z rozszczepionymi jednostkami eksperymentalnymi

MIECZYSŁAW KUCZYŃSKI (Lublin)

Analiza kowariancji w

^układach

z rozszczepionymi jednostkami eksperymentalnymi

(Praca ^przyjęta do druku 1.07.1978)

Wstęp. Układy eksperymentalne z rozszczepionymi jednostkami eksperymental- nymi (split-plot) ^zostały wprowadzone przez Yatesa ([17]). Są one szczególnie przydatne, gdy w doświadczeniu występują jednostki eksperymentalne ^różnych typów (niejednakowe) oraz przy dużej liczbie kombinacji poziomów badanych czynników. W rozważanym w pracy ^układzie z pojedynczo rozszczepionymi jednost- kami eksperymentalnymi wyróżniamy jednostki pierwszego ^rzędu (dla poziomów czynnika A) oraz jednostki drugiego ^rzędu (dla poziomów czynnika B). Poziomy czynnika A rozmieszczamy w ^układzie bloków kompletnie zrandomizowanych, a poziomy czynnika B rozlosowujemy wewnątrz poziomów czynnika A. Wielu autorów przeprowadzało dyskusje ^dotyczące modelu matematycznego w ^układzie split-plot. Efekty replikacji ^są traktowane jako zmienne losowe (Harter [3], Li i Klotz [8], Mendenhall [9], Federer [2]), albo jako parametry stałe (Chakrabarti [1]). Takahashi ([16]), Harter ([3]) i Chakrabarti ([l]) zakładają istnienie korelacji efektów ^błędów drugiego ^rzędu, gdy ^dotyczą one tych samych jednostek eksperymen- talnych pierwszego ^rzędu, a Mendenhall ( [9]) ^zakłada skorelowanie ^błędów pierw- szego ^rzędu, gdy ^dotyczą tych samych replikacji. Najbardziej ogólnym podejściem

do tego problemu jest ^założenie istnienia korelacji dla efektów ^błędów zarówno pierwszego jak i drugiego rzędu (Kempthorne [5], Niedokos [11], Mikos [10]).

Kempthorne ([5]) i Chakrabarti ([l]) pokazują (przy wykorzystaniu przekształceń

ortogonalnych), ^że estymatory efektów ^stałych i funkcje testowe ^dotyczące para- metrów modelu ^są identyczne zarówno przy ^założeniu istnienia korelacji efektów

błędów jak i przy ^błędach nieskorelowanych.

W niniejszej pracy ^rozważany jest model analizy kowariancji z wieloma zmiennymi

towarzyszącymi w ^układzie pojedynczo rozszczepionych jednostek eksperymentalnych ze skorelowanymi efektami błędów. Uwzględnione zostały dwa rodzaje ^{współczyn­}

ników regresji (dla jednostek pierwszego i drugiego rzędu) zmiennej głównej względem

zmiennych towarzyszących. Rozważany jest model losowy (efekty czynników A i B

są zmiennymi losowymi) i modele mieszane (efekty A lub B stałe), przy czym w ^każ­

dym przypadku efekty replikacji ^są traktowane jako zmienne losowe.

(691

70 M. K u c z y ^ń s k i

1. Modele liniowe. W doświadczeniach wykonywanych w układzie z pojedynczo rozszczepionymi jednostkami eksperymentalnymi badamy ^wpływ dwu czynników A i B na wartość zmiennej losowej Yuk. Poziomy czynnika A rozmieszczamy zgodnie z ^układem bloków kompletnie zrandomizowanych. Jednostki, na których uplasowano poziomy czynnika A, nazywamy jednostkami pierwszego ^rzędu lub podblokami. ^Każdy podblok dzielimy na jednostki drugiego rzędu, na których umieszczamy poziomy czynnika B.

Przyjmujemy następujący model matematyczny:

q

(l. l} YtJk =

~-t+ e,+

ctj+dij+{Jk+YJk+

l:

^{[(zt. -:ZL)}

^{~11a+ (z~} 1 ^{k -z~} 1 ^J~2hl

^+etJk

h= l

(i= 1,2, ... ,r; j= 1,2, ... ,a; k= 1,2, ... ,b), gdzie Yiik-zmienna losowa o rozkładzie normalnym; p~ średnia populacji ^(stały parametr); (!;, ct_1, {Jk, YJk-efekty replikacji, czynnika A, czynnika B oraz interak- cyjne czynników AB, odpowiednio;

ztk-

obserwacja h-tej zmiennej towarzyszącej,

t5_{111 ,} ^t5₂~a- współczynniki regresji zmiennej YtJk względem h-tej zmiennej towarzyszącej

dla jednostek pierwszego i drugiego rzędu odpowiednio; d_{11 ,} e_{11k -} efekty ^błędów eksperymentalnych związanych z jednostkami pierwszego i drugiego ^rzędu;

r;j. =! ^{L~Jk, ~} .. =a~ LL~jk·

k J k

Model (l. l) zapiszemy w notacji macierzowej:

(1.2) y = Jn~-t+XRp+X.ta+~d+XB~+X.tBY+X1^Z81 +X2Z82+e, gdzie:

n= rab, y' = [yl.u,Yu2' ... ,Yrab], p'= fe"

e2, ... ,

^er],

a'= [ctl., ct2, ... , cta], d'= [du,d12' ... ,dra], ~' = [{31,{32, ... ,{Jb], Y' =

fru

,.r12' ... , Yab], ^8~ = ^{[~u, ~,2,} ... , ^~tq] dla i= l, 2, e' = [e111 , e112 , ... , erab], Z = [z1, z2, ... , ~], gdzie z' = ^[z~11^{, z~}12^{, ... , Z~abl',}

l l

X1 =

b

(Ira®Eb)-

fib

^(lr®Eab),

(1.3)

x2

^{= III-}

b

l ^(Ira®Eb)' XR = lr®Jab' XA = J/8>1a®Jb,

xd

= lar®Jb, XB = JQr®lb, XAB = Jr®lab' (1.4)

przy czym przez Jk oznaczamy k-wymiarowy, jedynkowy wektor kolumnowy, lk - k-wymiarową macierz jednostkową, EA: - k-wymiarową, kwadratową macierz

jedynkową, a przez ® oznaczamy iloczyn Kroneckera macierzy.

Zakładamy, że

e

1, d_{11 ,} e₁₁^k są zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych.

Ponadto zakładamy, że efekty błędów pierwszego rzędu d11 są skorelowane z tym samym współczynnikiem korelacji ro_4, w przypadku gdy dotyczą tych samych rep li-

kacji, a nie są skorelowane, gdy dotyczą różnych replikacji. Podobnie zakładamy, że efekty ^błędów e lik są skorelowane ze współczynnikiem me gdy ^dotyczą tych samych replikacji i tych samych poziomów czynnika A, a ^różnych poziomów czynnika B.

Więc wektory losowe p, d, e mają następujące niezależne rozkłady normalne:

p-N(O, ail,.), d-N(O, Ed), e-N(O, Ee), gdzie macierze kowariancji Ed i Ee mają postać (por. Niedokos [11]):

Ed

=

mda~(I,.®Ea)+ (I-md)aJ I,.a, Ee = mea;(I,.a®Eb)+(I-we)a;In•

Ponadto zakładamy, że macierz Z jest pełnego rzędu kolumnowego i rz(Z) =

= q < (r-l)(a-1) oraz

R[Jn:XR:XA:Xd:XB:XAB]nR[Z] = {0},

gdzie przez R[X] oznaczamy przestrzeń liniową rozpiętą na kolwnnach macierzy X, a [X: Y] jest macierzą blokową złożoną z podmacierzy X i Y.

Powyższe założenia dotyczyły wszystkich wariantów rozważanego w pracy modelu (1.1). Podamy teraz dodatkowe ^założenia dla poszczególnych czterech wariantów w zależności od tego czy efekty czynników A i B ^są parametrami ^stałymi, czy też

zmiennymi losowymi.

Modeli:

- w modelu tym przyjmujemy, ^że efekty rx_1, {Jk i 'YJk ^są parametrami stałymi spełnia­

jącymi warunki:

(1.5) ^J~« =O, ^J~~ =O, ^(Ia®J~)y =O, (J~®Ib)y = O.

Mode/2:

- efekty czynnika A traktujemy jako parametry ^stałe, a efekty czynnika B ^są zmien- nymi losowymi. Ponadto

(1.6) ~-N(O, ajlb), y-N(O, Ev), J~« =O, (J~®Ib)y =O, gdzie

Mode/3:

- efekty czynnika A ^są zmiennymi losowymi, a czynnika B parametrami ^stałymi, przy czym spełnione są warunki:

(1.7) gdzie

«-N(O, aJ.la), y-N(O, Ev), J~~ =O, ^(la®J~)y = O,

72 ^{M. K u c z y ń s k i} Mode/4:

- przyjmujemy, że efekty czynników A i B są zmiennymi loSowymi oraz że speł­

nione ^są warunki:

(1.8) a-N(O, <dla), ~-N(O, ailb), y-N(O, oj81ab).

Oznaczając przez P[X] operator ^rzutujący ortogonalnie wektory z przestrzeni R"

na podprzestrzeń R [X] rozpiętą na kolumnach macierzy X zapiszemy postać orto- gonalnych operatorów rzutowych dla poszczególnych źródeł zmienności (por.

Ogasawara i Takahashi [12]):

PM = P[J"], PR = P[XR] -PM, (1.9) Pd = P[Xd] -P[XR] -P[XA]+PM,

P AB

=

P[XABl -P[XA] -P[Xs]+PM, gdzie:

(1.10) P[XA] =

br

^l (E,®la®Eb), P[XB] = -ar l (E,a®lb),

Ps = P[XB] -PM,

Pe = 1"-P[XAB] -P[Xd]+P[XA],

P[XR] =

fiii

l ^(I,®Eab), P[Xd]

=b

l (I,a®Eb), P[XAB] =-l _r (E,®lab)•

Operatory rzutowe dane wzorami (1.9) ^są parami ortogonalne i spełniają równość:

PM+PR+P A+Pd+PB+P AB+Pe = 1".

LEMAT 1.1. Macierze X₁ i X₂ występujące w modelu (1.2) możemy przedstawić

w postaci:

(1.11)

D o wód. Korzystając ze wzorów (1.3), (1.9) i (1.10) otrzymujemy:

Pd+P A = P[Xd] -P[XR] = XI' Pe+P AB+PB = 1"-P[Xd] =

x2.

TWIERDZENIE 1.1 (por. Mikos [10]). Macierze kowariancji Vr (t= l, 2, 3, 4) wektora obserwacji y możemy przedstawić w postaci:

(1.12)

gdzie odpowiednie operatory rzutowe dane ^są wzorami (1.9), a współczynniki w11

(i= M, R, A, d, B, AB, e) ^są zawarte w tablicy 1.1.

Z uwagi na ortogonalność operatorów rzutowych (1.9) otrzymujemy wzory na macierze odwrotne do macierzy kowariancji (1.12):

( 3) V1.1 t ^-1

=

--PM+-PR+-PA+ l l l

WtM WrR WtA

Tablica 1.1. Współczynniki macierzy kowariancji

efekty czynnika A - stałe efekty czynnika A -losowe efekty B-stałe

l

^{efekty B -losowe efekty B-stałe}

l

^{efekty B -losowe}

W1M = ^w2+abui+

+abwtfui

W4M = ^W1M+brul+

gdzie W2M = ^{W1M+aruj W 3M} = ^WtM + ^bruj +aru;+rcds

w2 = b(l-wd)u]+

+[l+ (b-l)we]O':

WtR = WtM W2R = W1M W3R = ^{W1M W4R} = ^WtM

Wu = ^w2 W2A = w² + ruls ^W3..t = w² +bru l W4A = ^w2+bru~+ru~8 - --Wtd = ^w2 Wu = ^{w2 W3•} = ^w2 w"'d = ^w2

W1s = ^/12 = (1-we)u; w28 = ^{s 2}+arui w3s = ^{s 2} + ^ru~8 W4s = ^s2+arui+r0'1s WlAB = ^S2 W2AB = ^S2 + TO'~s w3AB = s2+ru1s W4AB = ^s2+ru1s

W~e = s2 W2e = ^{s2 W3e} = S2 w .. e = ^s2

oraz następujące równości:

\

(1.14) P,Vt

=

^WttP1 dla i= R, A, d, B, AB, e.

2. Estymacja efektów ^stałych. Modele omawiane w paragrafie l ^możemy przed-

stawić w ogólnej postaci:

(2.1)

gdzie u₁ jest wektorem efektów ^stałych, uP -wektorem efektów losowych, X1 ⁱ XP ^są znanymi macierzami blokowymi odpowiadającymi określonym efektom zawartym odpowiednio w u₁ i uP.

Równania normalne ^służące do wyznaczenia estymatorów

u

1 otrzymane metodą najmniejszych kwadratów ^są postaci (por. Searle [14D:

(2.2) Xf

'v-tx " x'v-l

t luf

=

^{f t} Y dla t = l' 2, 3, 4,

gdzie Vi"¹ są określone wzorem (1.13). Estymatory uzyskane z ^układu (2.2) ^są naj- lepsze (z minimalną wariancją) w klasie liniowych, nieobciążonych estymatorów (por. Searle [15]).

Przy rozwiązywaniu układów równań (2.2) wykorzystujemy ^łatwe do wykazania

zależności:

(2.3) J' ₁₁

v-1

_t ^{=_l_ J'} _'"

WtM X, _..t

v-1 _

t - - -_Wu ^{1 X'} ..t+---_a ^{1 ( 1} _{WtM Wu} ^{1 ) J J'}

a,.,

74 M. K u c z y ^ń s k i

X, _B

v-l

_{t · t: -· . =--WrB} ¹

x'

B+--- Jb ,., ^{1 ( 1 1 )} J'

b WtM WtB

(2.4) X' _ABVt ^t _{= - -}l X' _AB+-b l ( l _{- - - - -}l ) I (a®Jb )X' A+

WtAB WtA WtAB

(2.5)

gdzie

X:= [X₁Z:X2Z].

Wzór (2.5) wynika bezpośrednio z lematu 1.1 i wzoru (1.13).

Dla modelu l (efekty czynników A i B są parametrami stałymi) rozwiązujemy układ (2.2) dla t = l oraz:

uj =

[,u:cx': ~,: y': &'], gdzie

&' = [&~:&~].

Rozpisując układ (2.2) na równania dla poszczególnych wektorów parametrów (por. ^Kuczyński [6]) otrzymujemy rozwiązania:

(2.6) _P, " _=-n l J' n Y,

(2.7) _ex ^" = br XAP A(y-Z&^{l l "} 1),

(2.8) ~ ^" =- XBPB(y-Z&2), ar ^{l l "}

(2.9)

.Y= ^_!_x~BP

r AB(y-ZS2),

"

(2.10) 8t = (Z'Pdz)-¹Z'Pdy,

(2.11) Ś2 = (Z'PeZ)-¹Z'PeY.

Dla modelu 2 (efekty czynnika A ^stałe, czynnika B -losowe) w układzie równań

(2.2) podstawiamy t = 2 oraz:

X,= [Jn:XAX:], oj= [p:cx':&'].

Postać estymatorów

/J,, ci.

oraz

St.

^określona jest w tym modelu wzorami (2.6), (2.7) i (2.10) odpowiednio, natomiast dla

&

2 otrzymujemy:

(2.12) 82

=

^(Z'Gtz)-1Z'Gt y,

gdzie

W modelu 3 (efekty A losowe, efekty B ^stałe) do ^układu (2.2) podstawiamy t= 3, X₁

=

[J11:X8:Xz],

u/=

[u:~':5'], skąd otrzymujemy ^postać

P,

^daną wzorem (2.6) oraz:

(2.13) (2.14) (2.15) gdzie

•A l ^{l 1\}

~ = -XaPB(y-Z52), _ar S1

=

(Z'G2Z)_1Z'G2 y,

8

2 = (Z'G3Z)-¹Z'G₃y,

Dla modelu losowego w układzie równań (2.2) podstawiamy t= 4, X₁

=

[J11:Xz],

u;.=

^{[u:5'], skąd} otrzymujemy wzór (2.6) dla

P,

oraz:

(2.16)

8

1

=

(Z'G4z)-¹Z'G4y,

(2.17) gdzie

l l ' l .

Gs

=

--Pe+--PB+ --PAB• W4e W4B W4AB

Estymatory w modelach mieszanych i losowym ^określone wzorami (2.12)-(2.17)

zależą od parametrów macierzy kowariancji wektora obserwacji i ^są one najlepsze przy ustalonych wartościach tych parametrów (najlepsze w danym punkcie).

3. Estymacja komponentów wariancyjnych. Do wyznaczania estymatorów kom- ponentów wariancyjnych w rozważanych wariantach modelu (1.2) ^będą utyte ^średnie kwadraty następującej postaci:

(3.1)

gdzie i= l, 2, A, d, B, AB, e, oraz

Y1 = Y2 =q, 'VA = a-1, vd = (r-l)(a-1)-q, "B= b-1, 'VAB

=

(a-l)(b-1), Ye = a(r-l)(b-1)-q

(3.2)

są stopniami swobody dla odpowiednich źródeł zmienności, a macierze Q, ^wyrażają

się wzorami:

(3.3) Q1 = P[P1Z] = P,Z(Z'P,Z)-¹Z'P1 dla i = l, 2;

(3.4) Q, = P, -P[P,Z] dla ⁱ

=

d, e;

(3.5) QA =p A -P[(P A.+Pd)Z]+P[PdZ] =p A -(P A+Pd)ZTAZ'(P A+P.,)+Q1,

76 ^{M. Kuczyński} gdzie

TA= [Z'(P A+Pd)Z]-^{1 ;}

(3.6) Q,= P,-P[(P,+Pe)Z]+P[PeZ] = P,-(P,+Pe)ZT,Z'(P,+Pe)+Q2 dla i= B, AB,

gdzie

T, = [Z'(P,+Pe)Z]-^1•

TwiERDZENIE 3.1. Macierze Qi dane wzorami (3.3)-(3.6) ^są idempotentne, ich iloczyny ^są macierzami zerowymi, a rzędy są określone wzorami (3.2).

D o w ó d. Z ortogonalności operatorów rzutowych (1.9) wynika, ^że dla macierzy (3.3)-(3.6) zachodzi

dla dla

i# j, i =j.

Ze ^względu na idempotentności rozważanych macierzy, ich ^rząd jest równy ^śladowi,

więc dla i = l, 2 otrzymujemy:

rz(Q1) = tr[P1Z(Z'P,z)-¹Z'P_1] = tr[(Z'P₁Z)-¹Z'P1Z] = q, rz(QA) = tr(PA)-tr[(PA+P₄)ZTAZ'(PA+P4)]+tr(Q₁₎ =

= tr(P A) - ^tr(Ią) + ^tr(Ią) = a -I ,

gdyż P A jest znanym operatorem z analizy wariancji, dla którego tr(P A) = a-1 (por. Mikos [lOD. Analogicznie wyznaczamy rzędy pozostałych macierzy.

Nieobciążone estymatory komponentów wariancyjnych otrzymamy rozwiązując układy równań, które ^powstają z przyrównania ^średnich kwadratów (3.1) do ich

wartości oczekiwanych. Do wyznaczania wartości oczekiwanych form kwadratowych stosujemy wzór:

(3.7) <C(y'Qy) = C(y') QC(y) + tr(Q:Ey).

Ze wzorów (1.4), (1.9), (1.11), (1.12), (1.14) oraz (3.4) i (3.7) wyznaczamy ^wartości oczekiwane form kwadratowych y'Qdy i y'Qey, które są jednakowe dla wszystkich

rozważanych w pracy wariantów modelu:

(3.8)

gdzie w² = b(I-wd)o"J'+[1+(b-1)we]cr;, s² = (l-we)a; (por. tablica 1.1). ^Więc

nieobciążone estymatory

w

^{2 i}

s

² mają postać:

(3.9)

Z uwagi na przyjęte założenia o istnieniu korelacji efektów błędów, nie ^możemy

znaleźć oddzielnych ocen

'cri

ⁱ

a-;,

a jedynie oceny ich kombinacji liniowych:

(3.10) (1-we)a; = MSe, (1-w4)a]+wea; =

~-

(MSd-MSe)·

Przy założeniu, że współczynniki korelacji wd i we ^są zerowe, wzory (3.10) dają postać

o-;

ⁱ

o-;.

Wyprowadzimy teraz ^postać estymatorów komponentów wariancyjnych ^a~, ai i ^O'~B w modelu 4 (efekty A losowe, efekty B losowe). Ze wzorów (1.12), (1.14), (3.5) i (3.6) otrzymujemy:

QAV4 = w²QA+(bra~+ra~B) [P A -(P A+Pd)ZTAZ'P A], QBV4

=

s2QB+ (arai+ra~B) [PB-(PB+Pe)ZTBZ'PB], QABV4

=

^s2QAB+ra~B[P AB-(P AB+Pe)ZTABZ'P AB].

Z uwagi na twierdzenie 3.1, wzory (3.1), (3.2), (3.7) i zależności

8(y')Q1tf(y) =O dla i= A,B,AB wyznaczamy:

1!1(MS ) ² ( 2 2 ) YB -mB 0 B =s

+

araB+ra-AB ,

YB

gdzie

(3.11) m1 = tr(T,Z'P,Z) dla i = A, B, AB.

Dla q= l Uedna zmienna towarzysząca) wzór (3.11) możemy zapisać:

z'P,z

m1 = z'(P,+Pe)z dla i

=

^{B, AB,}

z'P ^A. z

mA.= z'(P A.+Pd)z ·

Przyrównując średnie kwadraty (3.1) do ich ^wartości oczekiwanych oraz ^uwzględ­

niając wzory (3.9) otrzymujemy nieobciążone estymatory:

(3.12)

(3.13)

(3.14)

Analogicznie wyprowadzamy ^postać estymatorów komponentów wariancyjnych w modelach 2 i 3. W modelu 2 (efekty A ^stałe, efekty B losowe) uzyskujemy estymator

GlB

dany wzorem (3.12) oraz (3.15)

78 M. K u c z y ^ń s k i

a dla modelu 3 (efekty A losowe, efekty B stałe) postać a~B określone jest W (3.12) i (3.16)

gdzie mA i mB dane są wzorem (3.11).

4. Weryfikacja hipotez. Do weryfikacji hipotez (4.4)-(4.8) dotyczących nieistot-

ności parametrów modelu (1.2) użyte zostaną średnie kwadraty ^określone wzorami (3.1) (por. Kaczmarek [4]). Dla modelu l (efekty A ^stałe, efekty B stałe) wartości

oczekiwane poszczególnych form kwadratowych są postaci (por. Kuczyński [6]):

(4.1) (4.2) gdzie

(4.3)

G(y'Q1y) = w²(vt+2A1) dla i= l, d, A, cS'(y'Qty) = s²(v₁+2.A1) dla i= 2, e, B, AB,

AA

= 2 ^{~ 2} {brCl'Cl-a'X~P[(P

A+P4)Z]XAa}, AB

= ~ 2 {ar~'~-~~x~P[(PB+Pe)Z]XB~},

AAB

=

₂

!

²

{ry'y-y'X~BP[(P

AB+Pe)Z]XAB'Y}·

TwiERDZENIE 4.1. Jeśli wektor obserwacji y ma rozkład normalny z wektorem

wartości oczekiwanych

8(y)

=

Jnft+ XAa+XB~+XABY+X1^ZS1 +X2ZS2 i macierzą kowariancji

vl

^określoną wzorem (1.12), to formy kwadratowe

l 'Q l 'Q l 'Q

W2y dy, WTY AY, ^~Y 2Y,

l 'Q l 'Q

Sly

BY,

Sly

ABY

l 'Q

Sly

eY,

mają niezależne rozkłady chi-kwadrat ze stopniami swobody określonymi wzorami (3.2) oraz parametrami niecentrafności danymi wzorami (4.3).

D o wód.

Pokażemy, że

formy

kwadratowe~y'Q

_w

4 ^y

ⁱ

~y'QAY mają rozkłady

_w

z

^{2 oraz}

są niezależne.

W tym celu wystarczy

pokazać, że

macierze

~Q

_w

4

^{V 1 i}

^~Q

_w ^{.... V 1}

są idempotentne oraz Q4V 1 QA

=

O (por. Rao [13]). Ze wzorów (1.14), (3.4) i (3.5) wynika

bezpośrednio, że ~Q4V

w

1

^{= Qd, __!2QAV1} w

⁼

QA, QdV1QA

=

w2QdQA,

a z twierdzenia 3.1 wynika, ze Q11 i QA ^są idempotentne oraz QdQA = O. Parametry

niecentralności rozkładu

x

² wyznaczamy ze wzorów

ld =

2 ^{~ 2}

8(y')Qd8(y), l..t =

2 ^{~ 2}

8(y')Q..t8(y),

co w konsekwencji daje wyniki ^określone w (4.3) (por. ^Kuczyński [6]). Stopnie swobody ^określono w twierdzeniu 3.1 jako ^rzędy odpowiednich macierzy Q_1• W ana- logiczny sposób dowodzimy to twierdzenie dla pozostałych form kwadratowych.

W oparciu o wzory (4.1)-(4.3) oraz twierdzenie 4.1 tworzymy funkcje testowe słuZące do weryfikacji hipotez o nieistotnośĆi parametrów stałych modelu. Podajemy

postać hipotez i odpowiadające im funkcje testowe, które przy ^załozeniu prawdzi-

wości hipotez zerowych ^mają centralne ^rozkłady F-Snedecora.

(4.4) HA: 51 =O; FRl = MS!: MSd, (4.5) H~: 52 = O; FR1 = MS2: MSe,

(4.6) Hg: a= O; F~= MSA: MSd,

(4.7) Hg:

f3

=o; F3]= MSB: MSe, (4.8) H~B: Y= O; F~B = MSAB: MSe,

gdzie ^średnie kwadraty MS ⁱ wraz z odpowiadającymi im stopniami swobody ^określone

są wzorami (3.1 ).

W pozostałych wariantach modelu (1.2) (efekty A lub B losowe) funkcje testowe dla hipotez ^{H~, H~} oraz ^{H~B: a~B} = O są także określone odpowiednio wzorami (4.4), (4.5) i (4.8). Natomiast w modelu 2 (A ^stałe, B losowe) dlahipotezy HC: aj= O oraz w modelu 3 (A losowe, B stałe) przy testowaniu hipotezy H~:

a1

= O odpo- wiednie funkcje testowe dane ^są wzorami (4.7) i (4.6). W pozostałych przypadkach (H~: a= O w modelu 2, HC: {3 =O w modelu 3, Hg: ^a~= O i Hg: aj= O w mo- delu 4) funkcje testowe ^określone wzorami (4.6) i (4.7) ^mają centralne ^rozkłady

x

²

tylko przy warunku a~B

=

^O.

5. ^Przykład liczbowy. Dane liczbowe uzyskano z doświadczenia przeprowadzonego w Instytucie Uprawy Roli i ^Roślin Akademii Rolniczej w Lublinie. Badano ^zalezność oporów rozklinowania gleby piaskowej od sposobów uprawy i ^wielkości dawek odpadów krzemionkowych. Doświadczenie przeprowadzono w 8 replikacjach (blokach) przy zastosowaniu 2 sposobów uprawy (a= 2) oraz czterech dawek krzemionki (b= 4). Zmienną towarzyszącą była wilgotność gleby, przy czym zasto- sowano regresję kwadratową, więc macierz zmiennych towarzyszących ma ^postać Z

=

^{[z1 : z2]} gdzie z² jest kwadratem zmiennej z^{1 •} Wyniki ^obliczeń uzyskano na e.m.c. Odra 1325. Problemy numeryczne omówionej teorii i szczegółową analizę średnich obiektowych omówiono w pracach Kuczyńskiego [6] i [7].

W tablicy 5.2 F⁰ oznacza warteść 'obliczoną zmiennej F-Snedecora, a P(P > F^{0 )} oznacza prawdopodobieństwo uzyskania wartości większej od P^{0 • Jeśli} P(F > P⁰⁾ < ^IX, gdzie ^IX jest ustalonym poziomem istotności, to hipotezę zerową dotyczącą nieistotności odpowiednich efektów odrzucamy.

TabUca 5.1. Opory rozklinowania i wilgotność gleby

' l R

l

A B _{l 2 3 4} 5 6

Y z Y z Y z Y z Y z Y ex

l 68.8 76.2 81.1 71.2 57.5 88.7

27.0 26.1 23.1 25.8 28.3 22.9

2 68.5 75.8 85.3 64.9 50.4 79.2

26.2 26.3 24.9 25.3 28.5 25.4

l 3 63.2 67.3 81.7 56.8 51.7 71.7

27.4 26.8 20.9 27.8 29.2 26.3

4 56.5 64.2 80.5 50.5 42.8 67.3

27.4 25.4 21.6 28.3 29.8 25.2

l 50.3 57.3 44.0 52.4 49.0 68.8

26.9 26.4 26.8 26.5 28.7 23.1

2 48.0 51.5 45.5 45.5 41.0 55.9

26.2 25.9 26.2 26.8 29.6 24.6

2

- - - -

3 45.8 50.6 46.6 43.9 40.7 62.9

27.3 26.4 26.8 26.9 28.4 22.4

l

- - - -

4 48.8 50.9 53.9 45.4 42.4 65.5

i ^{26.7 26.8 25.3 27.8 29.1 20.3}

7

Y z

49.1 28.6 47.3

28.7 50.6

29.0 40.5

30.2 42.4

29.6 40.6

30.4 40.1

31.2 48.1

25.9

---8

Y z

70.2 25.8 69.3

26.2 64.1

27.2 68.3

25.3 55.1

26.4 48.3

27.1 47.6

27.0 - 50.4

27.1

00 o

Tablica 5.2. Wyniki analizy kowariancji

1 1

Źródło l

zmienności

1--- -- ---

Stopnie Średnie

swobody kwadraty po - -

---~ -~;;::;-1

0.0022

~l

!A

Błąd l B AB

Błąd II Regresja I Regresja II

l 5 3 40 3

~ ....

2

1680.99 50.68 117.96 211.06 7.89 454.03 90.12

33.171 14.942 26.733 8.959 11.415

0.0000

l

l 0.0000

i

0.0222 ^!'.

0.0001

--- Oceny parametrów:

(a) współczynniki regresji:

- dla jednostek pierwszego ^rzędu (czynnika A):

" ^"'

b11 = -24.455, ~12

=

^0.375,

- dla jednostek drugiego ^rzędu (czynnika B):

J21

^{= - 1.245,}

(b) efekty CZ}1lników:

Y11 = o.6ss,

Y21 = -o.6ss, p

^{= 57.163.}

&1 = 5.978~

P

²

⁼

^0.371,

1'1.2

=

2.026, J':zz

=

-2.026,

a2

= -5.978, p~= -1.131,

Yt3

^{= o.35s,}

YH

^{= -0.358,}

Prace c}towane

p.=

^-2.846,

r14 ⁼

^-3.072,

i'z4 =

^3.072,

[1] M. C. C h akr a b ar t i, Mat/rematies o/ design and analysis o/ experiments, Asia Publishing Housc. Bombay 1962.

[2] W. T. F e d c re r, Sampbi1g, b/ocking, and model considerations for split plot and split block designs, -Biom. J. 19 (1977), str. 181-100.

[3] H. L. H ar t c r. On t/ze a11alysis o/ split plot e:xperimmts, Biometrics 17 (1961), str. 144-149.

[4) Z. K a c z m a re k, Wielozmiemta analiza kowarimrcji i je} niektóre zastosowania, Mat. Stos.

5 (1975), str. 139-156.

[5] O. K e m p t h o r n c, T/re des[glt and analysis vf e_tperiments, l';cw York 1952.

[6) M. K u c z y ń s k i, Estymacja parametrów i weryfikacja hipotez w mralizic kmrarianc_ii w n.lda- dzie z rozs::c:epionymi jedJtostkumi ekspe1yme1ttaląvmi, Szóste Colloquium Metodologiczne z Agro-Biometrii, PAN, Warszawa 1976, str. 10:!-1 ^i'),

[7] -, PrzeJ=ialy ufności w crnali:ie kowarimuji w uklad=i.? z rozszczepionymi ji!dMstkami ekspery- mentalnymi, Siódme Cdloquium Met,)dologkznc z Agro-Biomctrii, PAN, Warszawa 1977.

str. 283-297.

(8] S. L i, J. H. Klot z, Components of rarkmce estimation for the split-plot desigll, Technical Report 451 (1976), Dcr:1rtment of Statistics, Univi!r.:iity of Yisconsin.

82 M. K u c z y ^ń s k i

[9] W. M e n d e n h a II, Introduction to linear models and the design mtd analysis of experiments, Belmont, California, 1968.

[lO] H. M i kos, Modele matematyczne układów rozszczepionych jednostek ze skorelowanymi

błędami, Czwarte Colloquium Metodologiczne z Agro-Biometrii, PAN, Warszawa 1974, str. 57-78.

[ll] E. N i e d ok o s, On mathematical models of split-plot desigl!, Ann. UMCS, A 18 (1964), str. 123-136.

[12] M. O g a s a w a r a, M. T a k a h a s h i, Ortohogonality relation in the analysis o/ variance l, J. Science Hiroshima Univ. A 16 (1953), str. 457-470.

[13] C. R. R a o, Linear statistical inference and i ts applications, New York 1965.

[14] S. R. S car l e, Linear models, New York 1971.

[15] -, Topics in variance component estimation, Biometrics 27 (1971), str. 1-76.

[16] M. T ak a h a s h i, On analysis of variance for the sp/it-p/ot designs, J. Science Hiroshima Univ. A 19 (1955), str. 321-325.

(17] F. Y a t e s, Comp/ex experiments, J. Roy. Stat. Soc. Suppl. 2 (1935), str. 181-247.