie (3) . W dalszym c ią g u p rz y ro zw a ż a n ia c h d o ty c z ą c y c h s ta ty c z n e g o z a d a n ia m inim aksu o p u sz cz ać będziem y n i p r z y j mować, t e o r g a n iz a c ja s ia te k /w e k t o r z a s o b ó w /je s t r o z s t r z y g n i ę t a , a x ( n) u s ta lo n e .
3
, A lgorytm raln in ak su d y sk re tn e g oH ozw iązanie a n a l i t y c z n e problem u (11) m ożliw e j e s t je d y n ie d la bardzo w ą sk ie j k la s y za g a d n ie ń [ 2 } . Proponowany a lg o ry tm o p ie r a s i ę na meto
d z i e k o le jn y c h p r z y b li ż e ń punktów £ - s t a c j o n a r n y c h [ 3 ] , p r a y czym zgod
n ie z s u g e s t i ą z a w a r tą w £41 do w yznaczania k ie r u n k u £ -n a js z y b s z e g o spadku k o r z y s ta s i ę z e standardow ego a lg o ry tm u program ow ania kw adratow ego.
Oznaczmy p r z e z G(u) f u n k c ją m eksim aoijtzn.
G(u) = max F ( u , •d'5) (14)
j
u f nazywa s i ę punktem ¿ - s ta c j o n a r n y m f u n k c ji maksimum [ 3 ^ j e ś l i :
D(uŁ") = min max ( U£ ' ^ ' g > ^ ° ł ^15)
llSH - 1 j ć R£ (u£) 3 u g d z ie :
R £ ( u ) = { j : G (u J - F ( u , ' d f j ) (16)
K ierunkiem £ -m ininaksow ego g r a d ie n tu f u n k c ji G( u ) w p u n k c ie u na
zywamy w ek to r jednostko-./y g £ ( u) t a k i , ż e :
max <C -^ -L Cu »-.d.'5), g , ( u ) > *= D (u )' (17)
j 6 Rf (u) ^ u
Oznaczmy p rz e z H (u ) z b i ó r v /s z y s tk ic h pochodnych w y s tę p u ją c y c h v/ ( l 6 ) , tz n .
H£ ( u ) « [z - ^ - ( u . d 3 ) , j £ R£ (u) } a p r z e z L£ (u ) pow łokę w ypukłą te g o z b i o r u (t z n .
(1 8)
Alrrorytm mlnimaksowego r o z d z i a ł u . . 249
L £ ( u ) = { z = i a d 2 j : Z;) i H£ ( U/> , a^ > 0 , ^
1
} (19)W ykorzystywany a lg o ry tm o p ie r a s i ę na n a s tę p u ją c y c h dwóch tw ie rd z e n ia c h [ 3 ] =
Tw.1. u £ j e s t £ - s ta c jo n a rn y m punktem f u n k c ji G( u ) w tedy i ty lk o wtedy, gdy
0 € L £ ( u £ ) (2 0 ;
Tu.2 . J e ż e l i u n i e j e s t £ - s ta c jo n a rn y m punktem G( u) t o fu n k c ja G(u) p o s ia d a w p u n k c ie u je d y n y k ie ru n e k £ -ninim aksow ego g r a d ie n tu g g ( u ) dany ja k o :
6 £ Cu) . - j Ł . ( 2 „
g d z ie ; z j e s t punktem z b io ru L ^ (u ) n a jb liż s z y m p o c z ą tk u u k ła d u w spół
rzęd n y ch .
Proponowany a lg o ry tm s k ła d a s i ę z n a s tę p u ją c y c h etapów :
1° P r z y j ę c i e warunków s ta rto w y c h , o k r e ś l e n i e c i ą g u j } d o d a tn ie g o zb ie ż n e g o do z e r a , i = 0 , j = 0 , u 5- = u° , £ . = £ , o k r e ś l e n ie £
2° W yznaczenie zb io ró w H £ ( u 1') o r e z H £ (u ^ ) na p o d sta v ;ie d e f i n i c j i (16) i (.18) . Załóżmy, ż e ^ s ą one p elem entow e .
3° S p raw d zen ie w arunku D (u \) ^ 0 , D okonuje s i ę te g o w o p a r c iu o tw ie r d z e n ie 1, sp ro w a d z a ją c pro b lem do z a d a n ia program ow ania lin io w e g o . M ianow icie o k reślm y p+1 wymiarowy w e k to r Z a -\’£i2 ’ ’ a p*
•tek i, t e m inim alizow ane j e s t względem n ie g o t p rz y o g r a n ic z e n ia c h
P r*
¿ I a _ z ; - t ś 0 r = 1 ,2 , . . . , n
s —1 s s
P r
y a s ¿ i - ' t s < 0 — r =» 1 ,2 ,’ * s=1
Ł a s =
1
. a 4 o , t o ,g d z ie : z^ = J ~ - ( d s , u 1 ) , s £ R £ ( u 1 )
a u r c j
Problem t e n może być ro zw ią zan y za ponoc4 a lg o ry tm u S im p le x . J e ż e l i otrzy m an a s t ą d w a rto ść t j e s t równa 0 , to wówczas
250 ■ŁfiŹPSffi
o fi ( u ł )
i p u n k t u1, - uŁ J e s t £ .-s ta c jo n a r n y m p u n k t on f u n k c ji G(uJ ,
fc -? o
J e - 'l i ta k n i c j e s t przech o d zim y '•■o naB topnego k r o k u ,c z y l i w yznacza
n ia ' k ie ru n k u p o sz u k iw ać .
4° W yznaczenie k ie ru n ltu poszukiw ań g (u * ) wymaga z n a le z ie n ia , p u n k tu z fe L s p e łn ia ją c e g o tw ie rd z e n ie 2 . Z ad a n ie io można ro z w ią z a ć w y k o rz y stu ją c atlg o ry tm program ow ania k w ad rato w eg o . Z achodzi b o v /ie a '£ 4 l
min z? z = :nin 7} Z a (22)
z fi L £ (u ) ó p rz y o g r a n ic z e n ia c h
a
p /
3» a ~ 1 f a 0 ) s c 1j f o )
S = 1 s s
g d z i e : Z j e s t m a c ie rz ą u tv ,o rz o h ą ż -wektorów z . s = 1,
• s
F o szu k iv a n y p u n k t z wyznaczony z o s t a n i e ja k o P
s=1
z , s
g d z ie ! , s = 1, . . . , p s ą ro zw ią z a n ia m i z a d a n ia p ró g ra a o w a n ia kw adratowego ( 2 2 ), (,23) , Proponujem y t u z a sto so w a n ie , a lg o ry tm u
WoXte’a .
5° K ?jąc -wyznaczony k ie ru n e k ' g (u * ) n a le ż y z n a le ź ć , h m in im a liz u ją c e G ( u 1 + h g (u * )) , J e s t to pro b lem m in i m a l iz a c ji w k ie ru n k u , k tó r y nożna r o z w ią z a ć ,n p . m etodą z ł o te g o p o d z i a łu ,
W artość u w k o l e j n e j i t e r a c j i o trz y m u je s i ę ja k o ui + : = u*+ h g ( u Ł) i przechodzim y do p u n k tu 2° .
J e ś l i v/ p u n k c ie 3° okaże s i ę , że u^ j e s t punktem £ ..-sta c jo n a rn y m wówczas sprawdzamy" k r y te r iu m s to p u :
t S * : S
i gdy n ie j e s t s p e łn io n e p rzechodzim y do p u n k tu 2° z nowym £ ^ . Pewnym mankamentem proponowanego a lg o ry tm u j e s t k o n ie c z n o ść r ó ż n ic z - kow ania f u n k c ji c e l u , p o d cz as gdy ze w zględu na s i a t k i program ow ania dynam icznego fu n k c ja t a j e s t zadana t a b e l a r y c z n i e . T rudność t ę można po
konać p r z e z a p ro k sy m a cję m iędzyw ęzłow ą i ró ż n ic z k o w a n ie num eryczne.
Algorytm mlnlmaksow.-ęgo r o z d z ia łu . . . 251
4 . P rzypadek d o p ł y w zasobów' c i ą g ły c h
Proponowany a lg o ry tm można r o z s z e r z y ć na p rzy p a d ek n ie z n a n y c h ,le c z o g ra n ic z o n y c h dopływów zasobów; c i ą g ł y c h . Można te g o dokonać p r z e z wprowa
d z e n ie s i a t e k skończonych na zm ienną d £3} bądź a r b i t r a l n e p r z y j ę c i e pewnych w a r to ś c i d = d*^ tw o rz ą c y c h z b i ó r sk o ń c zo n y . W
[23
zaproponowano w y k o rz y s ta n ie t u a lg o ry tm u S a lo n o ra [ 6 ] . W a lg o r y tm ie tym w ykorzys
t u j e s i ę je d n ą z metod ro z w ią z a n ia z a d a n ia program ow ania n ie lin io w e g o z o g r a n ic z e n ia m i równościowymi do w yznaczania now.-ego e le m e n tu z b io r u w a r to ś c i d^ . P o s z u k u je s i ę m ia n o w icie w każdym k ro k u ite ra c y jn y m e l e mentu dk m ak sy m alizu jąceg o f u n k c ję F ( u ^ , d ) , p r z y czym ir^ j e s t wynikiem uzyskanym z z a s to s o w a n ia a lg o ry tm u m inirraksu d y s k re tn e g o p r z y p o p rz e d n io o k reślo n y m z b io r z e d y s k r e tn y c h dopływów.'. V/ k a ż d e j p ę t l i l t e r a - c y j n e j w ykorzystyw any j e s t zatem a lg o ry tm z r o z d z i a ł u 3, p r z y czym z b i ó r w a r to ś c i d^ u le g a z w ię k s z e n iu . K ry te riu m s to p u j e s t b ra k poprawy w; war
t o ś c i a c h f u n k c ji maksimum. Zauważmy, t e d la ro z w ią z a n ia c a łe g o p ro b lem u dynam icznego k o n ie c z n e j e s t p o łą c z e n ie a lg o ry tm u m inim aksu z m etodą s i a te k program ow ania dy n am iczn eg o .
V; p r a c y [21 p rze b ad an o a lg o ry tm na s z e r e g u p r z y k ła d a c h . V.' każdym punk
c i e s i a t k i uzyskano d o b rą z b ie ż n o ś ć o s i ą g a j ą c w arunek s to p u po t r z e c h , c z t e r e c h i t e r a c j a c h a lg o ry tm u m inim aksu s ta ty c z n e g o c ią g łe g o bądź dys
k r e tn e g o . Mimo t o , z e w.-zględu na k o n ie c z n o ść sto so w a n ia m etody s i a t e k ju ż p r z y m odelu dwuwymiarowym i cz t e rok rokowym : h o ry z o n c ie ste ro w a n ia c z as o b lic z e ń b y ł zn a cz n y .
A n a lity c z n e w y zn a cz en ie s t r a t e g i i o p ty m a ln e j j e s t w z a s a d z ie możliwie- je d jm ie w p rz y p a d k u s k a la rn y m . P o n iż e j p rze d sta w im y t a k i p r z y k ła d ; a l e naw/et w tym p rz y p a d k u u z y s k a n ie ro z w ią z a n ia a n a lit y c z n e g o n ie j e s t s p r a wą p r o s t ą .
R ozpatrzm y n a s tę p u ją c y p roblem r o z d z i a ł u zasobów.' :
Dysponujemy zasobem początkowym w; i l o ś c i x = 10 je d n o s te k . Zasób ter.
można sk ie ro w a ć W c a ł o ś c i lu b c z ę ś c i na je d e n z dwóch c e ló w , sk ie ro w a n ie y je d n o s te k z a so b u na I c e l d a j e w c ią g u o k r e s u zy sk f^ = c 1 - 4- y~ , z a ś s k ie ro w a n ie v je d n o s te k na I I c e l w -c ią g u je d n e g o o k r e s u p r z y n o s i
•a ' n.
zy sk f 0 = C-, -'■£ v , p r z y czym z rs ó b y p rz e z n a c z o n o nr I c l i ś r y . 20 p ro centów,-emu z u ż y c iu . Maksymalny dopływ-.- z a so b u w c ią g u /..iu c . :> rk ra z wynosi . ,v; = 1 je d n o s tk a .
W c e l u o k r e ś l e n i a s t r a t e g i i o p ty m a ln e j c i-.g u 5 c k r a - '. . r. = . określm y rów n an ie e w o lu c ji zm ebów :
x ( n + 1 ) a oc^n} - 0 . 2 y( n) + c ( n ) ;:(0 ) = :c, d i a) $ 1 0 £ V Cn) ^ >:{r.) o r a z zy sk c I k r i t y
252 A
r, p_]r
. K . Clłq -Tmv = I j [ c , y 2 (n )]+ [ c 2 - \ v 2( n ) ] } = n=0
¿.Q + c2 - ^ y2(n) - j(x[n) - y M ) j
Problem m a k sy m a liz a c ji zy sk u zastąpm y z e w zględu na s t a ł o ś ć p ro blemem m in i m a l iz a c ji w skaźnika :
i = ł 5 1 { y 2 Cn ) + (x f r) - y W ) ] ■= I X { u" ( n ) + x2 ( n ) } '
n=0 n=0
g d z ie ;
u (n ) = 2 y (n ) - x (n )
Równanie e w o lu c ji zasobów z m ien i s i ę do p o s t a c i :
x (n+ 1) = 0 . 9 x ( n ) - 0 .1 u (n ) + d ( n )
Ze w zględu na n ie p e ł n ą in f o rm a c ję o d (h ) z a d a n ie o p ty m a liz a c ji ro zw ią
żemy ja k o , z a d a n ie m in in ak sU p tz n . p o szukiw ać będziem y u (n ) m in im a liz u ją cego
2
I = max J u2 ( n ) + x ^ (n ) J d(n)< 1 ^ 1
Poniew aż x (0) j e s t d an e , a j a k ła tw o zauważyć o p ty m a ln e u (2) = 0 wskaź- n ik może być z a p is a n y ja k o
1
max 5Z "( u2 ( n ) + x^ ( n +1 ) \
n_r> ^ J
d (nl £ 1 n - °
p rz y o g r a n ic z e n ia ch 0 < u ( n ) x (n )
Po '.'" 'k o rz y sta n iu warunków k o n ie c z n y c h i w y s ta rc z a ją c y c h m in im a k s u /z e wz,~lc>du no. w ypukłość f u n k c ji maksimum/ mamy d la p r z y j ę t y c h danych
U(1) = g.,x ( 1 ) ...±_ 10 < „ (1) 101
^ 2TCIv
u (o ) = J h Ł j 4 2 L - t . Z L 2 s
1.9
c x ( o ) 102J u t p rz y p a d k u dv.myraiarowya i kwadrotowym w sk aź n ik a j a k o ś c i u z y s k a n ie ro z w ią z a n ia a n a lity c z n e g o j e s t n ie m o ż liw e . H al e t y wówczas z a sto so w a ć a l gorytm num eryczny.
A lgarytB.ralnInaksoyego r o z d z ia łu . . .
252 .
P rzykładow o d la sy stem u , w którym z a so b y e w o lu u ją zg o d n ie z równaniam i
x ( p + l) = 0 , 9 x (n ) - u ( n ) + d.jC.n) x ( 0 ) = 1 3 .1 6 y (n + l) => 0 . 9 yCn) - x ( n ) + d2 ( n ) yCo) = 21.41
p rz y o g r a n ic z e n ia c h
0 u (n ) ^ x ( n ) ¿ r y ( a ) d1 (.n) + d2 (n1 1
uzyskano s t r a t e g i ę minimaksową d la w skaźnika j a k o ś c i 2
1 - i t {• X2 (n+1) + y 2 ( n +
1
)}n*=0 w p o s t a c i d e c y z j i :
u(0) = 7 .6 7 , u ( l ) = 2 .9 0 , u (2) - 1 .5 6
i odpow iadających im w ie lk o ś c ia c h zasobów 5
x (0 ) = 1 3 .1 6 , x ( l ) = 4 .8 7 , x ( 2 ) = 2 .1 8 , x ( 3 ) - 1.11
y ( 0 ) = 2 1 .4 1 , y ( 1 ) = 7 .5 2 , y ( 2 ) - 3.31 , y (3 ) = 2 .2 2
5. Uyegi końcowe
p ro cy p rz e d s ta w io n o a lg o ry tm r o z d z i a ł u zasobów v sy stem ie ,',.' k tó ry is dćpływy zasobów s ą zmiennymi n iepew nym i. p r z e c iw ie ń s tw ie je d n a k do wie
lu p i e c , n p . t t.7 3 , C.8], , v k tó r y c h t r a k t u j e s i ę t e zm ienne ja k o losow e, p r z y ję to odm ienny model n ie p e w n o śc i z a k ła d a ją c y p r z y n Ł le tn c ź ś ty c h zm ien
nych do o k r e ś lo n y c h zb io ró w o g r a n ic z o n y c h . Podstew o-.c w ersj". '-Igorytm u do ty czy dopływ u z?.-sobóv; d y s k r e tn y c h , p rz e d s ta w io n o je d n a k równieś w e rs ję dla p rzy p a d k u zasobów c i ą g ł y c h , k r y te r iu m ja k o ś c i przyjmowań*- j e s t w p o sta ci gwarantovffineęo w s k a ź n ik a ,c o w ydaje c i byś n a t u r a ln ą k --n rr’.:-.Tr.cj-ą
p o s ta c i i n f o r m a c ji o zm iennych n iepew nych. — z a ś wyd j e ni- byś in fo rm a c ją n a j c z ę ś c i e j d o s tę p n ą '„ 'p r a k t y c e . O gólno:"' a lg o ry tm u u r o ś li', i a je g o za
3
toso■.-.•anie .równi e t w p rz y p a d k u vyr.tcpov.nni ; ir.r.ych parfT .ptr^w n i m f , . nych w m odelu system u i w sk aź n ik u /.a p .: zapotrzebo-.r.ń- nr. z a s o b y / ’ j e ś l i one t c j ą rów ni e t c h a r a k t e r z b io ro w y . X p r - c y n ie ro o ro .try w r.o d ru g ie g o a lte rn a ty w n e g o p o d e jś c ia p o łe g e ją c e jo na a p r o k s y c r c j i z b ió r''..' zm iennych254
n i '.-pev/nych e lip s o id a m i czy h lp e r w ie lo ś c ia n a m i, co w n i e k tó r y c h p r o s ty c h p rz y p ókr.ch prow adzi co a n o .lity c z n y c h r e z u l t a t ó w , n p . : £ 1 0 ] .
L IT 'R i’TJRi
[ 1 ] h -.l e m i a k : S t a t e - i n e q u a l i t i e s a p p ro a c h to c o n t r o l sy stem s w ith u n c e r t a i n t y , I'.™ P ro c e e d in g s , v.1.99 , p t . D , " o 6, " o v n b e r 1952 [ 2 ] Sloan P ro c a dyploroi*: m a g is te rs k a /n ie o u b ilk o v .h rj:. / , G liw ic e , 198?
[3 ] P i eaianow if.F .., .'błoziem ow '•!. : V.'wiedieni j e w.m in-m ax, I z d a t.H a u k a , Hoskvn, 1972
[ 4 ] H e l l e r J . E . , Cruz J . B . : An a l g o r i th m f o r min-max p a ra m e te r o p tim i
z a t i o n , .-u to m a tic a , v .S , No 3 , Kay 1972
[ 5 ] F in d o is e n ««, Szymanowski J . , W ie rz b ic k i A. : T e o ria 1 metody o b l i czeniow e o p ty m a liz a c ji, H I , Warszawa.., 1930
[5 3 Solomon P.M . : H ininax c o n t r o l l e r d e s i g n , ' IE22 T ra n s .o n ..u to m e tic C o n tro l, AC-13, Ho 4, A u g u st, 1958
£73
Aoki Toda !■:. : P a r a m e te r a d a p tiv e r e s o u r c e a l l o c a t i o n p roblem f o r d e c e n t r a l i z e d sy ste m , IEEE T r c n s . on A utom atic C o n tro l, AC-20, Ho 2, A p r i l s 1975 ’[,8 3 G e s s ln g R. s K etoda dekom pozycji i k o o r d y n a c ji s t a t y s t y c z n i ? 'o p ty -
•molnego s ta ty c z n e g o r o z d z i a ł u z a so b 'v ;, Z eszyty' Haukove P o l i t e c ’n n ik i Ś l ą s k i e j , au to m aty k a,- z . 54, G liw ic e , 1933
[ 9 ] S v /iern iak a . : S to c h a s ty c z n ie optym alne s te ro w a n ie r o z d z ia łe m zasobów
\i zd ece n tralizo w an y m s y s te m ie dynamicznym, Z eszyty' Haukowe P o l l t e c b - n i k i Ś l ą s k i e j , Autom atyka, z . 63, G liw ic e , 1982
[10] Z e r ts e k a s O .P . , Rhodes 1 . 3 . : S u f f i c i e n t l y ' in f o r m a tiv e f u n c ti o n s ana th e minimax fe e d b ack c o n t r o l o f u n c e r t a i n dyrn:m ic s y ste m s, IEEE
T ra n s, on A uto m atic C o n tro l , AC-1S, Ho 2, A p r i l , 1973
R e c e n z e n t: D o c .d r h a b . i n ż . J ó z e f G rabow ski W płynęło do R e d s k c ji do 3 0 .0 3 .1 9 S 4 r .
MTOPMTM MHHUMAKCHOrO PACnPEHEJIEHM PEOTCOB B CHCTEME
P e 3 ii u e
B patJoTe npeflCTaBJieH anropaTM onpe^ejieH M onrmsajiLHoro paonpenejieHM pecypcoB b cjrynae Henojraofi KH$opManjm
0
SHCKperaoia p e c y p c e Ha s i o a e cho- TeMH. IIpHHHMaH, HT0 HSBeCTHH OrpaHHRSHZH Ha BZOJHOfl OTCKpeTHHft p ecypc npeuiaraeTC H MHHmsaxcHHfi onT5BiH3anHOHHHM KpHTepiaft , a th k e s aairopHTB oc~H0B3H Ha cTaaiiapTHHx n p o a e sy p a x MaTeisaTHaecKoro nporpaMWHpoBaHna.
-Algpr?tm plnimaksowego rozdzlaiu ... ¿55.
AN ALGORITHM FOR MIN - MAX RESOURCE ALLOCATION IN A -SISTEM
S i m s r y
An a l g o r i t h m f o r o p tim a l r e s o u r c e a l l o c a t i o n i n th e p r e s e n c e o f u n c e r t a i n t y a b o u t d i s c r e t e in f lo w s t o a sy ste m h a s b e e n p r o p o s e d . Assump
tio n a b o u t g iv e n bou n d s on th e unknown in f lo w s i m p l i e s min-max p e rfo rm a n ce c r i t e r i o n . The a l g o r i th m i s b a s e d on t h e s ta n d a r d m a th e m a tic a l program ming p r o c e d u r e s .
