tpuu}&iĄńŁ FeCoętQ),Ęcmł,;ł,,,t4 kó?"r1,44,,łL(P

(1)

tpuu}&iĄńŁ FeCoętQ),Ęcmł,;ł,,,t4 kó?"r1,44,,łL(P

^*

" P, l

^_

t|(r,x)= i(-*t5.'; ,Jt"

_e

_!*I

=

!T(-xt3r)-r6 9tX

rn ,lr** Ą,6,d"lą": F(r,9)oo

_.

., ^Pltl, ^j)+ ^O} sę,7eł,łł,,* _wL , bp

.

o łĄ,

zadarrie

i

Zadanle ż Zadanie ³ Zarlarńe 4

Zadanie ⁵ Zadanię 6

Zadanie 7

Zadanie 8 Zadanie 9

Zadanie ¹⁰

Imię

i

nazwisko Numer indeksu

Studia stacjonarne, specjalność ^..,..-.^-...,.

Ko}okwium z analizy rnaternatycznej

⁴

czerwiec

^20].5

Uwaga.

Kazde

zadanie jest punktowane w skati (0-2pkt). Wartrnkiem zaliczenia kolokwium na ocenę dostateczną jest zdoby6ig co najmniej 12 pkt.

Zadanie L.

Wymacz ^pochodnqfu,nkcji,

y(r)

urł,ikłanej

ńwnaniem

(-r+u')'+e9*':x,

pod,aj nźezbęd,ne

załoźeni,a. *ł)ą ^F(r,x)= (-xtgL)L,e'l+Y _^ x

,

r! ^(r,,ł) _Qj(-xt.j) _{t ęYtx}

xk,5)=rlł,f-L.

Zadanie 2.

Wyzrlaczyć metrld,t1 m,nożnikóus Lagra,nge'a punlłty stacjonarne fu.nkcai,

f {,r,a)

:

:L2

-

^.U2,

^Frza

^warun,ku^:r2^{+ y2}

:

1,

l{a,m5

WĄę: ^{(r,5)

⁼

^r2-1ż r

^\rJĘ)t

/ąĄ 5(r.3)"O

glŁrrłĄ _{tr( r} _,9 _{/) .} _f(r,g)ł _A _1(r,9) ₌ _*?Ł

ao

^*

llrG,qD'ą ^f- ^sx ^ł 8,r\-c 6lr(łlĄ):Q ^-=) ^t<oo ^v

ł *i,,"lfl-o€> _{-Ą ł _{ty,\=g l} JrCł+})"o

^\0/

b\,n,r,Ą=o |;{.-ł-c |rl*1?-ł"o _tr:;i

X=l

X( xz"l'-ł)

^.

)= -Ł

t Ą=o faĄc-C

!l,,

X=i

⁴

Ą

łłltę^ ź F*q

^(O

^la), ^(0,-a)/ (:1,0)6(ł,o)

(2)

Zadarrie 3.

Wyznacz równanźe stycznej d,o powi,erzcłmi, zat{,anej przez rspi,s pa,ranle-

trycznlsę_(t;:

(sinć,cos(2ź)

+2,t)

^{w punkcźe}

P:

^(0,3.rł,).

Ę&, ^fpt= Ęt,*1p\ęP7' [\]. ^{ą l-J} ] ^1a_enl

T, _n+

p

₌

ĘG q,ł)ep'!

^"

U, ^" ^r'

^]

^" frlł

Zadanie 4.

Pod,tć wymi,*ry przesźrzeni stycz,nej ź norrłłalnej ^d,opowźerzchni

H :

{k,?l, z),r2 + ^2u' - ^z : _l}

u: punkc,ie

P : tro,1ł, zł} ę H.

Odpowl,edź krótko uzasadn,ić.

F(rq,31 : 1,2ł7.uf-Z -t frrr|Ąft)4

ąr'(r,,{,ł) =1Le,r, 1s, -l7, t ^Y(rrł4 ^ł)etL?. ^sĘd ł oL,"głtn ł r*-y",la^orrl1

ry"P ^, w l?-?, ułtr|j

_o[r,o,

tt=l. _drrrr _Trft,!, _I b ^d,t,., ^Tęft = din.Ą łinNrlł , ₄ _lbo _dlu M7r. t ńn _{Tptł =} _n

_.

Zadanie 5.

W,yznaczgć u;arźość całkź

f t 1

^,,

} L,6+

11, d(r,3l),

gd,z,ie

D : _{{(*,y) e} R'

:

r >

^1,₉

ż l,tr+}

< 3}.

ąvflĄe,rĄ1 Łr. fił&drtł7o

^d

er{rql

il

_d

.\

"ąL,o

Jó _ą

J

Ą

L

-6,ł)

;óĄ4*=

-i(ń),

\

Ą< yl-r+5

tl ^x<x-

=J

l r,''or*= {Ct ź--ł ^(x,;ł ^Ą ^\t )^T

? _-h*|

no ⁺

L

t9

(-,) #l:

⁼

^ą ^L(l-

ł(-ż)

l. L - h (u,ł

+=Ł

_Ą+|.=.-=Ł* l' 'tt ^źG

^.,)_L

ł1=

-r+)

(3)

Zadanie 6.

W

całce _ł2

_{r2_t}

t l

^f

ił,y)d(t,y)

Jtl Jt-x

wprowad,zi,ć zaftłi,enę żnxźenny(:h

ula

Tłu,,u,,u, §d,ź,ie,ł,l: ^,ł

* _a,

u

:

tr

- ^y.

^Określi,ć

przedzi,ałlł

całIłowarłi.a.

_^\

_ r

^A

7 ^zadanie.. WIcałce

Ąd,iry) ]

t,[u19)=(rcr.u),.1(u,Ą=(ęł, Ę) ^',;#:,*y;";u

11-*

f"Ł), ' ^/1

f* ,.1 _ś (*o ^w&' ^. ^ri

l

trt(u,o)=ĘJ=::=,,:, 7,*?(q:iĘ),rlldvfu.

!l!,t-'+a'+z2)2rl|r,y,z), W,\ _Ą_(U^

|

gd,zi,eD:{(,E) €R" o,:;ff7-;rr-r6.tr * l.r"

I,,url^dłwrr1 ^ftu-" WU łrą<tłv,u! - ' 'l, ^\

l

1s_ ną1!*,o1D

d,vu {ą<lwu

/ l \ t, Jt(r,.łP)" _{,L; =^^7P} _{1l-_:1} ,An r'(, fifib łre(O1ł) ' fuo _r

i

€r'.) ⁷ ^- ^(ł)L= ł-9. $Ęot @rlra, (w łrnur,,1ch wpórwrJ,l)

.r}to. lryń,uŹ:

]

' Ł.'

i{T o+,rr',*l(

' .r*dv= ł io,, ^{n^plj} u^a,=

l

,r=

Xnł

U

"x)

(4)

ł

^1,

^ż :1$

or*z

z >

1 stosujrtrc rz,chunek c*łkousy.

2 z'@+ł - Ę | ^z=lo _,=ło ł;ń|or=r,ro Ą?w=?r*\" n' ^)?n", ^ec ^x fiT_=_i':'ó=,# ^ra6li 2 +:r,9"aft1) =@r4 łlń,fu

#*; br''=ffi lXttq"'=J ^,r''" ^ą - D ,,

⁼

^l§ ffiłl)-l,,6,,"{c^d ^. ₌ JI"Ętf,y" _sffn rr ^ło_i

^,,lT[il' ifiP':,: ^$".o :-t;il,ot6,,)=

Zadanie 8.

\trrgznatz połe powierilcłł,ni, brył!ł ograniczorlej powierzcllrl,,iamź

z- 1lFĘff :

=§, ^prrr(D) = fi,TI,q&=6,głit -,\_

zadanie 9.

I,Vykorzgstujqc Re-ou,łę

'ł'ł;Wwi,,F{at;*r ^na

objętość Lorusa

w r)r!ffrirro=

R3,

o prom,i,eni,ach r,

R

> 0,

(.

<

frj.

A(v}Ąlł.ł'Yrc ^lt(ń= ^nfft "&(D) §-1.+e"t'ildre ⁼ tł'r({tą'

g(D -wb|vurf,a,

s=(ęltłc) _M+ Ń,lf ń rF ^/r ^(D ^=TlłĄ

y _1tQ ^lfo= lc \ł

ń ',

^rc

V) = łii,R .TĆ= _!,IIzRrr'.

?"rtę^rn; qg*aŁ' _f

₌

rpn l

_r

Ło 3ivłdrrl óęUiełó, W ł@&rrvril,

V;rą _, ,;łU ^ł.=xc= _R.

Zadanie 10.

Wyzrl*,t:z ulspółrzęd,nę śrłd,ku, cięźkości zbźoru,

cęstość p(r,y) : 1.

^--

{'(*'y)

^e

R'

"l:2 + a2

:

4 Ą

r'y

> a)"

,=(u,tc), IWWł;w

il= § J(r,-J)d.(r,9)= §I'a'r,r), _{tl(lą --} t,T.&I= T

Ę

⁼

§|t sC,,l)*'r,.1)=

{.r ^acr,3)

⁼

§ f:"x*A.r "LLłł:"

t9! _(r)

= f§ X

1(r,9)ott*.g)= $ ^r ^d(r9)= ł. ^,rE ^onJv ^aJ ^{łr;^}

^{^'}

='"'

.S'rł1-,ł,r)ljł=

7

ljł ^r ^dJl ^* tr"|j" ²

**'łn _a,

*{..ł l: ^u- _§o.on ^l,t ⁼ Ł"l."3

Ł=?l ^1,=Ę

,r= ,, 1,= ło ^ę ^=(h ^,r)

r, -{w.;ańlą*

włp.to;,enłłua*:

Yh:KĄ

Ję(t.Ą)= ł

te(O, O Ae ro,{)

PCłvODZENTA.

(5)

---_"--.

l

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3 Zadanie 4 Zadanie 5

Zadanie 6 Zadanie 7 Zadanie 8 Zadanie 9 Zadanie 10

Imię

i

nazwisko

Numer indeksu ...,...,....]....

Studia stacjonarue, specjalność ...

. _Kolokwium _z _analrizy matematyc?n§: 4

^;,

czerwiec 2015

Uwaga.

Kaadc

zadanic

jtst

pur*towanc w

skali

(0-2pkt).

Warunkiem zńiczeniakolokwium naocenędostateczrtąjestzdobycieconajrnrriej12pkt.

.*,,,

_ Zadariie L.

Wgznacz pochodnE funńcji

y(x)

uwikłanej

ńunanierrt'

.j "

(-r+u2)2+eU**:tr_

,

,r,,

^.Poda!niezbęd,ne załażenźa.

1dvl",. arrĄrl§tł ?T"-fu,

Jfudoorłńc

Ą

,

Zadanie 2.

Wyznaczrównani,e stycznej da powi,erzchni zad,anej przez apis parametryczny

ę(t) :

(sint, cos(2t) +

2,t)

w punkci,e

P :

(0,3, zr).

%orlrłh,. §tłtllłlt W l ^ułL*uńy b

^.

(6)

,--==TĘĘffiĘ!§trf* ^, ' .:,=r;Ę+: ::-j.,a:j:a]:::^,:i,.:

: l:.;.

7,3danie 3.

WYz'nu,czyĆ 'ntetadq rrmoż,ni,kóu Lagrunge'a ^,pu,nktgstacjo,narne funkcji, f

(r,a) :

x2

-

^a2,^przu^warunku¹²⁺^U2

:

I.

ffoh& ,. ulłIlłłlh ?br,rd"^r ^, ,łdił*_rlę t,

Zadanie 4.

Obli,czyĆ jakobi,art, przeksztułacerń,a

!(r,y) :

(2n

ł3y,r ^_ il ⁱ

^znaleźć,p,zekształ_

ceni,e od,wrotne.

df(1,9)=

lt: ;]l= -"- b=-6,

firułol-U:

ł::',|'ł;t-d

1 ^u ^=Lrł b*

L& -,llr\

u*lu-5i

q -?,tr

T*+ ł-,G,u)=("ą (lń , fu.Ąe ^(rl1)l

f''(r,l]=( +r,

Ęłlt|" - x hł}o, ^f,t

ułło" -

Zadanie 5.

Wyznaczyć

wart&ć

całkr

tł-lń

=/

Ę\ 6) Il"G#d(r,y),

gdzi,e

D: _{{(r,y) e} R'

^:

r }

^1,_U

ż I,r

+ g < 3}.

nuhń l. gu&fiłt yaplfu^ 1wdoł*\ §.

(7)

Zadgnie 6.

W cąłce

uprowad,zźć zamianę zmienngch

r,g

ealkowania.

12 r2-x

J" tr_,

^f

(r,y)d(r,y)

TLa,u,,I)1.

gdzieu - r*U,,It:

^u

-u.

^Okrvśkć

^przelńały

fufixl §r&§ł,' pri.dłd _|,łAó*G

_"

Zadanie 7.

Wgmacz

pala

powi,erzclmi bryny ogranibzoraęj powierzĆhniami,

z _

e:

¹⁰^oraż

^z

^>

^t

^stasajqę^m,chunel§ ^całkowy.

fufu-: utłłr* Wlanh*vg.

(8)

Zadanie 8.

Obli,cz calkę

I I lrt ^' ^*

^a2⁺^z2)2

^d(r,g,

^z),

gdzi,e

D: _{{(r,y) ę} R' :0

<

z < \tr:a-:T},

Q&tn,. orfuln, ry-łt ¹ ^{łdałńeł.}

Zadanie 9.

Wphorzgstujqc

Rąułę

Gułd,i,na wyprowad,ź wzór na

mi,eni,achr,Rż 0,(r

< rĘ).

?drą,. dlwt rnłu,J"ł_, ^ta.duąlg 3.

Zadanie 10.

Wyznacz współrzęd,ne środ,ka ciężkości zbigra

K : _{(*,y) _e R'

12 + _U2

: ₄ _Ał,y

_{> 0}.}

Gęstość

p(r,a) :

I.

t&Ę ,, o*lrr^ o

Pqrrruołłl' , _'a^d4łłlb ^{o

^.

objętość torusa

u R3,

o pro-

POWODZENIA.

(9)

6

Zadanie I Zadanie 2

Zadan e3 Zadan e4 Zadan e5 Zadan e6 Zadan e7

Zadanie 8 Zadanie 9

Zadanie 10

Imię

i

nazwisko Numer indeksrr

Studia stacjonarue, specjalność

Kolokwium z analizy matematycznej

4

8r 3l ^czerwiec ²⁰¹⁵

Uwąa.

Każtlt; zadarric

jtst

prrrlkt()waltc w

skali

(0-2pkt).

Warunkiem

zaliczenia kolokwium na ocenę dostateczuą

jest

zdobycie co rrajrnniej 12 pkt.

Zadanie 1.

Wyznacz pochodne czqstkowe pierwszegrl rzęd,u funkcjź

z(r,y)

uwi,kłanej równa- n,iem

ze":re'+geY

Podaj nźezbędne

założen,ia. Ońl,,*! ^F(r,9,ł)= ^xe}tge

⁵

^-*e>.

Ę o _CP (r)

,

d?. **t _lĘ

ńfr.',fuąUĄ^rro';

(po x,! ' ^ro ^*).

r!Ggr&); ^-4e+ -że* ^o ^eżC-Ą-+)

^,

Jilrl/o@aY, ŹC

d F|c^,y,e)+oJ * TeT.raĘ"łłl.

z!(r,j),;ffi=ffi)

Zad,anie 2.

Wgznacz równan,ie normalnej do pow,ierzchni, zad,anej przez równanie

F(r,g,z):z-ry

w punkc,ie

P: (1,1,1).

ll" _|(1,9 ft)u8 r F(xrgrł)=o} . ^rł ^PlCx ^,trł)ą[-!

_l

^-y1 4l =J _{| 7gł?ru}

}t ju+ l-tulm, Ę. ^w

^[L?

. dł tVocr)=.|-.

p'(4,rlt)= [-ł r-Ąr|J . ^ł; ^Ńp(ł)= ^0r,nt rl,-l1llJ, _ĄG,g,łyt,

[i]= " ^[_i] ,wĄ .|qhądo't

_Ńp

(ł)łP= {,(r.Jlł} Wh:

vj, "r\] ^- [il

^,

^"ecJ

vći

ą ^(r,y }ł)= cr({tx)

Yl Crl91ł)= e? (trz)

tc'łloońe _[ ^(r,,1 ,Ąe

^lQ}

l Kr,g,e) _=o

o ftnĘłt '

^U

łł.rńlfioĄei g,ł)ałn;

zl. (trj)= - W-fręl F"(r,q,ł) - ^el(ltx)

(10)

Zadanie 3.

Wyznaczyć ntetodq rnnożn,ikóu Lal1r,artge'a pu,nkty stacjonnme _funkc.ji,f

(r,a) :

,ffir'ąr':fł;r--:;;, ; ^ułaalruh ?&,Po,1ohrł 1(r,1)= r+5-ź.

ard"i*{ P"(r,9 o1, _ęrr, jlłlfr,.t) = ''.!1

ⁿ

Ą(rł!-Ą.

[r!4rr9 A)=o _hra

^*

A- o ^+7r23Ąz

{ ?,itr,r ^y\)=o (=> {rv'tĄ -o r=) _lr|,l.i,|

Lą(t,j,r\=o ^trr-l -s _tr-t _{r- _v r=-T ⁹ ^,,"1 ^- i* P _(ł,r).

tłłx-1=C _,ń-:;. Fźfr-l-a _G _{l=-})_}

-l=l0

Zadanie 4.

obli,czyć

jakobi,u,n,prr"łrrtrł}"!,;} ro,rr:ffi,r - ^{a) i}

znalęźć,pTzekształ- cen,ie odwrotne.

?rlfu*,.

^aĄk

lłlrł pryrrdr* , ^lndnlieĘ

^,

Zadanie 5.

Zmźenić kolejność całkrlwan,ia

(f

^jest

_funkcjq

ci,qgłq) w całce iterowanej:

r

S|nx f (r.lńd,ltd.r.

J, J" ^l@,ń

^dgdr,

0{t (tł

Ąlx sL

x t{qllo *q'd''

J§łę^ włfuĄ

łl{§ pvłai

^:

vur,a&łw\

5' ₀ [' _'e{

.Ę}śe

ośTśĄ

ąwei.

ł(.,v)o* t

(11)

t

Zadanie 6.

Obliczuć cułkę

[_"i" 1[r' *'d(r,u)

Jo

gdzie

D ^jest

zbiclrem określclnym nierównclścźamź 12 < ¹²+ y2 < ^4n2.

rrft) = J"

łi[, ] ^Pt {exae",W. wY' ^Cufr1 _rt^L,* ^,,,a _n,on'dudd= Ą" ^Ifll+ai

^'.

ne|rr,zf) ^o ł

Jgfn,t)=ry o ^Jfr t

|l*v

gvJ - ^6l, J

l',1.,1r',wl

ń--ń# =(vłu[F=gio,. =ŁYWło= ^rn _fu,fo'on l,L,Ą,

= 11T[-l[* F(") _-. ⁺

^tn'łr

rrfr,l _{.Tl J}

₌

-

^6I[ł.

Zadanie 7.

Wyznacz długość

łuku

li,ni,i, śiubowej określo,nej rów,nani,e,m

l(t) : (sinź,cosź,ź)

dlaOśźśo.

rQ >--

J -1*ł1-."1Ę+-,1 r _ĄĘ=

J - rt- _)o _l),] _dh= _tra,u

,

&=

o

i',

(12)

\

Zadanie 8.

Oblicz, cułkę

I I lra'

⁺

^u'

⁺^z2)2^d,(r,y,^z),

gdzi,e

D:

_{(z,E) €

R' :0

<

z < łT-P -tr}.

1hó,ł, '. ^ąrlriltąl _Ypwgd^t łod&wb

^d^.

Zadanie 9.

Wykorzystujqc Regułę Guldi,na wyprowadź wzór na pole pclwierzchni, torusa

u

R3, o promi,eni,ach

r,R

> 0,

(,

<

fi).

H(r)- rdl W§,fr,ł,ąrĄo/

'n(t)

-'d"f-t ć oUrąu o rto-łi&{rq ft , _ź= (ę,{c)

_l

tpuu}&iĄńŁ FeCoętQ),Ęcmł,;ł,,,t4 kó?"r1,44,,łL(P