a) Równanie postaci:

Legalna ±ci¡ga na egzamin z RRI

Równania ró»niczkowe pierwszego rz¦du sprowadzalne do równa« o zmiennych rozdzielonych

a) Równanie postaci:

^dy_dx

= f (ax + by + c), Równanie postaci:

dy

dx = f (ax + by + c), (1)

wprowadzamy now¡ zmienn¡ zale»nej za pomoc¡ podstawienia:

u(x) = ax + by + c. (2)

Ró»niczkuj¡c (2) i przeksztaªcaj¡c mamy:

du

dx = a + b dy

dx =⇒ dy

dx = 1 b · du

dx − a

b . (3)

Nast¦pnie podstawiamy (2) i (3) do równania (1).

b) Równanie jednorodne wzgl¦dem x i y Równanie postaci:

dy

dx = f  y x



, (4)

rozwi¡zujemy poprzez wprowadzenie nowej zmiennej niezale»nej za pomoc¡ podstawienia:

u(x) = y

x ⇒ y = ux =⇒ dy

dx = x du

dx + u. (5)

Podstawiamy zale»no±ci (5) do równania (4).

c) Równanie postaci y

⁰

= f 

a1x+b1y+c1

a₂x+b₂y+c₂

 Równanie postaci

y

⁰

= f  a

₁

x + b

1

y + c

1

a

2

x + b

2

y + c

2

 , w zale»no±ci od przypadku.

Przypadek 1. Je»eli wyznacznik

   

a

₁

b

₁

a

₂

b

₂

   

6= 0 stosujemy podstawienie

( x = ξ + x

0

,

y = η + y

₀

, (6)

gdzie x = x

0

, y = y

0

speªnia ukªad

( a

1

x

0

+ b

1

y

0

= −c

1

a

₂

x

₀

+ b

₂

y

₀

= −c

₂

. Wówczas mamy:

y

⁰

= dy dx = dη

dξ oraz dη

dξ = f  a

₁

ξ + b

₁

η a

2

ξ + b

2

η

 . Po wyª¡czeniu ξ i skróceniu mamy równanie jednorodne typu b):

dη

dξ = f a

1

+ b

1η ξ

a

2

+ b

2η ξ

!

.

Przypadek 2. Je»eli wyznacznik

   

a

1

b

1

a

2

b

2

   

= 0 dokonujemy podstawienia:

z(x) = a

1

x + b

1

y. (7)

d) Uogólnione równanie jednorodne.

Je»eli wprowadzenie nowej zmiennej:

y(x) = z

^m

(x)

sprowadza rozpatrywane równanie do równania jednorodnego to nazywamy je uogólnionym równaniem jednorod- nym.

Równanie liniowe pierwszego rz¦du:

Równanie ró»niczkowe postaci

dy

dx + p(x)y = f (x), (8)

gdzie funkcje p(x) i f(x) s¡ ci¡gªe w pewnym wspólnym przedziale (a, b) nazywamy równaniem ró»niczkowym liniowym pierwszego rz¦du.

Twierdzenie 1. Caªka ogólna y(x) równania liniowego niejednorodnego (CORN) (8) jest suma caªki ogólnej równania jednorodnego (CORJ) y

0

(x) i caªki szczególnej równania niejednorodnego (CSRN) y(x) : e

y(x) = y

₀

(x) + y(x). e

Caªka ogólna równania jednorodnego (CORJ) na podstawie metody rozdzielania zmiennych ma posta¢ posta¢:

y

0

(x) = ce

^{−R p(x)dx}

, ∀

c∈R

. Caªki szczególnej y(x) e poszukujemy:

a) metoda uzmienniania staªej:

y(x) = c(x) · e e

^{−R p(x)dx}

. (9)

Twierdzenie 2. a) metoda przewidywa« (Eulera): Je»eli f(x) = P

m

(x)e

^µx

oraz p(x) = p = const. to rozwi¡zanie szczególne równania niejednorodnego poszukujemy w postaci:

y(x) = e

( Q

m

(x)e

^µx

, je»eli µ 6= −p xQ

_m

(x)e

^µx

, je»eli µ = −p.

Równanie Bernulliego:

Równanie postaci

dy

dx + p(x)y = f (x)y

^α

, (10)

rozwi¡zujemy poprzez podstawienie

y

^1−α

(x) = z(x). (11)

Wówczas zostaje ono sprowadzone do równania liniowego.

Uwaga: Dla α > 0 caªk¡ szczególn¡ równania (10) b¦dzie zawsze y ≡ 0.

Algorytm rozwi¡zania równania Bernulliego:

1. Dzielimy równanie (10) przez y

^α

, mamy:

y

^−α

y

⁰

+ p(x)y

^1−α

= f (x).

3. Stosujemy podstawieie (11) i ró»niczkujemy (11):

y

^1−α

= z =⇒ (1 − α)y

^−α

y

⁰

= z. (12)

4. Dokonujemy podstawienia (11) oraz (12) do równania Bernulliego, otrzymujemy niejednorodne równanie li- niowe wzgl¦dem z :

1

(1 − α) z

⁰

+ p(x)z = f (x).

Równanie ró»niczkowe zupeªne:

Równanie ró»niczkowe

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (13)

nazywamy zupeªnym o ile speªniony jest warunek konieczny i dostateczny

∂P

∂y = ∂Q

∂x . (14)

czynnik caªkuj¡cy µ(x, y):

a) je»eli

^∂P∂y_Q(x,y)^−∂Q∂x

jest funkcj¡ zale»n¡ tylko od zmiennej x, to µ(x, y) = µ(x) oraz µ(x) = e

^R

∂P

∂y−∂Q

∂x Q(x,y) dx

. b) je»eli Je»eli

^∂Q∂x_{P (x,y)}^−∂P∂y

jest funkcj¡ zale»n¡ tylko od zmiennej y, to µ(x, y) = µ(y) oraz µ(y) = e

^R

∂Q

∂x− ∂P

∂y P (x,y) dx

. c) je»eli

xP (x,y)−yQ(x,y)^{∂Q∂x−∂P∂y}

jest funkcj¡ iloczynu xy, to µ(x, y) = µ(u) oraz µ(u) = e

^R

∂Q

∂x− ∂P∂y xP (x,y)−yQ(x,y)du

, gdzie u = xy.

Równanie rz¦du pierwszego nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnych

a) równanie typu y = f(x, y

⁰

)

Je»eli równanie nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnej mo»na przeksztaªci¢ do postaci

y = f (x, y

⁰

) (15)

tzn. równania rozwi¡zywalnego wzgl¦dem szukanej funkcji wówczas wprowadzamy parametru p :

p = y

⁰

tzn. p = dy

dx ⇒ dy = p dx.

b) równanie typu y = f(y, y

⁰

)

Natomiast je»eli równanie nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnej mo»na przeksztaªci¢ do postaci

x = f (y, y

⁰

) (16)

tzn. równania rozwi¡zywalnego wzgl¦dem zmiennej niezale»nej to równie» wprowadzamy parametr p :

p = y

⁰

tzn. p = dy

dx ⇒ dx = 1 p dy.

c) równanie Lagrange'a

Równaniem Lagrange'a nazywamy równanie postaci

y = f (y

⁰

)x + g(y

⁰

), (17)

gdzie funkcje f i g s¡ klasy C

¹

w pewnym przedziale oraz f(y

⁰

) 6≡ y

⁰

. W celu rozwi¡zania równania (17) równie» wprowadzamy parametr p :

y

⁰

= p ⇒ dy = pdx. (18)

Uwaga: Równanie to po zró»niczkowaniu sprowadzamy do równanie liniowego (dzielimy przez dp).

d) równanie Clairaunta

Je»eli w równaniu Lagrange'a y

⁰

= f (y

⁰

) wówczas otrzymujemy równanie postaci

y = y

⁰

x + g(y

⁰

), (19)

jest to tzw. równanie Clairaunta.

Wprowadzamy parametr p tak jak w (18). Wówczas

y = px + g(p) ⇒ dy = pdx + xdp + g

⁰

(p)dp ⇒ pdx = pdx + xdp + g

⁰

(p)dp.

St¡d

(x + g

⁰

(p)) dp = 0.

Zatem

dp = 0 lub x + g

⁰

(p) = 0.

Je»eli dp = 0, to p = C i wstawiaj¡c do y = px + g(p) mamy rozwi¡zanie ogólne równania Clairaunt'a w formie:

y = Cx + g(C).

Natomiast je»eli x = −g

⁰

(p), to otrzymujemy rozwi¡zanie osobliwe:

( x = −g

⁰

(p);

y = −pg

⁰

(p) + g(p). (20)

Równanie ró»niczkowe rz¦dów wy»szych sprowadzalne do równa« rz¦dów ni»szych.

a) równanie postaci F (x, y

^(k)

, y

^(k+1)

, . . . , y

⁽ⁿ⁾

) = 0

Jest to równanie nie zawieraj¡ce szukanej funkcji oraz oraz jej kolejnych pierwszych pochodnych. W równaniu tym 1 ≤ k ≤ n oraz pochodna rz¦du k faktycznie wyst¦puje w równaniu.

W celu rozwi¡zania tego równania kªadziemy y

^(k)

(x) = z(x), dalej y

^(k+1)

(x) = z

⁰

(x), y

^(k+2)

(x) = z

⁰⁰

(x), itd.

b) równanie postaci F (y, y

⁰

, y

⁰⁰

, . . . , y

⁽ⁿ⁾

) = 0

Jest to równanie nie zawieraj¡ce zmiennej niezale»nej x.

W celu rozwi¡zania tego równania kªadziemy y

⁰

(x) = p(y);

y

⁰⁰

(x) = dy

⁰

dx = dp

dx = dp dy · dy

dx = p

⁰

y

⁰

= p

⁰

p;

y

⁰⁰⁰

(x) = dy

⁰⁰

dx = d(p

⁰

p)

dx = d(p

⁰

p) dy · dy

dx = (p

⁰⁰

p + p

⁰²

)p = p

⁰⁰

p

²

+ p

⁰²

p;

y

^{(IV )}

(x) = dy

⁰⁰⁰

dx = d(p

⁰⁰

p

²

+ p

⁰²

p)

dx = d(p

⁰⁰

p

²

+ p

⁰²

p)

dy · dy

dx = (p

⁰⁰⁰

p

²

+ p

⁰⁰

· 2pp

⁰

+ 2p

⁰

p

⁰⁰

p + p

⁰³

)p

= p

⁰⁰⁰

p

³

+ 4p

⁰⁰

p

⁰

p

²

+ p

⁰³

p;

...

c) równanie jednorodne wzgl¦dem funkcji i pochodnych Jest to równanie postaci

F (x, y, y

⁰

, y

⁰⁰

, y

⁰⁰⁰

, . . . , y

⁽ⁿ⁾

) = 0, (21) gdzie funkcja F jest jednorodna wzgl¦dem y, y

⁰

, . . . , y

⁽ⁿ⁾

to znaczy, »e

F (x, ky, ky

⁰

, ky

⁰⁰

, . . . , ky

⁽ⁿ⁾

) = k

^m

F (x, y, y

⁰

, , y

⁰⁰

. . . , y

⁽ⁿ⁾

), (22) gdzie k ∈ R \ {0}, a m to stopie« jednorodno±ci tej funkcji. Równanie to rozwi¡zujemy poprzez poªo»enie y

⁰

(x) = y(x)z(x).

y

⁰

= yz;

y

⁰⁰

= (yz)

⁰

= y

⁰

z + yz

⁰

= yz

²

+ yz

⁰

= y(z

²

+ z

⁰

);

y

⁰⁰⁰

= (yz

²

+ yz

⁰

)

⁰

= y

⁰

z

²

+ 2yzz

⁰

+ y

⁰

z

⁰

+ yz

⁰⁰

= yz

³

+ 3yzz

⁰

+ yz

⁰⁰

= y(z

³

+ 3zz

⁰

+ z

⁰⁰

);

y

^{(IV )}

= (yz

³

+ 3yzz

⁰

+ yz

⁰⁰

)

⁰

= y

⁰

z

³

+ 3yz

²

z

⁰

+ 3y

⁰

zz

⁰

+ 3yz

⁰²

+ 3yzz

⁰⁰

+ y

⁰

z

⁰⁰

+ yz

⁰⁰⁰

= yz

⁴

+ 6yz

²

z

⁰

+ 3yz

⁰²

+ 4yzz

⁰⁰

+ yz

⁰⁰⁰

= y(z

⁴

+ 6z

²

z

⁰

+ 3z

⁰²

+ 4zz

⁰⁰

+ z

⁰⁰⁰

);

...

(23)

d) uogólnione równanie jednorodne Równanie

F (x, y, y

⁰⁰

, y

⁰⁰⁰

, . . . , y

⁽ⁿ⁾

) = 0 (24) nazywamy uogólnionym równaniem jednorodnym, je»eli kªad¡c:

x → kx;

y → k

^m

y;

y

⁰

→ k

^m−1

y

⁰

; y

⁰⁰

→ k

^m−2

y

⁰⁰

;

...

y

⁽ⁿ⁾

→ k

^m−n

y

⁽ⁿ⁾

; równanie to stanie si¦ równaniem jednorodnym tzn.

F (kx, k

^m

y, k

^m−1

y

⁰

, k

^m−2

y

⁰⁰

, . . . , k

^m−n

y

⁽ⁿ⁾

) = k

^m

F (x, y, y

⁰

, y

⁰⁰

, . . . , y

⁽ⁿ⁾

).

Je»eli ju» znamy warto±¢ m, to równanie (24) rozwi¡zujemy stosuj¡c podstawienie:

x =e

^t

;

y =z(t)e

^mt

(25)

Liniowe równania ró»niczkowe n−tego rz¦du o staªych wspóªczynnikach

a) Rozwi¡zanie równania jednorodnego:

a

0

y

⁽ⁿ⁾

(x) + a

1

y

⁽ⁿ⁻¹⁾

(x) + a

2

y

⁽ⁿ⁻²⁾

(x) + . . . + a

n−1

y

⁰

(x) + a

n

y(x) = 0. (26) Stosujemy twierdzenia:

Twierdzenie 3. Niech wszystkie pierwiastki λ

1

, λ

₂

, . . . , λ

_n

równania charakterystycznego s¡ ró»ne tj. λ

i

6= λ

_m

dla ka»dego i 6= m, 1 ≤ i, m ≤ n. Wtedy dowolne rozwi¡zanie równania jednorodnego (26) ma posta¢:

y

0

(x) =

n

X

k=1

C

k

e

^λkx

, (27)

gdzie C

1

, . . . , C

_n

= const. Ponadto dowolna funkcja postaci (27) jest rozwi¡zaniem równania (26).

Twierdzenie 4. Niech λ

1

, λ

₂

, . . . λ

_s

b¦d¡ ró»nymi pierwiastkami równania charakterystycznego krotno±ci odpowied- nio k

1

, k

₂

, . . . , k

_s

, gdzie k

1

, k

₂

, . . . , k

_s

< n oraz k

1

+ k

₂

+ . . . + k

_s

= n. Wówczas dowolne rozwi¡zanie równania jednorodnego (26) ma posta¢:

y

0

(x) =

s

X

j=1

P

j

(x)e

^λjx

, (28)

gdzie P

j

(x) jest wielomianem stopnia (k

j

− 1 ). Ponadto dowolna funkcja postaci (28) jest rozwi¡zaniem równania (26).

b) Rozwi¡zanie równania niejednorodnego (metoda przewidywa«):

y

⁽ⁿ⁾

(x) + a

₁

y

⁽ⁿ⁻¹⁾

(x) + a

₂

y

⁽ⁿ⁻²⁾

(x) + . . . + a

_n−1

y

⁰

(x) + a

_n

y(x) = P

_m

(x)e

^µx

. (29) Aby znale¹¢ (CSRN) e y(x) b¦dziemy stosowa¢ metod¦ przewidywa« opisan¡ w nast¦puj¡cych dwóch twierdzeniach:

Twierdzenie 5. (przypadek nierezonansowy)

Je»eli µ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego tzn. µ 6∈ {λ

1

, λ

2

, . . . , λ

n

} , to (CSRN) równania (29) jest postaci:

y(x) = Q e

_m

(x)e

^µx

. Twierdzenie 6. (przypadek rezonansowy)

Je»eli µ jest pierwiastkiem krotno±ci k (k ≤ n) równania charakterystycznego, to (CSRN) równania (29) jest postaci:

y(x) = x

^k

Q

m

(x)e

^µx

.

W powy»szych dwóch twierdzeniach Q

m

(x) oznacza wielomian stopnia m o nieoznaczonych wspóªczynnikach.

Równanie Eulera

a

₀

(ax + b)

ⁿ

y

⁽ⁿ⁾

(x) + a

₁

(ax + b)

ⁿ⁻¹

y

⁽ⁿ⁻¹⁾

(x) + . . . + a

_n−1

(ax + b)y

⁰

(x) + a

_n

y(x) = f (x), (30) Podstawienie:

t = ln(ax + b) lub ax + b = e

^t

. Wówczas

y

⁰

= a

ax + b y; ˙ y

⁰⁰

=

 a

ax + b



²

(¨ y− ˙ y); y

⁰⁰⁰

=

 a

ax + b



³

( ... y −3¨ y+2 ˙ y); y

^{(IV )}

=

 a

ax + b



⁴

(

^....

y −6 ... y +11¨ y−6 ˙ y).

Ze wzoru Liouville'a mamy:

y

₂

(x) = y

₁

(x)

Z  C y

₁²

(x) exp



−

Z a

₁

(x) a

0

(x) dx



dx. (31)

Ukªady równa« ró»niczkowych: rozwi¡zanie ukªadu niejednorodnego postaci

~ ˙

x = Ax + ~ P

_m

(t)e

^µt

, µ ∈ C. (32)

Tutaj ~P

m

(t) oznacza wektor zªo»ony z wielomianów, o stopniach nie wi¦kszych od m.

Oznaczmy zbiór warto±ci wªasnych macierzy A przez Λ tzn. Λ = {λ

1

, λ

2

, . . . , λ

n

}

Rozwi¡za« szczególnych ukªadu niejednorodnego (32) b¦dziemy poszukiwa¢ stosuj¡c nast¦puj¡ce dwa twierdze- nia (w zale»no±ci od przypadku):

Twierdzenie 7. (przypadek nierezonansowy)

Niech µ nie jest warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A tj. µ 6∈ Λ. Wówczas rozwi¡zanie szczególne ukªadu niejednorodnego ma posta¢:

e ~

x(t) = ~ Q

m

(t) · e

^µt

, (33)

gdzie ~ Q

m

(t) to wektor wielomianów stopnia co najwy»ej m o wspóªczynnikach nieoznaczonych.

Twierdzenie 8. (przypadek rezonansowy)

Niech µ ∈ Λ tzn. równa si¦ pewnej warto±ci wªasnej macierzy A. Wówczas

e ~

x(t) = ~ Q

m+1

(t) · e

^µt

, (34)

gdzie ~ Q

_m+1

(t) to wektor wielomianów stopnia co najwy»ej m + 1 o wspóªczynnikach nieoznaczonych.

Transformacja Laplace'a

L{x(t)} = x(p) = e

∞

Z

0

x(t)e

^−pt

dt, (35)

gdzie p to liczba zespolona.

L{x

⁰

(t)} = p x(p) − x(0). e

L{x

⁽ⁿ⁾

(t)} = p

ⁿ

e x(p) − p

ⁿ⁻¹

x(0) − p

ⁿ⁻²

x

⁰

(0) − p

ⁿ⁻³

x

⁰⁰

(0) − . . . − px

ⁿ⁻²

(0) − x

ⁿ⁻¹

(0).

Przykªady transformat Laplace'a.

1. Niech x(t) = e

^at

, a ∈ R, to e x(p) =

_p−a¹

. 2. Niech x(t) = t

ⁿ

, n ∈ N, to e x(p) =

_pn+1^n!

. 3. Niech x(t) = sin bt, b ∈ R, to x(p) = e

_p2+b^{b 2}

. 4. Niech x(t) = cos bt, b ∈ R, to e x(p) =

_p2+b^p ₂

. 5. Niech x(t) = t

ⁿ

e

^at

, a ∈ R, to x(p) = e

_(p−a)^n!_n+1

. 6. Niech x(t) = t sin bt, b ∈ R, to x(p) = e

_(p2^2bp_+b2)2

. 7. Niech x(t) = t cos bt, b ∈ R, to e x(p) =

_(p^p2²+b^−b22)²

.

a) Metoda uªamków prostych pierwszego rodzaju.

Je»eli e x(p) =

n

P

k=1 Ak

p−p_k

to wówczas x(t) = P

ⁿ

k=1

A

k

e

^pkt

.

b) Metoda residuów.

Niech nadal e x(p) b¦dzie wyra»eniem wymiernym. Pierwiastki licznika x(p) e nazywamy zerami a pierwiastki mianownika biegunami. Fundamentalnym wzorem tej metody jest (z twierdzenia Cauchy'ego o residuach):

x(t) =

n

X

k=1

res 

e x(p)e

^pt

, p

k

 , (36)

gdzie p

k

to bieguny funkcji x(p). e Je»eli x(p) e jest funkcj¡ wymiern¡ to dla biegunów p

k

m− krotnych stosujemy wzór:

res 

e x(p)e

^pt

, p

k

 = 1

(m − 1)! lim

p→pk

d

^m−1

dp

^m−1

(p − p

k

)

^m

x(p)e e

^pt

 . (37) W przypadku biegunów pojedynczych ze wzoru (37) dostajemy:

res 

e x(p)e

^pt

, p

_k

 = lim

p→p_k

(p − p

k

) x(p)e e

^pt

 . (38)

Regularna teoria zaburze«

Rozpatrujemy zagadnienie Cauchy'ego:

( x = f (t, x, ε), ˙

x(t

0

) = x

0

, (39)

gdzie 0 < ε  1 nazywamy maªym parametrem.

Rozwi¡zania tego zagadnienia poszukujemy w formie:

x

ε

(t) = x

0

(t) + εx

1

(t) + ε

²

x

2

(t) + . . . + ε

ⁿ⁻¹

x

n−1

(t) + O(ε

ⁿ

) i nazywamy asymptotycznym rozwini¦ciem wzgl¦dem maªego parametru ε dla x

ε

(t).

Przykªady rozwini¦¢ w szeregi pot¦gowe wybranych funkcji elementarnych:

e

^x

=

∞

X

n=0

x

ⁿ

n! = 1 + x + x

²

2! + x

³

3! + · · · , ln(1 + x) =

∞

X

n=1

(−1)

ⁿ⁺¹

x

ⁿ

n = x − x

²

2 + x

³

3 − x

⁴

4 + · · · , ln(1 − x) =

∞

X (−1)x

ⁿ

n = −

 x + x

²

2 + x

³

3 + x

⁴

4 + · · ·



,

sin x =

∞

X

n=0

(−1)

ⁿ

x

²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! = x − x

³

3! + x

⁵

5! − x

⁷

7! + · · · , cos x =

∞

X

n=0

(−1)

ⁿ

x

²ⁿ

(2n)! = 1 − x

²

2! + x

⁴

4! − x

⁶

6! + · · · , 1

1 − x =

∞

X

n=0

x

ⁿ

= 1 + x + x

²

+ x

³

+ · · · , o ile |x| < 1, 1

1 + x =

∞

X

n=0

x

ⁿ

= 1 − x + x

²

− x

³

+ · · · , o ile |x| < 1,

(1 ± x)

⁻³²

= 1 ∓ 3 2 + 3 · 5

2 · 4 x

²

∓ 3 · 5 · 7

2 · 4 · 6 x

³

+ · · · , o ile |x| < 1,

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x

^α

dx =

_α+1¹

x

^α+1

+ c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c 5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6=

^π₂

+ kπ, k ∈ N 7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N 8. R sinh xdx = cosh x + c

9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R

₁

cosh²x

dx = tgh x + c

11. R

₁

sinh²x

dx = − ctgh x + c

12. R a

^x

dx =

_{ln a}¹

a

^x

+ c a > 0

13. R e

^x

dx = e

^x

+ c

14. R

₁

x

dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R

₁

cos²x

dx = tg x + c x 6=

^π₂

+ kπ, k ∈ N

16. R

₁

sin²x

dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R

₁

√

a²−x²

dx = arcsin

^x_a

+ c a 6= 0

18. R

₁

a²+x²

dx =

_a¹

arctg

^x_a

+ c a 6= 0

19. R

₁

√

x²+a

dx = ln  x + √

x

²

+ a 

 + c a ∈ R

20. R

₁

a²−x²

dx =

_2a¹

ln  

^a+x_a−x



 + c a > 0, |x| 6= a

21. R

f⁰(x)

f (x)

dx = ln |f (x)| + c

22. R

₁

ax+b

dx =

_a¹

ln |ax + b| + c

23. R cos

ⁿ

xdx =

_n¹

sin x cos

ⁿ⁻¹

x +

ⁿ⁻¹_n

R cos

ⁿ⁻²

xdx n ≥ 2 24. R sin

ⁿ

xdx = −

_n¹

cos x sin

ⁿ⁻¹

x +

ⁿ⁻¹_n

R sin

ⁿ⁻²

xdx n ≥ 2 25. R √

x

²

+ adx =

¹₂

x √

x

²

+ a +

^a₂

ln |x + √

x

²

+ a| + c

26. R

_dx

(x²+1)ⁿ

=

_2n−2¹ _(1+x^x2)ⁿ⁻¹

+

²ⁿ⁻³_2n−2

R

₁

(1+x²)ⁿ⁻¹

dx n ≥ 2

27. R √

a

²

− x

²

dx =

^a₂²

arcsin

_|a|^x

+

^x₂

√

a

²

− x

²

+ c