Obserwatory funkcjonalne minimalnego rzędu dyskretnych układów liniowych

T a d e u s z K A C Z O R E K P o lite c h n ik a W a r s z a w s k a

OBSERWATORY FUNKCJONALNE MINIMALNEGO RZĘDU DYSKRETNYCH UKŁADÓW LINIOWYCH

S t r e s z c z e n i e . P o d a n o n o w ą m e to d ę s y n te z y ( p r o je k to w a n ia ) o b s e r w a to r ó w f u n k c jo n a ln y c h a s y m p to ty c z n y c h i d e a d b e a to w y c h ' m in im a ln e g o r z ę d u d y s k re tn y c h u k ła d ó w lin io w y c h . S f o r m u ło w a n o w a ru n k i is tn ie n ia s ta ty c z n e g o s p r z ę ż e n ia o d w y jś c ia u k ła d u , k tó r e d o k ła d n ie o d tw a rz a z a d a n ą f u n k c ję lin io w e g o w e k to r a s ta n u o r a z w a r u n k i is tn ie n ia o b s e r w a to r ó w f u n k c jo n a ln y c h a s y m p to ty c z n y c h i d e a d b e a to w y c h m in im a ln e g o rz ę d u . P o d a n o r ó w n ie ż p r o c e d u r y s y n te z y ty c h o b s e r w a to r ó w f u n k c jo n a ln y c h o r a z s ta ty c z n e g o s p r z ę ż e n ia o d w y jś c ia . P ro c e d u ry te z o s ta ły z ilu s tr o w a n e p rz y k ła d a m i n u m e ry c z n y m i.

DESIGN OF FUNCTIONAL OBSERVERS OF MINIMAL ORDER FOR LINEAR DISCRETE-TIME SYSTEMS

S u m m a r y . A n e w m e th o d fo r d e s ig n in g o f th e a s y m p to tic a n d d e a d b e a t fu n c tio n a l o b s e r v e r s o f m in im a l o r d e r fo r lin e a r d is c r e te - tim e s y s te m s is p ro p o s e d . N e c e s s a r y a n d s u f f ic ie n t c o n d itio n s a re e s ta b lis h e d f o r th e e x is te n c e o f a s ta tic o u tp u t- f e e d b a c k th a t r e c o n s tr u c t e x a c tly a g iv e n lin e a r fu n c tio n o f s ta te v e c to r. E x is te n c e c o n d itio n s o f th e a s y m p to tic a n d d e a d b e a t fu n c tio n a l o b s e rv e rs o f m in im a l o r d e r a re a ls o e s ta b lis h e d . P r o c e d u re s fo r c o m p u ta tio n o f m a tr ic e s o f th e fu n c tio n a l o b s e r v e r a n d th e s ta tic o u tp u t- f e e d b a c k a re d e riv e d a n d illu s tra te d by n u m e ric a l e x a m p le s .

1. Wprowadzenie

O b s e r w a to r e m fu n k c jo n a ln y m n a z y w a m y u k ła d d y n a m ic z n y , k tó ry n a p o d s ta w ie z n a jo m o ś c i w y m u s z e n ia i o d p o w ie d z i o b ie k tu w y z n a c z a e s ty m a tę z a d a n e j fu n k c ji lin io w e j w e k to ra s ta n u te g o o b ie k tu (u k ła d u ). O b s e r w a to r f u n k c jo n a ln y o s k o ń c z o n y m c z a s ie tr w a n ia p rz e b ie g ó w p r z e jś c io w y c h n a z y w a m y d e a d b e a to w y m , a s ta b iln y o b s e r w a to r f u n k c jo n a ln y o n ie s k o ń c z o n y m c z a s ie tr w a n ia p r z e b ie g ó w p rz e jś c io w y c h o b s e r w a to r e m a s y m p to ty c z n y m . O b s e rw a to ry fu n k c jo n a ln e u k ła d ó w lin io w y c h b y ły r o z p a try w a n e w w ie lu p r a c a c h [1, 4 , 7-

10]. W o s ta tn ic h la ta c h d u ż o u w a g i p o ś w ię c o n o a lg o ry tm o m sy n te z y ( p r o je k to w a n ia ) o b s e r w a to r ó w f u n k c jo n a ln y c h m in im a ln e g o rz ę d u c ią g ły c h u k ła d ó w lin io w y c h . C h ia -C h i T s u i w p r a c a c h [8 -1 0 ] p o d a ł ró ż n e a lg o ry tm y o ra z c o ra z to le p s z e o s z a c o w a n ie m in im a ln e g o rz ę d u o b s e r w a to r ó w fu n k c jo n a ln y c h lin io w y c h u k ła d ó w c ią g ły c h . N a jle p s z e z ty c h o s z a c o w a ń m in im a ln e g o r z ę d u j e s t n a s tę p u ją c e [8]:m in { n , vi + . . . + v„} o ra z m in { n - p , (vi - 1 ) + . . . + (vm - 1 ) } , g d z ie n , m , p i v,- (i = 1, ... , p ) s ą o d p o w ie d n io rz ę d e m o b ie k tu , lic z b ą w e jś ć , lic z b ą w y jś ć o b ie k tu o r a z in d e k s a m i o b s e rw o w a ln o ś c i o b ie k tu .

C e le m tej p r a c y j e s t p o d a n ie n o w e j m e to d y sy n te z y (p ro je k to w a n ia ) o b s e r w a to r ó w f u n k c jo n a ln y c h a s y m p to ty c z n y c h i d e a d b e a to w y c h m in im a ln e g o r z ę d u d y s k r e tn y c h u k ła d ó w lin io w y c h . Z o s ta n ą p o d a n e w a ru n k i is tn ie n ia s ta ty c z n e g o s p r z ę ż e n ia o d w y jśc ia ,, k tó re d o k ła d n ie o d tw a r z a z a d a n ą f u n k c ję lin io w ą w e k to r a s ta n u o b ie k tu o ra z w a r u n k i is tn ie n ia o b s e r w a to r ó w f u n k c jo n a ln y c h a s y m p to ty c z n y c h i d e a d b e a to w y c h m in im a ln e g o rz ę d u . Z o s t a n ą p o d a n e r ó w n ie ż p r o c e d u ry sy n te z y ty c h o b s e r w a to r ó w fu n k c jo n a ln y c h o ra z s ta ty c z n e g o s p r z ę ż e n ia o d w y jś c ia .

2. Sformułowanie zadania

N ie c h R "*"' b ę d z ie z b io r e m m a c ie rz y o e le m e n ta c h z c ia ła lic z b rz e c z y w is ty c h i w y m ia r a c h n x m o r a z R " = R " * '. D a n y j e s t d y s k re tn y u k ła d lin io w y o p is a n y r ó w n a n ie m

xm

= A

, + B

,

y l = C x i , ( l b )

p r z y c z y m x ; e R ", u, e R " ‘ i y j 6R p s ą o d p o w ie d n io w e k to r a m i s ta n u , w y m u s z e n ia (s te r o w a n ia ) i o d p o w ie d z i, a A , B i C m a c ie rz a m i rz e c z y w is ty m i o o d p o w ie d n ic h w y m ia ra c h . Z a k ła d a m y , ż e p a r a (A, C ) j e s t o b s e r w o w a ln a o ra z rz ą d C = p.

P o s z u k iw a ć b ę d z ie m y o b s e r w a to r a fu n k c jo n a ln e g o m in im a ln e g o r z ę d u r u k ła d u (1) o p is a n e g o ró w n a n ia m i:

z, = F z , + G u i + H y , , z , 6R r , F e R rxr, Ge R n m , H e R ” ” (2 a)

w, = L z t + M y i , w , e R ' , L G R * ' r , M e R‘,xp, (2 b )

k tó ry o d tw a r z a a s y m p to ty c z n ie , tj. lim [ w ,- Kic,] = 0 , z a d a n ą f u n k c ję w e k to r a s ta n u i-»«

K x n (3)

p r z y c z y m m a c ie r z K e R * * " j e s t z n a n a .

Z a d a n ie n a s z e m o ż n a w ię c s fo rm u ło w a ć n a s tę p u ją c o : Z n a n e s ą m a c ie r z e A , B , C u k ład u (1 ) o r a z m a c ie r z K . N a le ż y w y z n a c z y ć m in im a ln y rz ą d r o r a z m a c ie r z e F , G , H, L i M o b s e rw a to ra (2).

3. Rozwiązanie zadania

3.1. O b s e r w a t o r y a s y m p to t y c z n e

N ie c h

e, = z , - T x t , T e R ™ (4 )

K o rz y s ta ją c z (4 ), (1 ) i (2 a ) m o ż e m y n a p is a ć

e M = Z M - T x M = F z i + G u i + H y< ~ T ( A x i + B u i ) =

(5)

= F e + { F T + H C - T A )x, + (G - TB)u, D la

F T + H C - T A = Q i G = T B (6)

z a leż n o ść (5 ) p r z y jm u je p o s ta ć

e M = F e i (?)

R o z w ią z a n ie

e , = F ' e 0

(

)

ró w n a n ia (7) z a n ik a a s y m p to ty c z n ie d o z e r a d la i co d la d o w o ln e g o e (0) w te d y i ty lk o w tedy, g d y m a c ie r z F m a w s z y s tk ie w a r to ś c i w ła s n e w e w n ą tr z k o la je d n o s tk o w e g o (je s t m a c ie rz ą S c h u ra ).

Z z a le ż n o ś c i (4 ) w y n ik a , ż e z, - > T xi w te d y i ty lk o w te d y , g d y e ( -*■ 0 d la / - » <x>. W tym p rz y p a d k u w s ta n ie u s ta lo n y m

K x , = ( L T + M C ) x , (9 )

o ra z

~ T C

W r ó w n a n iu (1 0 ) z n a n e s ą m a c ie r z e K i C , a p o s z u k u je m y m a c ie r z y L , M i T o m o żliw e n a jm n ie js z e j lic z b ie w ie r s z y m a c ie r z y T.

Z tw ie r d z e n ia K r o n e c k e r a -C a p e lle g o [5] w y n ik a , ż e is tn ie je m a c ie r z M e R ‘l*p ta k a , że K = M C w te d y i ty lk o w te d y , g d y

K = L T + M C = [L M

( 10 )

r z ą d C = r z ą d

OD

W ty m p r z y p a d k u T = 0 , r = 0 re k o n s tr u k c ja fu n k c ji s ta n u (3 ) n ie w y m a g a o b s e rw a to ra d y n a m ic z n e g o (2 ), a j e d y n ie w y z n a c z e n ia m a c ie rz y A /ja k o r o z w ią z a n ia ró w n a n ia M C = K . P a r a (A ,C ) (u k ła d (1 )) j e s t o b s e r w o w a ln a w te d y i ty lk o w te d y , g d y

p r z y c z y m

2

r z ą d Q = n ,

C C A

C A "

( 12)

, A e R " * " , C e R p*"

W d a ls z y c h ro z w a ż a n ia c h k o rz y s ta ć b ę d z ie m y z n a s tę p u ją c e g o le m a tu , k tó re g o d o w ó d p o d a n y j e s t w d o d a tk u .

L e m a t 1. D la d a n e j p a r y ( A ,C ) is tn ie ją m a c ie rz e n ie o s o b liw e T e R " " " , C i e R p*p oraz m a c ie r z A, e R 'Kp ta k ie , ż e

A = T A T ' ] =

w te d y i ty lk o w te d y , g d y

A "-P

"o

, c = c r ' = [ c , o]

rz ą d C C A

C A "

= n ,

g d z ie q j e s t n a jm n ie js z ą l ic z b ą n a tu r a ln ą n ie m n ie js z ą o d n ~ P

N ie c h

K = [ K ] , K 2 ] , K l e R ,r*/’ , K 1 e , T = [7 ],r2] , 7; e R n,p,T7 e R J e ż e li m a c ie r z C m a p o s ta ć

C = [C,

o],

to k o r z y s ta ją c z (1 0 ) i (1 5 ) o trz y m u je m y [ J f , , K 2 ] = i [ 7 j , ] + M [ C , , 0] o ra z

K i = L T ] + M C l

K-i - L T 2

rx{n-p)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17a) (17b)

N ie c h r z ą d K 2 = r < q . Z z a le ż n o ś c i (1 7 b ) o r a z z fa k tu , ż e r z ą d [ L T 2 \ < m in ( r z ą d L , r z ą d T2 ) [5] w y n ik a , ż e lic z b a w ie r s z y m a c ie rz y T m o ż e b y ć c o n a jw y ż e j r ó w n a r . S ta n o w i to d o ln e o g ra n ic z e n ie n a m in im a ln y rz ą d p o s z u k iw a n e g o o b s e r w a to r a (2).

Z z a le ż n o ś c i (6) i (1 6 ) m a m y

o raz

[TA - F T

[ T A - F T

[:T A - F T 0

= / / [ C , 0]

= //c,

= 0

Jeż eli m a c ie r z A m a p o s ta ć

A = »-p

"0 to r ó w n a n ie (20) p r z y jm u je p o s ta ć

' 0 ~ [ 7 „1

= ^"-p o r a z T

J - p . 0 \J " -n

ln - p

o

■

t

gdyż A

N ie c h F b ę d z ie s t a b il n ą m a c ie r z ą d ia g o n a ln ą

F = d ia g [ z l z2 ... z r \ z , * Z j d la ; * / , | z , | < 1 , / = 1 , .. ., r B io rąc p o d u w a g ę (2 3 ) i T = [i(J] e R ™ m o ż e m y r ó w n a n ie (2 2 ) n a p is a ć w p o s ta c i

' n ■ I \j i-p Z \l\,p * \ Z \ l \ .p * l Z \ ! \ j i

h i • ' -p =

Z2i 2. p +1 Z2 i 2 ,p +2 ' ' Z l l l j i

J r\ K i r p i- p _ _Z r ! r ,p * 1 Z A r .p + l ’ Z A r p i

(1 8 )

(1 9 )

(20)

(21)

(22)

(2 3 )

(2 4 )

R ó w n o ś ć (2 4 ) o k r e ś la z a le ż n o ś c i m ię d z y e le m e n ta m i m a c ie rz y T o r a z p o z w a la c z ę ś ć tych e le m e n tó w w y b ra ć d o w o ln ie i w y r a z ić p o z o s ta łe e le m e n ty w fu n k c ji ty c h w y b ra n y c h . Jeżeli n < 2 p , i o m a c ie r z T2 m o ż n a w y b ra ć d o w o ln ie , a 7j = F T 2 .

Z n ając K 2 i T2 m o ż e m y w y z n a c z y ć z r ó w n a n ia (1 7 b ) m a c ie r z L w te d y i ty lk o w te d y , g d y

rz ą d T2 = r z ą d L^2J

(2 5 )

N a s tę p n ie z n a ją c 7 j , L \ , L i C \ z ró w n a n ia (1 7 a ) m o ż e m y w y z n a c z y ć m a c ie r z

M = ( K l - L T i ) Cr1 (2 6 )

Z p r z e d s ta w io n y c h r o z w a ż a ń w y n ik a n a s tę p u ją c a p r o c e d u r a s y n te z y o b s e rw a to ra f u n k c jo n a ln e g o (2) d la u k ła d u (1).

P r o c e d u r a 1

K r o k 1 . M a c ie r z e A , C s p ro w a d z a m y d o p o s ta c i k a n o n ic z n e j (1 4 ).

K r o k 2. W y z n a c z a m y rz ą d m a c ie rz y K 2 i p r z y jm u je m y r = r z ą d K i .

K r o k 3 . P rz y jm u ją c m a c ie r z F w p o s ta c i (2 3 ) w y z n a c z a m y o g r a n ic z e n ia (2 4 ) na e le m e n ty m a c ie r z y T o r a z m a c ie r z e T i i T\.

K r o k 4. S p ra w d z a m y c z y j e s t s p e łn io n y w a ru n e k (2 5 ). J e ż e li ta k , to z r ó w n a n ia (17b) w y z n a c z a m y m a c ie r z L . J e ż e li w a r u n e k (2 5 ) n ie j e s t s p e łn io n y , to z w ię k s z a m y r o je d e n i p o w ta r z a m y k r o k 3.

K r o k 5. Z z a le ż n o ś c i (2 6 ) o ra z

G = T B , H = [7/1, - F T } ] C “' ' (2 7 )

w y z n a c z a m y m a c ie r z e M ,G i H .

K r o k 6. K o rzy stając z ró w n a ń (2) w y zn acz am y p o szu k iw an y o b se rw a to r fu n k cjo n aln y (2).

U w a g a . R z ą d o b s e r w a to r a (2 ) n ie p r z e k r a c z a w a r to ś c i n - p , g d y ż d la r = n - p m a c ie r z T2 j e s t m a c i e r z ą n i e o s o b li w ą i w a r u n e k (2 5 ) j e s t s p e łn io n y d la k a ż d e j m a c ie r z y K 2 .

L e m a t 2 . J e ż e li m a c ie r z T2 m o ż n a w y b ra ć d o b r o w o ln ie i r z ą d K 2 = r , to L = K 2], p r z y c z y m K 2 = K 2tK 22, K 2t e R "* r , K 22 e R r‘(" - p ) .

D o w ó d . J e ż e li rz ą d K 2 = r , to m a c ie r z K 2 m o ż n a p r z e d s ta w ić j a k o ilo c z y n m acierzy K21 i K21, z k tó ry c h k a ż d a m a rz ą d ró w n y r [5 ], J e ż e li T2 j e s t d o w o ln a , to m o ż e m y w ybrać T2 = K22, a w te d y z g o d n ie z ( 1 7 b ) L = K 2 l .

Z p o w y ż s z y c h ro z w a ż a ń w y n ik a w ię c n a s tę p u ją c e tw ie rd z e n ie .

T w i e r d z e n i e 1. J e ż e li u k ła d (1 ) s p e łn ia w a r u n e k (1 4 ), to is tn ie je o b s e r w a to r fu n k c jo ­ n a ln y (2) r z ę d u r s p e łn ia ją c y w a r u n e k

rz ą d K 2 < r < n - p (28)

P r z y k ł a d 1. W y z n a c z y ć o b s e r w a to r f u n k c jo n a ln y (2 ) u k ła d u (1 ) o m a c ie rz a c h :

A =

~2 1 1 0' ' 1 0'

0 2 0 1

, B = 0 1

1 - 1 0 0 - 1 2

_1 2 0 0_ _1 0

, C = 1 0 0 0

0 1 0 0

(2 9 )

który o d tw a r z a a s y m p to ty c z n ie f u n k c ję l in i o w ą K x , d la

K =

1 2 1 - 1

3 4 - 2 2

(3 0 )

W ty m p r z y p a d k u m a m y n - 4 , m = p - q = 2 . Ł a tw o s p r a w d z ić , ż e p a r a (A, Q s p e łn ia w aru n ek (1 4 ). I s tn ie je w ię c o b s e r w a to r f u n k c jo n a ln y (2 ) d la te g o u k ła d u . K o r z y s ta ją c z p ro c ed u ry 1 o tr z y m a m y k o le jn o :

K r o k 1 . P a r a ( A , Q m a c ie rz y (2 9 ) m a j u ż p o s ta ć k a n o n ic z n ą (1 4 ), a m a c ie r z C , = I 2. K r o k 2 . Z (3 0 ) m a m y

" 1 - f K 2 =

•2 2 ^{, r} = rz ą d K 2 = 1

K r o k 3 . P rz y jm u ją c F = [ o .l] z z a le ż n o ś c i (2 4 ) d la 7’ = [7 j, r 2] = [ f ,,/2 : / 3, / J o tr z y m a m y [/,, / , ] = [ O . l f j . O . l t J .

M a c ie r z T2 = [f3, tĄ ] m o ż e m y w ię c w y b ra ć d o w o ln ie .

K r o k 4. W a r u n e k (2 5 ) j e s t s p e łn io n y d la T2 = [l, — l ] , a m a c ie r z L =

m a c ie r z K 2 m o ż e m y p r z e d s ta w ić w p o s ta c i

k2 = \ 1 ~ l 1= [ 1 ][1 - 1]

2 -2 2

2

K r o k 5. K o r z y s ta ją c z z a le ż n o ś c i (2 6 ) i (2 7 ) o trz y m a m y '0 . 9 , 2.1

, g d y ż

M = ( K t - 7 , 7 j ) C | = ,G = T B = [-1.9 , 1 . 9 ] , H = [TA{ - F T X] C f = [0.19 , - 3 .0 9 ] 3 .2 , 3.8

K r o k 6. P o s z u k iw a n y o b s e r w a to r f u n k c jo n a ln y m a p o s ta ć

s M = 0 .1 z ( + [ - 1 . 9 ,1 .9 ] w , + [ 0 . 1 9 , - 3 . 09]y,-

y.

‘ 1 ' z , +

'0.9, 2.1"

- 2 ^l 3 .2 , 3.8

Is to tn y w p ły w n a m in im a ln y r z ą d o b s e r w a to r a f u n k c jo n a ln e g o m a m a c ie r z K . D la tego s a m e g o u k ła d u (1 ) a le r ó ż n y c h K o trz y m a m y n a o g ó ł ró ż n e m in im a ln e r z ę d y o b s e rw a to ró w fu n k c jo n a ln y c h (2).

P r z y k ł a d 2 . N ie c h m a c ie rz e A , B ,C u k ła d u (1 ) m a j ą p o s ta ć (2 9 ), a łe m a c ie r z K niech m a p o s ta ć

" 1 2 1 1*

3 4 - 2 2

r ó ż n ią c ą s ię o d (3 0 ) ty lk o z n a k ie m o s ta tn ie g o e le m e n tu p ie rw s z e g o w ie rs z a . K o r z y s ta ją c z p r o c e d u r y 1 o trz y m a m y k o le jn o :

K r o k 1 . P a r a ( A , Q m a c ie rz y (2 9 ) m a j u ż p o s ta ć k a n o n ic z n ą (1 4 ), a m a c ie r z C , = I 2 . K r o k 2 . Z (3 1 ) m a m y

" 1 f

K = (31)

K 2 = -2 2

K r o k 3 . P r z y jm u ją c F = 0.1 0 0 0.2

o r a z r = r z ą d K 2 = 2

z z a le ż n o ś c i 7j = F T 2 o trz y m a m y

' ‘ u 'n *0.1/, j 0 . 1 / , / J l l l 22. 0.2 /23 0 .2 /24_

M a c ie r z T2 m o ż e m y w ię c w y b ra ć d o w o ln ie .

K r o k 4 . W a r u n e k (2 5 ) j e s t s p e łn io n y d la k a ż d e j n ie o s o b liw e j m a c ie rz y T2 . R o z w ią z u ją c ró w n a n ie (1 7 b ) d la T2 = I 2 o trz y m a m y

L = K J - ' = \ X 1

r 2 2 .

K r o k 5 . K o r z y s ta ją c z z a le ż n o ś c i (2 6 ) i (2 7 ) o trz y m a m y

O kO bo - 0 . 9 , 2 *1.19 , - 0 .9 '

M = ( K t - L T {) C ; ' =

3 .2 , 3 .6 , G = T B =

1 ,0.2 ^, H = [TAt - F T { ]C,_1 =

1 ,2 .3 6 K r o k 6. P o s z u k iw a n y o b s e r w a to r f u n k c jo n a ln y m a p o s ta ć

*0.1 , 0* ' - 0 . 9 , 2*

0 , 0.2 ^{2 i +} 1 > ° - 2 . M, +

' 1 , 1 * z( +

“ 2 >

2

0 . 9 , 1 . 8 ' 3 .2 , 3 .6

" 1 . 1 9 , - 0 . 9 1 , 2 . 3 6

y.

y,

3.2. O b s e r w a t o r y d e a d b e a t o w e

O b s e r w a to r e m d e a d b e a to w y m n a z y w a m y o b s e r w a to r o s k o ń c z o n y m c z a s ie tr w a n ia p rz e b ie g ó w p r z e jś c io w y c h . O b s e r w a to r f u n k c jo n a ln y (2 ) n a z y w a ć b ę d z ie m y o b s e r w a to r e m d e a d b e a to w y m u k ła d u (1) w te d y i ty lk o w te d y , g d y is tn ie je lic z b a n a tu r a ln a r0 ta k a , ż e

w , = K x , d la w s z y s tk ic h i > r0 (3 2 )

W y k a ż e m y , ż e je ż e l i u k ła d (1 ) s p e łn ia w a r u n e k ( 1 4 ), to is tn ie je o b s e r w a to r d e a d b e a to w y o p o s ta c i (2), d la k tó re g o r0 s p e łn ia w a r u n e k

l < r z ą d K 2 ś r 0 < n - p (3 3 )

Z a k ła d a m y , ż e m a c ie r z e A i C m a j ą p o s t a c ie o d p o w ie d n io (1 6 ) i (2 1 ).

W p rz y p a d k u o b s e r w a to r a d e a d b e a to w e g o j a k o m a c ie r z F w y b ie r a m y m a c ie r z n i l p o t e n t n ą o p o sta ci

F = 0 : L

0

e R r (3 4 )

W ty m p r z y p a d k u r ó w n a n ie (2 2 ) m a p o s ta ć

' u tn ■ ^2,p+\ ^2,p+2 l2j,

^ 2 1 ‘n ' = h,p*i t},p+2

lr\ Ki Kji-p _ G.p+l

0

‘r,p*2

0

■ <r,

■ 0

(3 5 )

R ó w n o ś ć (3 5 ) o k r e ś la z a le ż n o ś c i m ię d z y e le m e n ta m i m a c ie rz y T o r a z p o z w a la c z ę ś ć tych e le m e n tó w w y b r a ć d o w o ln ie i p o z o s ta łe e le m e n ty w y ra z ić w fu n k c ji ty c h w y b ra n y c h . Jeżeli n < 2 p , t o m a c ie r z T2 m o ż n a w y b ra ć d o w o ln ie , a 7j = F T 2 .

L e m a t 3 . J e ż e li m a c ie r z T2 m o ż n a w y b ra ć d o w o ln ie , to

r0 = r = r z ą d K 2 (3 6 )

D o w ó d . J e ż e li Tj m o ż n a w y b ra ć d o w o ln ie , to w a r u n e k (2 5 ) j e s t s p e łn io n y i z ró w n a n ia ( 1 7 b ) m o ż e m y w y z n a c z y ć m a c ie r z L , a n a s tę p n ie z z a le ż n o ś c i (2 6 ) i (2 7 ) m a c ie r z e M ,G i H . J e ż e l i m a c ie r z F m a p o s ta ć (3 4 ), to ła tw o w y k a z a ć , ż e

F ‘ = 0 d la / > r (3 7 )

W ty m p r z y p a d k u z (8) m a m y e, = 0 d la i > r, a to im p lik u je s p e łn ie n ie w a r u n k u (3 2 ) d la ' ^ rt = r

.

Z p r z e d s ta w io n y c h ro z w a ż a ń w y n ik a n a s tę p u ją c e tw ie rd z e n ie :

T w i e r d z e n i e 2 . J e ż e li u k ła d (1 ) s p e łn ia w a ru n e k (1 4 ), to is tn ie je d e a d b e a to w y o b s e r w a to r fu n k c jo n a ln y (2) rz ę d u r s p e łn ia ją c y w a ru n e k

l < r z ą d K 2 < r < n - p , (3 8 )

k tó r y o d tw a r z a d o k ła d n ie f u n k c ję lin io w ą K x , p o c z a s ie n ie d łu ż s z y m n iż je g o rz ą d . P r o c e d u ra s y n te z y d e a d b e a to w e g o o b s e r w a to r a j e s t n a s tę p u ją c a :

P r o c e d u r a 2 .

K r o k i 1 i 2 s ą ta k ie s a m e j a k w p r o c e d u r z e 1.

K r o k 3 . P r z y jm u ją c m a c ie r z F w p o s ta c i (3 4 ) w y z n a c z a m y o g r a n ic z e n ia (3 5 ) n a e le m e n ty m a c ie r z y T o r a z m a c ie rz e T2 i 7j .

K r o k i 4 - 6 s ą ta k ie s a m e j a k w p r o c e d u r z e 1.

Przykład 3.

(1)

o m a c ie r z a c h ( 2 9 ) i m a c ie r z y K o p o s ta c i (3 1 ).

K r o k i 1 i 2 s ą ta k ie s a m e , j a k w p rz y k ła d z ie 2 , a w ię c r - 2 . ro r

K r o k 3 . P r z y jm u ją c F = z z a le ż n o ś c i (3 5 ) o trz y m a m y

M a c ie r z T2 =

l r2i i u j

0 0

m o ż e m y w y b ra ć d o w o ln ie , a 7j =

ta ^>23

f 22. 0 0 _

p rz y c z y m t2 i t22 s ą ró w n ie d o w o ln e .

K r o k 4 . M a c ie r z T2 w y b ie ra m y ta k , a b y b y ł s p e łn io n y w a r u n e k (2 5 ), n a p rz y k ła d

T2 = I 2 . W ty m p rz y p a d k u z ró w n a n ia (1 7 b ) d o s ta n ie m y L = K 2 =

K r o k 5 . P r z y jm u ją c Tt =

0 1

0 0

2 2

z z a le ż n o ś c i (2 6 ) i (2 7 ) o trz y m a m y

' i r - 1 3 "1 r

_3 6 , G = T B =

1 ° . 1 2_

M = ( K , - L T l ) C ' ' =

K r o k 6. P o s z u k iw a n y d e a d b e a to w y o b s e r w a to r f u n k c jo n a ln y m a p o s ta ć

'0 l '-1 2

JN II

0 0

z , +

1 0_w, -

' 1 r '1 1 *

=

1 1

1 2

y>

y,

4. Wnioski, uogólnienia i problemy otwarte

P o d a n o n o w ą m e to d ę s y n te z y o b s e r w a to r ó w fu n k c jo n a ln y c h a s y m p to ty c z n y c h i d e a d b e a to w y c h m in im a ln e g o r z ę d u d y s k re tn y c h u k ła d ó w lin io w y c h . S fo rm u ło w a n o w a ru n k i k o n ie c z n e i w y s ta r c z a ją c e is tn ie n ia s ta ty c z n e g o s p r z ę ż e n ia z w ro tn e g o o d w y jś c ia , k tó re d o k ła d n ie ( z u c h y b e m z e ro w y m ) o d tw a r z a z a d a n ą fu n k c ję lin io w ą w e k to r a s ta n u . W y k a z a n o , że je ż e li u k ła d s p e łn ia w a r u n e k (1 4 ), to is tn ie je o b s e r w a to r f u n k c jo n a ln y a s y m p to ty c z n y rzęd u r, s p e łn ia ją c e g o w a r u n e k (2 8 ) o r a z o b s e r w a to r fu n k c jo n a ln y d e a d b e a to w y r z ę d u r, s p e łn ia ją c e g o w a r u n e k (3 8 ), k tó ry o d tw a r z a d o k ła d n ie z a d a n ą f u n k c ję lin io w ą w e k to r a s ta n u po c z a s ie n ie d łu ż s z y m n i ż je g o rz ą d . P o d a n o p r o c e d u ry w y z n a c z a n ia ty c h o b s e r w a to r ó w , k tó re z o s ta ły z ilu s tr o w a n e n a tr z e c h p r z y k ła d a c h . M e to d ę s y n te z y a s y m p to ty c z n y c h o b s e rw a to ró w fu n k c jo n a ln y c h m o ż n a s to s o w a ć r ó w n ie ż d o c ią g ły c h u k ła d ó w lin io w y c h . P ro b le m e m o tw a r ty m j e s t u o g ó ln ie n ie tej m e to d y n a u k ła d y s in g u la m e [4] o r a z s ta n d a r d o w e i s in g u la rn e u k ła d y d w u w y m ia r o w e [4 ,6 ].

L IT E R A T U R A

1. K a c z o r e k T .: P e r f e c t fu n c tio n a l o b s e r v e r s o f s in g u la r c o n tin u o u s - tim e lin e a r s y s te m s , M a c h in e In te llig e n c e & R o b o tic C o n tro l, v o l. 3 , N o 2 , 2 0 0 1 , p p . 7 7 -8 2 .

2. K a c z o re k T .: F u ll- o r d e r p e r fe c t o b s e r v e r s fo r c o n tin u o u s - tim e lin e a r s y s te m s , P o m ia ry A u to m a ty k a K o n tr o la , 1 /2 0 0 1 .

3. K a c z o r e k T .: F u ll- o r d e r P e r f e c t O b s e rv e rs fo r C o n tin u o u s - tim e L in e a r S y s te m s , B u ll. P o l.

A c a d . T e c h . S c i., V o l. 4 9 , N o . 4 , 2 0 0 1 .

4. K a c z o r e k T .: T e o r ia s te r o w n ia i s y s te m ó w . P W N , W a r s z a w a 1 9 9 9 .

5. K a c z o re k T .: W e k to r y i m a c ie r z e w a u to m a ty c e i e le k tro te c h n ic e . W N T , W a r s z a w a 199 8 . 6. K a c z o re k T .: P e r f e c t O b s e r v e r s fo r S in g u la r 2 -D F o m a s in i- M a r c h e s in i M o d e ls , IE E E

T ra n s . A u to m . C o n tro l, V o l. 4 6 , N o . 10, 2 0 0 1 , p p . 1-4.

7. O ’ R e illy J.: O b s e r v e r s fo r L in e a r S y s te m s , A c a d e m ic P re s s , L o n d o n 1 983.

8. T s u i C .C .:W h a t is th e M in im u m F u n c tio n O b s e r v e r O rd e r ? , J o u rn a l o f T h e F ra n k lin In s titu te , V o lu m e : 3 3 5 , Iss u e : 4 , M a y , 1 9 9 8 , p p . 6 2 3 -6 2 8 .

9. T su i C .C .: A N e w A lg o r ith m f o r D e s ig n o f M u ltifu n c tio n a l O b s e rv e rs , I E E E T ra n s . A u to m . C o n tro l, V o l. A C -3 0 , 1 9 8 5 , p p . 8 9 -9 3 .

10. T su i C .C .:, O n th e o r d e r re d u c tio n o f lin e a r f u n c tio n o b s e rv e rs , I E E E T ra n s . A u to m . C o n tro l, V o l. A C - 3 1 ,1 9 8 6 , p p . 4 4 7 -4 4 9 .

R e c e n z e n t: P ro f. d r h a b . J e r z y K la m k a

A b s t r a c t

In th e p a p e r lin e a r f in ite -d im e n s io n a l, d is c re te -tim e c o n tro l s y s te m s w ith c o n s tra in t c o e f f ic ie n ts a re c o n s id e r e d . N e x t, o b s e r v a tio n p r o b le m f o r th e s e s y s te m s is d e f in e d and e x p la in e d . M o r e o v e r , f o r m a l d e f in itio n o f d e a d b e a t fu n c tio n a l o b s e r v e r is g iv e n .

A n e w m e th o d fo r d e s ig n in g o f th e a s y m p to tic a n d d e a d b e a t f u n c tio n a l o b s e r v e r s o f m in im a l o r d e r f o r lin e a r d is c re te -tim e s y s te m s is p ro p o s e d , n e c e s s a ry a n d su ffic ie n t c o n d itio n s a re e s ta b lis h e d f o r th e e x is te n c e o f a s ta tic o u tp u t- f e e d b a c k th a t r e c o n s tr u c t e x a c tly a g iv e n lin e a r f u n c tio n o f s ta te v e c to r, e x is te n c e c o n d itio n s o f th e a s y m p to tic a n d d e a d b e a t f u n c tio n a l o b s e r v e r s o f m in im a l o r d e r a re a ls o e s ta b lis h e d , p r o c e d u r e s fo r c o m p u ta tio n o f m a tr ic e s o f th e f u n c tio n a l o b s e r v e r a n d th e s ta tic o u tp u t- f e e d b a c k a re d e r iv e d a n d illu stra te d b y n u m e r ic a l e x a m p le s .

F u n c tio n a l o b s e r v e r s fo r d iffe re n t ty p e s o f d y n a m ic a l s y s te m s h a v e b e e n d is c u s s e d in m a n y p a p e r s a n d m o n o g ra p h s . T h e p r e s e n t p a p e r e x te n d s c e rta in r e s u lts g iv e n in p ap ers [1 ,4 ,7 -1 0 ]. M o r e o v e r , th e p a p e r c o n ta in s s e v e ra l re m a rk s a n d c o m m e n ts c o n c e r n in g d e ad b e at o b s e r v e r s f o r lin e a r d is c re te c o n tro l sy s te m s.

L e m a t 1. D la d a n e j p a r y (A ,C ) is tn ie ją m a c ie rz e n ie o s o b liw e T e e R pxp oraz m a c ie r z A t e R "* p ta k ie , ż e

D o d a t e k

A

TAT''

w te d y i ty lk o w te d y , g d y

C

C A (A.2)

rz ą d

C A "

g d z ie q j e s t n a jm n ie js z ą l ic z b ą n a tu r a ln ą n ie m n ie j s z ą o d —— — P

D o w ó d

N iech

o raz

T =

4 =

^<7+1

K o r z y s ta ją c ( A . l ) , (A .3 ) i ( A .4 ) o trz y m a m y :

C = [C , 0 ] 7 \ c z y li 7j = Cj“'C oraz

X X

' A, I 0 ••• 0

Ti A = 1

^2

P

0 _{X •}•• 0 ^Ti

. V

^q*1 0 0 • •• 0

Z (A .6) m a m y

czyli

T,A = A,T, + T „ T 2A = A A + T ^ - Ą A = A qTt + T q t i,

Tm = TjA - A ,7j d la / = 1,..., ą

(A .3 )

(A .4 )

(A .5 )

(A .6)

(A .7 )

K o r z y s ta ją c z ( A .7 ) w y k a ż e m y , ż e m a c ie r z T j e s t n ie o s o b liw a w te d y i ty lk o w te d y , gdy j e s t s p e łn io n y w a r u n e k (A .2 ). B io r ą c p o d u w a g ę (A .3 ), (A .5 ) i ( A .7 ) m o ż e m y n a p is a ć

Z z a le ż n o ś c i ( A .8) w y n ik a , ż e

f t 1 ^{c r ' c "C}

t-r••• = r z ą d q 'C A

= rz ą d C A

7 i A"_ c;'CAq_ CA"