zbiór, element zbioru, inkluzja i równo´s´c zbiorów; suma, iloczyn, ró ˙znica, ró ˙znica symetryczna i dopełnienie zbiorów; prawa rachunku zbiorów

Zofia Zieli ´nska-Kolasi ´nska Wst˛ep do matematyki – zbiory Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

CWICZENIA ´

zbiór, element zbioru, inkluzja i równo´s´c zbiorów; suma, iloczyn, ró ˙znica, ró ˙znica symetryczna i dopełnienie zbiorów; prawa rachunku zbiorów

Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore- ˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c na pami˛e´c.

Zakres materiału

1 . Poj ˛ecia:

(a) zbiór,

(b) element zbioru, (c) zbiór sko ´nczony, (d) zbiór pusty,

(e) zbiór niepusty,

(f) inkluzja/zawieranie zbiorów,

(g) podzbiór,

(h) podzbiór wła´sciwy, (i) nadzbiór,

(j) równo´s´c zbiorów, (k) zbiory rozł ˛ aczne;

2 . Działania na zbiorach:

(a) suma zbiorów ∪ (b) iloczyn zbiorów ∩

(c) ró ˙znica zbiorów \

(d) ró ˙znica symetryczna zbiorów ˙ −

(e) dopełnienie/uzupełnienie zbioru

3 . Prawa rachunku/algebry zbiorów:

(a) prawa przemienno´sci dodawania i mno ˙ze- nia,

(b) prawa ł ˛ aczno´sci dodawania i mno ˙zenia, (c) zwi ˛ azki dodawania i mno ˙zenia ze zbiorem

pustym,

(d) prawa rozdzielno´sci mno ˙zenia wzgl ˛edem dodawania i dodawania wzgl ˛edem mno ˙ze- nia,

(e) prawa idempotentno´sci, (f) prawa pochłaniania, (g) prawa de Morgana.

Oznaczenia i terminologia

1 . Zbiór Zbiór jest tzw. poj ˛eciem pierwotnym, tj. takim, którego nie definiujemy, ale którym si ˛e

posługujemy w rozwijaniu zagadnie ´n.

2 . Element zbioru

(a) Przedmioty nale ˙z ˛ ace do zbioru nazywamy jego elementami.

(b) Je ˙zeli element a nale ˙zy do zbioru Z, to piszemy a ∈ Z i czytamy "a nale ˙zy do Z" lub "a jest elementem zbioru Z".

(c) Je ˙zeli element m nie nale ˙zy do zbioru Z, to piszemy m / ∈ Z.

(d) Zbiór, którego elementami s ˛ a a, b, c, . . . zapisujemy { a, b, c, . . . } . (e) Je ˙zeli a jest jedynym elementem zbioru A, to piszemy A = { a } .

(f) Dwa ró ˙zne zbiory mog ˛ a zawiera´c elementy wspólne.

3 . Zbiór sko ´nczony Niektóre zbiory składaj ˛ a si ˛e ze sko ´nczonej liczby elementów – s ˛ a to zbiory sko ´nczone.

4 . Zbiór pusty Zbiór, który nie zawiera ˙zadnego elementu nazywa si ˛e zbiorem pustym i oznacza symbolem ∅.

5 . Zbiór niepusty Zbiór, do którego nale ˙zy przynajmniej jeden element nazywa si ˛e zbiorem niepu- stym.

6 . Inkluzja/zawieranie zbiorów

(a) Je ˙zeli ka ˙zdy element zbioru A nale ˙zy do zbioru B, to mówimy, ˙ze zbiór A jest zawarty w zbio- rze B albo ˙ze zbiór B zawiera zbiór A.

(b) Piszemy wtedy A ⊂ B lub B ⊃ A i czytamy "A jest zawarty w B" lub "B zawiera A".

(c) Zbiór A nazywa si ˛e cz˛e´sci ˛a albo podzbiorem zbioru B, a zbiór B – nadzbiorem zbioru A.

(d) Zbiór pusty ∅ jest podzbiorem ka˙zdego zbioru.

(e) Relacja zawierania jest przechodnia, tzn., ˙ze je ˙zeli A ⊂ B oraz B ⊂ C, to A ⊂ C, czyli ( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ C ) ⇒ A ⊂ C.

7 . Równo´s´c zbiorów Je ˙zeli A ⊂ B oraz B ⊂ A, to mówimy, ˙ze zbiory s ˛ a identyczne (równe) i pisze- my A = B. Wtedy ka ˙zdy element zbioru A nale ˙zy do zbioru B i ka ˙zdy element zbioru B nale ˙zy do zbioru A.

8 . Podzbiór wła´sciwy Je ˙zeli A ⊂ B, ale B 6⊂ A, to A nazywamy pozbiorem wła´sciwym zbioru B.

9 . Zbiory rozł ˛ aczne Dwa zbiory nie maj ˛ ace wspólnych elementów nazywamy rozł ˛acznymi.

10 . Działania na zbiorach (a) Suma zbiorów ∪

i. Sum ˛a zbiorów A i B nazywamy taki zbiór C, do którego nale ˙z ˛ a wszystkie elementy zbio- rów A i B i ˙zadne inne. Piszemy C = A ∪ B (rys. 1). Zatem

x ∈ A ∪ B ⇔ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) .

Rysunek 1: Suma dwóch zbiorów: A ∪ B.

ii. Poj ˛ecie sumy dwóch zbiorów mo ˙zna uogólni´c na dowoln ˛ a (sko ´nczon ˛ a) liczb ˛e składni- ków. Sum ˛ a n zbiorów nazywamy zatem zbiór, którego ka ˙zdy element nale ˙zy przynaj- mniej do jednego z danych zbiorów. Nie wyklucza si ˛e wi ˛ec, ˙ze jaki´s element nale ˙zy równocze´snie do kilku składników (rys. 2).

Rysunek 2: Suma trzech zbiorów: A ∪ B ∪ C.

iii. Dodawanie zbiorów podlega dwóm prawom:

A. prawu przemienno´sci

A ∪ B = B ∪ A, B. prawu ł ˛aczno´sci

( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) . iv. Stwierdzamy równie ˙z, ˙ze

A. A ∪ A = A, B. A ∪ _∅ = A,

C. Je ˙zeli A ⊂ B, to A ∪ B = B (rys. 3).

Rysunek 3: Je ˙zeli A ⊂ B, to A ∪ B = B.

(b) Iloczyn zbiorów ∩

i. Zbiór C, którego elementy nale ˙z ˛ a zarówno do A, jak i do B, nazywamy iloczynem zbiorów A i B. Piszemy C = A ∩ B (rys. 4). Zatem

x ∈ A ∩ B ⇔ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ) .

Rysunek 4: Iloczyn dwóch zbiorów: A ∩ B.

ii. Iloczyn zbiorów mo ˙zna utworzy´c dla dowolnej (sko ´nczonej) liczby czynników.

iii. Iloczyn zbiorów podlega dwóm prawom:

A. prawu przemienno´sci

A ∩ B = B ∩ A, B. prawu ł ˛aczno´sci

( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) . iv. Je ˙zeli A ⊂ B, to A ∩ B = A (rys. 5).

Rysunek 5: Je ˙zeli A ⊂ B, to A ∩ B = A.

v. Zbiory A i B s ˛ a rozł ˛ aczne wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ B = ∅ (rys. 6).

Rysunek 6: Iloczyn zbiorów rozł ˛ acznych jest zbiorem pustym ∅.

(c) Ró˙znica zbiorów \

i. Zbiór C tych wszystkich elementów, które nale ˙z ˛ a do zbioru A, a nie nale ˙z ˛ a do zbioru B, nazywamy ró˙znic ˛a zbiorów A i B. Piszemy C = A \ B (rys. 7). Zatem

x ∈ A \ B ⇔ ( x ∈ A ) ∧ ( x / ∈ B ) .

Rysunek 7: Ró ˙znica dwóch zbiorów: A \ B.

ii. Je ˙zeli zbiory A i B s ˛ a rozł ˛ aczne, to A \ B = A, bo ka ˙zdy element, który nale ˙zy do A nie nale ˙zy do B (rys. 8).

Rysunek 8: Ró ˙znica dwóch zbiorów rozł ˛ acznych: A \ B.

iii. Je ˙zeli A ⊂ B, to A \ B = ∅ (rys. 9).

Rysunek 9: Je ˙zeli A ⊂ B, to A \ B = _∅.

(d) Ró˙znica symetryczna zbiorów ˙ −

i. Zbiór C tych wszystkich elementów, które nale ˙z ˛ a do dokładnie jednego ze zbiorów A i B nazywamy ró˙znic ˛a symetryczn ˛a zbiorów A i B. Piszemy C = A ˙ − B (rys. 10). Zatem

x ∈ A ˙ − B ⇔ [( x ∈ A ) ∧ ( x / ∈ B )] ∨ [( x / ∈ A ) ∧ ( x ∈ B )] .

Rysunek 10: Ró ˙znica symetryczna dwóch zbiorów: A ˙ − B.

ii. Definicja formalna:

A ˙ − B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) . iii. Je ˙zeli A ⊆ B, to A ˙ − B = B \ A (rys. 11).

Rysunek 11: Je ˙zeli A ⊆ B, to A ˙ − B = B \ A.

(e) Dopełnienie/uzupełnienie zbioru

i. Niech dany b ˛edzie zbiór U, zwany przestrzeni ˛a, oraz jego podzbiór A ⊆ U. Dopełnieniem zbioru A nazywa si ˛e ró ˙znic ˛e

A

= U \ A = { x ∈ U : x / ∈ A } ,

oznaczan ˛ a zwykle symbolem A

(rys. 12). Jest to zbiór wszystkich elementów pewnego ustalonego nadzbioru, które do danego zbioru nie nale ˙z ˛ a.

Rysunek 12: Zbiór A

– dopełnienie zbioru A w przestrzeni U.

ii. Z definicji wynika, ˙ze dopełnienie zbioru zale ˙zy od wyboru przestrzeni.

iii. Korzystaj ˛ ac z poj ˛ecia dopełnienia zbiorów, ró ˙znic ˛e zbiorów A, B ⊆ U mo ˙zna zapisa´c w postaci:

A \ B = A ∩ B

. iv. Dla dowolnej przestrzeni U prawdziwe s ˛ a równo´sci

A. ∅

= U, B. U

= _∅.

v. Dla ustalonej przestrzeni U i dowolnego A ⊆ U zachodzi ( A

)

= A.

vi. Zbiór i jego dopełnienie s ˛ a rozł ˛ aczne

A ∩ A

= _∅.

vii. Suma zbioru i jego dopełnienia daje cał ˛ a przestrze ´n A ∪ A

= U.

viii. Dla danych A, B ⊆ U zachodz ˛ a prawa A. ( A ∪ B )

= A

∩ B

,

B. ( A ∩ B )

= A

∪ B

, znane jako prawa de Morgana.

ix. Je ˙zeli B = A

, to B

= A.

Twierdzenia

1 . Prawa rachunku/algebry zbiorów Zwi ˛ azki dotycz ˛ ace działa ´n na zbiorach i zachodz ˛ ace dla dowolnych zbiorów nazywane s ˛ a prawami rachunku zbiorów lub prawami algebry zbiorów.

(a) Prawa przemienno´sci Dla dowolnych zbiorów A i B zachodz ˛ a i. prawo przemienno´sci dodawania A ∪ B = B ∪ A,

ii. prawo przemienno´sci mno˙zenia A ∩ B = B ∩ A.

(b) Prawa ł ˛ aczno´sci Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz ˛ a i. prawo ł ˛ aczno´sci dodawania A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C, ii. prawo ł ˛ aczno´sci mno˙zenia A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C.

(c) Zwi ˛ azki dodawania i mno˙zenia ze zbiorem pustym Dla dowolnego zbior A zachodz ˛ a i. A ∪ _∅ = A,

ii. A ∩ _∅ = _∅.

(d) Prawa rozdzielno´sci Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz ˛ a

i. prawo rozdzielno´sci mno˙zenia wzgl˛edem dodawania A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) , ii. prawo rozdzielno´sci dodawania wzgl˛edem mno˙zenia A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) . (e) Prawa idempotentno´sci Dla dowolnego zbioru A zachodz ˛ a

i. A ∪ A = A, ii. A ∩ A = A.

(f) Prawa pochłaniania Dla zbiorów A, B takich, ˙ze A ⊆ B, zachodz ˛ a i. A ∪ B = B,

ii. A ∩ B = A.

(g) Prawa de Morgana Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz ˛ a i. A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C ) ,

ii. A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B ) ∪ ( A \ C ) _.

Przydatne wzory

1 . Pierwiastki równania kwadratowego Liczba rzeczywistych rozwi ˛ aza ´n równania kwadrato- wego ax

+ bx + c = 0 zale ˙zy od wyró ˙znika ∆ = b

− 4ac:

(a) je ˙zeli ∆ < 0, to równanie kwadratowe nie ma rozwi ˛ aza ´n rzeczywistych,

(b) je ˙zeli ∆ = 0, to równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwi ˛ azanie: x

= x

= −

,

(c) je ˙zeli ∆ > 0, to równanie kwadratowe ma dokładnie dwa rozwi ˛ azania rzeczywiste:

x

= − b − √

∆

2a , x

= − b + √

∆ 2a .

Zadania

1 . Zapisa´c zbiór pierwiastków równania

(a) x

− _16x + ₆₄ = _{0, (b) x}

− _3x + ₁₀ = _{0, (c) x}

− _4x = ₀ i okre´sli´c jego liczebno´s´c.

2 . Obliczy´c (a) sum ˛e, (b) iloczyn,

(c) ró ˙znic ˛e,

(d) ró ˙znic ˛e symetryczn ˛ a zbiorów A, B okre´slonych nast ˛epuj ˛ aco

(a) A = { 1, 2, 3, 4 } , B = { 3, 4, 5, 6 } , (b) A = [ 0, 4 ) , B = [ 3, 6 ) . 3 . Wyznaczy´c i naszkicowa´c na osi liczbowej lub w układzie współrz ˛ednych zbiory

(a) A ∪ B, (b) A ∩ B, (c) A \ B, (d) B \ A, (e) A ˙ − B,

je´sli zbiory A i B okre´slone s ˛ a nast ˛epuj ˛ aco:

(a) A = { x ∈ _{R : x}

> 4 } , B = { x ∈ _{R : x} > 1 } , (b) A = { x ∈ _{R : x}

> 1 } , B = { x ∈ _{R : x}

< 4 } ,

(c) A = {h x, y i ∈ _R

: y − x ≤ 0 } , B = {h x, y i ∈ _R

: x + y < 3 } , (d) A = {h x, y i ∈ _R

: y = | x |} , B = {h x, y i ∈ _R

: x = | y |} ,

(e) A = {h x, y i ∈ _R

: x

+ y

< 4 } , B = {h x, y i ∈ _R

: x + y < 2 } .

4 . Dla dowolnych zbiorów A, B, C zilustrowa´c za pomoc ˛ a diagramów Venna równo´sci (a) ( A \ B ) ∩ B = _∅,

(b) A ∪ ( B ∩ C ) = ( _A ∪ B ) ∩ ( _A ∪ C ) _, (c) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) , (d) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ,

(e) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) , (f) A

∩ B

= ( A ∪ B )

,

(g) A

∪ B

= ( A ∩ B )

,

(h) A \ ( B \ C ) = ( A \ B ) ∪ ( A ∩ C ) ,

(i) ( A ∪ B ) \ C = ( A \ C ) ∪ ( B \ C ) , (j) A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C ) , (k) A ˙ − B = B ˙ − A,

(l) A ˙ −( B ˙ − C ) = ( A ˙ − B ) − ˙ C, (m) A ˙ − _∅ = A,

(n) A ˙ − A = _∅,

(o) A ∩ ( B ˙ − C ) = ( A ∩ B ) −( ˙ A ∩ C ) .

5 . Korzystaj ˛ ac z diagramów Venna sprawdzi´c, czy prawd ˛ a jest, ˙ze dla dowolnych zbiorów A i B

zachodz ˛ a nast ˛epuj ˛ ace równo´sci:

(a) ( A ∪ B ) \ B = A? (b) ( A \ B ) ∪ B = A?

6 . Korzystaj ˛ ac z diagramów Venna sprawdzi´c, jaka musi by´c zale ˙zno´s´c mi ˛edzy zbiorami A i B ˙zeby zachodziło

(a) ( A ∪ B ) \ B = A, (b) ( A \ B ) ∪ B = A.

Bibliografia

1 . Wykłady ze wst˛epu do matematyki W. Guzicki, P. Zakrzewski 2 . Matematyka t. I K. Szałajko

3 . Analiza matematyczna w zadaniach cz˛e´s´c I W. Krysicki, L. Włodarski