Sprawdź, że rozkład geometryczny, opisany w zadaniu 1.2.1.c) jest szczególnym przypadkiem tego rozkładu

(1)

Analiza danych jakościowych Lista 1A

1. Pokaż, że prawdopodobieństwo, że w ciągu niezależnych prób o

prawdopodobieństwie sukcesu p, m-ty ( m1) sukces będzie poprzedzony k porażkami jest opisane rozkładem ujemnym dwumianowym:

 ^k

m p

m p m

k  

 







 1

1

1 dla k=0,1,2,…

2. Sprawdź, że rozkład geometryczny, opisany w zadaniu 1.2.1.c) jest szczególnym przypadkiem tego rozkładu.

3. Sprawdź, że rozkład ujemny dwumianowy da się opisać równaniem Orda. Oblicz parametry a i b w tym równaniu.

4. Pokaż, że estymator największej wiarygodności parametru p, przy ustalonym m, gdy dane z próby można zapisać w tabeli:

k 0 1 … I

Liczba obserwacji n

1

n

2

… n

I

ma postać

m k p m

 

ˆ , gdzie 



 ^I

j

nj

n j k

0

1 jest średnią liczbą porażek poprzedzających m-ty sukces.

5. Zaproponuj, bazując na postaci parametrów a i b w równaniu Orda dla tego rozkładu, iteracyjny sposób wyliczenia estymatorów parametrów mˆ i ^p^ˆ :

ˆ ? ˆ , ˆ ˆ

,

ˆ₁ 1 ₁ 

 

 _i_

i i

i m

m k p m m

6. Wylicz stałą c w rozkładzie zmiennej losowej X o wartościach 0,1,2,… z

prawdopodobieństwami pk c(k1)^k. Sprawdź, że spełnia równanie Orda. Oblicz parametry a i b w tym równaniu.

Wskazówka: zauważ, że (k^1)^k ^^k^1^

7. Pokaż, że estymator największej wiarygodności parametru  , gdy dane z próby można zapisać w tabeli:

k 0 1 … I

Liczba obserwacji n

1

n

2

… n

I

ma postać

ˆ 2

  k

 k , gdzie 



 ^I

j

nj

n j k

0

1 jest średnią wartością zmiennej X w próbie.

(2)

8. Oszacowanie parametrów w równaniu Orda jest bardzo nieodporne na małe wartości nk. Można ulepszyć te estymatory stosując ważoną metodę najmniejszych kwadratów.

Ważone estymatory najmniejszych kwadratów dla prostej regresji y = a + b x z wagami wi, takimi, że 



 ⁿ

i i

i w

w

1

1 ,

0 uzyskane na podstawie obserwacji x ,i yi

(i=1,2,…, n) minimalizują wyrażenie  ²

1





n 

i

i i

i a bx y

w . Pokaż, że te estymatory mają postać:

2 1 2

1 1 2 2

1 2

1 2 2

1 , ˆ

ˆ  















 



  b

a , gdzie



   



 ⁿ

i

i i i n

i i n

i i

ix wx wy wx y

w i

1 2 1

1 1

2 2

1

1 , , ,



W równaniu Orda lepsze estymatory regresji vk = a + b k otrzymamy stosując ważone estymatory najmniejszych kwadratów z wagami









 

1 0

1 1

k k k

k n

n n

w c i stała c jest

taka, że 

 I 

k

wk 1

1.

9. Znajdź estymatory współczynników równania Orda dla danych Bortkiewicza i Listy Federalistów, stosując estymatory regresji ważonej. Dla danych Listy Federalistów wybierz adekwatny model i sprawdź swój wybór odpowiednim testem zgodności.

10. Wybierz adekwatny model i sprawdź swój wybór odpowiednim testem zgodności dla danych o liczbie X egzemplarzy jednego tytułu w bibliotece Uniwersytetu w Pretorii:

X 1 2 3 4 5 6 7

Liczba tytułów 9860 1941 569 262 144 120 57

X 8 9 10 11 12 13

Liczba tytułów 36 21 19 10 10 6