Modelowanie magazynu wysokiego skladowania

Franciszek M A R EC K I

P ryw atna W yższa S zkofa Inform atyki i Z arządzania w Bielsku-Białej

M O D E L O W A N IE M A G A Z Y N U W Y S O K IE G O S K Ł A D O W A N IA

Streszczenie: W referacie przedstaw iono model m atem atyczny m agazynu w ysokiego składow ania. M odel ten ma postać logiczno-arytm etycznych rów nań stanu.

H IG H -S T O R E M O D E L L IN G

Sum m ary: In the paper a mathem atical model o f high-store is presented. T he m odel has a form o f logical-arithm etic state equations. The state and the control o f the system are defined. Basing on the mathem atical model a sim ulator o f the w orehousing can be constructed.

MOAEAMPOBAHM E M H O rO O TA >K H O rO CKAAAA

Pe3K3Me: B p a S o ie npeACTasAeHa MaTeMaTwecxaa moagau

MHOroaTaMHoro CKAaAa. MoAeAb cocTOwr U3 AornMHecKO-aptrrMeTMMecKnx

y p a B H e H H r t c o c t o a h u s l

1. W p ro w a d z e n ie

M agazyny w ysokiego składow ania stosow ane są pow szechnie w elastycznych system ach produkcyjnych. S ą one w ykorzystyw ane do przechow yw ania półproduktów , narzędzi itp. [1, 2, 3],

W konstrukcji m agazynu w ysokiego składow ania w yróżnia się regały i w indy obsługujące te regały. W regałach są lokow ane kontenery. W regałach w yróżnia się punkt załadunkow y oraz w yładunkow y. R egał je st obsługiw any przez w indę, która przenosi k o n ten er pom iędzy w yróżnionym i punktam i.

W pracy m agazynu w ystępują fazy: załadunku, w yładunku oraz przeładunku. W fazie załadunku kontenery są lokow ane w regałach. W fazie w yładunku kontenery z regałów są przenoszone do punktu w yładunkow ego. W fazie przeładunku kontenery są przenoszone w ram ach regału - w pobliże punktu w yładunkow ego.

W kontenerach znajdują się obiekty różnych typów . D o punktu w y ładunkow ego pow inny być d ostarczone obiekty określonego typu w edług zadanego harm onogram u.

2. S fo rm u ło w a n ie p ro b le m u

R ozw ażm y m agazyn w ysokiego składow ania złożony z jed n eg o regału obsługiw anego przez je d n ą w indę. P unkty załadunkow y i w yładunkow y znajdują się w przeciw nych krańcach regału. D o punktu załadunkow ego dostarczana jest sekw encja k o ntenerów różnych typów , (z obiektam i różnych typów ). W punkcie w yładunkow ym zgłaszane je st zapotrzebow anie na kontenery różnych typów . Z apotrzebow anie m oże być zgłoszone w form ie harm onogram u lub zdarzeń losowych.

Sterow anie m agazynem polega na kierow aniu operacjam i windy. K ryterium oceny sterow ania jest zw iązane z realizacją zapotrzebow ania. K ontener z obiektam i określonego typu pow inien być dostarczony do dopow iedniej m aszyny w żądanej chwili. W przypadku opóźnienia m aszyna ma przestój. Przestoje maszyny należy m inim alizować. Zatem w inda pow inna w ykonyw ać takie operacje (załadunku, przeładunku, w yładunku), które zm inim alizują przestoje maszyn.

C zas operacji w indy je st zależny od położenia punktów , pom iędzy którym i transportow any jest kontener. W inda porusza się ze stałą prędkością w poziom ie oraz pionie. Aby zrealizow ać zap o trzeb o w an ie, w inda pow inna dostarczyć do punktu w yładunkow ego odpow iedni kontener w odpow iedniej chwili. W punkcie w yładunkow ym m oże znajdow ać się tylko jed en kontener.

C zas potrzebny na dostarczenie kontenera do punktu w yładunkow ego je st zależny od lokalizacji tego k o n ten era w regale. Stąd w inda pow inna lokow ać kontenery w pobliżu punktu w yładunkow ego. Jednakże w ów czas operacje załadunku (lub przeładunku) zajm ują w ięcej czasu.

Stąd pow staje problem sterow ania windą.

3. M o d e l m a te m a ty c z n y

Z ałóżm y, że regał składa się z M rzędów i A kolum n.

O znaczm y przez:

m - num er rzędu, w którym znajduje się kontener (m - 1 , . . M ) n - num er kolum ny, w której znajduje się kontener (// = Zatem każdy k o n ten er znajduje się w punkcie (m ,n ).

Załóżm y, że punkt załadunkow y znajduje się w pierwszym rzędzie i zerow ej kolum nie (1,0), natom iast punkt w yładunkow y znajduje się w pierwszym rzędzie i N + 1 kolum nie, tzn (1 ,^ + 1 ).

C zas transportu w indy pom iędzy punktam i ( i j ) o raz (m,n) w yznaczam y z e w zoru:

v = m v i { \ i - m \ c y , \ j - n [ c H) gdzie: cv - czas zm iany rzędu,

cH - czas zm iany kolumny.

Z ałóżm y, że w m agazynie w ystępuje L typów obiektów . O znaczm y I - typ obiektu (kontenera), / = 1

Def. 1 Stan m agazynu je st m acierzą

^ = [*m.„ ]mi|...W

rt=l, .N

przy czym

_ i / , jeśli w punkcie ( m, n) znajduje się kontener / - tego typu '"'n [0 , w przypadku przeciwnym

A nalogicznie przyjmiemy:

x l0 - stan punktu załadunkow ego, xKłM - stan punktu w yładunkow ego.

Stan m agazynu zm ienia się po każdej operacji windy. O znaczm y przez k - num er operacji w indy, (k=l,..,K, gdzie X-jest liczbą operacji windy) Zatem stan oznaczm y jako:

L ’ *1.0’ } stąd

{x°,x °l 0 , x ° N + l } - stan początkow y oraz

{ X K .X\ 0 . x * N+x} - stan końcow y Def. 2 Stan w indy po i-te j operacji je st w ektorem

P k =[/>,* U przy czym:

p* - num er w iersza, w którym znajduje się winda, p \ - num er kolum ny, w której znajduje się w inda.

A nalogicznie przyjmiem y P ° - stan początkow y, P K - stan końcow y.

Z ałóżm y, że sekw encja kontenerów w punkcie załadunku dana jest w zorem

S = U U . , W

gdzie:

st - typ /-teg o kontenera.

P o n ad to dane są term iny dostępności tych obiektów w punkcie załadunkow ym

® = [ d U , (5)

gdzie:

ęł, - term in dostępności /-tego obiektu.

Załóżm y, że zapotrzebow anie w punkcie w yładunkow ym określa w ektor

y=[yjW.j

6

gdzie:

y - typy-tego k o n te n e ra .

P o n ad to d ane są terminy, do których kontenery te pow inny być w yprow adzone z m agazynu

gdzie:

ę/; - deklarow any termin w yładow ania y-tego kontenera .

Jeżeli ko n ten er jest dostarczony do punktu w yładunkow ego po term inie (i/,,to maszyna obsługująca obiekt będzie miała przestój.

Jak o kryterium optym alizacji sterow ania magazynem przyjm ujem y m inim alizację czasu przestoju maszyn:

Q = t ‘h («)

przy czym

<,>r, ^(ę)

1 [0 , w przypadku przeciw nym gdzie:

- chw ila w yprow adzenia y-tego kontenera do punktu w y ład u n k o w eg o .

Jeśli następuje opóźnienie w yprow adzenia y-tego kontenera, to późniejsze term iny y/ m uszą być skorygow ane.

4. R ó w n a n ia s ta n u

R ów nania stanu są zależnościam i pozwalającymi w yznaczyć stan

na podstaw ie stanu

/* * -' X*"1 x ‘"' ) P k~'

Stan zm ienia się po w ykonaniu przez w indę ¿-tej operacji. O peracja ta jest wynikiem sterow ania Chwilę zakończenia ¿-tej operacji oznaczam y przez '/'* ,(7 “ = 0).

Def. 3 S terow aniem ¿-tej operacji jest w ektor

</*= [«,* U .4 (10)

Elem enty tego w ek to ra definiujem y następująco:

0, jeśli w inda m a oczekiw ać 1, jeśli w inda ma operację załadunku

2, jeśli w inda m a operację przeładunku (11)

3, jeśli w inda ma operację wyładunku 4 , jeśli w inda ma operację transportu ponadto:

m* - num er rzędu punktu docelow ego u* - num er kolum ny punktu docelow ego m* - czas operacji

- operacja oczekiw ania

Jeżeli //* = 0- (12a)

to «,*=/>,*-' ( 12b)

( i - c ) N atom iast w* m oże w ynikać z przyjętej heurystyki sterow ania, np.

= (1 —d)

jeśli w inda m oże o czekiw ać tylko w punkcie załadunkow ym . - operacja załadunku

Jeśli i/* = 1 (13a)

«* = m a x { |m - l|c ^ ,y - c „ } (13d) - operacja przeładunku

Jeśli u k — 2 (1 4a)

to u \ = m (14b)

u\ - n (14c)

oraz

u k = m x x { \ m - p k~'\-cv , \ n - pl~'\-cH) (I4 d )

- operacja w yładunku

Jeśli w* = 3 (1 5a)

to u \ = 1 (15b)

u ki = N + 1 (IS c )

oraz

(15d) P unkty (m ,n) m ożna dobierać w g heurystyk.

R ów nania stanu m ożna podać w zależności od typu operacji.

- oczekiw anie

* * = * * - ' (1 6a)

(16b) (16c) x ‘ = x k-'

•*1,0 *1.0

oraz

/> * = /> * •' ( ló d )

T k = T k- ' + u * (16e)

- załadunek

X1 = x k-' (17a)

V V x k. = x k:' I.J <J (17b)

l*m j*n

x" =

**i n

ą ,j e ś l i ( T k~1 <<j><Tk )a (x *■'= 0) ^ 1 ? c ^

0, w przypadku przeciw nym

0, jeśli I * ' ' < < T 1

xi.w .i= i ,, (17d)

>w przypadku przeciwnym

P t = m (17e)

P \ = n (1 7 0

oraz

(17g) - przeładunek z punktu ( p , y ) do punktu (m ,n ):

= 0 (18a)

k k- 1 X = X

X m.n x M.y

< o = r ; : r ' ' y. ' ,u o s d )

\ x ]0 , w przypadku przeciwnym

_ Jo,

* _ \ s „ jeśli ( T k- ' <</>>< T k ) A ( x i ; '= 0 ) 0, w przypadku przeciw nym

*1.0 —

x ‘ = x*-' Ai.w*i ■Vr

(1 8b)

K j = ( i ś ć )

/*W*"

* lV l = 1 * 1 (> 8e)

A", w+| , w przypadku przeciwnym

/» ,* = » (ISO

/>j‘ = » (18g)

oraz

r = r ‘ - '+ ! / ‘ (lS h )

- w yładunek z p u nktu (/t, y):

x* r = 0 (19a)

x* = x Jr‘ l (19b)

(1 9c)

(19d)

p \ = 1 (19e)

p \ = N + \ (1 9 0

oraz

7* = 7 * * ' + wj (19g)

- transport z punktu ( / i , / ) do punktu («;,//)

< j = (20a)

f lł =iw (20b)

/> * = » (20c)

_ [ i , j e ś l i (7 'k- ' < ^ < r ‘ ) A ( ^ - ' = 0 )

1 x kj ' = , w przypadku przeciwnym (20d)

0, jeśli Tk~' < i//, < T k

1 1 , w przypadku przeciwnym (20e)

oraz

T k = T ‘- ' + u k (2 0 0

Zatem ogólnie rów nania stanu m ają postać

x k = / ( X k- ' , P k ' , U k ) (2 la )

oraz

p k = z { X k- \ P k \ U k ) (2 lb )

W punkcie załadunkow ym (1,0) pojaw ia się obiekt,jeśli punkt ten był pusty (a obiekt był pierw szy w kolejce). O biekt m oże być w yładow anyjeśli punkt w yładunkow y był pusty.

W skaźnik optym alizacji obliczam y jako

Q k - Q k-' + qk (22)

przy czym

k i I — »j e S l i ( X | = 0) a ( x , N>, > 0)

<7 = (2 3)

0, w przypadku przeciw nym

5. U w agi k o ń co w e

M odel m atem atyczny m agazynu w ysokiego składow ania m a postać logiczno-arytm etycznych rów nań stanu. W rów naniach tych m ożna dobierać sterow anie tak, by m inim alizow ać przestoje maszyn. W tym celu trzeba opracow ać sym ulator kom puterow y i przeprow adzić eksperym enty sym ulacyjne.

W ybór punktu dla załadow ania kontenera oraz w ybór punktu, z którego kontener nia być w yładow any m ożna uzasadnić jedynie heurystycznie.

M odel m agazynu w ysokiego składow ania w ogólnym przypadku m oże zaw ierać wiele regałów , strefy w regałach oraz w iele wind w regałach. W takim przypadku należy rozw iązyw ać problem y kolizji wind.

L IT E R A T U R A

[1] C zarn o ta J.: Ekspercki system sterow ania m agazynem w ysokiego składow ania. K rajow a K onferencja N au k o w a nt.: "Inżynieria wiedzy i systemy ekspertow e" IS i TS Pol.

W rocław ska, tom II, s. 493-501, W rocław 1993.

[2] M arecki F.: B uffer Store o f Line-Type M odelling. International C onferance on: "C om puter Integrated M anufacturing", Silesian Technical University, Z akopane 1994.

[3] N iglus B.: S terow anie magazynami wysokościowym i. Praca dyplom ow a m agisterska.

Politechnika Śląska, G liw ice 1988.

Recenzent: Prof.dr hab.inz. Jan Kałuski W płynęło do Redakcji do 3 0 .0 4 .1994r.

A b s tra c t-

T he paper presents a m athem atical model o f a high w arehousing store. This, model has the form o f logic-arithm etical state equations. T he state o f the store and state o f the m eans o f transport are regarded in it. M o reo v er the paper defines a control which consists in stating th e follow ing operations (loading, unloading, reloading, transport, w aiting). M inim ization o f a shutdow n time o f m achines to w hich objects are to be delivered, is accepted as a criterion o f control optim ization.

State equations enables to sim ulate a process o f servicing objects in the store using the method o f successive events. Basing on simulation results the best controls are chosen.