Dualizm korpuskularno-falowy

www.proszynski.pollub.pl

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

ELEMENTY BUDOWY

MATERII

DUALIZM

KORPUSKULARNO

FALOWY

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

•Promieniowanie temperaturowe. •Model ciała doskonale czarnego. •Prawo Kirchhoffa.

•Prawo Wiena.

•Prawo Stefana-Boltzmanna.

•Zależność zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego od długości fali i temperatury.

•Kwant energii promieniowania. •Wzór Palncka.

•Efekt Comptona

•Zjawisko fotoelektryczne

•Zasada nieoznaczoności Heisenberga. •Dualizm światła

•Fale de Broglie’a.

•Falowy charakter ruchu cząstki •Równanie Schrödingera.

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

PROMIENIOWANIE TERMICZNE

Zdolność emisyjna wolframu i ciała doskonale czarnego

Wielkość R_λ nazywana jest widmową

zdolnością emisyjną promieniowania i jest

tak zdefiniowana, że wielkość R_λdλ

oznacza moc promieniowania czyli szybkość, z jaką jednostkowy obszar powierzchni wypromieniowuje energię odpowiadającą długościom fal zawartym w przedziale od λ, do λ+dλ.

Całkowitą energię wysyłanego

promieniowania w całym zakresie długości fal możemy obliczyć sumując emisję dla

wszystkich długości fal tzn. całkując R_λ po

wszystkich długościach fal. Wielkość ta

nazywana jest całkowitą emisją

energetyczną promieniowania R i wyraża

się wzorem:







0





d

R

R

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

PROMIENIOWANIE TERMICZNE

Każde ciało o temperaturze wyższej od temperatury bezwzględnej wysyła i

pochłania promieniowanie elektromagnetyczne (EM). Widmo emitowane przez ciało

stałe ma charakter ciągły i silnie zależy od temperatury. Ponadto szczegóły tego widma są prawie niezależne od rodzaju substancji. Dwie wielkości opisują emisję i absorpcję promieniowania EM przez ciało o temperaturze T:

Zdolność emisyjna -moc wysyłana przez jednostkę powierzchni ciała w jednostce czasu w przedziale długości fal  do tego zakresu długości fali 







d

d

T

e

(

,

)



prom

_



_





 m

s

m

J

2

Ciała mogą wymieniać energię za pośrednictwem promieniowania cieplnego. W stanie równowagi termodynamicznej (stała temperatura) ilość energii

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Ciało doskonale czarne

Zdolność absorpcyjna -stosunek energii pochłoniętej przez jednostkę powierzchni ciała w czasie 1s, w zakresie długości fali [,  + d] do energii docierającej do jednostki powierzchni ciała, w czasie 1s, w tym zakresie długości fali promieniowania:







dE

d

dtdS



_pad

abs

dtdS

d

dE

T

a







/

/

)

,

(



gdzie:

d_poch – ilość energii pochłoniętej przez jednostkę powierzchni ciała, w czasie 1s,

w zakresie długości fali [,  + d]

d – ilość energii docierającej do jednostki powierzchni ciała, w czasie 1s, w tym samym zakresie długości fali.

Zdolność absorpcyjną wyrażamy w procentach. Wszystkie ciała występujące w

przyrodzie mają zdolność absorpcyjną mniejszą od 1.







d

d

T

a

(

,

)



poch

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

PROMIENIOWANIE TERMICZNE











d

T

a

d

T

e

T

f

)

,

(

)

,

(

)

,

(



Dla wszystkich ciał zachodzi zależność:

Gdzie f(,T) jest pewną uniwersalna funkcją długości fali i temperatury.

Całkowita moc wypromieniowana przez jednostkę powierzchni obliczamy przez całkowanie po wszystkich długościach fali zdolność emisyjną.







0

)

,

(

)

(







T

e

T

d

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Ciało doskonale czarne

Promieniowanie zewnętrzne w wyniku wielokrotnego odbicia wewnątrz komory zostaje pochłonięte prawie w 100%.

Ilościowe interpretacje takich widm

promieniowania są trudne to posługujemy się wyidealizowanym ciałem stałym,

zwanym ciałem doskonale czarnym . Ciało

doskonale czarne charakteryzuje się tym, że pochłania całkowicie padające na niego

promieniowanie.

Z obserwacji światła wysyłanego przez takie ciało wynika, że:

 Promieniowanie wychodzące z wnętrza

bloków ma zawsze większe natężenie niż promieniowanie ze ścian bocznych.

 Dla danej temperatury emisja

promieniowania wychodzącego z otworów jest identyczna dla wszystkich źródeł

promieniowania, pomimo że dla

zewnętrznych powierzchni te wartości są różne.

)

,

(

)

,

(

T

T

e









1

)

,

(

T



a



WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

PRAWO KIRCHHOFFA

powierzchnia a idealnie czarna

powierzchnia b ma zdolność absorpcyjną a(,T) i zdolność emisyjną e(,T)

T = const

d = energii wypromieniowanej przez ciało doskonale czarne

poch prom

d

d













e

T

d

d

_prom



(

,

)









a

T

d

d

_poch



(

,

)



)

,

( T

a



)

,

( T













T

d

d

_prom



(

,

)















T

d

a

T

T

d

e

(

,

)





(

,

)



(

,

)















d

T

a

d

T

e

T

)

,

(

)

,

(

)

,

(



Prawo Kirchhoffa

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

PRAWO KIRCHHOFFA – WNIOSKI

3.Z faktu, że nie wynika, że

Na przykład w temperaturze pokojowej ciało pokryte czerwoną farbą pochłania bardzo silnie światło zielone. Jednak nie wypromieniowuje ono światła o tej

częstości, bo



,T w temperaturze pokojowej jest prawie równa 0.

, 1.Ponieważ oraz 2.Ponieważ W danej temperaturze T jest duże.

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

T



a

T



T



e

T



e











a

(



,

T

)



0

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

T

e

T

T

a















)

,

(

)

,

(



T

e



T





1

)

,

(

T



a



e

( T



,

)

0

1

0

)

,

(

0

)

,

(



T





e



T









WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

MODEL RAYLEIGHA-JEANSA CDC

Model promieniowania CDC opierał się o elektrodynamikę klasyczną czyli o promieniowanie związane z drganiem atomów:

kT

c

T

f

₂

2

2

)

,

(







Niestety jest on słuszny jedynie dla małych częstotliwości. Dla częstotliwości dużych,

Strumień promieniowania dąży do

nieskończoności f2_.

(KATASTROFA W NADFIOLECIE)

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

MODEL WIENA

Wien zaproponował model empiryczny, w którym dwie stałe  i  otrzymane były doświadczalnie











 



_e

T

T

f







_,

₎

3

(

Opis Wiena zgadzał się dla krótkich długości fali. Rozbieżności pojawiły się dla

fal długich. Nie został też wyprowadzony z pierwszych zasad co było nie do przyjęcia dla Maxa Plancka.

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Ciało doskonale czarne

Zdolność emisyjna promieniowania R_λ dla ciała doskonale czarnego zmienia się z

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

PRAWO STEFANA - BOLTZMANA

Emisja energetyczna promieniowania ciała doskonale czarnego (nie jego

powierzchni) zmienia się wraz z temperaturą według prawa Stefana-Boltzmanna

4

0

)

,

(

)

(

T





e

T

d





T











gdzie σ jest uniwersalną stałą (stała Stefana-Boltzmanna) równą 5.67·10-8 _W/(m2_K4_).

Całkowita energia

wypromieniowana w jednostce

czasu przez jednostkę

powierzchni ciała doskonale

czarnego (w całym zakresie

długości fali) jest wprost

proporcjonalna do czwartej

potęgi jego temperatury

bezwzględnej (T).

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

PRAWO PRZESUNIĘĆ WIENA

T

b



max



Dla każdej temperatury istnieje taka długość fali, w przypadku której zdolność emisyjna osiąga wartość maksymalną. Z wzrostem temperatury długość fali staje się coraz mniejsza.

Długość fali, na którą przypada maksymalna zdolność emisyjna ciała

doskonale czarnego jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury

bezwzględnej.

K

m

10

2,898



-3





b

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Poszukiwanie analitycznej postaci zależności



(



,

T

)



f

(



,

T

)

doprowadziło do wniosku, że modelu falowego promieniowania nie można zastosować w przypadku emisji promieniowania ciała doskonale czarnego.

W 1901 r. Max Planck wysunął hipotezę, według której ciało doskonale czarne emituje promieniowanie nie w sposób ciągły, lecz w postaci skończonych porcji

energii – kwantów energii.

Słowo kwant pochodzi z jęz. łacińskiego quantum, co oznacza ilość.

PRAWO PLANCKA





₀



h

Wielkość określonej porcji energii – kwantu – jest wprost proporcjonalna do częstości promieniowania gdzie: ₀ – energia kwantu h – stała Plancka; h = 6,62 * 10-34 J.s  – częstość promieniowania







nh

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

V

E

dN

d

T

f

(



,

)







1

/





_h

_kT

e

h

E

_



_E



_kT

Odbijające się od ścian składowe promieniowania tworzą fale stojące. W stanie równowagi energia powinna rozkładać się na poszczególne oscylacje zgodnie z rozkładem Boltzmana:

Dla   0

Rozpatrzmy wnękę w kształcie sześcianu wypełnioną promieniowaniem E-M.

PRAWO PLANCKA

Znając prawdopodobieństwo pojawienia się poszczególnych wartości energii

oscylacji możemy znaleźć średnią wartość energii oscylacji:











 



kT

nh

n

Ae

p



WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

PRAWO PLANCKA











kTd

c

V

d

T

f

(

,

)



8

₃

2







d

c

V

dN



8

₃ 2

Liczba fal stojących z objętości wnęki:

Skoro na jedną falę przypada E to gęstość energii na przedział częstości d wyniesie:

W warunkach równowagi termodynamicznej strata energii związana z Promieniowaniem jest skompensowana energią zaabsorbowaną:

E

c

T

f

₂

2

2

)

,

(







WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

PRAWO PLANCKA

Rozkład promieniowania CDC jest następujący:

1

1

2

)

,

(

₂

3





kT

h

e

c

h

T

f







_

1

1

2

)

,

(

₅

2





kT

hc

e

hc

T

f









h>>kT –mamy asymptotyczny wykładniczy zanik intensywności –granica Wiena h<<kT –relacja Rayleigha-Jeansa, ponieważ:

kT

c

T

f

₂

2

2

)

,

(







i

kT

h

e

kT

h



_



1

Czyli:

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

PRAWO PLANCKA - WNIOSKI

Ze wzoru Plancka możemy obliczyć energię otrzymując prawo Stefana-Boltzmana:

4

0

5

2

0

₁

2

)

,

(

)

(

d

T

e

hc

d

T

e

T

kT

hc



































Obliczając maksimum funkcji, otrzymamy wzór na prawo Wiena:

)

,

(

)

,

(



T

f



T





(

,

)

_

₀







d

T

d

T

b



max



WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE ZEWNĘTRZNE

W

h

mv

_

_

_

2

2

ZFZ inaczej efekt fotoelektryczny to emisja elektronów z metalu bombardowanego promieniowaniem elektromagnetycznym (UV).

Einstein (1905):

M e t a l

P r o m i e n i o w a n i e U V

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

1) cząstki uwalniane z metalu pod wpływem promieniowania niosą ładunek ujemny

W 1900 Lenard zmierzył stosunek ładunku do masy (e/m) tych cząstek i zidentyfikował jako elektrony

U V

+ + + + U V

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

2) prąd w obwodzie wzrasta ze wzrostem natężenia fali elektromagnetycznej

Charakterystyka prądowo-napięciowa - zależność od natężenia światła

I [ A ]

U [ V ]

I

₁

U

_h

I

₂

+

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

3) maksymalna energia elektronów wzrasta ze wzrostem częstości promieniowania padającego, dla każdego materiału katody istnieje częstość graniczna poniżej której efekt fotoelektryczny nie zachodzi

0

2

2





mv

h

W



I [ A ]

g

[ 1 / s ]

WŁAŚCIWOŚCI ZJAWISKA FOTOELEKTRYCZNEGO ZEWNĘTRZNEGO

4) energia cząstek emitowanych z katody nie zależy od natężenia fali padającej, efekt fotoelektryczny jest natychmiastowy

0 2

eU

mv

_









WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Zależność napięcia hamującego U_h od częstości padającego

promieniowania elektromagnetycznego. _{Z kąta nachylenia}

możemy wyznaczyć stałą Plancka h:

W

h

mv

_

_

_

2

2

W

h

e

U

_h







e

W

e

h

U

_h







e

h





tg



J

s



h



6

.

626755



10

34



U

_h

W

e

W

h





WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Zjawisko Comptona jest to nieelastyczne (ze zmianą energii – długości fali)

rozpraszanie fotonów promieniowania elektromagnetycznego (promieniowanie X) na niemal swobodnych elektronach atomowych.

)

cos

1

(

'

0



















c

m

h

ź r ó d ł o

g r a f i t



₂



₁

d e t e k t o r

ZJAWISKO COMPTONA

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

2 2 0 2 2 0 1

1















c

m

h

c

m

h









sin

1

sin

0

2 0 ₂







m

v

c

h

Zasada zachowania energii:

Zasada zachowania pędu:











cos

1

cos

0 ₂ 2 1







m

v

c

h

c

h



₂



₁

E

₁

E

_e

E

₂

p

₁

p

₂

p

_e

m c

_{o 2}



e

-y

x

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY



2



2 0 2 ₂ 2 0

1



_





















m

c

m

c

h









₂ 2 2 2 0 2 2 2

_sin

1

sin

















m

v

c

h











₂ 2 2 2 0 2 2 1

_cos

1

cos



















m

v

c

h

h





2 4 0 2 4 2 0 2 0 2

1

2

h

m

c

m

c

m

c

h





















 



2 2 02 2 ₂2 2 2 2 1



cos





sin



_











h

h

m

v

c

h

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY









 

 



1 2 1 2



2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 0

2

cos

2

2

cos

2

1

















































h

h

h

h

c

v

m

 

2 4 0 2 2

_pc

_m

_c

E





Wykorzystując zależność: 2 2 2 2 0 4 2 0 2 4 2 0

1

1













c

v

m

c

m

c

m







2

(

1

cos

)



1

1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0























h

c

v

m



h







2



2

h





m

₀

c

2



h

2







₁





₂



2



2



₁



₂

(

1



cos



)



WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

)

cos

1

(

2 1 2 0















m

c

h

)

cos

1

(

1

1

2 0 2 1 2 1 2 1

















_

_

_

_

c

m

h

)

cos

1

(

0 2 1 2 1



















m

c



h

c

c

)

cos

1

(

0











c

m

h

c

m

h

c





Comptonowska długość fali:

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Zmiana długości fali w zjawisku Comptona zależy jedynie od kąta rozproszenia, nie zależy natomiast od energii początkowej fotonu. Maksymalna zmiana długości fali wynosi 2 _c.

Comptonowska długość fali jest zbyt mała (0.0024 nm) aby zaobserwować to zjawisko dla fal świetlnych.

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

1) Zjawiska interferencji i dyfrakcji światła, fal radiowych, promienio-wania rentgenowskiego

2) Emisja i absorpcja promieniowania EM opisana przez teorię elektronową Lorentza.

1) Odkrycie kwantów energii fal EM w widmie promieniowania termicznego (Ciało Doskonale Czarne)

2) Absorpcja kwantów EM w zjawisku fotoelektrycznym

3) Nieelastyczne rozpraszanie kwantów promieniowania rentgenowskiego

na elektronach (zjawisko Comptona)

DUALIZM KORPUSKULARNO-FALOWY

FALOWY CHARAKTER PROMIENIOWANIA E-M

CZĄSTKOWY CHARAKTER PROMIENIOWANIA E-M

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY







E

c











2





2



k





h

c

h

c

E

p







k

p 





2

h







2

h

n

rp







n

p

h

n

r





2

HIPOTEZA DE BROGLIE’A

W 1924 roku L. de Broglie założył, że dualizm cząstkowo - falowy jest własnością charakterystyczną nie tylko dla fali elektromagnetycznej, ale również dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera .Oznacza to, że cząstki takie jak np.

elektrony powinny również wykazywać własności falowe. Fale te nazwał on

falami materii. Założył, że długość fal materii określona jest tym samym związkiem, który stosuje się do fotonów.

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Jeśli elektrony rozchodzą się jak fale to powinny ulegać interferencji. W dośw. D-G wiązka elektronów o określonych pędach (dł fali) padały na

powierzchnię niklu o stałej sieci a=3.52*10-10 m.

Strumień elektronów e, emitowany przez podgrzaną katodę K, przyspieszany jest w polu elektrycznym, które można regulować przez zmianę przyłożonego napięcia U. Strumień ten pada na powierzchnię kryształu niklu Ni, ustawioną prostopadle do kierunku wiązki. Wiązka rozproszona rejestrowana jest detektorem D.

Zmieniano zarówno napięcie przyspieszające, jak i kąt ustawienia detektora

względem padającej wiązki. Zaobserwowano maksimum dyfrakcyjne, a dyfrakcja jest typowym zjawiskiem falowym, znanym z optyki. W doświadczeniu Davissona i Germera wiązką padającą nie jest jednak fala, ale strumień elektronów, czyli cząstek obdarzonych masą.

DOŚWIADCZENIE DAVISSONA-GERMERA

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

DOŚWIADCZENIE DAVISSONA-GERMERA

m

p

eV

_ba

2

2



WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

a, b, c - symulacje komputerowe

d - eksperymentalny obraz dyfrakcyjny

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

DUALIZM KORPUSKULARNO-FALOWY

CZĄSTKI

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Zamiast wypuszczać wiązkę atomów, wypuszczajmy po jednym atomie w dużych odstępach czasu. Co zaobserwujemy:

1. Każdy atom zostawia jeden „ślad” na ekranie – nie dzieli się na części, 2. Po nałożeniu na siebie wszystkich „śladów” otrzymujemy rozkład losowy, 3. Przy odsłoniętej tylko jednej szczelinie mamy rozkład „klasyczny”

4. Przy odsłoniętych obu szczelinach mamy obraz dyfrakcyjny

(możliwość przejścia atomu dodatkową drogą do detektora uniemożliwia mu dotarcie do niektórych położeń na ekranie!!!),

5. Próba zaobserwowania, przez którą szczelinę „przeszedł” atom niszczy

obraz dyfrakcyjny!!!

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Jeśli dokładnie znamy pęd cząstki, to tym samym nic nie możemy powiedzieć o jej położeniu.



2

h

t

E







ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

•Fizyka klasyczna

–dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakością aparatury pomiarowej –Nie ma teoretycznych ograniczeń na

dokładność z jaką mogą być wykonane pomiary •Mechanika kwantowa

–Obowiązuje zasada nieoznaczoności: pewnych

wielkości fizycznych nie można zmierzyć równocześnie z dowolną dokładnością







WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe.

Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej

opisuje tzw. funkcja falowa (x,t) :



zawiera w sobie wszystkie informacje o obiekcie (np. cząstce)



w ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona współrzędnych

przestrzennych oraz czasu



musi być funkcją ciągłą , a także musi mieć ciągłą pochodną



Kwadrat modułu funkcji falowej



jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w pewnym punkcie przestrzeni







2



















V

dV

V

p

2

2

1

FUNKCJA FALOWA

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Funkcję falową,  dla danej cząstki, lub bardziej złożonego układu fizycznego,

otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe nazywane równaniem

Schroedingera. Jeżeli energia potencjalna cząstki U nie zależy od czasu, to równanie Schroedingera jest równaniem niezależnym od czasu i nazywa się

stacjonarnym równaniem Schroedingera.

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

x

E

x

x

U

dx

x

d

m











 

RÓWNANIE SCHROEDINGERA

WYKŁAD 7 DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

Cząstka swobodna - na cząstkę nie działają żadne pola. Energia potencjalna cząstki U(x)=0.

)

(

)

(

2

2 2 2

x

E

dx

x

d

m







 

Szukamy rozwiązania w postaci (x)=A sin(kx)

)

sin(

)

sin(

(

2

2 2

kx

EA

kx

k

A

m





 

Funkcja ta będzie rozwiązaniem gdy:

m

k

E

2

2

2





CZĄSTKA SWOBODNA