Sprawdzianik (23 kwietnia 2009)
Czas pisania: 60-70 min (w zależności od humoru prof. Mizi). Powodzenia!:) 1. (1 pkt) Niech dana będzie funkcja f : X → Y . Powiedz, co to znaczy, że
funkcja jest "różnowartościowa" i "na".
2. (3 pkt) Zbadaj, czy podane niżej funkcje są różnowartościowe i czy są
"na"?
(a) f : R → R, f (x) = x3− 1,
(b) g : Z × Z × Z → Z, f (n, k, p) = 2kn2+ p + 5,
(c) f : {o : o jest okręgiem na płaszczyźnie} → R, f (o) = r3− 5, gdzie r jest promieniem okręgu o.
3. (1 pkt) Przypomnij, co to znaczy, że dwa zbiory mają równe moce oraz definicję tego, że jeden zbiór ma moc mniejszą od drugiego (jak masz problem, to w ostatnim zadaniu jest wskazówka).
4. (2+2 pkt) Uzasadnij, że wszystkie poniższe pary zbiorów mają tę samą moc:
(a) N = {1, 2, ...} oraz {k ∈ N : k ≡ 1 (mod 4)}, (b) (0, 1] oraz (0, ∞),
(c) (dodatkowe) N × [0, 1] oraz O((0, 0), 1) - okrąg o środku (0, 0) i pro- mieniu 1.
5. (2 pkt) Udowodnij, że jeśli zbiory |X| ¬ |Y | oraz |Y | ¬ |Z| (przypomnie- nie: to znaczy np. że istnieją funkcje różnowartościowe f : X → Y oraz g : Y → Z), to również |X| ¬ |Z|.
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
1
