Dualizm korpuskularno- falowy

(1)

Cz. I

Dualizm korpuskularno- falowy

czyli kiedy cząstki są falami a

fale cząstkami

(2)

I.1 PRAWA PROMIENIOWANIA

(3)

konsekwencją było istnienie fal elektromagnetycznych. Największą niespodzianką był odkryty na przełomie XIX i XX w. cząstkowy charakter promieniowania e-m.

Falowy charakter promieniowania e-m

Zjawiska dyfrakcji i interferencji światła, fal radiowych,

promieniowania termicznego ( IR i mikrofal) oraz promieniowania rentgenowskiego.

Emisja i absorpcja promieniowania e-m opisywana przez teorię

elektronową Lorentza

•Cząstkowy charakter promieniowania e-m

•kwanty energii fal e-m odkryte w widmie promieniowania termicznego (Ciało Doskonale Czarne – CDCz)

•Absorpcja kwantów

promieniowania UV w zjawisku fotoeletrycznym

•Nieelastyczne rozpraszanie

kwantów promieniowania X na

elektronach (zjawisko Comptona)

(4)

OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PROMIENIOWANIA ELEKTROMAGNETYCZNEGO

–WYODRĘBNIONE OBSZARY WIDMA

• FALE RADIOWE

• MIKROFALE

• PROMIENIOWANIE PODCZERWONE (IR)

• PROMIENIOWANIE WIDZIALNE ( λ=400-700 nm)

• PROMIENIOWANIE ULTRAFIOLETOWE (UV)

• PROMIENIOWANIE RENTRGENOWSKIE (X)

• PROMIENIOWANIE GAMMA (γ)

–ENERGIE, DŁUGOŚCI FAL I CZĘSTOŚCI TYCH

(5)

(6)

Czułość typowych detektorów promieniowania termicznego

(7)

Absorpcja i emisja promieniowania e-m przez materię

Elektronowa teoria Lorentza:

– Na gruncie teorii Maxwella: promieniowanie o częstości ω oddziałuje z ładunkami uwięzionymi w materii (elektronami atomowymi). Elektrony związane są siłami oscylatorów o różnych

częstościach własnych Ω i tłumieniach Γ.

Następuje absorpcja zgodnie ze znanym wzorem z Fizyki III:

0

2 2

1

2

^ab

ab

P( ) P A

A ( ) ( )

ω = ω

= Γω

Γω + Ω − ω

Średnia moc

(8)

Emisja promieniowania przez materię w tym obrazku polega na emisji promieniowania dipolowego przez drgające elektrony. Dipole mają charakterystyczne częstości własne Ω

₁

, Ω

₂

,.... Ω

_n

.

Wartości tych częstości własnych nie były dane przez teorię. Lorentz uważał, że należy je dopasowywać z doświadczenia, gdyż teoria wewnętrznej budowy

atomu jest zapewne zbyt trudna i nigdy nie powstanie.

Ω, Γ, A _ab

ATOM e

(9)

Prawa Kirchoffa dla promieniowania (1860)

Dwie wielkośći opisują emisję i absorpcję

promieniowania przez ciało o temperaturze T:

•Zdolność emisyjna e(λ, T) dλ

moc wysyłana przez jednostkę powierzchni ciała w przedziale długości fal [λ, λ+d λ]

Jednostką e jest W/m ² µm

•Zdolność absorpcyjna a(λ, T) dλ bezwymiarowa

jest to stosunek mocy pochłoniętej do

mocy padającej: ( )

( )

_padajace^pochl.

dE d dt dA a( ,T)

dE d dt dA λ = λ

λ

i i

(10)

Zdolność emisyjna kwarcu

(11)

Prawo Kirchhoffa

Dla wszystkich ciał zachodzi:

uniwersalna funkcja λ i T

e( , T) d

f( , T) a( , T)d

λ λ

λ λ = λ

0 d e( , T) R(T)

∞

= ∫ λ λ

Całkowita moc emitowana

przez jednostkę powierzchni

ciała

(12)

I.2 CIAŁO DOSKONALE CZARNE

(13)

Prawo Stefana- Boltzmanna

Doświadczalnie odkrył Stefan 1879, wyprowadzenie: Boltzmann 1884

=

4

= ∫ ^d ^{e (} ^{, T )}

R ( T ) T

R ( T ) i

i

λ λ

σ

Gaz fotonowy w obj. V

Temperatura T

e( ,T) c u( ,T) λ = 4 λ

Promieniowanie

elektromagnetyczne zamknięte w naczyniu o lustrzanych

ściankach, zmiennej objętości V

i temperaturze T.

(14)

ś

ą

U Vu

I zasada termo d ynamiki : dQ dU pdV

udV V du dT

udV Vdu udV

d(Vu) pdV

dQ dT

dS ,

T T T

p

) u

(T

T

=

= +

⋅ +

+ + ⋅

= = + =

=

13 43

Energia wewnętrzna: 3

Entropia:

Pamiętamy,

ci nienie:

że entropia jest funkcj stanu zmiennych (V, T) czyli je ó ł

ł ś ó ó ść

T V

S S

dS dV dT

V T

S S

T V V T

u T T

∂  ∂ 

   

=∂  +∂ 

∂ = ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ 

∂

2 2

4 3

j r żniczka jest zupe na:

Z zupe no ci r żniczki wynika r wno 2-gich pochodnych:

V du dT

u T .

u du u

, ,

V T T dT T

 

 ∂  ∂ 

 =   ⋅ = ⋅

   ∂  =

∂  1 4

3 4

co daje nam: czyli3

Wniosek z teorii

Maxwella

Wyprowadzenie Boltzmanna:

(15)

Przykład widma CDCz

Kosmiczne Promieniowanie Tła – pomiar z satelity COBE

T=2.7356 K

(16)

Pamiętajmy, że oprócz widm ciągłych ciała promieniują widma liniowe, pasmowe etc. Przykładem są serie

widmowe atomów wodoru.

Seria Balmera czyli przejścia z różnych poziomów do

poziomu o n=2

(17)

CIAŁO DOSKONALE CZARNE (CDCz)

CDCz jest to takie ciało, którego zdolność

absorpcyjna a nie zależy od długości fali i wynosi 100%.

Promieniowanie CDCz o temperaturze T:

interesuje nas promieniowanie e-m pozostające

w równowadze z CDCz (dla każdej długości fali

tyle samo promieniowania jest emitowane co

absorbowane).

(18)

Model CDCz: wnęka z promieniowaniem

Wewnątrz wnęki – e-m fale stojące z węzłami na ściankach wnęki.

krawędź a

}

(19)

CDCz i wnioski z prawa Kirhhoffa

Z prawa Kirchhoffa:

e (λ, T) = f(λ, T) bo a (λ, T) =1 dla CDCz Pamiętamy, że e=(c/4)⋅u,

tak więc u (λ, T) =(c/4) f (λ, T) Prawo Wiena

Wien udowodnił, że postać gęstości energii promieniowania CDCz jest następująca :

, gdzie f - pewna funkcja (inna niż f w prawie Kirchhoffa).

: zamiana zmiennych czyl

Dygresja i

f( T)

u( ,T)d d

c

f( ) cT f(cT/ ) c

u( ,T)d d d

(

c d

c/ )

d

c

λ

λ λ = λ⋅ λ

λ

λ = ν

ν     ν

ν λ =   −  ν = ν ν

= −

  

ν

ν ν

ν

5

3

5 2 4

2

(20)

Wzór empiryczny Plancka

c T

u( , T)d c d

e ^λ

λ λ = λ

λ ² −

1 5

1

1 Wzór Plancka

hc kT

u( , T)d hc d

e

^λ

λ λ = π λ

λ ⁵ −

8 1

1

(21)

Metoda:

1. Wnęka z promieniowaniem o obj. V jest dobrym modelem CDCz.

2. Można łatwo obliczyć liczbę fal stojących o częstości ν (czy też długości fali λ): N(ν)= n(ν)• V

3. Średnia energia fal o określonej częstości ν: <E(ν,T)>;

obliczenia wymagają znajomości rozkładu Boltzmanna i są nieco bardziej złożone.

4. Klasycznie, na gruncie falowej teorii promieniowania e- m energia fali nie zależy od ν, a tylko od amplitudy

(natężenia) fali. Wtedy <E(ν,T)>=<E(T)>.

5. Ostatecznie

u(ν,T)d ν= n(ν)<E(ν,T)>d ν

(22)

Obliczenie N(ν) i n(ν) = N(ν) /V (Rayleigh-Jeans)

ą ó

ś ś ą

ł

3

ędziemy badali e-m fale stoj ce we wnęce CDCz. Przyjmiemy dla prostoty rachunk w, że wnęka jest sze cianem o krawędzi a i objęto ci V=a . Na sciankach wnęki fale e-m maj

węz y, co narzuca warunki per B

ł ą ł ś

ć

x

iodycznosci tj. ca kowit liczbę /2 na odleg o ci a.

Dla fali o wektorze falowym k (k=2 / ) możemy napisa :

k_x k cos / / c λ

π λ

= α λ 2 = λ 2

k i y k

yx z

os

k cos / / cos

k cos

α

= β λ = λ β

= γ

2 2

ś

ą

x y z

Warunki periodyczno ci:

2a 2a 2a

, , , Wynika st d, że:

z

x y z

/ / cos

n n n

λ = λ γ

= = =

λ λ λ

2 2

(23)

x y z

n n n

r a

c

r d r a d

c

 

 

=       ν =

 

 

=       ν ν

+ +

2

2 2

2

2 Całkowanie w przestrzeni węzłów

(24)

Ile fal o częstościach pomiędzy ν a ν+d ν i różnych kierunkach wektorów falowych Znajduje się we wnęce CDCz?

Należy policzyć liczbę węzłów w 1/8 warstwy kulistej o promieniu r= i grubości dr w przestrzeni wężłów n _i.

a c ν 2

ź ść łó

łó

ą ś ś

'

2

Wprowad my gęsto węz w N ęz w :

r

tego liczba fal stoj cych o jednej polaryzacji w przedziale czę to ci [ , + w (r)

r N '(r)dr r N '(r)dr Liczbaw

Zamieniamy zmienne : dr a d

c

Wobec d ]

π π

=

 

 

=   ν ν

ν ν ν

2 2

3 2

4

8 2

2

ś ą

3

ynosi:

N( ) a , za uwzględniaj c obie polaryzacje: N( )d = 8 a

d N '(r)dV   π d π d

ν ν = = ν ν ν ν ν ν

3

2 2

(25)

ł ą ł

Ś

-EkT 0

liczby cz stek w funkcji ich energii dany jest rozk adem Boltzmanna:

N(E, T)= N gdzie Z(T)= exp(

Z

N(E,T) E dE rednia energia <E(T)>=

N

E / kT

Rozk ad

e )dE

∞

−

⋅

∫

Ś ś

ś ś

rednia energia promieniowania e-m CDCz nie zależy od często ci i

dla każdej warto ci często ci wyno -

s J

i eans

<E(T :

. Wo

)>=kT Rayleigh

ść

2 5

u( ,T)d 8

bec tego gęsto energii promieniowania wg. R-J wynosi:

= n( ) <E(T)>d = u( ,T)d =8

c kT d

kT d

ν ν ν ⋅ ν πν ⋅ ⋅ ν

λ λ πν ⋅ λ⋅ λ λ

2 3

Dualizm korpuskularno- falowy

Cz. I