Algorytm NEH dla F

Algorytm NEH dla F

||C

Mariusz Makuchowski

4 kwietnia 2019

Sformułowanie problemu: F ||C

.

Mamy do wykonania zbiór zadań J = (1, ..., n) na zbiorze maszyn M = (1, ..., m).

Każde zadanie przechodzi kolejno przez wszystkie maszyny od 1 do m.

Dane są p_{i ,k} ­ 0 czasy trwania zadania i ∈ J na maszynie k ∈ M.

Analizujemy werję permutacyjną

Przykład:

Dane: n = 4, m = 3

p_1,1= 1 p_2,1 = 4 p_3,1 = 3 p_4,1 = 2 p_1,2= 1 p_2,2 = 1 p_3,2 = 4 p_4,2 = 4 p1,3= 3 p2,3 = 2 p3,3 = 3 p4,3 = 1

kolejność π = (1, 2, 3, 4) m₁ J₁ J₂ J₃ J₄

m2 J1 J2 J3 J4

m₃ J₁ J₂ J₃ J₄

Cmax= 17

Przykład:

Dane: n = 4, m = 3

p_1,1= 1 p_2,1 = 4 p_3,1 = 3 p_4,1 = 2 p_1,2= 1 p_2,2 = 1 p_3,2 = 4 p_4,2 = 4 p1,3= 3 p2,3 = 2 p3,3 = 3 p4,3 = 1

kolejność π = (1, 3, 2, 4) m₁ J₁ J₃ J₂ J₄

m2 J1 J3 J2 J4

m₃ J₁ J₃ J₂ J₄

Cmax= 15

Sformułowanie problemu: F ||C

C_{i ,k}(π) - moment zakończenia zadania i na maszynie k, dla kolejności π.

Cmax(π) - długość uszeregowania π.

C_max(π) = max

i ∈J max

k∈MC_{i ,k}(π) = C_π(n),m(π) Problem polega na wyznaczniu uszeregowania o najmniejszej długości

π^∗ ∈ arg min

π∈ΠC_max(π)

Obliczenie C

(π)

C_{π(i ),k}(π) = max{C_{π(i −1),k}(π), C_{π(i ),k−1}(π)} + p_{π(i ),k}

gdzie: π(0) = 0, C0,j(π) = Cπ(i ),0(π) = 0

kolejność π = (1, 3, 2, 4) m₁ J₁ J₃ J₂ J₄

m₂ J₁ J₃ J₂ J₄

m₁ J₁ J₃ J₂ J₄

C_π(1),1(π) = C1,1(π) = max{C0,1(π), C1,0(π)} + p1,1= max{0, 0} + 1 = 1 C_π(1),2(π) = C1,2(π) = max{C0,2(π), C1,1(π)} + p1,2= max{0, 1} + 1 = 2 Cπ(1),3(π) = C1,3(π) = max{C0,3(π), C1,2(π)} + p1,3= max{0, 2} + 3 = 5 C_π(2),1(π) = C3,1(π) = max{C1,1(π), C3,0(π)} + p3,1= max{1, 0} + 3 = 4 C_π(2),2(π) = C3,2(π) = max{C1,2(π), C3,1(π)} + p3,2= max{2, 4} + 4 = 8 Cπ(2),3(π) = C3,3(π) = max{C1,3(π), C3,2(π)} + p3,3= max{5, 8} + 3 = 11 ...

C_π(4),3(π) = C4,3(π) = max{C2,3(π), C4,2(π)} + p4,3= max{13, 14} + 1 = 15

Obliczenie C

(π)

kolejność π = (1, 3, 2, 4) m₁ J₁ J₃ J₂ J₄

m₂ J₁ J₃ J₂ J₄

m₃ J₁ J₃ J₂ J₄

J1 J3 J2 J4

m1 1/1 3/4 4/8 2/10 m2 1/2 4/8 1/9 4/14 m3 3/5 3/11 2/13 1/15

Algorytm NEH

Nawaz M., Enscore Jr. E.E., Ham I.: A heuristic algorithm for the m-machine, n-job flow-shop sequencing problem. OMEGA International Journal of Management Science, 11, 1983, str.

91-95.

Algorytm NEH

Algorytm buduje rozwiązanie poprzez dokładanie jeszcze nieuszeregowanych zadań do bieżącej kolejności.

Przykład: J = {1, 2, 3, 4}

krok 1: π = (3) krok 2: π = (3, 2) krok 3: π = (3, 4, 2) krok 4: π = (1, 3, 4, 2)

Algorytm NEH

Które zadanie szeregować ?

Wybrać zadanie największe z nieuszeregowanych o największej wadze w_i =^P_k∈Mp_{i ,k}

Na którą pozycję położyć ?

Wybrać pozycję najlepszą, czyli o najmniejszym C_max w i tym kroku należy sprawdzić i próbnych rozwiązań i wybrać z nich najlepsze.

NEH: przykład

Dane: n = 4, m = 3

p_1,1= 1 p_2,1 = 4 p_3,1 = 3 p_4,1 = 2 p1,2= 1 p2,2 = 1 p3,2 = 4 p4,2 = 4 p_1,3= 3 p_2,3 = 2 p_3,3 = 3 p_4,3 = 1 w₁ = 5 w₂ = 7 w₃ = 10 w₄ = 7

π = (3)

NEH: przykład krok 2

π = (2, 3)

π = (3, 2)

NEH: przykład krok 3

π = (4, 3, 2)

π = (3, 4, 2)

π = (3, 2, 4)

NEH: przykład krok 4

π = (1, 3, 4, 2)

π = (3, 1, 4, 2)

π = (3, 4, 1, 2)

π = (3, 4, 2, 1)