http://www.mat.ug.edu.pl/~mwrzosek
Analiza danych w ubezpieczeniach majątkowych
Zad. 1. Dany jest rozkład zmiennej losowej X
X = xi −1 1 2 3
P (X = xi) 1/8 1/8 1/4 c 1. Wyznacz wartość stałej c.
2. Oblicz P (X ∈ (0, 2]).
3. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
4. Oblicz współczynnik skośności (asymetrii) rozkładu zmiennej losowej X.
Zad. 2. Oblicz medianę zmiennej losowej X o dystrybuancie
1. F (x) =
0, dla x < 0, 0.1, dla x ∈ [0, 1), 0.2, dla x ∈ [1, 2), 0.6, dla x ∈ [2, 3), 1, dla x ≥ 3.
2. F (x) =
0, dla x < 0, 0.1, dla x ∈ [0, 1), 0.2, dla x ∈ [1, 2), 0.5, dla x ∈ [2, 3), 1, dla x ≥ 3.
Niech p ∈ (0, 1). Kwantyl rzędu p zmiennej losowej X o dystrybuancie F to dowolna liczba qp, taka że F (x) ≤ p dla x < qp oraz F (x) ≥ p dla x ≥ qp.
Zad. 3. Dana jest gęstość zmiennej losowej X f (x) =
c(x + 2), x ∈ (1, 5) 0, x /∈ (1, 5) 1. Wyznacz wartość stałej c.
2. Oblicz i zaznacz na wykresie gęstości P (X ∈ (2, 4)).
3. Wyznacz dystrybuantę F .
4. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
5. Oblicz współczynnik skośności (asymetrii) rozkładu zmiennej losowej X.
6. Oblicz współczynnik spłaszczenia (kurtozę) rozkładu zmiennej losowej X.
Zad. 4. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X
F (x) =
0, x ≤ 1
1
16(x − 1)2, 1 < x ≤ 5
1, x > 5
Oblicz i zaznacz na wykresie dystrybuanty P (X ∈ (2, 4)).
Zad. 5. Niech zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f (x) =
x + 12, x ∈ (0, 1) 0, x /∈ (0, 1) Oblicz kwantyl rzędu 0.375.
Zad. 6. Rozkład liczby szkód K jest ujemny dwumianowy z parametrami p = q = 0.5 i wariancją równą 36.
1. Zapisz rozkład liczby szkód K oraz wyznacz wartość oczekiwaną liczby szkód K.
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba szkód będzie mniejsza niż 3?
Zad. 7. Na ruchliwym skrzyżowaniu w Gdańsku zdarzają się średnio 2 wypadki miesięcznie. Przyj- mując, że liczba wypadków podlega rozkładowi Poissona, oblicz prawdopodobieństwo tego, że w losowo wybranym miesiącu zdarzą się:
1. 3 wypadki,
2. co najwyżej 2 wypadki.
Zad. 8. Magnituda trzęsień ziemi w pewnym regionie Ameryki Północnej może być modelowana roz- kładem wykładniczym o średniej 2.4 w skali Richtera. Oblicz prawdopodobieństwo, że siła trzęsienia ziemi w tym regionie przekroczy 3 w skali Richtera.
Zad. 9. Miesięczne sumy opadów w pewnym polskim województwie mają w przybliżeniu rozkład gamma z parametrami µ = 3.2, γ = 2. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję miesięcznych sum opadów.
Model ryzyka indywidualnego
Zad. 10. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X = IB, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia szkody wynosi 0.1, a zmienna losowa wysokości szkody B przyjmuje wartość 5 z prawdo- podobieństwem 1.
Zad. 11. Zmienna losowa wysokości szkody B ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 20]. Praw- dopodobieństwo wystąpienia szkody wynosi 0.02.
1. Wyznacz i zinterpretuj wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej B.
2. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej I.
3. Wyznacz i zinterpretuj wartość oczekiwaną wysokości wypłaty X.
4. Wyznacz i zinterpretuj odchylenie standardowe i współczynnik zmienności wysokości wypłaty.
Zad. 12. Pewien zakład ubezpieczeń sprzedaje trzy rodzaje ubezpieczeń od kosztów leczenia. Na podstawie danych z poprzednich lat oszacowano, że zakład ubezpieczeń przeciętnie w ciągu roku z jednej polisy wypłaca:
• dla pierwszej grupy ubezpieczeń 1000 zł z odchyleniem standardowym 100 zł,
• dla drugiej grupy ubezpieczeń 1500 zł z odchyleniem standardowym 80 zł,
• dla trzeciej 2000 zł z odchyleniem standardowym 250 zł.
W bieżącym roku zakład sprzedał 400 polis z pierwszej grupy, 300 polis z drugiej i 200 polis z trzeciej grupy. Dane umieszczono w tabeli:
Rodzaj Liczba polis Oczekiwane świadczenie z jednej polisy Odch. stand. dla jednej polisy
i ni E[Xi] Var Xi
1 400 10 1
2 300 15 0.8
3 200 20 2.5
1. Oblicz i zinterpretuj wartość oczekiwaną całkowitej kwoty świadczeń S
E[S] =
3
X
i=1
niE[Xi].
2. Oblicz i zinterpretuj odchylenie standardowe całkowitej kwoty świadczeń S
Var S =
3
X
i=1
niVar Xi.
Zad. 13. Pewne towarzystwo ubezpieczeń oferuje ubezpieczenia w 4 klasach ubezpieczeniowych:
Klasa Liczba polis Prawdop. szkody Oczekiwane świadczenie Wariancja świadczenia
ni qi E[Bi] Var Bi
1. Kobieta paląca 100 0.05 15 2
2. Kobieta niepaląca 200 0.01 25 3
3. Mężczyzna palący 150 0.06 10 1
4. Mężczyzna niepalący 250 0.02 20 2
1. Oblicz i zinterpretuj wartość oczekiwaną całkowitej wysokości szkody S
E[S] =
4
X
i=1
niqiE[Bi].
2. Oblicz i zinterpretuj odchylenie standardowe i współczynnik zmienności całkowitej wysokości szkody
Var S =
4
X
i=1
ni qiVar Bi+ qi(1 − qi)(E[Bi])2 .
Zad. 14. Dany jest portfel ubezpieczeń składający się z 10 ryzyk:
Prawdopodobieństwo Wypłata = 1 Wypłata = 2 Wypłata = 3 Wypłata = 4
0.01 1 – 1 1
0.03 – 2 – –
0.05 – – 1 –
0.07 – – 1 3
Np. w portfelu są 2 ryzyka, dla których prawdopodobieństwo wystąpienia roszczenia wynosi: 0.03, a jeżeli ono wystąpi, zostanie wypłacone odszkodowanie w wysokości 2 jednostek pieniężnych z praw- dopodobieństwem 1. Dla łącznej wypłaty z portfela wyznacz i zinterpretuj:
1. wartość oczekiwaną,
2. wariancję, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności.
Sploty rozkładów
Zad. 15. Dwa niezależne ryzyka mają rozmiary szkód podane w tabeli
i 2 3 5
P (X1= i) 3/8 3/8 2/8
i 0 1
P (X2= i) 2/5 3/5 Wyznacz rozkład zmiennej S = X1+ X2.
Zad. 16. Trzy niezależne ryzyka mają rozmiary szkód podane w tabeli
i 0 1 2 3
P (X1= i) 0.3 0.2 0.4 0.1 P (X2= i) 0.6 0.1 0.3 0 P (X3= i) 0.4 0.2 0 0.4 Wyznacz rozkład zmiennej S = X1+ X2+ X3.
Odp.:
s 0 1 2 3 4 5 6 7 8
fS2(s) 0.18 0.15 0.35 0.16 0.13 0.03 − − −
fS(s) 0.072 0.096 0.170 0.206 0.144 0.178 0.070 0.052 0.012
Uzupełnij poniższy kod tak, aby uzyskać rozkład zmiennej S.
i n s t a l l . p a c k a g e s ( " S u p p D i s t s " ) l i b r a r y ( " S u p p D i s t s " )
i n s t a l l . p a c k a g e s ( " k S a m p l e s " ) l i b r a r y ( " k S a m p l e s " )
x1 = c (0 ,1 ,2 ,3)
p1 = c ( 0 . 3 , 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 1 ) x2 = c (0 ,1 ,2 ,3)
p2 = c ( 0 . 6 , 0 . 1 , 0 . 3 , 0 ) c o n v ( x1 , p1 , x2 , p2 )
Zad. 17. Wyznacz rozkład zmiennej S = X1+ X2+ X3, jeżeli niezależne ryzyka mają rozmiary szkód podane w tabeli. Skorzystaj z odpowiednich funkcji R.
s 0 1 2 3 4 5
f1(s) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 f2(s) 0.5 0.2 0.1 0.1 0.1 0 f3(s) 0.6 0 0.1 0.1 0.1 0.1
Odp.:
s f1(s) f2(s) f3(s) f(2)(s) f(3)(s) F1(s) F(2)(s) F(2)(s)
0 0.4 0.5 0.6 0.20 0.120 0.4 0.20 0.120
1 0.3 0.2 0.0 0.23 0.138 0.7 0.43 0.258
2 0.2 0.1 0.1 0.20 0.140 0.9 0.63 0.398
3 0.1 0.1 0.1 0.16 0.139 1.0 0.79 0.537
4 0.1 0.1 0.11 0.129 1.0 0.90 0.666
5 0.1 0.06 0.115 1.0 0.96 0.781
6 0.03 0.088 1.0 0.99 0.869
7 0.01 0.059 1.0 1.00 0.928
8 0.036 1.0 1.00 0.964
9 0.021 1.0 1.00 0.985
10 0.010 1.0 1.00 0.995
11 0.004 1.0 1.00 0.999
12 0.001 1.0 1.00 1.000
Zad. 18. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej S = X + Y , gdzie X, Y - niezależne zmienne losowe o rozkładach jednostajnych: X ∼ U ([0, 3]), Y ∼ U ([0, 4]).
Zad. 19.1 Wyznacz gęstość zmiennej losowej S = X1+ X2+ X3, gdzie X1, X2, X3 - niezależne zmienne losowe o rozkładach wykładniczych: X1∼ E(1), X2∼ E(2), X3∼ E(3).
Odp.: fS(x) = 3 e−x−6 e−2x+3 e−3x, x > 0.
Zad. 20. Pokaż, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym N (0, 1) ma rozkład N (0, 2).
Wskazówka: y2− by + c =
y − b
2
2
−b2 4 + c.
Zad. 21.2 Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej S = X1+ X2, gdzie X1, X2 - niezależne zmienne losowe o dystrybuantach
F1(x) =
0, dla x < 0, 0.8 + 0.1x, dla x ∈ [0, 1),
1, dla x ≥ 1.
F2(x) =
0, dla x < 0, 0.7 + 0.2x, dla x ∈ [0, 1),
1, dla x ≥ 1.
Odp.: FS(s) =
( 0, dla s < 0,
0.56 + 0.23s + 0.01s2, dla s ∈ [0, 1), 0.89 + 0.07s − 0.01s2, dla s ∈ [1, 2),
1, dla s ≥ 2.
1N. Bowers i in., Actuarial mathematics.
2W. Otto, Ubezpieczenia majątkowe.
Zad. 22.1 Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej S = X1+ X2+ X3, gdzie X1, X2, X3- niezależne zmienne losowe o jednakowym rozkładzie o dystrybuancie
F (x) =
0, dla x < 0, x, dla x ∈ [0, 1), 1, dla x ≥ 1.
Odp.: FS(s) =
0, dla s < 0,
1
6s3, dla s ∈ [0, 1),
1
6(s3− 3(s − 1)3), dla s ∈ [1, 2),
1
6(s3− 3(s − 1)3+ 3(s − 2)3), dla s ∈ [2, 3),
1, dla s ≥ 3.
Zad. 23. Wyznacz gęstość sumy niezależnych zmiennych losowych X1 i X2 o gęstościach f1(x) =
2e−2x, dla x ≥ 0,
0, dla x < 0, f2(x) =
1, dla x ∈ [0, 1], 0, dla x /∈ [0, 1].
Odp.: fS(s) =
n e−2s(e2 min{s,1}− 1), dla s ≥ 0,
0, dla s < 0.
Funkcje tworzące prawdopodobieństwa, momenty i kumulanty
Zad. 24. Wyznacz funkcję tworzącą prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej X o rozkładzie 1. atomowym skupionym w punktach 1, 2, . . . , n z prawdopodobieństwami p1, p2, . . . , pn, 2. dwumianowym X ∼ Bin(n, p),
3. Poissona X ∼ P oi(λ).
Zad. 25. Wyznacz rozkład S = X1+ X2dla zmiennych losowych z zadania15, korzystając z funkcji tworzącej prawdopodobieństwa.
Zad. 26. Wyznacz funkcję tworzącą momenty dla zmiennej losowej X o rozkładzie 1. dwupunktowym symetrycznym,
2. dwumianowym X ∼ Bin(n, p), Odp.: MX(t) = (1 − p(et− 1))n, 3. Poissona X ∼ P oi(λ), Odp.: MX(t) = exp(λ(et− 1)), t ∈ R, 4. geometrycznym X ∼ Geo(q), Odp.: MX(t) =1−qe1−qt ,
5. wykładniczym X ∼ E(λ), Odp.: MX(t) =λ−tλ , t < λ, 6. jednostajnym X ∼ U (a, b), Odp.: MX(t) =etbtb−ta−eta , 7. gamma X ∼ Γ(α, β), Odp.: MX(t) = β−tβ α
, t < β, 8. normalnym X ∼ N (µ, σ2), Odp.: MX(t) = exp(tµ +12t2σ2).
Zad. 27. Korzystając z funkcji tworzącej momenty, oblicz E[X], E[X2], E[X3], E[(X − E[X])2] dla zmiennych losowych z zadania26.
Zad. 28. Wyznacz rozkład S = X1+ X2+ X3 dla zmiennych losowych z zadania19, korzystając z funkcji tworzącej momenty.
Zad. 29. Wyznacz kumulanty rozkładu 1. N (µ, σ2),
2. P oi(λ).
Zad. 30. Oblicz skośność i kurtozę zmiennej losowej 1. X o rozkładzie Γ(α, β),
2. Y o rozkładzie P oi(λ),
3. S = X1+ X2+ X3, X1∼ Γ(3, 2), X2∼ Γ(1, 5), X3∼ Γ(2, 4), X1, X2, X3- niezależne, 4. S = Y1+ Y2+ Y3, Y1∼ P oi(1), Y2∼ P oi(2), Y3∼ P oi(3), Y1, Y2, Y3 - niezależne.
Aproksymacje
Zad. 31. Zakładamy, że 100 mieszkańców pewnego polskiego województwa wykupiło roczne ubez- pieczenie domu od następstw powodzi. Prawdopodobieństwo wystąpienia powodzi w tym rejonie w roku ubezpieczeniowym jest równe 0.01, a świadczenie w przypadku wystąpienia szkody wynosi 1.
1. Oblicz prawdopodobieństwo, że łączna wartość szkód wyniesie co najmniej 4.
2. Oszacuj prawdopodobieństwo, że łączna wartość szkód wyniesie co najmniej 4, stosując aproksymację:
2.1. rozkładem Poissona, 2.2. rozkładem normalnym,
2.3. przesuniętym rozkładem gamma,
2.4. szeregiem potęgowym standaryzowanej zmiennej normalnej.
3. Zadanie rozwiąż również wykorzystując R:
x = 3 . 5 ; mu = 1; sig = 1; gam = 1; z = ( x - mu ) / sig 1 - p b i n o m ( x , 100 , 0 . 0 1 )
1 - p p o i s ( x ,1) 1 - p n o r m ( z )
1 - p g a m m a ( x -( mu -2 * sig / gam ) , 4 / gam ^2 , 2 / gam / sig ) 1 - p n o r m ( s q r t (9 / gam ^2 + 6 * z / gam + 1) - 3 / gam )
Zad. 32. Portfel składa się z 50 ryzyk. Prawdopodobieństwo wystąpienia szkody jest równe 101, a wartość szkody B ma gęstość
f (x) =
3x2, dla x ∈ (0, 1), 0, dla x /∈ (0, 1).
Korzystając z aproksymacji rozkładem normalnym, oszacuj prawdopodobieństwo, że łączna wartość szkód przekroczy 7. Odp.: 0.0244.
Zad. 33. Portfel składa się z 32 ryzyk. Prawdopodobieństwo wystąpienia szkody jest równe 16, a wartość szkody B ma gęstość
f (x) =
2(1 − x), dla x ∈ (0, 1), 0, dla x /∈ (0, 1).
Korzystając z aproksymacji rozkładem normalnym, oszacuj prawdopodobieństwo, że łączna wartość szkód przekroczy 4. Odp.: 0.0062.
