Temat: RÓWNANIA KWADRATOWE
Równanie kwadratowe - to równanie postaci ax2+bx+c=0 , w którym: a,b,c- współczynniki równania kwadratowego („a” nie może być zerem), x – zmienna
Nazwa równanie kwadratowe jest stąd, że mamy x w potędze drugiej.
Przykłady równań kwadratowych:
2x2+5x+6=0 7x2-11x+10=0 -4x2+43x-5=0
Na początku zaczniemy od poprawnego odczytywania współczynników a, b, c w równaniach kwadratowych.
Ćwiczenie 1. Uzupełnij tabelkę:
Równanie
kwadratowe a b c
2x2+5x+6=0 2 5 6
7x2-11x+10=0 7 -11 10
-4x2+43x-5=0 -4 43 -5
6x2+4x-25=0 6 4 -25
-4x2+43x=0 -4 43 0
15x2-5=0 15 0 -5
-4x2+17x-55=0 -4 17 -55
Bardzo ważną rzeczą jest to, że zanim zabierzemy się do rozwiązywania równania
kwadratowego, uporządkujmy je tak, aby wszystkie składniki były po lewej stronie równania (po prawej mamy mieć zero). Dodatkowo dla ułatwienia ustawiajmy składniki z lewej strony tak, aby jako pierwszy był składnik z „x2”, jako drugi z „x” a jako trzeci wyraz wolny, czyli liczba przy której nie ma żadnej niewiadomej.
Równania kwadratowe można rozwiązać (czyli znaleźć taką liczbę którą jeśli podstawimy w miejsce x, to otrzymamy z równania faktycznie zero), ale w specjalny sposób.
Na początek BARDZO WAŻNY WZÓR:
Δ=b2-4ac , symbol Δ czytamy „delta”
Ile rozwiązań będzie miało równanie kwadratowe? To zależy właśnie od tego jaką deltę otrzymaliśmy. Jeśli
a) Δ>0, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, które liczymy ze wzorów:
x1=−b−
√
∆2a , x2=−b+
√
∆2 a
b) Δ=0, to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, które liczymy ze wzoru x0=−b 2 a
c) Δ<0, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań.
Zauważyliście już coś? Zgadza się! Wzory na rozwiązania równań kwadratowych są takie same, jak na miejsca zerowe funkcji kwadratowej i ilość rozwiązań równania kwadratowego – tak jak ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej – zależy od „delty”.
Ćwiczenie 2.
a)
Wypiszemy współczynniki równania: a=2, b=2, c= -12
b)
a=2, b=4, c=2
c)
a= -4, b=2, c= -5
Równanie kwadratowe jest zupełne, jeśli ma współczynniki a , b, c różne od zera.
Równanie kwadratowe jest niezupełne, jeśli współczynnik b lub c jest równy zero (lub oba)
Praca domowa:
Rozwiąż równania kwadratowe:
