K ,,,, dXdXdXdY = K XXXYY ),,,(

Stosowane modele równowagi ogólnej (CGE), ćwiczenia 1

Podstawy linearyzacji równań

• Różniczka zupełna – przypomnienie.

n n

X dX dX Y

X dX Y X dY Y

∂ + ∂ +

∂ + ∂

∂

= ∂ K

2 2 1 1

, gdzie Y =Y(X₁,X₂,K,X_n)

• dY,dX₁,dX₂,K,dXn są różniczkami, tj nieskończenie małymi przyrostami poszczególnych zmiennych.

• Nieskończenie mały procentowy przyrost zmiennej (np. zmiennej Y) można zdefiniować jako:

⋅100

= Y y dY

• Przyjmujemy konwencję: wielkie litery – poziomy zmiennych, małe litery – procentowe przyrosty.

• Z powyższego równania wynika:

100 y dY Y⋅

=

co po podstawieniu do wyrażenia różniczki zupełnej pozwala przekształcić wyjściowe równanie „na poziomach” do postaci „na procentowych przyrostach”.

• Równanie w postaci zlinearyzowanej może służyć do wyznaczenia procentowej zmiany zmiennej endogenicznej, następującej pod wpływem zadanych procentowych zmian zmiennych egzogenicznych. Do wyznaczenia rozwiązania niezbędna jest znajomość początkowych wartości wszystkich zmiennych występujących w równaniu.

Przykład (na podstawie „MINIMAL…”, http://www.monash.edu.au/policy/minimal.htm)

• Dane jest równanie „na poziomach”: Y = X ⋅Z

• Różniczka zupełna:

Z dZ dX Y X dY Y

∂ +∂

∂

= ∂

dZ X dX Z

dY = ⋅ + ⋅

co po przekształceniach do postaci z procentowymi przyrostami zmiennych daje:

z x y= +

• Uwaga! Równanie wyprowadzone powyżej jest spełnione w przybliżeniu (dokładnie spełnione jest ono tylko dla nieskończenie małych procentowych przyrostów zmiennych).

• Zadanie 1: Załóżmy, że początkowo X =4, Z =5, Y =20 oraz x=25%, z=20%. (a) Wyznaczyć y na podstawie zlinearyzowanego równania; (b) wyznaczyć y w sposób dokładny; (c) wyznaczyć błąd linearyzacji.

Zadanie 2

• Dane jest równanie: Y = X² +Z _.

• Wartości początkowe: X =3, Z =6.

• Zmiany: x=20%, z=−10%.

• Przekształcić powyższe równanie do postaci z procentowymi przyrostami zmiennych (linearyzacja); wyznaczyć wartość y (tj. procentową zmianę Y); sprawdzić błąd linearyzacji.

Stosowane modele równowagi ogólnej (CGE), ćwiczenia 1

Zadanie 3

Zlinearyzować (tj. przekształcić do postaci „na procentowych przyrostach”) następujące równania:

1) Y=X/Z 2) Y=X+Z 3) Y=X–Z

4) Y=X^α gdzie α – stała.

5) V=P^K·K+PL·L

6) Y=β·K^α·L^(1–α) gdzie α, β – stałe.

7) Y=2·X²+3/Y 8) Y=(2·X·Z–5·W)³