ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r ia s E n e rg e ty k a z . 53
_________ 1975 Nr k o l . 420
G erard Kosman
I n s t y t u t Maszyn i U rz ąd z eń E n e rg e ty c z n y c h
NUMERYCZNE MODELOWANIE POLA NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
W ZŁOŻONYCH ELEMENTACH MASZYN CIEPLNYCH
S t r e s z c z e n i e : R o z p a trz o n o z a g a d n ie n ie w y zn a c z e n ia r o z k ła d u n a p rę ż e ń i o d k s z ta ł c e ń w e le m e n ta c h m aszyn c ie p ln y c h p r z y n ie u s ta lo n y m p rz e w o d z e n iu c i e p ł a . Podano m etodę a n a l i z y n a p rę ż e ń te rm ic z n y c h z u - względnieniem r z e c z y w is te j z a le ż n o ś c i w ła s n o ś c i f iz y c z n y c h m a t e r i a ł u od te m p e r a t u r y . U kład równań równowagi ro zw ią zan o m etodą r ó ż n ic skoń
c z o n y c h . W c e lu s p ra w d z e n ia otrzy m an y ch z a le ż n o ś c i przeprow adzono ob
l i c z e n i a r o z k ła d u n a p r ę ż e ń w w a lc u , k tó r e g o p r z e k r ó j p o p rz e c z n y o g ra n ic z o n y j e s t dwoma w spółogniskow ym i e l i p s a m i . U zyskane w y n ik i porów
nano z ro z w ią z a n ie m dokładnym .
1 . W stęp
Rozwój m aszyn i u r z ą d z e ń e n e rg e ty c z n y c h j e s t n ie r o z e r w a ln i e zw iązany z d o sk o n a le n ie m m etod i c h p r o je k to w a n ia , j a k ró w n ież wprowadzeniem nowych t e c h n o l o g ii w y tw a rz a n ia . Uwaga t a o d n o si s i ę w s z c z e g ó ln o ś c i do o b lic z e ń wy
trz y m a ło ś c io w y c h , k tó r y c h w ynik d e c y d u je w głów nej m ie rz e o w yborze c e ch k o n s tr u k c y jn y c h p r o je k to w a n e j m aszyny. D okładna a n a l i z a s ta n u n a p r ę ż e n ia i o d k s z t a ł c e n i a w e le m e n ta c h m aszyn c ie p ln y c h j e s t z n a c z n ie u tr u d n io n a z uwa
g i n a skom plikow any k s z t a ł t i z ło ż o n e w arunki b rz e g o w e .U w z g lę d n ie n ie zmien
n o ś c i w ła s n o ś c i f iz y c z n y c h badanego c i a ł a j e s z c z e b a r d z i e j k o m p lik u je z a g a d n i e n i e . W zw iązku z tym do a n a l i z y warunków p ra c y elem entów maszyn c i e p ln y c h s t o s u j e s i ę ró ż n e m etody p r z y b l i ż o n e .
W n i n i e j s z e j p r a c y z o s t a n i e p rz e d s ta w io n a num eryczna m etoda r o z w ią z a n ia dwuwymiarowego z a g a d n i e n ia te r m o s p r ę ż y s t o ś c i , d l a k tó r e g o składow e s ta n u n a p r ę ż e n i a i o d k s z t a ł c e n i a n i e z m ie n ia ją s i ę w k ie ru n k u j e d n e j z o s i u k ł a du w s p ó łrz ę d n y c h . P odana m etoda pozw ala wyznaczyó n a p r ę ż e n i a i o d k s z ta ł c e n i a w z ło ż o n y c h e le m e n ta c h maszyn wywołane o b c ią ż e n ia m i m echanicznym i o ra z nierów nom iernym n a g r z a n ie m . M ożliwe j e s t p rz y tym u w z g lę d n ie n ie z a le ż n o ś c i s t a ł y c h m a te r ia ło w y c h od te m p e r a t u r y .
2 . Z a ło ż e n ia problem u
R ozpatrzm y c i a ł o , k tó r e g o wymiar w k ie ru n k u o s i x-j j e s t z n a c z n ie w ięk
s z y n i ż p o z o s t a ł e ( r y s . 1 ) . O b c ią ż e n ie p o w ierzchniow e i p o le te m p e ra tu r nie z m ie n ia s i ę w k ie ru n k u o s i z ^ . P rzykładem ta k ie g o c i a ł a może być n p . ł o p a t k a k ie r o w n ic z a w z g lę d n ie ro b o c z a t u r b i n c i e p ln y c h , ożebrow ana r u r a o d p a ro - w nika ( r u r a z p ł e t w ą ) .
P rzeprow adzone ro z w a ż a n ia s łu s z n e s ą d l a n a s tę p u ją c y o h z a ło ż e ń :
a ) p r z e k r ó j p o p rz e c z n y - u k s z ta łto w a n y d o w o ln ie - n i e z m ie n ia s i ę w k i e ru n k u o s i
b ) p o w ie rz c h n ia b oczna j e s t o b c ią ż o n a s i ł a mi s ta ły m i n a d łu g o ś c i i p ro s to p a d ły m i do te g o k ie ru n k u ;
c ) p o le te m p e r a tu ry n i e z a le ż y od w s p ó łrz ę d n e j
d ) zm iana te m p e r a tu ry w c z a s i e ja k ró w n ie ż s t o p i e ń n ie ró w n o m ie rn o śc i n a g r z a n ia c i a ł a s ą t a k d u ż e , że pow odują i s t o t n e zm iany s t a ł y c h m a te r ia ło w y c h . P rz y jm u je my w ię c , że s t a ł e t e z a l e ż ą od te m p e ra tu r y , a tym samym s ą f u n k c ja m i m ie js c a ; e ) p r z e k r o je p o p rz e c z n e p o z o s t a j ą po od
k s z t a ł c e n i u p ł a s k i e , a w y d łu ż e n ie je d n o stkow e w k ie ru n k u osiowym j e s t w ie lk o śc ią s t a ł ą : Ćj = c o n s t . Załóżmy n a w s t ę p i e , że i j » 0 , a n a s t ę p n i e wprowadzimy odpo
w ie d n ie p o p ra w k i.
P roblem w y z n a c z e n ia ro z k ła d u te m p e r a tu r T (x 1 , x 2 , t ) omówiono s z c z e g ó ło wo w p r a c a c h [3,4] . P ra c e t e z a w ie r a j ą sz czeg ó ło w e w zory o b lic z e n io w e d la s z c z e g ó ln ie p r z y d a tn y c h w o b l i c z e n i a c h układów w s p ó łrz ę d n y c h ł ą c z n i e z kon
k re tn y m i p rz y k ła d a m i z a s to s o w a ń . W zw iązku z tym w d a ls z y c h ro z w a ż a n ia c h przy jm iem y , że r o z k ła d te m p e r a tu r y j e s t zn a n y .
3 . num eryczne w y zn a cz en ie p o la n a p rę ż e ń i o d k s z ta ł c e ń
Do w y zn a c z e n ia s ta n u n a p r ę ż e n i a z u w zg lę d n ie n iem z a l e ż n o ś c i s t a ł y c h ma
te r i a ło w y c h od te m p e r a tu r y z a s to s u je m y m etodę s i a t e k ( r ó ż n i c sk o ń c z o n y c h ).
W m e to d z ie t e j f u n k c je zm iennej x n i e s ą podawane d l a każdego p u n k tu b ad a
nego o b s z a r u , a l e t y l k o d l a pewnych je g o punktów 5 ^ (k = 1 , 2 , . . . ) zwanych w ęzłam i i tw o rz ą c y c h s i a t k ę . W c e lu sk o n s tru o w a n ia o d p o w ie d n ie j s i a t k i n a le ż y badane c i a ł o p o d z i e l i ć n a e le m e n ta rn e w ie l o ś c i a n y . P o d z ia ł z ło ż o n y c h elem entów m aszyn p r z y u ż y c iu e le m e n ta rn y c h p ro s to p a d ło ś c ia n ó w n i e zap ew n ia d o s t a t e c z n e j d o k ła d n o ś c i szukanego r o z w ią z a n ia . P roblem z w ię k s z e n ia d o k ła d n o ś c i może byó ro z w ią z a n y dwoma sp o so b a m i: p r z e z w prow adzanie nowych u k ł a dów w sp ó łrz ę d n y c h g w a ra n tu ją c y c h d o k ła d n ie j s z y p o d z i a ł ro z p a try w a n e j b r y ły lu b p r z e z w prow adzenie o d p o w ied n ich popraw ek do wzorów o b lic z e n io w y c h . Roz
p atrzm y p ie rw s z y sp o só b p o s tę p o w a n ia . W zw iązku z tym wprowadźmy s p e c ja ln e u k ła d y w sp ó łrz ę d n y c h k rz y w o lin io w y c h q 1 , q2 , q^ [ć] o p o w ie rz c h n ia c h odpo
w ia d a ją c y c h k s z ta ł to m b r y ł y .
Badaną b r y ł ę d z ie lim y n a e le m e n ta rn e w ie l o ś c i a n y z a pomocą:
- p ła s z c z y z n = c o n s t . - p o w ie rz c h n i
R y s. 1 . Model ł o p a t k i t u r b in y c i e p l n e j
Numeryczne modelowanie pola... 21
'lim = *10 + m ' A<*1
(m ,n , = 0 i 1 , i 2 , . . . )
*2n = *20 + n * A<»2
P o w ie rz c h n ie środkowe q.^Q 1. q2Q można p r z y ją ć d o w o ln ie .
P u n k ty o b lic z e n io w e o b ie ra m y w śro d k a c h ś c ia n b o c z n y c h . R ozpatryw ane z a g a d n ie n ie sp ro w ad za s i ę do w y z n a c z e n ia p rz e m ie s z c z e ń w p u n k ta c h o b lic z e n io wych Um n w k ie ru n k u o s i o r a z w p u n k ta c h n w k ie ru n k a c h o s i q2 [7]
( r y s . 2 5 . Po w y zn a cz en iu p r z e m ie s z c z e ń można w p r o s t y sp o só b w yznaczyć od
k s z t a ł c e n i a a n a s t ę p n i e n a p r ę ż e n i a .
R y s. 2 . P o d z ia ł ró ż n ic o w y o b s z a ru p ła s k ie g o
4 . Różnicowe ró w n a n ia równowagi Odpow iednie z a le ż n o ś c i m iędzy prze
m ie s z c z e n ia m i w p u n k ta c h s ą s i e d n i c h uzyskam y z rów nań rów now agi.R ów nania t e we w sp ó łrz ę d n y c h k rzy w o lin io w y c h s p ro w a d z a ją s i ę w badanym przy p ad k u (H- = 1 , 9 / 9 q , = 0 , v = 0 ) do p o s ta c i [5.2]
i , j = 1 ,2 j i*S P rzyjm ujem y, że ró w n a n ie równowagi w k ie ru n k u o s i q 1 b ę d z ie s p e łn io n e w w ę z ła c h (I n n a to m ia s t ró w n a n ie d r u g ie w w ę z ła c h ffm n * R ozpatrzm y rów n an ie równowagi w k ie r u n k u o s i q2 w p u n k c ie WQ q ( r y s . 2 ) . Z a s tę p u ją c pochodne r ó ż n ic a m i skończonym i o trzym ujem y
Aą.,!!., A ^ + A q i A ^ ( © g - 6 . , ) + AągHg A ^ ^ + 2 A q 26 1 2 A 1H2 = 0 . ( 2 )
W ró w n a n iu tym za sto so w a n o n a s tę p u j ą c e o z n a c z e n ia [1]
F ( m , n ) a p <<llBł.<l2 n > ,
A ^ i m . n ) a F(m+1 ,n ) - F (m - 1 ,n ).
Dodatkowo przy jm u jem y , że w a r to ś c i dow olnej f u n k c j i P w badanym p u n k c ie (m = 0 i n = 0) podawane będ ą bez dodatkow ych o z n a c z e ń , w ięc
P = F ( 0 , 0 ) ,
A jP = A i P ( 0 , 0 ) . i = 1 ,2
N a p rę ż e n ia w ró w naniu (2 ) można w y ra z ić p r z e z o d k s z t a ł c e n i a n a s tę p u ją c o
Q± = (2fŁ +fc )£ t + fcćj - c jT i , j = 1 ,2 » i* J
= X ( ć 1 + ć g ) - u T
«12 - 2 ¿ t ó 12 g d z ie :
n(T ) = --- ^ 1 1 _____, M t ) „ Ę (T )_2(T )__________ (T) =
2 [i + v(T )] [i + o(T)] [i - 2 o(T )] 1 - 2 ^ T )
U w zg lę d n iając z w ią z k i m iędzy o d k s z ta łc e n ia m i i p rz e m ie s z c z e n ia m i [5] o t r z y muj emy
6 , S u ^ w 3H1 > . X f 9w . u 9H2v ,
Gi = (3 q 7 + r q + + t ę 5 5 7 * - w T *
9H
®3 - x (*7 ^ + + ^ " “ T* (4)
°12 “ 2^ [hJ ( H7) + h; •
Z a le ż n o ś ć n a p r ę ż e n ia 5^ od p rz e m ie s z c z e ń uzyskam y z p ie rw sz e g o z rów
nań (4 ) p o s łu g u ją c s i ę r e g u łą p rzem iany c y k l i c z n e j . Z a s tę p u ją c w z a le ż n o ś c ia c h (4 ) pochodne c z ąstk o w e ró ż n ic a m i skończonym i można n p . n a p r ę ż e n ie
©1 p r z e d s ta w ić w fo rm ie
Numeryczne m odelow anie p o l a . . . 23
W podobny sp o só b można w y ra z ió p o z o s ta ł e n a p r ę ż e n i a w y s tę p u ją c e w ró w naniu ( 2 ) . Otrzymamy w ted y ró ż n ic o w e ró w n a n ie równowagi w yrażone p r z e z p rz e m ie s z c z e n ia
[d3 + E3 (1,0^W2>0 + [ -d3 + E4 ( - i . o ) ] w _ 2f0 + [a1 ( 0 ,1 ) - c 3]w 0f2 +
+ [a2 ( 0 , - 1 ) + c 3]w 0 ł _2 - |^A2 ( 0 , 1 ) + A ^ o . - D +
c4
+ D4 + E4 ( 1 ,0 ) ++ E3 (-1 ,0 )]w 0>0 + [a3 ( 0 ,1 ) - C1 + D1 + £ , ( 1 , 0 ) ] ^ ^ - [ a4 (0 ,1 > - Cg +
- D.| + E1 ( - 1 , 0 ) ] u _ 1>1 + [a4 ( 0 , - 1 ) + C2 - C2 + E2 ( 1 ,0 ) ] U_n - 1 +
- [a3 ( 0 , - 1 ) + 0 , + D2 + E2 ( 1 , 0 ) ] u i t _ 1 = - Tq ^_1 ) (6 a)
W sp ó łcz y n n ik i w y s tę p u ją c e w o s ta tn im ró w n an iu z e s ta w io n o w t a b l i c y 1 . P o d s ta w ia ją c do ty c h z a l e ż n o ś c i odp o w ied n ie w a r t o ś c i w spółczynników Lamego otrzymamy w zory sz c z e g ó ło w e d l a elem entów p r o s to k ą t n y c h , w alcowych i innych.
T a b l ic a 1 W sp ó łc z y n n ik i równań p rz e m ie sz c z e n io w y c h
- Z a g a d n ie n ie p ł a s k i e - W spółczynni
k i
Dowolny elem e n t p ł a s k i U kład w s p ó łrz ę d n y c h : q .,
,
q2 W sp ó łc z y n n ik i Lamego:,
HgElem ent p r o s t o k ą tn y X1
*
x2 1 . 1Elem ent walcowy r , 0 1. r
1 2 3 4
A1 ,2
A q.
x.
v A q.(2(,
+X) u 2A q2 -
j f l ęA q2
AgH1A x.
( 2 ^ +ł>)SE^
<2^
A3 ,4 X
K± l Ą ż h . Ą L
°1 *2 j ( 2 ^ + X ) i ^ ^ H g j
0 0
C3
XA2H1 Aq.,
0 0
C4
(A - H . ) 2 Aq
(2^ +A) ' SqJ
0 0c . d . t a b l i c y 1
1 2 3 , 4
D1 .2
^ 1 * 2 - A2H1,
- '2H2 1 STTJ' 0
D3
Aq2
M , ^ 0 ¿£ ¿ 0
D4 V- Aq2 , a „ )2
^ ( 1 2 0 ^A©Ar
r
* 1 .2
_ f* V+ 1 , f-
E3 ,4 X - A q2(lL, T A,iH2)
7 iq 7 (H2 + ^ '
Ax2 A 0 f _ — A r»
^ “ ( r + T }
F1 coH^ A q 1 w A x 1 co A r
*2 <T A<11 h, 0 0
D la punktów o b lic z e n io w y c h ze w n ę trz n y c h ( r y s . 2 ) o dpow iednie z a l e ż n o ś c i m iędzy p o m ie sz c z e n ia m i w p u n k ta c h s ą s i e d n i c h otrzym amy w podobny sposób wy
ch o d z ąc z rów nań warunków b rzegow ych. Po p r z e k s z t a ł c e n i a c h mamy
[ - D3 + E 4 (-1,0)]w_2f0 + [a., (0,1) - C3]w0f2 + [a2 ( 0 , - 1 ) + C3] w 0f_2 +
- [ a 2 ( 0 ,1 ) + A ^ o . - O + C4 - D3 + D4 + E3 (-1,0)] WQ>0 + [ a 3 (0 ,1 > - C 1 +
+ D ^ u ^ , - [a4 ( 0 , 1 ) - C2 - Dn + E , ( - 1 , 0 ) J U_ 4 ^ 1 + |a4 ( 0 , - 1 ) + C2 - Dg +
+ - [a3 ( 0 , - D + O, + - T0 f - 1 )
<6b)
Numeryczne m odelow anie p o l a . . 25
D la punktów n a p o w ie rz c h n i c i a ł a otrzym ujem y
¡A2 ( 0 , - 1 ) + c 3]w 0>_2 - [ a . , ( 0 , - 1 ) + o3 + \ C4] w0 f0 +
( 6 c )
Równania (6 ) d o ty c z ą punktów n p o ło ż o n y ch n a ś c ia n k a c h p r o s to p a d ły c h do o s i q „ . Równania równowagi d l a punktów U otrzym amy p r z e z c y k l ic z n ą
> / m ,n
zm ianę w skaźników .
R o z w iąz u jąc u k ła d rów nań d l a w s z y s tk ic h punktów o b lic z e n io w y c h o trzym u
jemy s t a n p r z e m ie s z c z e n i a . N a p rę ż e n ia otrzym ujem y z rów nań (4 ) z a s t ę p u j ą c w podanych w zo rac h pochodne c z ą stk o w e ró ż n ic a m i sk ończonym i.
5 . W yznaczenie n a p r ę ż e ń osiow ych
O b lic z o n y w yżej s t a n n a p r ę ż e n i a odpow iada z a ło ż e n iu ¿3 = 0 . J e ż e l i c i a ł o p o s ia d a końce sw obodne, t o do o trzym anego r o z w ią z a n ia n a l e ż y dodaó j e d nowymiarowy s t a n n a p r ę ż e n i a
S t a ł e a , b , c n a l e ż y w yznaczyć z warunków równowagi s i ł i momentów. Wypad
kowa s i ł a o sio w a o r a z wypadkowe m om eny w zględem o s i i * 2 muszą być rów
ne z e r u . Otrzym ujem y w ięc z a l e ż n o ś c i
(7 ) S tą d n a p o d s ta w ie z a ł o ż e n i a e , ozrzym ujem y
63 = a + b i^ + cx g . (S)
J f m 3 ♦ < $ > « . o
(9 ) S
lu b po u w z g lę d n ie n iu (8 )
J | (0 ^ + a + b x 1 + cX g)x2dS = O S
R ozw iązu jąc podany u k ła d równań mamy
g d z i e :
a = - -s6
b _ . B2 6 J 11 - B1 | J 12 ( 1 0 )
J 11J 22 " J 12
B*5J 22 “ B2 6 J 12
c = - ?---
J 1 1 J 2 2 " J 12
% = iisds* jij - i K xjds
Bi 6 - i 6 3dS
(1 1)
N a p rę ż e n ia ©1 , 6g o ra z 6 , 2 n i e u l e g a j ą z m ia n ie . Z n ając nowy, wypadkowy s t a n n a p r ę ż e n i a można w yznaczyć s t a n o d k s z t a ł c e n i a , a n a s tę p n i e rz e c z y w i
s t e p r z e m ie s z c z e n ia .
6 . R ozkład n a p rę ż e ń w w alcu
W o p a r c iu o p rz e d s ta w io n y a lg o ry tm o b l i c z e ń przeprow adzono a n a l i z ę p o la te m p e r a t u r i n a p r ę ż e ń w w a lc u , k tó re g o p r z e k r ó j p o p rz e c z n y o g ra n ic z o n y je s t dwoma w spółogniskow ym i e l i p s a m i . O b lic z e n ia wykonano d l a n a s tę p u ją c y c h wa
runków je d n o z n a c z n o ś c i:
a ) p o w ie rz c h n ia z e w n ę trz n a
x2 x2
X1 . ^
s t t c + oyrass' = 1
b ) p o w ie rz c h n ia w ew nętrzna
x2 x 2
X1 . 2
0,1075 + 075T = 1
c ) te m p e r a tu r y n a p o w ie rz c h n i w ew n ętrzn ej i z e w n ę trz n e j
Tw = 150°C Tz - 2 0 ° C
Num eryczne m odelow anie p o l a . . . 27
d ) w ła s n o ś c i f iz y c z n e m a t e r i a ł u w a lc a
E = 2 ,0 6 . 1 0
5
j j j f , <X= 1 3 ,6 . 10"6 ¿5
v> = 0 ,3Ze w zględu n a r o d z a j p r z y j ę t y c h warunków brzegow ych w y s ta rc z y r o z p a t r y wać je d y n ie ć w ia r tk ę e le m e n tu . U w z g lę d n ia ją c k s z t a ł t p r z e k r o ju p o p rz e c z n e go w a lc a w ygodnie j e s t z a sto so w a ć do je g o p o d z i a łu n a e le m e n ta rn e w i e l o - ś c ia n y w s p ó łrz ę d n e e l i p t y c z n e x , y o p o w ie rz c h n ia c h o k r e ś lo n y c h rów naniam i
g d z ie w naszym p rz y p a d k u c = 0 ,3 1 2 5 m.
P ie rw sz e z rów nań p r z e d s ta w ia r o d z in ę e l i p s w sp ó ło g n isk o w y c h . Na k a ż d e j z ty c h e l i p s x ma w a r to ś ć s t a ł ą , a z m ie n ia s i ę y . D ru g ie ró w n a n ie d l a s t a ł e j w a r t o ś c i y p r z e d s ta w ia h i p e r b o l ę , k t ó r a ma t e same o g n is k a co e l i p s a . Tak w ięc ró w n a n ie t o p r z e d s ta w ia r o d z in ę w sp ó łogniskow ych h i p e r b o l , n a k aż
d e j z k tó r y c h y J e s t s t a ł e , a x zm ien n e .
W c e l u r o z w ią z a n ia sform ułow anego z a d a n ia o p is a n ą m etodę num eryczną po
d z i e lo n o bad an y p r z e k r ó j n a e le m e n ta rn e w y c in k i (4 w k ie ru n k u o s i x o ra z 8 w k ie ru n k u o s i y ) . P unkty o b lic z e n io w e o b ran o w śro d k a c h ś c i a n b o c z n y c h . W o p a r c iu o podane w yżej z a le ż n o ś c i można d l a każdego p u n k tu o b lic z e n io w e g o w y p isa ć ró w n a n ie równowagi w y ra ż a ją c e z a le ż n o ś ć m iędzy p rz e m ie s z c z e n ia m i w p u n k ta c h s ą s i e d n i c h . U zyskano w t e n sp o só b 76 rów nań 0 76 n iew iadom ych. E- le m e n ty m a c ie rz y p r z y niew iadom ych s ą je d y n ie f u n k c ja m i wymiarów s i a t k i o - r a z p o ło ż e n ia p u n k tu o b lic z e n io w e g o . E lem enty kolum ny wyrazów w olnych s ą
2
“2 2 2
c c o s y c s m y 1
R ys. 3 . R o zk ład n a p r ę ż e ń obwodowych i osiow ych w w alc u
dodatkowo z a le ż n e od t e m p e r a t u r y . W ro z p a try w a n e j m e to d z ie m a c ie rz p rz y niew iadom ych j e s t m a c ie rz ą pasmową, t z n . n ie z e ro w e e le m e n ty s ą zgrupow ane w okół g łó w n ej p r z e k ą t n e j . S zero k o śó pasma i je g o p o ło ż e n ie z a le ż y od nume
r a c j i punktów o b lic z e n io w y c h .
Do r o z w ią z a n ia podanego u k ła d u za sto so w a n o m etodę o ptym alnego elim in o w a
n i a b ę d ą c ą pewną m o d y f ik a c ją m etody G au ssa. Celem u z y s k a n ia m o ż liw ie du
ż e j d o k ła d n o ś c i w ykonania o b l i c z e ń zasto so w an o sposób e l i m i n a c j i z wyborem m aksym alnego co do b ez w zg lę d n ej w a r to ś c i e le m e n tu w rozpatryw anym w ie r s z u .
Wyniki o b l i c z e ń p o la n a p r ę ż e ń p rz e d s ta w io n o na r y s . 3 . U s ta lo n y r o z k ła d t e m p e r a tu r w w a lc u , n ie z b ę d n y do o k r e ś l e n i a n a p r ę ż e ń , wyznaczono m etodą b i
la n só w e le m e n ta rn y c h [4] o ra z p r z y b liż o n ą m etodą a n a lit y c z n ą [3] .
Sform ułow any p ro b lem r o z w ią z a ł w odm ienny sp o só b Bażenow [ 8 ] , w ykorzy
s t u j ą c m etody odw zorow ania kon fo rem n eg o . Z p o ró w n an ia obu wyników o b lic z e ń w y n ik a, że n a p r ę ż e n i a w yznaczone n u m e ry c zn ie mało r ó ż n i ą s i ę od r e z u l t a t ó w podanych w [8] . R óżnice pom iędzy obu w a rto ś c ia m i n a p r ę ż e ń osiow ych i obwo
dowych we w s z y s tk ic h p u n k ta c h p r z e k r o ju n ie p r z e k r a c z a j ą 2%. W iększe od
c h y ł k i w y s tę p u ją p r z y w y zn aczen iu n a p r ę ż e ń prom ieniow ych i w e k s tre m a ln y c h p u n k ta c h dochodzą do o k . 5 ^ . N ale ży je d n a k d o d a ć , że b ez w zg lęd n a w a rto ś ć n a p r ę ż e ń prom ieniow ych j e s t m a ła , a w ięc j e j wpływ n a w a r to ś ć n a p r ę ż e n i a za
s tę p c z e g o znikom y.
Z e s ta w ie n ie w a ż n ie js z y c h o zn a c z e ń
» x 2 * x 3 “ w spółrzędne p ro s to k ą tn e
* ^ 2
9
x 3 " w sp ó łrz ę d n e k rzy w o lin io w eu , w - p r z e m ie s z c z e n ia w k ie ru n k u o s i q .j, q 2 U, W - p r z y b liż o n e w a r to ś c i p rz e m ie s z c z e ń u , H1f H2 - w s p ó łc z y n n ik i Lamego
r , 0 - w s p ó łrz ę d n e walcowe y - w s p ó łrz ę d n e e l i p t y c z n e
6 - n a p r ę ż e n ie
ć - o d k s z ta ł c e n i e
T - te m p e r a tu r a
E - moduł Younga
- w sp ó łc z y n n ik P o is s o n a
Num eryczne m odelow anie p o l a . . 29
LITERATURA
[1] C o l l a t z L .s M etody num eryczne ro zw ią z y w a n ia rów nań ró ż n ic z k o w y c h , PWN, W arszawa, 1 960.
[2] G o ld e n b la t I . I . s R a s c z e ty n a p ro c z n o s t i k o l e b a n i j a w u s ło w ij a c h wy
s o k ic h t e m p e r a t u r . M a s z in o a tr o je n i e , Moskwa, 1965.
[3] Kosman G .: P o la te m p e r a tu r w pow łoce o dowolnym p r z e k r o ju poprzecznym i p o d łu żn y m . ZNPS, E n e rg e ty k a , z . 4 5 , 1973.
[4] K u ta rb a K ., C h m ieln iak T . , Kosman G .: B ad ania n ie u s ta lo n y c h p ó ł tem pe
r a t u r w z ło ż o n y c h e le m e n ta c h m aszyn, ABM, z . 3 , 1971.
[5] Ł u rie A . J . : P r o s tr a n s tw ie n n y je z a d a c z i t e o r i i u p r o g 0 3 ti, GTTJ, 1955.
[ó] M argenau H .: M atem atyka w f i z y c e i c h e m ii. PWN, W arszawa 1956.
[7] T ie p ło w y je n a p r i a ż e n i j a w e le m e n ta c h k o n s t r u k c j i , Wypusk 7 , 1967- [s] U godczikow A .G. i in n i* R e sz e n ie k ra je w y c h z a d a c z p ła s k o j t e o r i i upru-
g o s t i n a c ifr o w y c h i analogow ych m a s z in a c h , Moskwa 1970.
P ra c a w p ły n ę ła do R e d a k c ji w d n iu 20 m arca 1974 r o k u .
HHCJIEHHOE MOflEJIHPOBAHKE HAUPfflKEHHOrO COCTOHHHH B CJI03KHHX 3JIEMEHTAX MAMUH
P e 3 to m e
P a ó o i a cokep*HT HeKOTopne p e 3 y jrB ia m accjieAOBaHHfi TepMHiecxnx H anpaae- hh8 b c a o i h h i 3JieMeHTax MamHH. IlpeAOTaBJseu MeTOA onpeAejieHHu HanpaaeHuił ąjik
npoH3BOJiŁHoił 3aBHCHiioCTH MexaHHiecKHX napaM eipoB M aiepnajia o t TeM nepaTypa, ypaBHeHHH paBHOBecHH pemeHhi mctoaom KOHe^HHX p a 3 H 0 d e a . noApoSnue p a c ^ e m CAejiaHH AJM TOJICTOCTeHHOii ĘHAHHApHHeCKOa OÓOJIO^KH. IIOJiy>ieHHiie pe3yjIbTaTH CpaBHeHU C TOHHHMH.
A NUMERICAL MODELING OP THE STATE OP STRESS IN COMPLICATED MACHINE PARTS
S u m m a r y
I n t h i s p a p e r a m ethod f o r d e t e r m in a tio n o f th e t h e r m a l s t r e s s i n m ach i
ne p a r t s o f c o m p lic a te d fo rm f o r r e a l te m p e r a tu r e f u n c t i o n o f c o e f f i c i e n t s o f e l a s t i c i t y h a s b ee n p r e s e n t e d . E q u a tio n s o f e q u i l i b r i u m by way o f f i n i t e d i f f e r e n c e s hav e b e e n s o l v e d .
I n o r d e r t o c o n f r o n t th e r e s u l t s o b ta in e d by means o f t h e p r e s e n t m e t
hod and a n a l y t i c a l s o l u t i o n s th e o n e -d im e n s io n a l th e rm a l s t r e s s d i s t r i b u t i o n i s com puted i n a t h i c k - w a l l e d c y l i n d r i c a l s h e l l .
