3 Rozmaito´ sci zespolone

1 Kohomologie rozmaito´ sci i dualno´ s´ c Poincar´ e

1.1 Interpretacja form r´o˙zniczkowych na rozmaito´sci M jako uniwersalnej konstrukcji Ω^•_A/R zas- tosowanej do R-algebry A = C^∞(M ).

1.2 Niech A be_,dzie domknie_,tym zbiorem w M . Cia_,g dok ladny pary w kohomologiach de Rhama la_,cza_,cy H^∗(M, A), H^∗(M ) i ˜H^∗(A) = lim_{U ⊃A}H^∗(A). (Gdy M jest zwarta to H^∗(M, A) = H_c^∗(M \ A).)

1.3 Dualno´s´c Poincar´e dla zwartej i zorientowanej rozmaito´sci: gdy k + ` = dim M to forma H<sup>k</sup>(M ) × H<sup>`</sup>(M ) → R

[ω], [η]
7→ [ω] ∪ [η], [M ] = Z

M

ω ∧ η jest niezdegenerowana. Czyli sprze_,˙zone przekszta lcenie

P D : H^k(M ) → H^`(M )
∗

= H_`(M )

jest izomorfizmem. (Wersja dla rozmaito´sci niezwartych P D : H_c^k(M ) → H_`(M ).)

1.4 Dla podrozmaito´sci A ⊂ M interpretacja klasy P D⁻¹([A]) ∈ H^codimA(M ) jako klasy formy r´o˙zniczkowej o no´sniku w otoczeniu tubularnym A.

1.5 Je´sli A i B sa_,transwersalnymi podrozmaito´sciami dope lniaja_,cego wymiaru, to P D⁻¹([A]) ∪ P D⁻¹([B]), [M ]

jest r´owne ilo´sci punkt´ow przecie_,cia A ∩ B (liczonej ze znakami). Oznaczenie A · B =P D⁻¹([A]) ∪ P D⁻¹([B]), [M ] . 1.6 Niech ∆ ⊂ M × M be_,dzie przeka_,tna_,. Wtedy ∆ · ∆ = χ(M ).

1.7 ´Cw: Sprawdzi´c, ˙ze dla f : M → M

graph(f ) · ∆ =

dim M

X

k=0

(−1)^ktr(f^∗ : H^k(M ) → H^k(M )).

Wsk: Niech ∆ = P a_j,iα_i ⊗ α_j ∈ H^∗(M ) × H^∗(M ) ' H^∗(M × M ) w pewnej bazie {α_i}. Powia_,za´c wsp´o lczynniki aij z macierza_,przekszta lcena P D w odpowiednich bazach.

Referencje do kohomologii de Rhama: Bott-Tu, Differential forms in algebraic topology.

2 Zespolone formy r´ o ˙zniczkowe

2.1 Warunek holomorficzno´sci: r´ownanie Cauchy-Riemanna i operator r´o˙zniczkowy

∂

∂ ¯z = 1 2

 ∂

∂x + i ∂

∂y

 . 2.2 Operator _∂z^∂ , zespolone formy r´o˙zniczkowe

df = ∂

∂xf dx + ∂

∂yf dy = ∂

∂zf dz + ∂

∂ ¯zf d¯z

2.3 Przypomnienie z funkcji analitycznych: wz´or ca lkowy Caychy’ego, zasada indentyczno´sci, zasada maksimum.

2.4 Twierdzenie o residuach:

Niech M be_,dzie rozmaito´scia_, (zwarto´s´c nie jest potrzebna), a A podrozmaito´scia_, kowymiaru c.

Mamy cia_,g dok ladny

→ H^k(M \ A)−→ H^{res k−c+1}(A) −→ H^k+1(M ) −→ H^k+1(M \ A) → .

W szczeg´olno´sci gdy A 6= ∅ jest sko´nczonym zbiorem punkt´ow na zwartej, sp´ojnej krzywej zespolonej to cia_,g dok ladny jest postaci

0 −→ H¹(M ) −→ H¹(M \ A)−→ H^{res 0}(A) = C^|A|−→ H^{+ 2}(M ) = C −→ 0.

2.5 Funkcje zespolone wielu zmiennych:

– r´o˙zniczkowalno´s´c po ka˙zdej zmiennej implikuje rozwijanie w szereg – tw Hardy’ego

2.6 Tw o funkcji odwrotnej i o funkcji uwik lanej

3 Rozmaito´ sci zespolone

Przyk lady rozmaito´sci zespolonych:

3.1 przestrzenie rzutowe

3.2 rozmaito´sci zespolone wymiaru jeden, czyli krzywe zespolone – krzywe w P²,

– Tw Riemanna o uniformizacji,

– obliczenie Aut(C) = Af f (C), Aut(P¹) = P GL2(C) (z tw. Picarda automorfizm musi by´c zadany formu la_,wielomianowa_,)

– Aut(D) = Aut(H) = SL2(R) (lemat Schwarza) – C/ < 1, τ >, iloraz H+ przez Γ ⊂ SL2(R);

3.3 Grassmanniany (wsp´o lrze_,dne Pl¨uckera)

3.4 Hiperpowierzchnie (w Pⁿ), (+ zupe lne przecie_,cia) 3.5 Ilorazy (rozmaito´sci abelowe, rozmaito´sci Hopfa)

4 Formy r´ o ˙zniczkowe wielu zmiennych

4.1 R´o˙zniczki ∂ i ¯∂.

– ∂² = ¯∂²= 0, ∂ ¯∂ + ¯∂∂ = 0, Leibniz

– gdy φ jest holomorficzna to ∂(φ ◦ f ) = φ^∗(∂(f )) i ¯∂(f ◦ φ) = φ^∗( ¯∂(f )) Algebra liniowa

4.2 Struktura zespolona. Formy C-liniowe i antyliniowe jako przestrzenie w lasne struktury zespolonej I

V_C= V^1,0+ V^0,1

4.3 Formy liniowe typu (1,0) i (0,1) (tzn C liniowe i antyliniowe).

(V^∗)^1,0= Hom_C(V, C) . Rzutowanie na (V^∗)^1,0

φ 7→ ¹₂(φ + i⁻¹φ ◦ I) = ¹₂(φ − iφ ◦ I)

4.4 Formy antysymetryczne typu (p, q).

– Izomorfizm antyliniowy Λ^p,qV^∗' Λ^q,pV^∗.

– Operator I dzia la Λ^p,qV^∗ poprzez mno˙zenie przez i^(p−q)

4.5 Forma obje_,to´sci: we wsp´orze_,dnych: {e_k, f_k= I(x_k)} baza V , to ₂¹(e_k− if_k) baza V^1,0, ¹₂(e_k+ if_k) baza V^0,1.

– gdy dim_R(V ) = 2n, dla przestrzeni dualnej

(₂ⁱ)ⁿ(dz1∧ d¯z1) ∧ · · · ∧ (dzn∧ d¯zn) = (dx1∧ dy₁) ∧ · · · ∧ (dxn∧ dy_n) (Uwaga: ta forma nal˙zy do Λ²ⁿV^∗∩ Λ^n,nV^∗ ⊂ Λ²ⁿV_C^∗.)

Hermitowska algebra liniowa

4.6 I-niezmiennichy iloczyn skalarny < −, − >, forma symplektyczna ω(−, −) =< I(−), − >= − <

−, I(−) >, iloczyn hermitowski (−, −) =< −, − > −iω(−, −)

4.7 W R² struktura konforemna jest r´ownowa˙zna strukturze zespolonej 4.8 ´Cw: sprawdzi´c, ˙ze V^1,0 ⊥ V^0,1

4.9 ´Cw: (V, I) ' (V^1,0, i), ale iloczyny skalarne sie_,r´o˙znia o czynnik 2.

4.10 Operator Lefschetza L = ω ∧ − i izomorfizm L^k: Λ^n−kV → Λ^n+kV . 4.11 Gwiazdka Hodge’a α ∧ ∗β = hα, βi vol.

4.12 ´Cw:

(i) hα, ∗βi = (−1)^k(d−k)h∗α, βi, (ii) ∗² = (−1)^k(d−k) na k-formach.

4.13 Dla przestrzeni hermitowskich vol = _n!¹ωⁿ

4.14 ´Cw: rozk lad k-form na (p, q)-formy jest ortogonalny i * zachowuje ten rozk lad.

4.15 Operator sprze_,˙zony Λ = L^∗ = ± ∗⁻¹L∗.

5 Dzia lanie sl

(Z) na formach. Teoria Hodge’a dla rozmaito´sci C

5.1 Operator H (mno˙zenie przez (k − n) na Λ^k) i relacje [H, L] = 2L, [H, Λ] = −2Λ, [L, Λ] = H 5.2 Przestrze´n ΛV^∗

C jako reprezentacja sl₂(Z).

5.3 Reprezentacje S_k= Sym^k(R²)

5.4 Ka˙zda_,reprezentacje_,mo˙zna roz lo˙zy´c na sume_,reprezentacji S_k 5.5 Zwia_,zek pomie_,dzy ∗L^jα a L^n−k−jα dla α ∈ P^p,q⊂ Λ^kV_C^∗.

Teoria Hodge’a

5.6 Operator formalnie sprze_,˙zony d^∗ = −(−1)^d(k+1)∗ d∗ : A^k(M ) → A^k−1(M ).

5.7 Laplasjan ∆ = dd^∗+ d^∗d, formy harmoniczne H = ker∆.

5.8 Rozk lad Hodge’a A^∗(M ) = im(d) ⊕ H ⊕ im(d^∗).

5.9 R´ownanie ciep la _dt^dα(t) = −∆α(t), α(0) = α (bez dowodw, patrz Arapura §7) – r´ownanie ciep la ma rozwia_,zanie dla t ≥ 0

– limt→∞α(t) istnieje i jest forma_,harmoniczna_,, oznaczamy αH, – α = α_H + ∆G(α), gdzie G(α) =R∞

0 (α(t) − α_H)dt jest operatorem Greena.

6 Teoria Hodge’a na rozmaito´ sciach k¨ aklerowskich

6.1 Dla zwartych C^∞-rozmaito´sciach mamy:

– H = ker(d) ∩ ker(d^∗) = ker(d) ∩ im(d)^⊥

– podprzestrzenie H, im(d) i im(d^∗) sa_,prostopad le.

6.2 Dowodzimy rozk lad Hodge’a korzystaja_,c z og´olnej w lasno´sci samosprze_,˙zonych operator´ow elip- tycznych:

A^∗(M ) = ker(∆) ⊕ im(∆) . Ponadto dim(ker(∆)) < ∞.

6.3 H → H^∗(M ) jest izomorfizmem. Wniosek: dualno´s´c Poincare bo dla 0 6= α ∈ H mamy R

Mα ∧

∗α 6= 0.

6.4 Forma harmoniczna jest forma_,o najmnieiszej normie w swojej klasie kohomologii.

6.5 Dla rozmaito´sci zespolonej z iloczynem hermitowskim ∂^∗ = − ∗ ¯∂∗, ¯∂^∗ = − ∗ ∂∗

6.6 Rozmaito´sci k¨ahlerowskie: warunek dω = 0 6.7 Metryka Fubini-Study na Pⁿ

< α, β >= 1 π

< w, w >< ˜α, ˜β > − < ˜α, w >< w, ˜β >

< w, w >² ,

gdzie ˜α, ˜β ∈ T_wCⁿ⁺¹ sa_, podniesieniami wektor´ow α, β ∈ T_[w]Pⁿ. W lokalnych wsp´o lrze_,dnych na U₀ forme_,symplektyczna_,mo˙zna zapisa´c jako

ω = i

2π∂ ¯∂log(1 +

n

X

k=1

|w_k|²)

Spe lniony jest warunek K¨ahlera dω = 0.

6.8 Dla n = 1

ω = i 2π

1

(1 + w ¯w)²dw ∧ d ¯w = 1 π

1

(1 + x²+ y²)²dx ∧ dy orazR

P¹ω = 1.

6.9 Zespolona podrozmaito´s´c Pⁿ jest k¨ahlerowska.

6.10 To˙zsamo´sci K¨ahlera:

i) [ ¯∂, L] = [∂, L] = 0 (bezpo´srednio z warunku dω = 0) i’) r´ownowa˙znie komutowanie Λ z ∂^∗ i ¯∂^∗]

ii) [ ¯∂^∗, L] = i∂, [∂^∗, L] = −i ¯∂

ii’) r´ownow˙znie [Λ, ¯∂] = −i∂^∗, [Λ, ∂] = i ¯∂^∗ (to istota dowodu wszystkich to˙zsamo´sci) iii) [∂, ¯∂^∗]_s= [∂^∗, ¯∂]_s= 0 (to ju˙z formalne konsekwencje ii))

iv) ∆∂= ∆∂¯= ¹₂∆ i jest przemienny z ∂, ¯∂, ∂^∗, ¯∂^∗, L i Λ (dow´od formalny)

7 Kohomologie rozmaito´ sci K¨ ahlera

7.1 W dowodzie ii’) wygodnie jest u˙zywa´c operatora d^c= I⁻¹dI oraz sprze_,˙zonego (d^c)^∗ d^c= −i(∂ − ¯∂), (d^c)^∗= − ∗ d^c∗

Dowodzimy ii”) [Λ, d] = −(d^c)^∗. Dow´od rachunkowy, korzystaja_,cy z rozk ladu Lefschetza na poziomie form, tzn sprawdzamy dla form postaci L^kα, gdzie Λα = 0. Sprawdzanie jest ˙zmudne.

7.2 Inny dow´od relacji Hodge’a: je´sli dω = 0 to w ka˙zdym punkcie istnieje uk lad wsp´orze_,dnych, w kt´orym ω jest standardowa_, forma_, z dok ladno´scia_, do wyraz´ow rze_,du conajmniej 2, tzn < e_i, e_j >_z= δi,j+ O(||z||²).

7.3 Wniosek: H^∗(M ) ' H jest reprezentacja_,sl₂(Z).

L^k: H^n−k(M ) → H^n+k(M ) jest izomorfizmem (Trudne twierdzenie Lefschetza).

7.4 Kohomologie prymitywne i rozk lad Lefschetza 7.5 Rozk lad H^k(M ) =L

p+q=kH^p,q(M ) 7.6 Diament Hodge’a h^p,q = h^n−p,n−q = h^q,p.

7.7 kohomologie Dolbeault i rozk lad Hodge’a form dla ¯∂.

7.8 Dualno´s´c Serre’a

8 Sygnatura, formalno´ s´ c, etc

8.1 Dla ΛC mamy ∗dz = ∗(dx + idy) = dy − idx) = −i(dx + idy). Sta_,d ∗Λ^1,0= Λ^1,0 i H^{p,q sprze}←→^,˙zenie H^q,p

∗ l l ∗

H^{n−q,n−p sprze}←→^,˙zenie H^n−p,n−q 8.2 Relacje Hodge’a-Riemanna, wz´or na sygnature_,: Forma

B(α, β) = i^p−q· (−1)^(k)(k−1)/2 Z

M

α ∧ ¯β ∧ ω^n−k

jest dodatnio okre´slona dla prymitywnych klas kohomologii α, β ∈ P^p,q(M ), k = p + q.

(Wszystko wynika z analogicznego stwierdzenia dla pote_,gi zewne_,trznej przestrzeni liniowej i naste_,puja_,cej r´owno´sci dla α ∈ P^k:

L^n−kα = (−1)

k(k−1)

2 (n − k)! ∗ I(α) dowodzonej indukcyjnie

L^jα = (−1)

k(k−1)

2 j!

(n − k − j)!∗ L^n−k−jI(α).

Wtedy:

α ∧ ¯α ∧ ω^n−k = α ∧ L^n−k( ¯α) = α ∧ (−1)

k(k−1)

2 (n − k)! ∗ I(α) =

= (−1)

k(k−1)

2 α ∧ ∗(n − k)!I(α) = i^q−p(−1)

k(k−1)

2 (n − k)! < α, α > vol

8.3 Z r´owno´sci dim P^p,q(M ) = h^p,q− h^p−1,q−1 i diamentu Hodge’a wynika wz´or na sygnature_,

sgn(M ) = X

p+q=dim(M )

X

j≥0

i^p−q· (−1)

dim(M ) 2 −j

dim(P^p−j,q−j) =

dim(M )

X

p,q=0

(−1)^ph^p,q.

8.4 Wystarczy sumowa´c sk ladniki dla kt´orych p − q jest parzyste. Dla rozmaito´sci wymiaru 4:

sgn(M ) =

+p^4,0 −p^3,1 +p^2,2 −p^1,3 +p^0,4 +p^2,0 −p^1,1 +p^0,2

+p^0,0

=

+h^4,0 −h^3,1+ h^2,0 +h^2,2− h^1,1 −h^1,3+ h^0,2 +h^0,4 +h^2,0 −h^1,1+ h^0,0 +h^0,2

+h^0,0

=

+h^2,2

+h^4,2 −h^3,3 +h^2,4

+h^4,0 −h^3,1 +h^2,2 −h^1,3 +h^0,4 +h^2,0 −h^1,1 +h^0,2

+h^0,0 8.5 Dla sp´ojnych powierzchni: forma przecie_,´c jest typu (2h^2,0+ 1, h^1,1− 1).

8.6 Teoria Morse’a

8.7 Je´sli M ⊂ C^N podrozmaito´s´c zespolona, q 6∈ M , p punkt krytyczny funkcji ||p − q||², to indeks tego punktu jest conajwy˙zej dim_C(M ).

Krok pomocniczy: Niech Q be_,dzie niezdegenerowana_, forma_, zespolona_, dwuliniowa_,na Cⁿ. Je´sli u jest wektorem w lasnym rzeczywistej formy re(Q) z warto´scia_,w lasna_,λ, to I(u) jest wektorem wa_,snym z warto´scia_,w lasna_,−λ.

8.8 Je´sli M ⊂ C^N podrozmaito´s´c zespolona wymiaru n, to M ma typ homotopijny n-wymiarowego CW-kompleksu/kompleksu symplicjalnego. Zatem H^k(M ) = 0 dla k > n.

8.9 Latwe twierdzenie Lefschetza: Je´sli X ⊂ P^N podrozmaito´s´c zespolona wymiaru n, Y = X ∩P^{N −1}, to H^k(X, Y ) = 0 dla k < n. Zatem H^k(X) → H^k(Y ) jest izomorfizmem dla k < n − 1, monomorfizmem dla k = n − 1.

8.10 Dla transwersalnego przecie_,cia dostajemy informacje_, o wszystkich liczbach Bettiego Y opr´ocz

´srodkowej.

9 Formalno´ s´ c, abstrakcyjne struktury Hodge’a

9.1 ∂ ¯∂–lemat: je´sli ¯∂α = 0 i α = ∂β, to istnieje γ taka, ˙ze α = ∂ ¯∂γ. Bli´zniaczy dd^c–lemat.

9.2 CDGA modulo kwaziizomorfizmy i formalno´s´c 9.3 Formalno´s´c rozmaito´sci k¨ahlerowskich:

– Niech A^•(M )^c= ker(d^c) ⊂ A^•(M ) w lo˙zenie jest kwazi-izomorfizm

– Niech H_d^∗c(M ) = ker(d_c)/im(d_c), rzutowanie (A^•(M )^c, d) → (H_d^∗c(M ), d) jest kwaziizomor- fizmem

– R´o˙zniczka (H_d^∗c(M ), d) jest trywialna.

9.4 FⁱA^•(M ) ⊂ A^•(M ) podkompleks sk ladaja_,cy sie_, z form, w kt´orych jest conajmniej i dz-t´ow.

Rostajemy indukowana_,filtracje_,

Fⁱ(H^k(M )) = im(H^k(FⁱA^•(M )) → H^k(A^•(M )).

Rozk lad Hodge’a mo˙zna interpretowa´c tak:

F^p(H^k(X))/F^p+1(H^k(X)) = H^k(F^pA^•(M )/F^p+1A^•(M )) = H^k−pFⁱ(A^p,•(M ), ¯∂).

10 Struktura Hodge’a, odwzororowanie Albanese, pe

k Lefschetza

10.1 Abstrakcyjna ca lkowita struktura Hodge’a wagi k to – Wolna grupa abelowa H_Z

– filtracja maleja_,ca w H_C= C ⊗ H_Z taka, ˙ze

H_C= F^pM ¯F^k−p+1 dla ka˙zdego p.

10.2 Za lo˙zmy, ˙ze H_Z jest ca lkowita_, struktura_, Hodge’a wagi 1 oraz F¹ = H_C, F⁻¹ = {0}. Wtedy obraz H_Z⊂ H_C HC/ ¯F¹ = H^1,0 jest krata_,. Mo˙zna zbudowa´c rozmaito´s´c abelowa_,(torus zespolony)

(H^1,0)^∗/H_Z^∨.

Gdy X = Cⁿ/Λ, to M mo˙zna odtworzy´c z abstrakcynej struktury Hodge’a. Wyb´or punktu x0 ∈ X zadaje odwzorowanie Albanese

X−→ H^{' 1,0}(X)^∗/H₁(X; Z) x 7→

 α 7→

Z x x0

α

 .

10.3 Niech X ⊂ P^N rozmaito´s´c rzutowa wymiaru n, H hiperpowierzchnia, Y = X ∩ H. Definiujemy cykle niezmiennicze i znikaja_,ce:

I = im(ι^∗: Hⁿ⁻¹(X) → Hⁿ⁻¹(Y )) , V = ker(ι∗ : Hⁿ⁻¹(Y ) → Hⁿ⁺¹(X)) ,

Korzystaja_,c z to˙zsamo´sci [Y ] ∪ a = i∗i^∗a i trudnego twierdzenia Lefschetz dowodzimy, ˙ze Hⁿ⁻¹(Y ) = I ⊕ V .

Ponadto z to˙zsamo´sci (i^∗a ∪ b, [Y ]) = (a ∪ i∗b, [X]) otrzymujemy, ˙ze I i V sa_,prostopad le ze wzgle_,du na forme_,przecie_,´c.

10.4 Pe_,k Lefschetza: niech X ⊂ P^N, A podprzestrze´n rzutowa kowymiaru 2. Hiperp laszczyzny H ⊂ P^N zawieraja_,ce A sa_,parametryzowane przez P¹. Oznaczenie: dla λ ∈ P¹odpowiadaja_,ca przestrze´n to Hλ. Definiujemy

X = {(x, λ) ∈ X × Pe ¹ | x ∈ H_λ} . Mamy rzutowania

X ←− eX −→ P^{p 1}.

M´owimy, ˙ze X jest pe_,kiem Lefschetza gdy eX jest g ladkie i rzutowanie na P¹ ma tylko proste osobliwo´sci (posta´c lokalna Pn

i=1z²_i), conajwy˙zej jedna we w l´oknie.

10.5 Twierdzenie: dla generycznego wyboru A otrzymujemy pe_,k Lefschetza.

10.6 Niech S ⊂ P¹be_,dzie zbiorem warto´sci krytycznych p, U = P¹\ S. Wtedy p : eX_U = p⁻¹(U ) → U jest rozw l´oknieniem lokalnie trywialnym w topologii C^∞. Niech λ ∈ U . Grupa podstawowa π = π1(U, λ) dzia la na kohomologie w l´okna X_λ= X ∩H_λ. Opiszemy podprzestrzenie I i V w Hⁿ⁻¹(X_λ) w terminach dzia lania π.

10.7 Og´olne wiadomo´sci o monodromii: dla topologicznego rozw l´oknienia F ⊂ E → B mamy π1(B, b) → π0(Aut(F_b))

π1(B, b) → [F_b, F_b] π₁(B, b) → Aut(H∗(F_b)) .

11 O pe

ku Lefschetza cia

g dalszy

11.1 Cia_,g Wanga dla rozw l´oknienia nad okre_,giem

→ H_k(F )^µ−1→ H_k(F ) → H_k(E) → H_k−1(F ) →

11.2 Niech f : Cⁿ → C kie lek odwzorowania holomorficznego z izolowana, osobliwo´scia_, w zerze, f (0) − 0. Rozw l´oknienie Milnora

f /|f | : S_²ⁿ⁻¹\ X → S¹ i r´ownowa˙zne z nim

f : B_∩ f⁻¹(S_δ¹) → S¹, 0 < δ <<  << 1.

11.3 Wracamy do pe_,ku Lefschetza: Grupa podstawowa U jest wolna, generowana przez γ1, γ2, . . . , γk

(po jednym generatorze dla ka˙zdej warto´sci krytycznej. Jedyna relacja, to γ1γ2. . . γ_k = 1 (mo˙zna wyrzuci´c γ_k i be_,da_,wolne generatory.

11.4 Przestrze´n V = ker(Hⁿ⁻¹(Y ) → Hⁿ⁺¹(X)) poprzez dualno´s´c Poincar´e uto˙zsamiamy z ker(H_n−1(Y ) → H_n−1(X)) = im(H_n(X, Y ) → H_n1(Y )) .

11.5 Mamy odwzorowanie par Xe_t0 ⊂ Xe

k ↓^q

Y ⊂ X

q⁻¹(Y ) = eXt0 ∪ eZ , gdzie eZ = q⁻¹(Z) , Z = A ∩ X = \

t∈P¹

Xt

bo q jest izomorfizmem poza eZ. Ponadto eZ ' Z × P¹ oraz q obcie_,te do eZ jest rzutowaniem na Z.

11.6 Lokalna topologia osobliwo´sci P z_i²: zbi´orP z_i² =  jest homeomorficzny z T Sⁿ⁻¹. Uwaga na zmiane_,orientacji o (−1)^n(n+1)/2.

11.7 Monodromia µ(`) = ` + δ, gdzie δ = [Sⁿ⁻¹], ` – klasa w l´okna T Sⁿ⁻¹. 11.8 Formu la Picarda Lefschetza. Monodromia dzia lania γ_i na H_n−1(X_t0):

γ_i(α) = α + (−1)^n(n+1)/2(α, δ_i)δ_i, gdzie δ_i klasa ma lej sfery w otoczeniu i-tego punktu krytycznego.

Odsy lacz do pe_,ku Lefschtza [Arapura §13.3] i [Lamotke]

12 Zwia

zek rozk ladu H

(Y ) = I ⊕ V z monodromia

.

12.1 Twierdzenie Picarda-Lefschetza: w pe_,ku Lefschetza

– V = ker(H_n−1(Y ) → H_n−1(X)) ' im(H_n(X, Y ) → H_n−1(Y )) jest generowane przez cykle δ_i zwia_,zane z punktami krytycznymi odwzorowania eX → P¹

12.2 Nie u˙zywaja_,c cykli δ_i: – I = Hⁿ⁻¹(Y )^π

– V rozpie_,te przez elementy postaci γ(α) − α

– Hⁿ⁻¹(Y ) = I ⊕ V , suma ortogonalna ze wzgle_,du na forme_,przecie_,´c – (rerezentacja π = π1(U ) na V jest prosta oraz I = Hⁿ⁻¹(Y )^π.) DOW ´OD (wg Lamotke):

P¹ = D₊∪ D₋, zak ladamy, ˙ze wszystkie warto´sci krytyczne f le˙za_,w D₊ Xe_b= p⁻¹(b) dla b = t₀ ∈ D₊∩ D_⊂P¹

Y = eXb

Xe±= p⁻¹(D±), eX0= eX+∩ eX−

Z = przeciwobraz Z = X ∩ A przy rzutowaniu q : ee X → X (A to o´s pe_,ku)

12.3 eX \ eZ ∪ eX_b' X \ Y , wie_,c H∗( eX, eZ ∪ eX_b) ' H∗(X, Y ) 12.4 Lemat podstawowy:

H_n−1( eX₊, eX_b) = Z^r gdzie r jest ilo´scia_,punkt´ow krytycznych.

Dow´od: Para eX₊/ eX_b jest homotopijnie rwnowana _

k

(p⁻¹(D_k) ∩ B)/( eX_t⁰

k ∩ B_) , gdzie D_i jest maym dyskiem wok´ol k-tej warto´sci krytycznej, t⁰_k∈ ∂D_k.

12.5

H_k( eX, eX₊) ' H_k( eX−, eX₀) ' H_k( eX_b× (D², S¹)) ' H_k−2( eX_b) = H_k−2(Y ) Podobnie:

Hk( eX, eZ ∪ eX+) ' Hk( eX−, ( eZ ∩ eX−) ∪ eX0) ' Hk((Xb, eZ ∩ Xb) × (D², S²)) ' Hk−2(Y, Z) 12.6 Cia_,g dok ladny tr´ojki ( eX, eZ ∪ eX₊, eZ ∪ eX_b):

H_n( eZ ∪ eX₊, eZ ∪ eX_b) → H_n( eX, eZ ∪ eX_b) → H_n( eX, eZ ∪ eX₊)

k k k

Z^r = H_n( eX₊, eX_b) H_n(X, Y ) H_n−2(Y, Z) = 0 (z latwego Lefschetza).

12.7 Wnioski:

a) Cykle δ_i, i = 1, . . . , r rozpinaja_,V = im(H_n(X, Y ) → H_n−1(Y )) b) (α ⊥ V ) ⇐⇒ (α ⊥ lin(δ₁, . . . , δ_r)) ⇐⇒ α ∈ H_n−1(Y )^π Sta_,d I = V^⊥= Hn−1(Y )^π. (Zawieranie I ⊂ Hn−1(Y )^π by lo oczywiste.)

—————— 

12.8 Ta sama metoda dowody jak Podstawowego Lematu: =⇒ w l´okno Milnora izolowanej osobliwo´sci funkcji f : Cⁿ → C ma kohomologie takie jak bukiet sferW

rSⁿ⁻¹, gdzie r jest ilo´scia_, punkt´ow kryty- cznych morsyfikacji f . (Tak na prawde_,jest homotopijna r´ownowa˙zno´s´c.)

12.9 Przyk lad rodziny w P² z monodromia_,, kt´ora nie jest p´olprosta:

z₀z₂²= 4z³₁+ (t − 3)z²₀z₁+ (s − 1)z₀³. Monodromia jest postaci 1 1

0 1



. [Barth-Hulek-Van de Ven, Compact Complex Surfaces p.152]

13 Cia

gi spektralne

13.1 (Uzupe´nienie, dow´od bardzo trudny.) Invariant Cycle Theorem: Dane odwzorowanie w la´sciwe na dysk p : X → D. Za l´o˙zmy, ˙ze 0 jest jedyna_,warto´scia_,krytyczna_,. Niech X^∗= p⁻¹(D \ {0}). Z cia_,gu Wanga dla t 6= 0 mamy H^∗(X_t)^µ= im(H^∗(X^∗) → H^∗(X_t)). Twierdzenie: [Clemens] Za l´o˙zmy, ˙ze X jest K¨aklera. Wtedy

H^∗(Xt)^µ= im(H^∗(X ) → H^∗(Xt)).

13.2 CIA_,GI SPEKTRALNE

Przyk ladowe ´zr´od lo: C. Weibel - An Introduction to Homological Algebra, roz. 5 d^r_p,q : E_p,q^r → E_{p−r,q+r−1}^r , E_p,q^r+1 = ker(d^r_p,q)/im(d^r_p+r,q−r+1) Napis E_p,q^r ⇒ H_p+q oznacza, ˙ze w H∗ jest filtracja maleja_,ca taka, ˙ze

FpHp+q/Fp−1Hp+q ' E_p,q^∞ .

13.3 Homologiczny cia_,g spektralny zwia_,zany z filtracja_,kompleksu la´ncuchowego. Definiujemy A^r_p,•= {x ∈ FpC• | d(x) ∈ F_p−rC•},

Z_p,•^r = obraz A^r_p,• w FpC•/Fp−1C•, B_p,•^r = obraz d(A^r−1_p+r−1,•) w FpC•/Fp−1C•, E_p,•^r = Z_p,•^r

B_p,•^r = A^r_p,•+ F_p−1C•

d(A^r−1_p+r−1,•) + Fp−1C•

= A^r_p,•

d(A^r−1_p+r−1,•) + A^r−1_p−1,•. Gradacja na wsp´o lrze_,dnej q jest tak dobrana, ˙ze

B_p,q^r ⊂ Z_p,q^r ⊂ F_pCp+q/Fp−1Cp+q.

R´o˙zniczka w C• indukuje r´o˙zniczke_,E_p,q^r → E_{p−r,q+r−1}^r ( ´Cw). Jest spe lniony warunek H∗(E_∗,∗^r ) = E_∗,∗^r+1 ( ´Cw). Zatem E_p,q^r jest podilorazem (ilorazem podobiektu) F_pC_p+q.

13.4 Cia_,g spektralny przestrzeni topologicznej z filtracja_,

E_p,q⁰ = C_p+q(X_p, X_p−1), E_p,q¹ = H_p+q(X_p, X_p−1) ⇒ H_p+q(X) . R´o˙zniczka

E_p,q¹ → E_p−1,q¹ czyli

Hp+q(Xp, Xp−1) → Hp−1+q(Xp−1, Xp−2) jest r´o˙zniczka_,z d lugiego cia_,gu dok ladnego homologii tr´ojki

(Xp, Xp−1, Xp−2) . 13.5 Kohomologiczny cia_,g spetralny, struktura multiplikatywna

d^p,q_r : E_r^p,q→ E_r^p+r,q−r+1, E_p,q^r+1 = ker(d^r_p,q)/im(d^r_{p−r,q+r−1}) E^p,q_r × E_r^p0,q0 → E_r^p+p0,q+q0.

13.6 Cia_,g spektralny Fr¨olichera dla rozmaito´sci zespolonej

E₁^p,q= H^q(M ; Ω^p_M) ⇒ H^p+q(X; C)

zwia_,zany z filtracja_,Hodge’a w A^•_C(M ). (Dla cia_,g´ow spektralnych kohomologicznych rozwa˙zamy filtracje maleja_,ce.)

– gdy M K¨ahlera, to E₁^p,q= E∞^p,q

– gdy M jest afiniczna to E₁^p,q= 0 dla q > 0, wie_,c E₂^p,q= E∞^p,q, zatem H^∗(M ; C) = H^∗(Ω^•(M )).

14 Cia

gi spektralne a teoria Hodge’a

14.1 Cia_,g spektralny Serre’a rozw l´oknienia (pochodza_,cy od filtracji bazy szkieletami rozk ladu kom´orkowego) E_p,q² = Hp(B; Hq(F )) ⇒ Hp+q(X), E₂^p,q = H^p(B; H^q(F )) ⇒ H^p+q(X)

– szczeg´olne przypadki: cia_,g Wanga, cia_,g Gysina 14.2 Przyk lad: obliczenie kohomologii ΩSⁿ

(Odp: jako grupa abelowa: Z w gradacjach podzielnych przez n − 1. Mno˙zenie: aka<sub>`</sub> = <sup>k+`</sup>_k
a_k+`

14.3 Degeneracja cia_,gu spektralnego rozw l´oknienia F ⊂ X  B, kt´orego w l´okna sa_, k¨ahlerowskie, a forma K¨ahlera rozszerza sie_,do X, ponadto zak ladamy, ˙ze systemy wsp´o lczynnik´ow H^q(F ) na B sa_, trywialne. Wniosek: H^∗(X) ' H^∗(B) ⊗ H^∗(F ) addytywnie (!!).

14.4 Cia_,g spektralny Deligne’a obliczja_,cy kohomologie dope lnienia dywizora z normalnymi prze- cie_,ciami X = M \ D, D =S

i∈ID_i. Twierdzenie: cia_,g degeneruje sie_,na E₂ – Filtracja wagowa kompleksu A^•(M, loghDi)

E₁^−pq= H^q−2p(X^p) .

- Dla multindeksu I = {i₁, i₂, . . . , i_{`</sub>} mamy X<sub>I</sub> = D<sub>i1</sub>∩ D<sub>i2</sub>∩ · · · ∩ D<sub>i`} i X<sup>`</sup> =`

|I|=`X<sub>I</sub> (przyjmujemy X<sup>0</sup>= M ). Dla ` = 0, 1, . . . m mamy reziduum

dz_i1 z_i1 ∧^dz_zⁱ²

i2 ∧ · · · ∧ ^dz_z^i`

ij ∧ ω 7−→ ω_|X

I, kt´ore indukuje izomorfizm na kohomologiach

res_{`</sub> : H<sup>k</sup> W<sub>`}A^•(M, loghDi)/W<sub>`−1</sub>A<sup>•</sup>(M, loghDi)
→ H<sup>k−`</sup>(A^•(X^`)) (Patrz Zadanie 10 lub Shabat, Introduction to complex analysis §18 roz. 54, Thm. 1) – Tablica E1:

0 → H⁰(X²) → H²(X¹) → H⁴(X⁰) → 0 ⁴ 0 → H¹(X¹) → H³(X⁰) → 0 ³ 0 → H⁰(X¹) → H²(X⁰) → 0 ² 0 → H¹(X⁰) → 0 ¹ 0 → H⁰(X⁰) → 0 ⁰

−3 −2 −1 0 1

– R´o˙zniczka d₁ jest alternuja_,ca_,suma_,odwzorowa´n Gysina H^∗(X^I) → H^∗+2(X^I\{i}).

Aby bra´c pod uwage_, strukture_, Hodge’a piszemy V (k) dla oznaczenia twistu Tate’a (przesunie_,cie in- deks´ow: V (k)^p,q := V^p−k,q−k):

0 → H⁰(X²)(−2) → H²(X¹)(−1) → H⁴(X⁰) → 0 ⁴ 0 → H¹(X¹)(−1) → H³(X⁰) → 0 ³ 0 → H⁰(X¹)(−1) → H²(X⁰) → 0 ² 0 → H¹(X⁰) → 0 ¹ 0 → H⁰(X⁰) → 0 ⁰

−3 −2 −1 0 1

– Cia_,g Deligne’a degeneruje sie_,: E∞ = E2, bo r´o˙zniczka w cia_,gu spektralnym zachowuje_, strukture_, Hodge’a. Dostajemy:

Gr<sub>`</sub><sup>W</sup>H<sup>n</sup>(X) = H<sup>n−`</sup>



· · · → Hⁿ⁻⁴(X²)(−2)

| {z }

−2

→ Hⁿ⁻²(X¹)(−1)

| {z }

−1

→ Hⁿ(X⁰)

| {z }

0

→ 0 .

14.5 Moje notatki o mieszanych strukturach Hodge’a http://www.mimuw.edu.pl/∼aweber/ps/mhs.pdf 14.6 P. Griffiths, W. Schmid Recent developments in Hodge theory, o mieszanych strukturach Hodge’a.

14.7 Abstrakcyjna definicja mieszanej struktury Hodge’a jest w §ksia_,˙zki Marka A. de Cataldo: Lec- tures on the Hodge theory of projective manifolds http://arxiv.org/abs/math/0504561