Algorytm podziału i ograniczeń dla problemu rozkroju niegilotynowego

Seria: AUTOMATYKA z. 150

Ig o r K IE R K O S Z , M a c ie j Ł U C Z A K P o lite c h n ik a K o szalińska

A L G O R Y T M P O D Z IA Ł U I O G R A N IC Z E Ń D L A P R O B L E M U R O Z K R O J U N I E G IL O T Y N O W E G O

Streszczenie. W p ra cy prze dsta w ion o a lg o ry tm o p ty m a liz a c ji ro z k ro ju p rostokątnej p ły ty na szereg p ro stoką tn ych e lem entów p rz y założeniu cięcia n ie g ilo ty n o w e g o oraz ograniczeniu na liczbę p ow tó rze ń danego ty p u ele m e n tów w generow anych w zorach ro z k ro ju . W p ro p o n o w a n ym a lg o ry tm ie przeszu­

k iw a n ie przestrzeni dopuszczalnych rozw iąza ń o d b yw a się w o parciu o m etodę p o d z ia łu i ograniczeń. W p ra cy zam ieszczono ró w n ie ż w y n ik i o b lic z e ń d la p rz y k ła d o w y c h zadań ro z k ro ju d w u w y m ia ro w e g o .

A B R A N C H A N D B O U N D A L G O R I T H M F O R N O N - G U I L L O T I N E C U T T IN G S T O C K P R O B L E M

S u m m a ry . T he paper presents an a lg o rith m fo r tw o -d im e n sio n a l n o n -g u illo tin e c u ttin g stock p roblem . The p ro b le m consists in c u ttin g m any rectangular pieces, fro m a single rectangular sheet in such a w a y that the am ount o f trim loss is m in im iz e d . M o re o v e r, there is a co nstrain t on the m a x im u m num ber o f each type o f piece th at is to be produced. The proposed a lg o rith m is based on a branch and bound m ethod. N u m e ric a l exam ples to illu s tra te the proposed a lg o rith m are solved.

1. W p ro w a d z e n ie

R ozw ażany w p ra cy p ro ble m polega na ro z k ro ju prostokątnej p ły ty (arkusza) na szereg p ro stoką tn ych elem entów p rz y założeniu cięcia n ie g ilo ty n o w e g o . W ro z k ro ju tego ty p u n ie m a w y m o g u (w p rz e c iw ie ń s tw ie do ro z k ro ju g ilo ty n o w e g o ), aby ko le jne cięcia p rze b ie g a ły przez całą długość rozcinanego m ateriału. C elem o p ty m a liz a c ji je s t m in im a liz a c ja odpadu pow stającego w procesie ro z k ro ju lub bardziej o g ó ln ie - m aksym a liza cja w a rto ści w y c in a n y c h elem entów .

P roblem o p ty m a liz a c ji ro z k ro ju oraz p ro b le m y je m u rów now ażne w ys tę p u ją w w ie lu zastosow aniach p ra ktycznych , na p rz y k ła d : ro z k ró j stali, szkła, drew na, p ap ie ru; p ako w a nie palet, pudełek; p ro b le m rozm ieszczenia ogłoszeń w czasopism ach.

O c z y w iś c ie , w ró ż n y c h zastosowaniach, w zależności od s p e c y fik i zadania, m oże m y m ieć do czy n ie n ia z ró ż n y m i ogran iczen ia m i oraz ró ż n y m i k ry te ria m i oceny rozw iązań. O m ó w io n e tu zagadnienie, w m yśl now ej ty p o lo g ii zaproponow anej w [1 5 ], m ożna za lic z y ć do p ro b le m ó w typ u 2SLO P P (two-dim ensional single large

object placement problem s). D latego też w dalszej części pracy pojęcie „w y c ię c ie elem entu z p ły ty ” będzie utożsam iane z „ro zm ie szcze n ie m elem entu na p ły c ie ” .

Zadania o p ty m a liz a c ji ro z k ro ju m a te ria łó w oraz w ie le in n y c h zadań z zakresu o p ty m a liz a c ji dyskretnej należą do g ru p y p ro b le m ó w N P -tru d n y c h . W z w ią z k u z ty m w zastosow aniach p ra ktycznych d o m in u ją g łó w n ie a lg o ry tm y p rz y b liż o n e [1 , 7]. D u ż ą grupę s ta no w ią ró w n ie ż m eto dy oparte na m etaheurystykach: a lg orytm ach genetycznych i e w o lu c y jn y c h [6, 9, 10, 12], a lg o rytm a ch sym ulow anego w yżarzan ia [1 3 ]. N ie w ie le je s t natom iast a lg o ry tm ó w d okła d n ych ro z w ią zu ją cych to zagadnienie [3 , 5 ]. Jako p ie rw szy taki a lg o ry tm za prop on ow a ł w 1985 ro k u J. E. Beasley [2 ].

Zastosow ał on m etodę p o d zia łu i ograniczeń, w k tó re j górne oszacowanie uzyskano d la relaksa cji Lagrange’ a problem u ro z k ro ju sfo rm u ło w an eg o ja k o z e ro -je d y n k o w y p ro ble m p ro gram ow ania c a łk o w ito lic z b o w e g o .

W n in iejszej pracy o m ó w io n y zostanie re k u re n c y jn y a lg o ry tm generow ania dopuszczalnych rozw iązań rozw ażanego p ro b le m u bazujący na opracow anej przez nas m etodzie rozm ieszczania k o le jn y c h ele m e n tów na p ły c ie . K ażde ro zw iąza nie częściow e je s t oceniane ze w zglę du na ko szt (odpad zw iąza ny z danym ro zw ią za n ie m ) i w zależności od w arto ści tego kosztu je s t rozszerzane o now e elem enty, ew entualnie odrzucane w ra z ze w s z y s tk im i m o ż liw y m i rozszerzeniam i.

2. O p is p ro b le m u

N iech dana będzie prostokątna p ły ta (arkusz) A - ( S , W ) o szerokości S i w yso ko ści IV. Indeksam i 1 = 1 ,2 ,... , n oznaczm y poszczególne rodzaje części p , któ re chcem y uzyskać w procesie ro z k ro ju . Z b ió r w s z y s tk ic h ty p ó w w y c in a n y c h e le m e n tów oznaczm y przez P. N ie c h i w,- będą w y m ia ra m i elem entu / ; , . K a ż d y sposób ro z k ro ju p ły ty w y jś c io w e j b ęd zie m y nazyw ać w zo re m ro z k ro ju .

R ozcin an ą p ły tę u m ieśćm y w p ro sto ką tn ym u k ła d z ie w spó łrzę dn ych Oxy, tak aby le w y d o ln y w ie rz c h o łe k p ły ty p o k ry ł się z p o czą tkie m u k ła d u w spó łrzę dn ych.

Z a łó ż m y ponadto, że:

• m am y do czyn ie nia z ro z k ro je m n ie g ilo ty n o w y m ,

• każde cięcie przebiega ró w n o le g le do kraw ęd zi arkusza (ro z k ró j o rto g o n a ln y),

• w ro zw ią za n iu m oże w y s tą p ić co n a jw y ż e j b, e lem entów typ u p, (ro z k ró j z ogran iczen ia m i),

• w ycin a n e elem enty m a ją ustaloną orien ta cję, tzn. nie m ogą b yć obracane o 9 0 °,

Zadanie optym alizacji polegać będzie na m aksym alizacji stopnia w ykorzystania arkusza w yjściow ego (wyrażonego w procentach):

T aisi wi

m ax -► V = —---100% (1)

S IE

g d zie : a, oznacza liczbę ele m e n tów p, w ystę pu ją cych w d a n y m w zorze ro z k ro ju , p rz y czym dla każdego i s p e łn io n y m usi być w arun e k: u,- < ń ,. P rz y jm u ją c takie

k ry te riu m o p ty m a liz a c ji, w ła tw y sposób będziem y m o g li z d e fin io w a ć fu n k c ję kosztu w y k o rz y s ty w a n ą w p ro p o n o w a n ym a lg o ry tm ie do oceny bieżących rozw iązań. K oszt danego rozw ią za n ia będzie, m ia n o w ic ie , ró w n y sum arycznem u p o lu p o w ie rz c h n i odpadów p o w sta ją cych w procesie ro z k ro ju .

W o g ó ln ie js z y m p rzyp ad ku m a k s y m a liz a c ji podlega w artość w y c in a n y c h elem entów :

n

ma x - > g = £ a ivł (2)

1=1 gdzie v; oznacza w artość elem entu p,.

3. O p is a lg o r y tm u

P ro po no w a n y w n in iejszej p ra cy a lg o ry tm d oko nu je przeglądu z b io ru dopuszczalnych rozw iąza ń (obrazow anego w postaci drzew a p o szu kiw a ń) w o parciu o m etodę p o d z ia łu i ograniczeń. Jest to szeroko stosowana w zadaniach N P -tru d n y c h m etoda, któ re j celem je s t zm niejszenie lic z b y prze szukiw an ych rozw iązań, a co za ty m id z ie - skrócenie czasu o bliczeń . W y k o rz y s tu je się tutaj fu n k c ję kosztu, k tó rą m ożna zd e fin io w a ć d la rozpatryw anego zagadnienia. W zadaniach m in im a liz a c ji je s t ona na o g ó ł fu n k c ją celu. Jeżeli w trakcie p rze szukiw an ia przestrzeni rozw iązań w artość fu n k c ji kosztu d la a ktu a ln ie rozpatryw anego rozw ią za n ia częściow ego je s t w iększa lub ró w n a tzw . g órnem u o graniczeniu (któ re o dpow iada w a rto ści najlepszego zn alezio ­ nego do tej p o ry ro zw ią za n ia ), to o drzuca m y to rozw iąza nie w ra z ze w s z y s tk im i je g o rozszerzeniam i. W ten sposób o d cin a m y całe gałęzie drzew a poszukiw ań.

K ażde dopuszczalne rozw iąza nie om aw ianego zagadnienia, zwane dalej rozkrojem, m a postać lis ty , składającej się z k o le jn o rozm ieszczanych na p ły c ie elem entów oraz tzw . uzupełnień, c z y li pustych m ie jsc w ro z k ro ju będących odpadem.

Przed u m ieszczeniem każdego elem entu na p ły c ie w y jś c io w e j w yzna czan y je s t tz w . p u n kt zaczepienia, c z y li p un kt, w k tó ry m znajdzie się d o ln y le w y w ie rz c h o łe k rozm ieszczanego elem entu. P u nkt ten je s t n ajbardziej na le w o w y s u n ię ty m w śród n a jn iże j p o ło ż o n y c h p u n k tó w obszaru roboczego p ły ty w y jś c io w e j, tj. obszaru, na k tó ry m n ie rozm ieszczono jeszcze żadnych e lem entów (czarny p u n k t na rysun ku 1).

Z b ió r ro z k ro jó w m ożna zobrazow ać w postaci drzew a, w k tó ry m ko rze nie m je s t ro z k ró j pusty, natom iast w ę z ły y-tego p o z io m u o d p o w ia d a ją m o ż liw y m w y b o ro m ele m e n tów lis ty w s ta w io n y c h w danym p u n k c ie zaczepienia. P rzeszukiw anie tego drzew a d oko nyw an e je s t reku re ncyjn ie . R uch do przo du (w d ó ł drzew a p o szu kiw a ń) je s t rozszerzeniem aktualnego rozw iąza nia częściow ego o k o le jn y rozm ieszczany elem ent lub u zup ełnie nie , p rz y czym u zupełnienie dodawane je s t na końcu, gdy w danym p u n k c ie zaczepienia w sta w io n o ju ż w s z y s tk ie m o ż liw e elem enty.

U zu p e łn ie n ie w a k tu a ln y m pun kcie zaczepienia je s t to p ro stoką t o najw iększej m o ż liw e j szerokości oraz w ys o k o ś c i ró w n e j m niejszej z w ys o k o ś c i elem entów sąsiadujących z n im (c ie m n y prostokąt na rysun ku 1). Jeżeli natom iast nie ma m o ż liw o ś c i dalszego rozszerzenia aktualnego ro z k ro ju , następuje k ro k w ty ł w d rze w ie re k u re n c ji oraz próba rozszerzenia tego rozw ią za n ia o nieanalizow ane w cześniej elem enty. K r o k do ty łu w y k o n u je m y ró w n ie ż w przypadku, g d y w artość fu n k c ji kosztu (odpad) d la aktualnego ro z k ro ju je s t w iększa lub rów na w arto ści tej

fu n k c ji d la najlepszego znalezionego do tej p o ry rozw iązania. W ten sposób w drzew ie p oszu kiw a ń o d c in a m y w szystkie gałęzie, któ re m ożna b y uzyskać, rozszerzając aktualne rozw iąza nie częściowe. W p ro p o n o w a n ym a lg o ry tm ie koszt danego rozw iązania je s t ró w n y sum ie p o w ie rz c h n i uzup ełnie ń (od pa dó w ) p ow sta ją cych podczas rozm ieszczania elem entów na p ły c ie . P rz y k ła d o w o , kosztem ro zw iąza nia częściow ego przedstaw ionego na rysu n ku 1 je s t suma p ó l p o w ie rz c h n i ciem nych obszarów.

Rys. 1. Fragment drzewa poszukiwań

D o d a w a n ie u zup ełnie ń do ro z k ro ju na ko ńcu każdego p o z io m u re k u re n c ji p ozw ala znaleźć ro z k ro je , n ie m o ż liw e do u zyskan ia przez n ie k tó re a lg o ry tm y znane z lite ra tu r}' [ I , 9, 11]. P rzykła d takiego ro z k ro ju m a m y na rys u n k u 2 (przy' o g ran iczen ia ch p o w y ż e j 4 d la każdego typ u elem entów ). Jednocześnie procedura o d cin a n ia p o w o d u je , że dodaw anie u zup ełnie ń n ie m a znacznego w p ły w u na zw ię ksze n ie lic z b y p rz e s zu kiw a n ych gałęzi.

1

2 2 1

1 2 2

1

2. Przykład wzoru rozkroju niemożliwego do uzyskama przez niektóre algor\'tmy

Pseudokod a lg o ry tm u :

Z m ie n n e g lo b aln e :

E l e m e n t y - lista e le m e n tó w d o ro z k ro ju w ra z z in fo rm a c ją o o g ra n ic ze n iac h ; M i n O d p a d - m in im a ln y o d p a d sta rto w y o ra z w y n ik o w y ;

M a x R o z k r ó j - ro z k ró j w y n ik o w y ;

01 procedurę Algorytm(rozkrój, odpad)

02 punktZaczepienia :=

aktualny punkt zaczepienia w danym rozkroju

03 foreach element in Elementy do

04 if element

można umieścić w

plus

06 nowyOdpad := odpad;

07 Algorytm(nowyRozkrój, nowyOdpad);

08 endif;

0 9 uzupełnienie : =

prostokąt uzupełniający rozkrój w aktualnym punkcie zaczepienia

plus

11 nowyOdpad := odpad +

pole powierzchni prostokąta

12 if nowyOdpad >= MinOdpad then return;

13 if nowyRozkrój

wypełnia całą płytę

15 MinOdpad := nowyOdpad;

16 return;

17 endif;

18 Algorytm(nowyRozkrój, nowyOdpad);

19 e n d .

K o m e n ta rz do pseudokodu:

( 0 2 ) A k tu a ln y p u n k t zaczepienia w danym ro z k ro ju z n a jd u je m y, m in im a liz u ją c w s p ó łrzę d n ą y , a następnie w spó łrzę d n ą x p o w ie rz c h n i p ły ty niezajętej przez ro z k ró j (czarny p u n k t na rys. 1).

( 0 4 ) E le m e n t (prostoką t) m ożna u m ieścić w danym p un kcie zaczepienia, je ś li nie ma części w sp ó ln e j z elem entam i aktualnego ro z k ro ju (nie licząc ich b rze gó w ) oraz n ie zostało przekroczone ograniczenie lic z b y elem entów danego typu.

(0 9) P rostokąt u zu p ełnia jący ro z k ró j w a ktua lnym p un kcie zaczepienia je s t to p ro stoką t o n a jw ię kszej m o ż liw e j szerokości oraz w yso ko ści rów ne j m niejszej z w y s o k o ś c i e lem entów sąsiadujących z n im (cie m n y prostokąt na rysun ku 1).

( 1 2 ) W ty m m ie jscu odcinane są gałęzie reprezentujące rozw iąza nia , w k tó ry c h na pew no odpad je s t nie m n ie js z y od odpadu najlepszego, dotychczas znalezionego rozw iązania.

( 1 3 - 1 7 ) Z ap am iętyw a ne je s t najlepsze znalezione rozw iązanie.

W y w o ła n ie procedury:

Elementy :=

aktualna lista elementów do rozkroju

połę powierzchni całej płyty do rozkroju;

rozkrój Startowy : =

pusty rozkrój, bez jakichkolwiek elementów i uzupełnień;

Algorytm(rozkrój Startowy, 0);

W w y n ik u w y w o ła n ia procedury A l g o r y t m w zm iennej M a x R o z k r o j znajduje się w y n ik o w y ro z k ró j o n a jm n ie js z y m zn a le zio n ym odpadzie, a w zm iennej M in O d p a d w artość tego odpadu.

4. E k s p e ry m e n ty o b lic z e n io w e

P o w stały a lg o ry tm za im plem entow ano w środ ow isku M ic ro s o ft V is u a l S tudio (w ję z y k u C #) oraz przetestow ano d la szeregu zadań testow ych zaczerpniętych z lite ra tu ry oraz z dostępnej w internecie [8 ] b ib lio te k i zadań testow ych.

E ksp erym en ty o b lic z e n io w e przeprow adzono na kom puterze z procesorem A M D A th lo n 64 3000+. W y n ik i o bliczeń zam ieszczono w tabeli 1. Zadania 1-12 p ochodzą z pracy [2 ], 13-14 z [5 ], 15 z [1 4 ], a 16 z [4 ], W stosunku do o ry g in a ln e j postaci zadań dokonano m o d y fik a c ji k ry te riu m o p ty m a liz a c ji. W z w ią z k u z p rz y ję ty m w a lg o ry tm ie sposobem określania kosztu rozw ią za n ia założono, m ia n o w ic ie , że m a k s y m a liz a c ji podlegać będzie stopień w y p e łn ie n ia (w y k o rz y s ta n ia ) arkusza o b lic z a n y ze w z o ru (1), a nie w artość w y c in a n y c h e lem entów (w z ó r (2)). D la w ię kszo ści zadań testow ych znane są z lite ra tu ry w arto ści (ze w z g lę d u na oba k ry te ria ) rozw iąza ń o p tym a ln ych .

Tabela 1 W y n ik i e ksperym entów o b lic z e n io w y c h

N u m e r zadania

W y m ia ry arkusza

( s . m

L ic z b a ty p ó w elem entów

(»)

U zyskana w artość V

W a run ek optym aln ości

Czas o b liczeń w sekundach

1 (1 0 ,1 0 ) 5 95 T ak 0

2 (10, 10) 7 97 T ak 0

3 (1 0 ,1 0 ) 10 100 T ak 0

4 (15, 10) 5 92 T ak 0

5 (1 5 ,1 0 ) 7 93,33 T ak 0

6 (15, 10) 10 100 T a k 0,02

7 (20, 20) 5 43,75 T a k 0,22

8 (20, 20) 7 95 T a k 0,03

9 (20, 20) 10 97,50 T a k 0,42

10 (30, 30) 5 97,67 T ak 0

11 (30, 30) 7 93,56 T ak 0,08

12 (30, 30) 10 99,78 T ak 0,33

13 (30, 30) 7 84,56 T ak 0,02

14 (30, 30) 15 89,67 ? 17,97

15 (70, 40) 19 97,36 T a k 0,73

16 (40, 70) 20 97,36 T a k 0,17

Jak w id a ć w ta be li 1, o m ó w io n y a lg o ry tm d la w s z y s tk ic h zadań testow ych znalazł ro zw iąza nie optym alne, ew entualnie (zad. 14) rozw iąza nie o najw yższej znanej z lite ra tu ry w arto ści w y p e łn ie n ia arkusza. T y lk o d la tego zadania czas o blicze ń p rz e k ro c z y ł 1 sekundę.

P rzeprow adzono ró w n ie ż eksperym enty o b lic z e n io w e d la zestaw u zadań pochodzących z b ib lio te k i [8 ] (zadania gcut0 1-1 2), dla k tó ry c h je d n a k nie udało nam się w literaturze znaleźć w a rto ści rozw iąza ń o p ty m a ln y c h ze w z g lę d u na p rzyję te tutaj k ry te riu m . R ozw iąza nia ta kie są znane p rz y założeniu ro z k ro ju g ilo ty n o w e g o ew entualnie ro z k ro ju n ie g ilo ty n o w e g o z k ry te riu m o p ty m a liz a c ji o kre ślo n ym w zo re m (2). R ó w n ie ż d la tych zadań p ro po no w an y przez nas a lg o ry tm w k ró tk im czasie (od 0 do m a ksym aln ie 5,55 s) generow ał rozw ią za n ia o w artościach ró w n y c h lub w yższych od w arto ś c i rozw iąza ń o p ty m a ln y c h podaw anych d la ro z k ro ju g ilo ty n o w e g o .

5. P o d s u m o w a n ie

Zadania o p ty m a liz a c ji ro z k ro ju m a te ria łó w , ja k w ie le in n ych zadań z zakresu o p ty m a liz a c ji d yskre tne j, należą do g ru p y p ro b le m ó w N P -tru d n ych . Ze w z g lę d u na dużą złożoność o b lic z e n io w ą tego typ u p ro b le m ó w oraz zastosow ania p raktyczne celow e je s t o p ra c o w y w a n ie oraz ro z w ija n ie e fe k ty w n y c h a lg o ry tm ó w o b lic z e n io w y c h . W n in ie jsze j p ra cy o m ó w iliś m y p ro sty w im p le m e n ta c ji a lg o ry tm o p ty m a liz a c ji ro z k ro ju n ie g ilo ty n o w e g o . Co praw da, is tn ie ją w z o ry ro z k ro ju , k tó ry c h nie m ożna uzyskać, stosując opisaną przez nas m etodę rozm ieszczania e lem entów na p ły c ie , je d n a k w e w s z y s tk ic h zadaniach testow ych, d la k tó ry c h znane są ro zw iąza nia optym alne, a lg o ry tm je zn ajdo w ał. A lg o ry tm nie m ia ł ró w n ie ż p ro ble m u z w yzna czen iem w z o ró w ro z k ro ju podanych w p ra cy [6 ], n ie m o ż liw y c h do uzyskania przez znany z lite ra tu ry heu rystyczn y a lg o ry tm B L (B o tto m L e ft A lg o rith m ) opisany w [1, 9] oraz a lg o ry tm p odany w [1 1].

W dalszych etapach badań p la n u je m y w yk o rz y s ta ć o m ó w io n y a lg o ry tm ja k o operator o p ty m a liz a c ji lo ka ln e j w o p ra c o w y w a n y m przez nas a lg o ry tm ie e w o lu c y jn y m , m og ącym znaleźć zastosow anie w o p ty m a liz a c ji zadań ro z k ro ju o w ię k s z y m rozm iarze.

B IB L IO G R A F IA

1. B a k e r B . S., C o ffm a n Jr. E. G ., R iv e s t R. L .: O rth og on al p a c k in g in tw o dim ensions. S IA M Journal o f C om p u tin g , v o l. 9, 1980, p. 846-855.

2. Beasley J. E.: A n exact tw o -d im e n s io n a l n o n -g u illo tin e c u ttin g tree-search procedure. O perations Research v o l. 33, 1985, p. 49-64.

3. Caprara A ., M o n a c i M .: O n the tw o -d im e n s io n a l knapsack p ro ble m . O perations Research Letters, v o l. 32, 2004, p. 2-14.

4. C h risto fid e s N ., W h itlo c k C .: A n a lg o rith m fo r tw o -d im e n s io n a l cu ttin g problem s. O perations Research, V o l. 2, 1977, p. 30-44

5. H ad jico n sta n ta n tin o u E., C hristo fid e s N .: A n exact a lg o rith m fo r general, o rth og o na l, tw o -d im e n s io n a l knapsack problem s, European Journal o f O p eratio n al Research, v o l. 83, 1995, p. 39-56.

6. H ad jico n sta n ta n tin o u E., Io ri M .: A h y b rid genetic a lg o rith m fo r the tw o - d im en sion al sing le large object placem ent p ro ble m . European Journal o f O p erational Research, v o l. 183, 2007, p. 1150-1166.

7. H assler R. W ., Sweeney P. E.: C u ttin g stock p ro ble m s and so lu tio n procedures.

European Journal o f O p eratio n al Research, v o l 54, 1991, p. 141-150.

8. h ttp ://p e o p le .b ru n e l.a c .u k /~ m a s tjjb /je b /in fo .h tm l

9. Jakobs S.: O n genetic a lg o rith m s fo r the p acking o f p olygons. European Journal o f O p erational Research, v o l 88, 1996, p. 165-181.

10. K ie rk o s z I.: E w o lu c y jn y a lg o ry tm o p ty m a liz a c ji d w u w y m ia ro w e g o ro z k ro ju n ie g ilo ty n o w e g o z ogran iczen ia m i. W : O p ty m a liz a c ja dyskretna. R ob otyka i s te ro w n ik i pro gram o w a lne , pod. red. R. Gessinga, T . Szkodnego, W N T , W arszaw a 2004.

11. K ie rk o s z I.: O p ty m a liz a c ja ro z k ro ju n ie g ilo ty n o w e g o m eto dą prze szukiw an ia z p o w ro ta m i. M a te ria ły X X V O g ó ln o p o ls k ie j K o n fe re n c ji "P o lio p ty m a liz a c ja i ko m p ute row e w spom aganie p ro je k to w a n ia ", M ie ln o 2007.

12. L a i K . K ., C han W . M .: A n e v o lu tio n a ry a lg o rith m fo r the rectangular c u ttin g stock p roblem . In te rn a tio n a l Journal o f In d u s tria l E n gin ee rin g, v o l 7, 1997, p. 130-139.

13. L e u n g T. W ., Y u n g C. H ., T ro u tt M . D .: A p p lic a tio n s o f genetic search and sim ulated annealing to the tw o -d im e n s io n a l n o n -g u illo tin e c u ttin g stock p roblem . C om puters & In d u s tria l E n gin ee rin g, v o l. 40, 2001, p. 201-214.

14. W a n g P. Y .: T w o a lg o rith m s fo r constrained c u ttin g stock p ro b le m . O perations Research, v o l. 31, 1983, p. 573-586.

15. W ascher G ., HauPner H ., Schum ann H .: A n im p ro v e d ty p o lo g y o f c u ttin g and p acking problem s, European Journal o f O p eratio n al Research, v o l 183, 2007, p. 1109-1130.

Recenzent: Prof. d r hab.inż. A d a m Janiak

A b s tr a c t

T he paper presents a recursive a lg o rith m fo r tw o -d im e n s io n a l n o n -g u illo tin e c u ttin g stock p roblem . The p ro ble m consists in c u ttin g m any recta ng u la r pieces, fro m a single rectangular sheet, such that the piece edges are alw ays p a ra lle l o r orth og o na l to the stock rectangle. T he o b je c tiv e is to m a x im iz e the to ta l area o f the pieces cut. W e consider the case w here there is a m a x im u m n um be r o f tim es th at a piece m ay be used in a c u ttin g pattern.

W e proposed a placem ent procedure and tree search a lg o rith m based on a branch and bound m ethod. Each c u ttin g pattern is represented b y v e c to r w h ic h in fo rm s w h a t types o f elements w i ll be considered in a g ive n pattern. A t each step, a branch and bound a lg o rith m uses the ra n k in g fu n c tio n to com pared the cost (lo ca l trim loss) o f the current p a rtia l s o lu tio n w ith to ta l cost o f the best s o lu tio n fo u n d so far.

I f the am ount o f loca l trim loss is h ig h e r than the best so lu tio n cost, the p a rtia l so lu tio n is abandoned w ith any possible expansions.

N u m e ric a l exam ples to illu s tra te the proposed a lg o rith m are solved.