4.1.1 Definicja i podstawowe w lasno´ sci

Rozdzia l 4

Przestrzenie liniowe

4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie

4.1.1 Definicja i podstawowe w lasno´ sci

Niech X z dzia laniem dodawania ‘+’ b edzie grup

a przemienn

a (abelow

a).

Oznaczmy przez 0 element neutralny tej grupy, a przez (−a) element prze- ciwny do a ∈ X . Za l´o´zmy ponadto, ˙ze w X zdefiniowane jest dzia lanie

‘∗’ mno˙zenia przez skalary, czyli elementy pewnego cia la K, kt´ore spe lnia nast epuj

ace warunki:

(i) ∀a ∈ X ∀α ∈ K α ∗ a = a ∗ α ∈ X

(ii) ∀a ∈ X 1 ∗ a = a (gdzie 1 jest jedynk a w K)

(iii) ∀a, b ∈ X ∀α, β ∈ K

(α + β) ∗ a = α ∗ a + β ∗ a α ∗ (a + b) = α ∗ a + α ∗ b (α ∗ β) ∗ a = α ∗ (β ∗ a).

Definicja 4.1 Zbi´ or X z dzia laniami o wy˙zej wymienionych w lasno´sciach nazywamy przestrzeni a liniow

a nad cia lem K i oznaczamy X

(albo po prostu X ).

1

Zauwa˙zmy, ˙ze symbolu ‘ ∗’ u˙zywamy zar´owno do oznaczenia mno˙zenia skalaru przez element z grupy jak i mno˙zenia skalaru przez skalar. Podobnie ‘+’ oznacza zar´ owno dodawanie w ciele K jak i w grupie X . Nie prowadzi to jednak do niejednoznaczno´sci, bo z kontekstu zawsze wiadomo o jakie dzia lanie chodzi.

29

Podamy kilka elementarnych w lasno´sci przestrzeni liniowych:

• ∀a ∈ X 0 ∗ a = 0

• ∀a ∈ X (−1) ∗ a = −a

• ∀α ∈ K ∀a ∈ X [ α ∗ a = 0 ⇐⇒ (α = 0) lub (a = 0) ]

Pierwsza w lasno´s´c wynika z r´owno´sci 0 ∗ a = (0 + 0) ∗ a = 0 ∗ a + 0 ∗ a, a druga z r´owno´sci 0 = 0 ∗ a = (1 + (−1)) ∗ a = a + (−1) ∗ a. Implikacja w praw a stron

e w ostatniej w lasno´sci jest oczywista. Aby pokaza´c implikacj

e

w lew a stron

e za l´o˙zmy, ˙ze α ∗ 0 = 0 i α 6= 0. Wtedy

a = 1 ∗ a = (α

∗ α) ∗ a = α

∗ (α ∗ a) = α

∗ 0 = 0.

Elementy przestrzeni liniowej X

nazywamy zwykle wektorami, odwo lu- j ac si

e do odpowiedniej interpretacji geometrycznej.

Przyk ladami przestrzeni liniowych s a R

, C

, C

, K

. We wszyst- kich tych przyk ladach mno˙zenie wektora przez skalar zdefiniowane jest w naturalny spos´ob “wyraz po wyrazie”. Przestrze´ n liniow a nad R (albo nad

C) tworz a te˙z wielomiany stopnia co najwy˙zej (n − 1) o wsp´o lczynnikach

rzeczywistych (albo zespolonych). Ozanczamy j a przez P

(albo P

).

4.1.2 Podprzestrzenie liniowe

Definicja 4.2 Niech X

b edzie przestrzeni

a liniow

a. Niepusty podzbi´

or Y ⊆ X nazywamy podprzestrzeni a (liniow

a) przestrzeni X

, gdy Y jest prze- strzeni a liniow

a nad K (z dzia laniami jak w X ). Piszemy przy tym

Y

⊆ X

.

Twierdzenie 4.1 Na to, aby Y

⊂ X

potrzeba i wytarcza, ˙ze:

(i) ∀a, b ∈ Y a + b ∈ Y

(ii) ∀α ∈ K ∀a ∈ Y α ∗ a ∈ Y.

Dow´ od. Warunki bycia przestrzeni a s

a w spos´ob oczywisty spe lnione, bo

s a one spe lnione w X .

Szczeg´olnymi przyk ladami podprzestrzeni s a Y = X (podprzestrze´n nie-

w la´sciwa) oraz Y = {0} (podprzestrze´n zerowa).

Twierdzenie 4.2 Cz e´s´c wsp´

olna dowolnej rodziny podprzestrzeni przestrze- ni liniowej X

jest te˙z podprzestrzeni a X

.

Dow´ od. Niech {Y

}

, gdzie J jest (by´c mo˙ze niesko´ nczonym) zbiorem indeks´ow, b edzie dowoln

a rodzin

a podprzestrzeni. Oznaczmy

Y = ^\

j∈J

Y

.

Wobec twierdzenia 4.1 wystarczy pokaza´c, ˙ze dzia lania dodawania i mno˙zenia przez skalar nie wyprowadzaj a poza zbi´or Y. Rzeczywi´scie, warunek a, b ∈ Y

oznacza, ˙ze a, b ∈ Y

dla wszystkich j ∈ J, a st ad r´ownie˙z a + b ∈ Y

. W konsekwencji a + b ∈ ∩

Y

= Y. Podobne uzasadnienie dla mno˙zenia przez skalar omijamy.

Wa˙znymi przyk ladami podprzestrzni liniowych przestrzeni macierzy K

s a TRIL

, TRIU

oraz DIAG

. Podprzestrzeniami liniowymi w P

s a

P

z k ≤ n, albo wielomiany w kt´orych zmienna wyst epuje tylko w pot

egach

parzystych. (Przyjmujemy przy tym, ˙ze −∞, czyli stopie´n wielomianu zero- wego, jest liczb a parzyst

a.)

4.2 Baza i wymiar przestrzeni

4.2.1 Liniowa (nie)zale˙zno´ s´ c

Niech {b

}

⊂ X oraz i {α

}

⊂ K. Element b =

X

α

∗ b

nazywamy kombinacj a liniow

a element´ow {b

}, przy czym liczby {α

} s a

wsp´o lczynnikami tej kombinacji.

Zauwa˙zmy, ˙ze

B = span(b

, b

, . . . , b

) := ⁿ

X

α

∗ b

: {α

}

⊂ K ^o ,

czyli zbi´or wszystkich kombinacji liniowych danych element´ow {b

}, jest pod-

przestrzeni a przestrzeni X

. M´owimy, ˙ze B jest rozpi eta na elementach

b

, . . . , b

.

Definicja 4.3 Uk lad {b

}

⊂ X jest liniowo zale˙zny je´sli istnieje uk lad skalar´ ow {α

}

⊂ K zawieraj acy liczby niezerowe, dla kt´

orego

X

α

∗ b

= 0.

Definicja 4.4 Uk lad {b

}

⊂ X jest liniowo niezale˙zny je´sli nie jest li- niowo zale˙zny, tzn. gdy dla dowolnych skalar´ ow {α

}

z r´ owno´sci

X

α

∗ b

= 0

wynika, ˙ze α

= 0, 1 ≤ j ≤ n.

Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze dowolny (niepusty) poduk lad uk ladu liniowo nie- zale˙znego jest uk ladem liniowo niezale˙znym. Z drugiej strony, je´sli uk lad ma poduk lad liniowo zale˙zny to uk lad wyj´sciowy jest liniowo zale˙zny.

Rozpatrzmy dowolny uk lad {b

}

. Je´sli jest on liniowo zale˙zny to ist- niej a {α

}

takie, ˙ze dla pewnego s mamy α

6= 0 oraz ^P

α

∗ b

= 0.

Wtedy

b

=

X



− α

α



∗ b

,

czyli b

∈ span (b

, . . . , b

, b

, . . . , b

), a st ad

span(b

, . . . , b

, . . . , b

) = span(b

, . . . , b

, b

, . . . , b

).

Mo˙zna tak post epowa´c dalej otrzymuj

ac w ko´

ncu uk lad liniowo niezale˙zny rozpinaj acy t

a sam

a przestrze´

n co {b

}

. (Poniewa˙z uk lad wyj´sciowy jest sko´ nczony, proces “wyjmowania” kolejnych wektor´ow musi si e sko´

nczy´c po co najwy˙zej n krokach.)

Prawdziwe jest wi ec twierdzenie, ˙ze z ka˙zdego uk ladu (b

, . . . , b

) mo˙zna wyj a´c poduk lad (b

, . . . , b

), 1 ≤ j(1) < · · · < j(k) ≤ n (0 ≤ k ≤ n) taki,

˙ze jest on liniowo niezale˙zny oraz

span(b

, . . . , b

) = span(b

, . . . , b

).

4.2.2 Baza i wymiar, twierdzenie Steinitza

Definicja 4.5 Uk lad {b

}

nazywamy baz a przestrzeni Y

⊆ X

gdy:

(i) jest on liniowo niezale˙zny, (ii) Y = span(b

, b

, . . . , b

).

Mamy nast epuj

ace wa˙zne twierdzenie.

Twierdzenie 4.3 W danej przestrzeni Y

wszystkie bazy s a r´

ownoliczne.

Twierdzenie to, kt´ore zaraz udowodnimy w przypadku przestrzeni dla kt´orych istniej a bazy sko´

nczone, prowadzi do nast epuj

acej wa˙znej definicji.

Definicja 4.6 Liczb e element´

ow bazy danej przestrzeni Y

nazywamy jej wymiarem i oznaczamy dim(Y

).

Dow´od twierdzenia o r´ownoliczno´sci baz opiera si e na nast

epuj

acym bar-

dzo po˙zytecznym twierdzeniu.

Twierdzenie 4.4 (Steinitza o wymianie) Niech span(b

, . . . , b

) ⊆ span(c

, . . . , c

) = X ,

przy czym uk lad {b

}

jest liniowo niezale˙zny. Wtedy n element´ ow uk ladu {c

}

mo˙zna wymieni´c na {b

}

otrzymuj ac uk lad rozpinaj

acy X .

Uwaga. W twierdzeniu Steinitza ukryta jest r´ownie˙z teza, ˙ze n ≤ m, bo tylko wtedy wymiana element´ow jest mo˙zliwa.

Dow´ od. (Indukcja wzgl edem n.)

Dla n = 0 teza jest oczywista. Za l´o´zmy, ˙ze teza zachodzi dla n−1. Wtedy n − 1 ≤ m oraz

X = span(b

, . . . , b

, c

, c

, . . . , c

).

(Zak ladamy bez zmniejszenia og´olno´sci, ˙ze wymienili´smy n−1 pocz atkowych

element´ow uk ladu {c

}

.) Poniewa˙z b

∈ X to mo˙zna go przedstawi´c w postaci kombinacji liniowej

b

=

n−1

X

j=1

α

∗ b

+

X

β

∗ c

.

Zauwa˙zmy, ˙ze istnieje s, n ≤ s ≤ m, taka, ˙ze β

6= 0, bo w przeciwnym przypadku b

by lby liniowo zale˙zny od b

, . . . , b

. St ad n ≤ m oraz

c

= b

β

−

n−1

X

j=1

α

β

!

∗ b

−

X

β

β

!

∗ c

,

tzn. c

jest liniow a kombinacj

a wektor´ow b

, . . . , b

, c

, . . . , c

, c

, . . . , c

. Wymieniaj ac c

na b

dostajemy

X = span(c

, . . . , c

) = span(b

, . . . , b

, c

, . . . , c

)

= span(b

, . . . , b

, b

, c

, . . . , c

).

To ko´ nczy dow´od.

Bior ac teraz dwie bazy, (b

, . . . , b

) oraz (c

, . . . , c

), tej samej przestrzeni Y

i stosuj ac twierdzenie Steinitza otrzymujemy z jednej strony n ≤ m, a z

drugiej m ≤ n. St ad m = n, czyli bazy s

a r´ownoliczne.

Z twierdzenia Steinitza mo˙zna latwo wywnioskowa´c nast epuj

ace w lasno-

´sci. (Poni˙zej zak ladamy, ˙ze dim(X

) < ∞.)

1. Ka˙zdy uk lad liniowo niezale˙zny w X mo˙zna uzupe lni´c do bazy w X . 2. Je´sli Y

⊆ X

to dim(Y

) ≤ dim(X

).

3. Niech Y

⊆ X

. Wtedy

Y = X ⇐⇒ dim(Y

) = dim(X

).

4.2.3 Przyk lady

Podamy teraz kilka przyk lad´ow przestrzeni i ich baz.

•

K

= span(~e

, ~e

, . . . , ~e

),

gdzie ~e

= [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]

jest j-tym wersorem (jedynka na j-tej wsp´o lrz ednej). St

ad dim(K

) = m.

•

K

= span(E

: 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n),

gdzie

(E

)

=

( 1 i = p, j = q, 0 wpp.

St ad dim(K

) = m · n.

•

C

= span(E

, ı · E

: 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) (ı = √

−1).

St ad dim(C

) = 2 · m · n.

•

P

= span(1, t, t

, . . . , t

) i dim(P

) = n.

4.3 Sumy i sumy proste

4.3.1 Suma (prosta) dw´ och podprzestrzeni

Niech Y i Z b ed

a podprzestrzeniami X . Definiujemy iloczyn tych podprze-

strzeni jako

S = Y ∩ Z := {x ∈ X : x ∈ Y i x ∈ Z}, oraz sum e jako

T = Y + Z := {y + z : y ∈ Y, z ∈ Z}.

Zauwa˙zmy, ˙ze suma podprzestrzeni nie jest zwyk l a sum

a teoriomnogo´sciow

a.

Oczywi´scie, zar´owno iloczyn S jak i suma T s a podprzestrzeniami X .

Definicja 4.7 Je´sli iloczyn Y ∩ Z = {0} to sum e Y + Z nazywamy sum

a

prost a i oznaczamy

T = Y ⊕ Z.

Podamy teraz kilka w lasno´sci wymiar´ow sum i sum prostych.

(W1)

0 ≤ dim(Y ∩ Z) ≤ min (dim(Y), dim(Z))