Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 6: Funkcja charakterystyczna rozkładu zmiennej losowej. Inne transformaty.
Technika określania rozkładu zmiennej losowej X za pomocą funk- cji charakterystycznej:
• Pełna informacja o rozkładzie zmiennej losowej X zawarta jest w funkcji charak- terystycznej
ϕ(t) = EeitX, t ∈ R.
Równoważnie, funkcja charakterystyczna to transformata Fouriera-Lebesgue’a dys- trybuanty F (x):
ϕ(t) =
∞
Z
−∞
eitxdF (x) W szczególności:
ϕ(t) =
P
n∈T
eitxnpn, gdy X ma rozkład dyskretny zadany ciągiem {(xn, pn), n ∈ T};
∞
R
−∞
eitxf (x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f (x).
• Twierdzenie Bochnera: Zespolona funkcja ϕ(t) jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące warunki:
(a) jest ciągła;
(b) jest nieujemnie określona, tzn. dla każdego naturalnego n, dla każdego ciągu t1, . . . , tn liczb rzeczywistych i ciągu z1, . . . , zn liczb zespolonych mamy
X
k,l¬n
ϕ(tk− tl)zkzl 0;
(c) ϕ(0) = 1.
Każda funkcja ϕ, która spełnia powyższe warunki, ma probabilistyczną interpreta- cję, reprezentację; może być używana w modelach w roli funkcji charakterystycznej.
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Technika określania rozkładu nieujemnej zmiennej losowej X za pomocą transformaty Laplace’a:
• Pełna informacja o rozkładzie nieujemnej zmiennej losowej X, tzn. takiej, że P (X 0) = 1, zawarta jest w transformacie Laplace’a
ψ(t) = Ee−tX, t 0
czyli równoważnie, w transformacie Laplace’a-Lebesgue’a dystrybuanty F (x):
ψ(t) =
∞
Z
0
e−txdF (x)
W szczególności,
ψ(t) =
P
n∈T
e−txnpn, gdy X ma rozkład dyskretny zadany ciągiem {(xn, pn), n ∈ T};
∞
R
−∞
e−txf (x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f (x).
• Funkcja ψ(t) jest transformatą Laplace’a pewnej zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące warunki:
(a) jest całkowicie monotoniczna, tzn. dla każdego naturalnego n mamy (−1)nψ(n)(t) 0;
(b) ψ(0) = 1.
Każda funkcja ψ, która spełnia powyższe warunki, ma probabilistyczną interpreta- cję, reprezentację; może być używana w modelach w roli transformaty Laplace’a.
Technika określania rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X, przyjmującej tylko wartości naturalne, za pomocą funkcji tworzą- cej:
• Pełna informacja o rozkładzie dyskretnej zmiennej losowej X przyjmującej tylko wartości naturalne zawarta jest w funkcji tworzącej
g(s) = EsX =
∞
X
n=0
snpn, 0 < s ¬ 1,
gdzie pn = P (X = n) dla n = 0, 1, . . .
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
2
