Klasy ilorazowe i podziały

Mieczysław Lubański

Klasy ilorazowe i podziały

Studia Philosophiae Christianae 8/2, 37-50

1972

S tu d ia P h ilo s o p h ia e C h ris tia n a e A T K

8/1972/2

M IEC ZY SŁA W L U B A Ń S K I

K L A SY ILORAZOWE I PODZIAŁY

1. W stęp . 2. P o d z ia ł z b io ru . 3. Z b ió r ilo ra z o w y . 4. P o d z ia ł z b io ru a z b ió r ilorazow y. 5. K o n s tr u k c ja z b io ru ilo ra z o w e g o a c zy n n o ść a b s tra h o w a n ia .

6. U w a g a k o ń co w a.

1. W stęp.

W yraz podział albo klasy fik acja (term inów ty ch używ ać bę­ dziemy zam iennie) może być rozum iany co najm n iej dwojako. Po pierw sze: w znaczeniu rzeczow ym (kiedy chodzi o sam ą czynność dokonyw ania fizycznego w yodrębniania jednych przedm iotów spośród drugich), po dru g ie: w znaczeniu logicz­ nym (kiedy w yodrębniam y m yślnie podzespoły danej klasy obiektów )ł . N as in te resu je podział w znaczeniu logicznym.

K ażda klasy fik acja (w znaczeniu logicznym) jest dokonyw a­ na w oparciu o pew n ą zasadę podziału. Je d en i te n sam zespół pewnych elem entów m ożna rozm aicie klasyfikow ać zależnie od przyjętej zasady podziału. K lasyfikow anie jest zaliczane do wstępnych czynności w ied zotw órczy ch 2. U w aża się, że klasy­ fikacja spełnia, co najm niej, p o tró jn e zadanie: 1° porządkuje m ateriał poznaw czy nauki, 2° um ożliw ia opis klasyfikacyjny danego przedm iotu rozw ażanej nauki, 3° w skazuje n a celowość

1 P o r. n p . T. K o ta rb iń s k i, E le m e n ty te o r ii p o z n a n ia , lo g ik i fo rm a ln e j i m etodologii n a u k . W ro c ła w — W a rs z a w a — K ra k ó w 1961,2 356.

w prow adzania now ych pojęć do danej nauki. Przez to przy ­ czynia się do rozw oju danej nau k i oraz do rozbudow yw ania jej term inologii. J e s t więc zabiegiem w iedzotw órczo w ażnym 3. Z drugiej strony, w m atem atyce, pow szechnie stosuje się zabieg polegający n a tw orzen iu podklas danego z b io ru4 przy pom ocy danej relacji rów noważności. Skoro już zostały utw o­ rzone tzw. klasy ab strak cji relacji równoważności, k on stru u je się z danego zbioru now y zbiór, k tó ry zwie się zbiorem ilorazo­ wym , ze w zględu na d aną relację równoważności. W te n sposób postępuje się np. w przypad k u k o nstruow ania ze zbioru liczb n a tu ra ln y c h klasy liczb całkow itych, ze zbioru liczb całkow i­ ty c h klasy liczb w ym iernych, ze zbioru liczb w y m iern ych klasy liczb rzeczyw istych. Zawsze odnosim y się tu do odpow iedniej relacji rów now ażności zachodzącej dla wyjściow ego zbioru, z którego rozpoczyna się k o n stru k cja now ych tw orów m ate­ m atycznych 5.

W ydaje się być czym in nym problem klasyfikacji, czym in­ ny m zaś konstruow anie klas ilorazow ych w oparciu o relację równoważności, zachodzącą dla elem entów zbioru wyjściowego. Jednakże, w sam ej rzeczy, nie są to istotnie różne zabiegi. Ce­ lem a rty k u łu jest w skazanie na zachodzące w zajem ne zależ­ ności m iędzy w spom nianym i zabiegam i naukotw órczym i·

2. Podział zbioru

Rozpoczniem y od przypom nienia określenia podziału, albo klasyfikacji.

D efinicja 2. 1. Niech d any będzie zbiór n iep u sty A. K lasa jego zbiorów Aj, i = 1, 2 . . . , n, nazyw a się podziałem danego zbioru, jeżeli spełnione są następ u jące dw a w aru nk i:

3 J a k w y ż e j, 244.

4 T e rm in ó w „ z b ió r“ o ra z „ k la s a “ u ż y w a ć b ę d z ie m y w ty m a rty k u le , ze w z g lę d ó w sty listy c z n y c h , z a m ie n n ie .

5 Zob. np. H. R a sio w a , W stę p do m a te m a ty k i w sp ó łc z e sn e j, W a rs z a ­ w a 1968, 85—91.

1 ° A; ■ Aj = O dla i φ j (w arunek rozłączności), 2° A = A i + A2 + . . . + A n (w aru n ek adekw atności). W arunek pierw szy mówi, że podzbiory A; są p aram i roz­ łączne. W aru n ek d ru g i głosi, że sum a w szystkich podzbiorów daje cały zbiór w yjściow y A.

P rz y k ła d y podziałów: 1) Z biór w szystkich ludzi sk lasy fik u­ jemy, jeżeli do jedn ej k lasy zaliczym y w szystkich m ężczyzn, do d ru g iej zaś — w szystkie kobiety. Z asadą podziału jest tu ta j własność: być tej sam ej płci. D w a elem en ty x oraz y rozw a­ żanego zbioru należą do jednej i tej sam ej klasy w te d y i tylko gdy x oraz y są tej sam ej płci. N ietru d n o spostrzec, że w a ­ runki 1° oraz 2° definicji 2.1. są spełnione.

2) Zbiór ludzi sklasy fik ujem y , jeżeli w ydzielim y w nim trz y klasy następująco: klasę pierw szą stanow ić będą ci wszyscy, którzy posiadają stałe zam eldow anie w jak im ś m ieście w oje­ wódzkim; klasę d ru g ą te osoby, k tó re są zam eldow ane na stałe w m ieście pow iatow ym ; klasę trzecią osoby zam eldow ane na stałe w jak im ś inn ym m ieście, osadzie, czy wiosce. Z asadą po­ działu jest tu własność: posiadać stałe zam eldow anie w danego rodzaju mieście. J e s t widoczne, że oba w aru n k i, w ym agane przez d efinicję 2.1 są spełnione.

N ajpro stszym rodzajem podziału logicznego jest tzw . podział dychotomiczny, czyli dw udzielny. W ty m p rzy p ad k u d any zbiór dzieli się na dw ie k lasy w te n sposób, że do jednej klasy zalicza się te i ty lk o te elem enty, k tó re posiadają d aną cechę (względnie zespół cech), do dru giej zaś elem enty pozostałe, tj. nie posiadające danej cechy (względnie danego zespołu cech). Tutaj zasadą podziału jest in te resu jąc a nas cecha (względnie zespół cech).

Zachodzi n astęp u jące

T w ierd zenie 2.2. Niech dane będą dw a podziały niepustego zbioru A. Niech podział pierw szy będzie realizow any przez klasę podzbiorów {Aj}, zaś podział d ru g i — przez klasę pod­

zbiorów {B j}. U tw órzm y now ą klasę podzbiorów { C k}, gdzie Ck = Aj -B j, dla w szystkich m ożliw ych p a r i, j. W ówczas klasa Ck stanow i podział zbioru A.

Dowód. W arunek rozłączności dla zbiorów Ck w ynika łatw o z zachodzenia tegoż w a ru n k u zarów no dla zbiorów A; oraz Bj.

Podobnie w a ru n e k adekw atności spełniony i dla pierwszego i dla drugiego podziału im p liku je spełnienie się go także dla rozw ażanego nowego podziału Ck.

Istotnie, niech Ck = A ; · Bj, Cp = A q . B r , gdzie к ф p, czyli (i, j) Ф (q, r), a więc bądź i ф q, bądź j ф r, bądź i jedno i drugie. W ówczas, p rzy jm u jąc i ^ q, będziem y m ieć Ck · Cp =

= (A; . B j) . ( A q . B r) = (Aj * A q) · (B j " B r) = O * (Bj ■ B r) =

= O, zgodnie ze znanym i praw am i alg ebry zbiorów. Podobnie dowodzi się w pozostałych przypadkach. A więc w a ru n e k 1° de­ finicji 2.1 jest spełniony przez klasę podzbiorów Ck.

Z definicji podzbiorów Ck w ynika, że dla każdego к istn ieją tak ie i oraz j, że C k c A j oraz C k(~Bj. Z atem będziem y mieć;

C k —(— Сз ~ l · ··■ -(- C s = A k · B i + A j · B2 ~ l · ··· + A i · B t -f- -f- A2 · B i + A2 · B2 + A2 + B3 -f- ··· -)- A2 · B t + ··· + + A„ · Bi + A u · B2 + — + A u · B t = A i ; (Bi + B2 + -)- у -(- Bt) + A2 · (Bi + B2 + ··· + Bf) -j- ···. + A u · (Bi + B2 + ··· + B t) = Ai · A + A3 ? A-f- ··· + A u · A = (Ai -f-+ A2 + ··· + A u) · A = A · A = A. Zatem w a ru n e k 2° de­ finicji 2 · 1 jest rów nież spełniony,

rów nież spełniony.

P rz y jm u je się n astęp u jącą um owę:

D efinicja 2. 3. Podział zbioru A, o k tó ry m jest m ow a w tw ie r­ dzeniu 2.2, nosi nazw ę iloczynu dw u podziałów danego zbioru. P rzy k ład . Rozw ażm y zbiór w szystkich ludzi. Z astosujm y ja ­ ko zasadę podziału spełnienie się obu w aru n kó w w ym ienionych w podziałach z p rzy k ład u 1) oraz 2). O trzy m any now y podział zbioru w szystkich ludzi, będący iloczyn dw u pierw szych po­ działów. Składać się on będzie z 6 elem entów : klasy mężczyzn posiadających stałe zam eldow anie w jakim ś m ieście w ojew ódz­ kim, klasy kobiet zam eldow anych na stałe w jakim ś m ieście

wojewódzkim, k lasy m ężczyzn zam eldow anych n a stałe w ja ­ kimś m ieście pow iatow ym , k lasy kobiet zam eldow anych na stałe w jak im ś m ieście pow iatow ym , k lasy m ężczyzn p osiadają­ cych stałe zam eldow anie w ja k ie jś innego ro d zaju (niż wyżej wymienione) m iejscow ości, klasy kobiet zam eldow anych na stałe w jak ie jś in n ej (niż w yżej w ym ienione) m iejscowości.

Można m ówić o podpodziale danego podziału, w zględnie o podziale su bteln iejszy m w stosunku do danego podziału. Term inologię tę precy zu je n astęp u jąca

D efinicja 2.4. Podział [Bj ] zbioru A nazyw a się su btelniejszy od podziału [Cj] zbioru A (inaczej: jest jego podpodziałem ), jeżeli dla każdego w skaźnika i istn ieje ta k i w skaźnik j, że podzbiór Bj jest za w a rty w podzbiorze Cj (w skaźniki i oraz j przebiegają pewme, na ogół różne, ilości elem entów ).

Z definicji 2.4 i 2.3 oraz tw ierd zenia 2.2 w ynika n astępu jące Tw ierdzenie 2.5. Iloczyn dw u podziałów danego zbioru jest podpodziałem każdego z podziałów składow ych.

3. Zbiór ilorazow y.

Teraz, z kolei, przejdziem y do om ów ienia k o n stru kcji zbioru ilorazowego. W ty m celu przypom nim y n ajp ierw pojęcie re ­ lacji równoważności.

Definicja 3.1. Niech R będzie rela cją dw uczłonow ą, określo­ ną w jakim ś zbiorze A. R elację R nazyw a się rów now ażnością, jeżeli spełnione są n astęp u jące trz y w aru n k i:

1) dla każdego x£A zachodzi xR x,

2) dla każdych dw u elem entów x, y 6 A zachodzi im plikacja: jeżeli xRy, to yRx,

3) dla każdych trzech elem entów x, y, z 6 A m a m iejsce w y ­ nikanie: jeżeli xR y oraz yRz, to xRz.

Jeżeli rela cja R spełnia w a ru n e k pierw szy, nazyw a się re ­ lacją zw rotną, jeżeli spełnia w a ru n e k d ru gi — rela cją sym e­ tryczną, jeżeli w a ru n e k trzeci — rela cją przechodnią. Można

więc powiedzieć, że R jest rela cją równoważności w ted y i ty l­ ko, gdy R jest zarazem rela cją zw rotną, sym etryczną i p rze­ chodnią.

P rzy kład ó w relacji rów now ażności m ożna podawać bardzo dużo. W śród zbioru w szystkich ludzi relacja określona n astęp u ­ jąco: posiadać ten sam w zrost, jest relacją równoważności. Zachodzenie w ym aganych trzech w arunk ów w definicji 3.1 jest widoczne. Podobnie rela cje rów ności liczb, przystaw ania fig u r geom etrycznych, rów noległości prosty ch n a płaszczyźnie, równolegości płaszczyzn w p rzestrzeni są relacjam i rów now aż­

ności, co łatw o jest spraw dzić. *

Z am iast rela cja rów now ażności m ówi się także k ró tk o rów ­ noważność.

P rzy p u śćm y teraz, że d an y m am y jakiś niep u sty zbiór A i rela cję rów now ażności (dw uargum entow ą) R określoną w ty m zbiorze. U m ów m y się zaliczać do jed n ej k lasy te elem enty x zbioru A, m iędzy k tó ry m i zachodzi rów now ażność R. D la do­ w olnego a 6 A zbiór tych w szystkich x6A, któ re pozostają z elem en tem a w relacji R oznaczać będziem y przez [ a ] . Zw y­ kle zbiór [a] zwie się w a rstw ą zbioru A utw orzoną przez ele­ m en t a6A. E lem ent a zwie się rep re z en ta n te m w a rstw y [a]. Ze zw rotności rela cji R w ynika, że a 6 [a]. Jeżeli jak iś ele­ m en t b (j[a], to wówczas [b] = [a]. Rzeczywiście. Niech bo­ w iem jak iś x6[a]. W ówczas jest xRa. Skoro zaś b6[a], to jest także bRa. A le z sy m etrii relacji R w ynika, że zachodzi także aRb. W obec tego, z obu w arunków : xR a oraz aRb, na m ocy przechodniości rela cji R w ynika xRb. znaczy to, że x$[b], czyli klasa [a] je s t zaw arta w klasie [ b ] . Z upełnie podobnie w y k azuje się, że klasa [b] jest zaw arta w klasie [ a ] . M am y zatem [a] = [b]. P rzeto różne w arstw y nie posiadają param i elem entów w spólnych, są więc p aram i rozłączne. Jednocześnie sum a w szystkich w arstw , k tó re tw o rzy dana rela cja rów now aż­ ności w zbiorze A daje, oczywiście, cały zbiór A. O trzy m ujem y więc

T w ierdzenie 3.2. K ażda rela cja rów now ażności R zadana w zbiorze A określa jego podział na klasy.

Zazw yczaj zbiór w a rstw zbioru A otrzym anych p rzy pom ocy pewnej rela cji rów now ażności R, określonej dla elem entów rozważanego zbioru, oznacza się przez A/R. Zbiór te n zwie się zbiorem ilorazow ym , albo klasą ilorazow ą (dokładniej: zbiorem (klasą) ilorazow ym (ilorazową) w yznaczonym (wyzna­

czoną) przez daną rela cję równoważności).

M ożna m ówić o odw zorow aniu zbioru A na zbiór ilorazow y A/R, określonym następująco: dow olnem u elem entow i x zbioru A przyporządkow uje się w a rstw ę [x], do k tó rej on należy. Od­ wzorowanie to nazyw a się odw zorow aniem kanonicznym zbioru A na zbiór A/R.

P rzy k ład y : 1) R elacja rów ności m iędzy liczbam i wyznacza podział na klasy. Do jed n ej w a rstw y zalicza się liczby rów ne między sobą. Zbiór ilorazow y składa się tu z tego rodzaju warstw.

2) R elacja równoległości m iędzy płaszczyznam i w przestrzeni wyznacza podział na klasy. Do jednej w arstw y zalicza się kla­ sę płaszczyzn w zajem nie do siebie rów noległych. Zbór ilorazo­ wy tu ta j jest złożony ze w szystkich tego rod zaju w arstw .

3) N iech d an y będzie jakiś zbiór Z, składający się z dowolnej liczby elem entów , p rzy czym zakładam y jedynie, że każdy z nich jest bądź czerw ony, bądź zielony. Zaliczm y do jednej klasy w szystkie te i ty lko te przedm ioty, które są tego samego koloru. J e s t widoczne, że o trzym any w te n sposób podział da­ nego zbioru Z n a dw ie w arstw y. R elacja: być tego samego koloru, jest, oczywiście, równoważnością. T u taj zbór ilorazow y składa się tylko z dw u elem entów .

W spom nijm y, że w a rstw y w yznaczone przez d an ą relację równoważności R noszą także nazw ę klas ab strak cji relacji R. Posługując się tą term inologią pow iem y, że w przykładach

1) oraz 2) klas ab strak cji jest nieskończenie wiele, n atom iast w przykładzie 3), jak to w idzieliśm y przed chw ilą, są jedynie dwie klasy ab strak cji (ro zpatryw anych odpowiednio relacji równoważności).

Było ju ż w spom niane w e W stępie, że p rzy pom ocy pew nej relacji równoważności, zachodzącej m iędzy liczbam i n a tu ra

l-nym i, k o n stru u je się liczby całkow ite. Dla w yrazistości roz­ w ażań p rzypom nijm y pokrótce in teresu jącą nas konstrukcję. Niech N oznacza zbiór liczb n atu raln y ch . Rozważać będziem y elem enty iloczynu kartezjańskiego, czyli p roduktu, zbioru N przez siebie. Inaczej m ówiąc rozw ażać będziem y w szystkie p ary uporządkow ane postaci (m, n), gdzie m oraz n są liczbam i natu raln y m i. W śród zbioru w spom nianych p a r uporządkow a­ nych liczb n a tu ra ln y c h określm y relację R w sposób n a stęp u ­ jący. Pow iem y: dwie p a ry (m, n) oraz (p, q) pozostają do siebie w relacji R, jeżeli m - f q = n + p, czyli jeżeli pierw sze elem en ty rozw ażanych p a r różnią się od siebie ta k samo, jak drugie elem enty ty ch par. K orzystając ze znanych własności działania dodaw ania liczb n a tu ra ln y c h (łączność i przem ien- ność) oraz relacji identyczności = , łatw o jest wykazać, że określona w yżej relacja R jest zw rotna, sym etryczna i prze­ chodnia. J e st więc relacją ró w n ow ażn o ści6.

Z tw ierdzenia 3.2 w ynika, że relacja R dzieli p ro d u k t N X N na klasy abstrakcji, czyli w arstw y. Te w łaśnie klasy abstrakcji rozpatry w an ej relacji R nazyw a się liczbam i całkow itym i.

P rz y p o rz ą d k u jm y klasie o reprezen tan cie (x + a, x), gdzie a jest pew ną u staloną liczbą natu raln ą, zaś x dow olną liczbą n a tu ra ln ą , liczbę a. O trzy m u jem y wówczas odpowiedniość w zajem nie jednoznaczną m iędzy w spom nianej postaci klasam i a liczbam i natu raln y m i. K lasy te nazw ijm y liczbam i całkow i­ tym i dodatnim i. K lasa postaci (x, x) w yznacza liczbę całkow itą zero. K lasa postaci (x, x -f- a) w yznacza liczbę całkow itą ujem ­ n ą —a. W ten sposób otrzy m u jem y w szystkie liczby całkow ite: dodatnie, u jem ne i liczbę zero.

Z przedstaw ionej tu k o n struk cji widać, że (ściśle rzecz bio­ rąc) liczby n a tu ra ln e nie są, jak to zw ykle się mówi, szczegól­ nym przypadkiem liczb całkow itych. Liczby całkow ite są inne­ go ty p u b y tam i niż liczby n atu raln e. N ależy więc odróżniać liczbę n a tu ra ln ą 3 od liczby całkow itej dodatniej 3. Podobnie rzecz się m a z liczbam i całkow itym i oraz ułam kam i postaci p/q,

gdzie p jest podzielone przez q. Nie należy utożsam iać liczby całkowitej с z ułam kiem postaci cr/r. Liczba całkow ita с oraz ułamek postaci c r/r są innego ty p u bytam i. U łam ek c r/r jest klasą ab strak cji pew nej relacji rów now ażności zachodzącej między liczbam i całkow itym i, podobnie jak sam a liczba całko­ wita с jest klasą ab strakcji podanej w yżej relacji rów now aż­ ności zachodzącej w śród liczb n atu raln y ch . Z drugiej strony, oczywiście, m a m iejsce izom orfizm (ze w zględu n a działania arytm etyczne) m iędzy liczbam i n a tu ra ln y m i a liczbam i całko­ witymi dodatnim i oraz m iędzy liczbam i całkow itym i с a ułam ­ kami postaci cr/r.

Przechodzim y obecnie do przedyskutow ania zw iązku zacho­ dzącego m iędzy operacją podziału zbioru a k o n stru k cją zbioru ilorazowego.

4. Podział zbioru a zbiór ilorazow y

Przypuśćm y, że m am y d an y jakiś podział zbioru niepustego A. Z atem spełnione są w a ru n k i 1° oraz 2° definicji 2.1. P a ­ miętamy, że każdy podział jest dokonyw any w oparciu o pew ną zasadę podziału. P rzy jej pom ocy są w ydzielone podzbiory A : danego zbioru A, k tó re są elem en tam i dokonanego podziału. Zdefiniujm y teraz relację R następująco. Zachodzi ona m iędzy dwoma elem entam i x oraz у ze zbioru A w tedy i tylko gdy elementy te należą do tego samego podzbioru A j . J e st widocz­

ne, że ta k określona relacja R jest zw rotna, sym etryczna i prze­ chodnia. J e s t w ięc rela cją rów noważności. W te n sposób otrzy­ mujemy n astępu jące proste

Tw ierdzenie 4.1. K ażda zasada podziału dowolnego n iep u ste­ go zbioru A w yznacza pew ną relację rów now ażności zachodzą­ cą m iędzy elem entam i danego zbioru.

Z drugiej strony, jeżeli m am y daną relację rów now ażności w zbiorze A, to ona określa podział tego zbioru na w a rstw y (twierdzenie 3.2.). K onsekw entnie m ożna dalej mówić o zbiorze ilorazowym w sto su n k u do danej relacji równoważności. I od­

w rotnie, jeżeli m am y do czynienia ze zbiorem ilorazow ym A/R, to ty m sam ym dany jest podział danego zbioru A, jak rów nież relacja R. Zachodzi więc o b ustronna im plikacja m ię­ dzy relacją rów now ażności a zbiorem ilorazow ym . K onkludu­ jem y przeto

T w ierd zen ie 4.2. Zbiór ilorazow y w yznacza jednoznacznie p ew n ą relację równoważności.

Zgodnie z tw ierdzeniem 3.2 rów now ażność określa podział danego zbioru. Podział natom iast pozwala sform ułow ać zasadę k lasyfikacji elem entów rozpatryw anego zbioru. O trzym ujem y zatem

Tw ierd zen ie 4.3. Z bór ilorazow y w yznacza zasadę podziału danego zbioru.

W te n sposób dochodzim y do interesującego nas związku. K ażdy podział w yznacza pew ną relację rów noważności. K ażda relacja rów now ażności w yznacza podział zbioru. Albo inaczej: każda zasada podziału pozw ala utw orzyć zbiór ilorazow y. Każ­ d y zbiór ilorazow y, dający podział zbioru rozpatryw anego, poz­ w ala sform ułow ać odpow iednią zasadę podziału. W idzim y więc, że oba zabiegi poznawcze: dokonyw anie podziału zbioru oraz ko n stru k cja zbioru ilorazow ego są, w zasadzie, jedn y m i tym sam ym , ściślej, są m iędzy sobą rów now ażne.

Zw róćm y jeszcze uw agę na aspekt epistem ologiczny rozpa­ tryw an eg o zagadnienia. Dzięki tem u uzyska się pełniejsze u ję ­ cie całej problem atyki. S tro n a form aln a zagadnienia nie będzie

jed y n y m om aw ianym aspektem problem u.

5. K onstrukcja zbioru ilorazow ego a czynność abstrahowania W ty m celu przypom nijm y najpierw , że te rm in „ ab strak cja“, bądź też przy m iotn ik „ a b strak c y jn y “, posiada w iele znaczeń. M ówi się przecież i o pojęciach k o n k retn y ch i o pojęciach abstrak cyjn y ch , ale także i o rozum ow aniach k on kretny ch i o rozum ow aniach ab strakcyjnych, ja k rów nież i o naukach k o n k retn y ch i o n auk ach ab strakcy jn y ch itd. Ten stan rzeczy

wydaje się być konsekw encją pochodzenia samego term in u „abstrakcja“ w zględnie „ a b strak c y jn y “. Etym ologicznie trzeba tu sięgnąć do w y razu łacińskiego abstraho, co po polsku znaczy odrywam. I to w łaśnie co zostało „oderw ane“ nosi nazwę „oderw anego“ czyli „ab strak cy jn eg o “. „P rzedm ioty oderw ane“ czyli „ a b stra k ty “ m ogą być rozum iane dwojako. A więc bądź jako cechy czy stosunki m yślowo oderw ane od pew nego kon­ kretu, bądź jako to, co zostaje z danego k o n k retu po oderw aniu odeń jakichś cech. P rzykładem pierw szego rod zaju ab straktó w może służyć np. pojęcie czerw ieni, zieleni. P rzykładem d ru ­ giego — pojęcie człowieka w ogóle, pojęcia dęba w ogóle.7

Uw zględniając złożoność istniejących k o n k retn y ch przedm io­ tów m ożna spraw ę przedstaw ić n astępująco: „Jeśli każda rzecz jest kom pleksem w ielu elem entów , to w tej wielości elem en­ tów, składających się na rzecz, są elem en ty k onsty tuu jące i elem enty pochodne, w yem anow ane; elem en ty „noszące“ i „noszone“. Proces ujaw n ian ia elem entów k o n sty tu ty w n y ch — czyli form y rzeczy, k tó ra po „ u jaw n ien iu się“, a więc po oder­ waniu od niej zw iązanych z n ią elem entów jednostkow o-m a- terialnych (taka oto długość, grubość, barw a skóry, w łosa itp.) staje się „ogólną“, poznaw alną — n azyw a się w łaśnie procesem abstrakcji. A bstrak cja w nas odbyw a się bądź spontanicznie, bądź też z rozm ysłem“ .8

Od stro n y logicznej m ożna n adto w śród cech ab strak tó w wyróżnić cechy p ierw o tne oraz w tórne. Cechy p ierw otn e to będą te, k tóre do swego określenia nie w y m agają odw ołania się do innych pojęć. W przy p ad k u przeciw nym — noszą nazw ę cech w tórnych. Jak o przykład cech pierw szego rodzaju może służyć pojęcie długości, jako drugich — pojęcie gęstości. Cechy wtórne by w ają nazyw ane także cecham i p o c h o d n y m i9.

Na in te resu je zagadnienie zw iązku zachodzącego m iędzy konstruowaniem k lasy ilorazow ej, a czynnością abstrahow ania.

7 T. K o ta rb iń s k i, dz. cyt., 73—74.

8 M. A. K rą p ie c , M e ta fiz y k a , P o z n a ń 1966, 77—78.

9 P o r. K. A jd u k ie w ic z , L o g ik a p ra g m a ty c z n a , W a rs z a w a 1965, 255—256.

Albo w sform ułow aniu rów now ażnym : zagadnienie zw iązku zachodzącego m iędzy klasyfikacją a abstrahow aniem . Albo jeszcze inaczej: zagadnienie zw iązku zachodzącego m iędzy re ­ lacją rów now ażności a abstrahow aniem . W celu p rzedstaw ienia tego problem u zacytujem y frag m en ty w ypow iedzi logika oraz m atem atyka. Są one ta k przejrzyste, że nie w ym agają żadnego kom entarza. A oto one:

„T ak przeto przedm ioty, któ re posiadają w spólną własność w postaci stosunku jednoznacznego łączącego każdy z nich z jakim ś jed y n y m przedm iotem , są ze w zględu n a ową w spólną własność sobie rów ne. N a odwrót, każdą równość m ożna roz­ łożyć n a iloczyn w zględny stosunku jednoznacznego i jego odwrotności, gdzie w członie pośrednim w y stępu je w spólna w łasność p rzysługująca przedm iotom rów nym . Takie w yodręb­ nienie owej w spólnej własności nosi nazw ę a b s t r a k c j i (jako logiczny odpow iednik ab strak cji psychologicznej), a p r a ­ w e m a b s t r a k c j i nazyw am y tw ierdzenie, w edług którego zawsze i tylko, jeżeli m iędzy elem entam i pew nego zbioru za­ chodzi stosunek sym etryczny, zw rotny i przechodni, istnieje w łasność w spólna przedm iotom należącym do pola stosunku i ch arak tery zu jąca te przedm ioty; przez ab strak cję uzyskuje się pojęcie dowolnej liczby jako w spólnej w łasności klas rów - nolicznych, pojęcie jednakow ej te m p e ra tu ry jako w spólnej w łasności ciał pozostających w rów now adze term icznej itp .“ 10

„Z podziałem na klasy wiąże się jed na z najciekaw szych własności um ysłu ludzkiego: zdolność do abstrahow ania, pole­ gająca n a tym , że pom ija się różnice m iędzy elem entam i tej sam ej klasy, a klasy u jm u je się jako now e indyw idua („ab strah uje się od różnic in d yw id u alny ch “). Na pierw szy rzu t oka zdaw ałoby się, że ab strahow anie zuboża św iat pojęć, lecz jest w łaśnie przeciw nie: większość pojęć (np. m atem atycznych) pow stała i pow staje przez przechodzenie do przestrzeni ilora­ zowej Х /R w zględem relacji rów now ażności R. [...] Przykładów z „życia“ (pozam atem atycznego) jest legion: na odpow iednich

zbiorach relacje takie, jak jednakow o ciężki, jednakow o długi, równego w ieku, jednakow ej barw y, jednakow o ciepły, prow a­ dzą do takich „ a b strak c y jn y ch “ pojęć, ja k ciężar, długość, wiek, barwa, te m p e ra tu ra itd .“ 11

Stw ierdzam y więc, że abstrah o w an ie oraz k onstruow anie klasy ilorazow ej są czynnościam i rów now ażnym i. W te n sposób powiększa się ciąg odpow iednich równoważności. W śród jego członków m ożna w ym ienić zarów no posiadanie zasady podziału, jak i odpow iedniej relacji równoważności, tw orzenia klasy ilorazowej, czy też czynności ab strahow ania.

6. U w aga końcow a

Z pow iedzianego w yżej widzim y, że ta k zdaw ałoby się różne pojęcia jak podział zbioru (inaczej klasyfikacja), relacja rów no­ ważności, zbiór ilorazow y, ab strak cja są ze sobą ściśle pow ią­ zane. Stanow ią ciąg rów now ażnych m iędzy sobą pojęć. U jm u­ jąc rzecz od stro n y form alnej należy zauważyć, że gdy się mówi o relacji rów now ażności określonej w d anym zbiorze oraz o zasadzie podziału danego zbioru, to wówczas zarów no relacja równoważności jak i zasada podziału „d ziałają“ na produkcie danego zbioru przez siebie. N atom iast dokonanie klasyfikacji względnie skonstruow anie klasy ilorazow ej daje „now y“ tw ór „abstrakcyjny“.

K lasyfikacja rozum ow ań jest jed n ym z ważnych, a zarazem trudnych, problem ów naukow ych. W ydaje się, że w skazanie na zachodzący ciąg rów now ażności może służyć pew ną pomocą przy n iek tó ry ch rozw ażaniach odnoszących się do w spom niane­ go zagadnienia. Z arazem d aje „n eg aty w n ą” norm ę odnośnie do prawidłowości dokonyw anych klasyfikacji. A to często jest praktycznie ważne.

Zw roty: „podział zb io ru”, „zbiór ilorazow y” , „ a b strak c ja ” mogą być trak to w an e jako w y rażen ia w zięte z różnych języ­

11 K . M a u r in , A n a liz a , C zęść I, E le m e n ty , W a rs z a w a 1971, 18— 19.

ków. W yrażenia te, jak już wierny, są w zajem nie przekładalne. Pow staje p y tan ie czy jest rzeczą m ożliw ą zbudować ogólną teorię, dla k tórej w ym ienione języki b yłyby m odelami. Cho­ dziłoby tu o pew ną analogię, jaka zachodzi m iędzy cy b ernety k ą a fizjologią, elektroniką, system am i ekonom icznym i. Jeśli n a­ zw alibyśm y, dla krótkości, fizjologię, elektronikę, system y eko­ nom iczne językam i, to cy b ern ety k a w sto su n k u do nich jest ogólną teorią, one zaś jej m odelam i. Czy coś podobnego da się uczynić w odniesieniu do zagadnienia, k tóry m zajm ow aliśm y się w ty m a rty k u le? W ydaje się, że budow anie teorii „scala­ jący ch “ różne dziedziny jest w a rte uw agi badawczej.

FA K TO R K LA SSE N U N D BEGRIFFSZERLEG U NG EN (Z u sa m m e n fa ssu n g )

In d e r L o g ik s p r ic h t m a n v o n d e r B e g riffsz e rle g u n g (o d er K la s s ifi­ k a tio n ), in d e r M a th e m a tik , — v o n d e n F a k to r k la s s e n , in d e r P h ilo - so p ie —· v o n d e r A b s tr a k tio n . Es sc h e in t, d a ss d ie K la ss sifik a tio n , d a s K o n s tr u ie re n d e r F a k to r k la s s e n m it d e r H ilfe d e r A e q u iv a le n z re la tio n u n d d ie A b s tr a k tio n e tw a s g a n z a n d e re s sin d . In d e r W ir k lic h k e it doch, d ie a u s g e z ä h lte n E r k e n n tn is v e r f a h r e n e s s e n tie ll n ic h t v e rs c h ie d e n e O p e ­ ra tio n e n sin d . I m A rtik e l z e ig t m a n d ie W e c h s e lre la tio n e n w e lc h e h ie r g e lte n . S p e z ie ll b e w e ise t m a n d a ss sie ä q u iv a le n t sin d .

Es s c h e in t, d a ss d ie B e m e rk u n g e n d ieses A rtik e ls w e g e n d e m K la s s ifi­ k a tio n s p ro b le m d e r D e n k a rte n H ilfe le is te n m 'ögen. M a n k a n n h ie r m in d e s te n s d ie so g e n a n n te n e g a tiv e N o rm e rre ic h e n .

M a n s te llt e in P ro b le m : k a n n m a n e in e a llg e m e in e T h e o rie , f ü r w e lc h e d ie K la s s ifik a tio n , d ie F a k to r k la s s e n u n d d ie A b s tr a k tio n als M o d elle g e lte n , s c h a f fe n ? F ü r d ieses P ro b le m h a b e n w ir e in e n A n a ­ logon in d e r K y b e rn e tik . S o lc h e r A r t ih r e B e z ie h u n g z u r P h y sio lo g ie, E le k tro n ik u n d d e r e k o n o m isc h e n S y ste m e ist.