Zespolone równanie Monge’a-Amp`ere’a w geometrii k¨ahlerowskiej

(1)

Zespolone równanie Monge’a-Amp` ere’a w geometrii k¨ ahlerowskiej

Zbigniew Błocki

(Uniwersytet Jagielloński)

http://gamma.im.uj.edu.pl/ eblocki

II Forum Matematyków Polskich

Częstochowa, 1 lipca 2008

(2)

Rozmaitości k¨ ahlerowskie M - rozmaitość zespolona

J : T M → T M - endomorfizm dany lokalnie przez J (∂/∂x

^j

) = ∂/∂y

^j

, J (∂/∂y

^j

) = −∂/∂x

^j

przedłuża się C-liniowo do J : T

C

M → T

_C

M , t. że

J (∂

_j

) = i∂

_j

, J (∂

¯j

) = −i∂

¯j

, gdzie ∂

_j

:= ∂/∂z

^j

, ∂

¯j

:= ∂/∂ ¯ z

^j

.

Uwaga: Dla dowolnej rozmaitości rzeczywistej M i J : T M → T M spełn. J

²

= −id, J pochodzi od pewnej struktury zespolonej wtedy i tylko wtedy, gdy

[X, Y ] + J [J X, Y ] + J [X, J Y ] − [J X, J Y ] = 0

dla X, Y ∈ T M (Newlander-Nirenberg, 1957).

(3)

h : T M × T M → C - forma hermitowska

Lokalnie: h = g

_j¯_k

dz

^j

d¯ z

^k

, gdzie g

_jk

= g

_kj

, (g

_jk

) > 0.

Formę hermitowską można utożsamiać z dodatnią (1, 1)-formą

ω := g

_j¯_k

idz

^j

∧ d¯ z

^k

.

Metryka riemannowska Re h generuje koneksję Levi- Civity ∇ na M . Można pokazać, że

∇J = 0 ⇔ ∇ω = 0 ⇔ dω = 0 ⇔ g

_j¯_k

= ∂

²

g

∂z

^j

∂ ¯ z

^k

(lokalnie dla pewnej gładkiej funkcji g)

Mówimy wtedy, że (1,1)-forma ω jest k¨ ahlerowska.

(Innymi słowy, gładka (1,1)-forma ω jest k¨ ahlerowska,

jeżeli ω = ¯ ω, ω > 0 oraz dω = 0.)

(4)

Dla zwartej rozmaitości k¨ ahlerowskiej (M, ω) mamy b

_2k

(M ) 6= 0 (bo {ω

^k

} ∈ H

^2k

(M, R)).

Przykład (powierzchnia Hopfa):

M = (C

²

\ {0})/{2

ⁿ

: n ∈ Z}

M ' S

¹

× S

³

⇒ b

₂

(M ) = 0

Na M nie istnieje żadna forma k¨ ahlerowska.

(5)

(p, q)-formy i operatory ∂, ¯ ∂, d

^c

Zespolone (p, q)-formy (lokalnie):

X

|J|=p,|K|=q

0

f

_{J K}

dz

^J

∧ d¯ z

^K

,

gdzie J = (j

₁

, . . . , j

_p

), 1 ≤ j

₁

< · · · < j

_p

≤ n, dz

^J

= dz

^j¹

∧ · · · ∧ dz

^j^p

(i podobnie dla K).

∂ : C

_(p,q)^∞

→ C

_(p+1,q)^∞

, ∂ : C ¯

_(p,q)^∞

→ C

_(p,q+1)^∞

∂f := X

j

∂f

∂z

^j

dz

^j

, ∂(f dz

^J

∧d¯ z

^K

) := ∂f ∧dz

^J

∧d¯ z

^K

,

∂f := ¯ X

j

∂f

∂ ¯ z

^j

dz

^j

, ∂(f dz ¯

^J

∧d¯ z

^K

) := ¯ ∂f ∧dz

^J

∧d¯ z

^K

.

(6)

d = ∂ + ¯ ∂, d

²

= 0 ⇒ ∂

²

= ¯ ∂

²

= 0, ∂ ¯ ∂ + ¯ ∂∂ = 0 d

^c

:=

₂ⁱ

( ¯ ∂ − ∂) - operator rzeczywisty (odwzorowuje formy rzeczywiste w formy rzeczywiste) zależny od struktury zespolonej na M

dd

^c

= i∂ ¯ ∂

Lemat „dd

^c

”. Na zwartej rozmaitości k¨ ahlerowskiej d-dokładne (p, q)-formy są dd

^c

-dokładne.

Dowód: teoria Hodge’a + lokalne wzory na

przemienność pewnych operatorów na rozmaitości

k¨ ahlerowskiej.

(7)

Pierwsza klasa Cherna

ω = g

_j¯_k

idz

^j

∧ d¯ z

^k

- forma k¨ ahlerowska na M Można pokazać, że Ric

_ω

= −dd

^c

log det(g

_j¯_k

).

Jeżeli e ω = e g

_j¯_k

idz

^j

∧ d¯ z

^k

jest inną formą k¨ ahlerowską na M , to

Ric

ω

− Ric

_eω

= dd

^c

ϕ, gdzie

ϕ = log det( e g

_j¯_k

)

det(g

_j¯_k

)

jest globalnie zdefiniowaną funkcją na M .

{Ric

_ω

} =: c

₁

(M ) (= c

₁

(M )

_R

/2π)

(8)

(M, ω) - zwarta rozmaitość k¨ ahlerowska

Hipoteza Calabiego (1954) Dla dowolnej (1, 1)-formy R ∼ Ric

_ω

istnieje metryka k¨ ahlerowska ω ∼ ω taka, e że R = Ric

ωe

.

Mamy R = Ric

_ω

+ dd

^c

η dla pewnego η ∈ C

^∞

(M ), szukamy ϕ ∈ C

^∞

(M ), t.że ω + dd

^c

ϕ > 0 oraz

det(g

_j¯_k

+ ϕ

_j¯_k

) = e

^−η+c

det(g

_j¯_k

) dla pewnej stałej c. Równoważnie:

(ω + dd

^c

ϕ)

ⁿ

= e

^−η+c

ω

ⁿ

.

Stała c jest jednoznacznie determinowana przez warunek

Z

M

e

^−η+c

ω

ⁿ

= Z

M

ω

ⁿ

.

(9)

Rozwiązanie hipotezy Calabiego jest więc równoważne udowodnieniu następującego rezultatu:

Twierdzenie (Yau, 1976). f ∈ C

^∞

(M ), f > 0, t.że Z

M

f ω

ⁿ

= Z

M

ω

ⁿ

.

Wtedy istnieje jedyne (z dokł. do stałej) ϕ ∈ C

^∞

(M ), t.że ω + dd

^c

ϕ > 0 oraz

(ω + dd

^c

ϕ)

ⁿ

= f ω

ⁿ

.

(10)

(M, ω) - zwarta rozmaitość k¨ ahlerowska

Hipoteza Calabiego (1954) Dla dowolnej (1, 1)-formy R ∼ Ric

_ω

istnieje metryka k¨ ahlerowska ω ∼ ω taka, e że R = Ric

ωe

.

H := {ω + dd

^c

ϕ : ϕ ∈ C

^∞

(M ), ω + dd

^c

ϕ > 0}

Odwzorowanie

H 3 e ω 7−→ Ric

ωe

∈ c

₁

(M ) jest bijekcją.

Wniosek. Jeżeli c

₁

(M ) = 0, to istnieje jedyna metryka

k¨ ahlerowska o znikającej krzywiźnie Ricciego.

(11)

Twierdzenie (Yau, 1976). f ∈ C

^∞

(M ), f > 0, t.że Z

M

f ω

ⁿ

= Z

M

ω

ⁿ

.

Wtedy istnieje jedyne (z dokł. do stałej) ϕ ∈ C

^∞

(M ), t.że ω + dd

^c

ϕ > 0 oraz

(ω + dd

^c

ϕ)

ⁿ

= f ω

ⁿ

. Podstawowe etapy w dowodzie:

- jednoznaczność rozwiązań;

- metoda ciągłości redukująca problem do oszacowań a priori;

- oszacowanie a priori na normę L

^∞

rozwiązania;

- oszacowanie a priori na normę C

²

rozwiązania;

- oszacowanie a priori na normę C

^2,α

rozwiązania.

(12)

Twierdzenie (Kołodziej, 1998). Załóżmy, że ϕ ∈ C

²

(M ), ω + dd

^c

ϕ ≥ 0 oraz

(ω + dd

^c

ϕ)

ⁿ

= f ω

ⁿ

.

Dla p > 1 istnieje stała C > 0, zależna od M , p oraz

||f ||

_L^p_{(M )}

, t.że

osc ϕ := sup

M

ϕ − inf

M

ϕ ≤ C.

Twierdzenie (Aubin, Yau, 1976, B., 2003, B., 2008).

Załóżmy, że ϕ ∈ C

⁴

(M ), ω + dd

^c

ϕ > 0 oraz (ω + dd

^c

ϕ)

ⁿ

= f ω

ⁿ

.

Istnieje stała C > 0, zależna od sup osc ϕ, sup f , inf f

^1/(n−1)

∆(log f ), n, sup scal, inf bisec, t.że

∆ϕ ≤ C.

(13)

Teoria Evansa-Kryłowa, 1982-1983 F (D

²

u, Du, u, x) = 0 (∂F/∂u

_jk

) > 0, F wklęsłe wzgl. D

²

u Wtedy lokalnie można oszacować normę C

^2,α

rozwiązania przy pomocy normy C

²

.

Odwzorowanie A 7→ (det A)

^1/n

jest wklęsłe na zbiorze dodatnich macierzy hermitowskich.

Twierdzenie. Niech u ∈ C

⁴

(Ω) (Ω ⊂ C

ⁿ

), (u

_j¯_k

) > 0, f := det(u

_j¯_k

). Wtedy dla Ω

⁰

⊂⊂ Ω istnieje α ∈ (0, 1) zależne od n, ||u||

_C¹_(Ω)

, sup ∆u, ||f ||

_C¹_(Ω)

, inf f , oraz C > 0 zależne w dodatku od dist(Ω

⁰

, ∂Ω), t.że

||u||

_C^2,α_(Ω⁰₎

≤ C.

(14)

Przestrzeń metryk k¨ ahlerowskich (Mabuchi, 1987) (M, ω) - zwarta przestrzeń k¨ ahlerowska

H = {ω + dd

^c

ϕ : ϕ ∈ C

^∞

(M ), ω + dd

^c

ϕ > 0}

H możemy traktować jako otwarty podzbiór C

^∞

(M ), a więc dla ϕ ∈ H przestrzenią styczną T

ϕ

H jest C

^∞

(M ). Na T

ϕ

H definiujemy normę

||ψ||

²_ϕ

:= 1 n!

Z

M

ψ

²

(ω + dd

^c

ϕ)

ⁿ

, ψ ∈ T

_ϕ

H. Długość krzywej Φ ∈ C

^∞

([1, 2], H) ⊂ C

^∞

([1, 2]×M ):

l(Φ) :=

Z

2 1

|| ˙ ϕ

_t

||

_ϕ_t

dt.

(15)

Powyższa metryka (riemannowska) na H determinuje koneksję Levi-Civity. Równanie geodezyjnej ma postać

¨ ϕ − 1

2 ||∇ ˙ ϕ||

²_ϕ

= 0.

Można pokazać (Semmes, 1993, Donaldson, 1997), że jest ono równoważne równaniu

det







˙ ϕ

₁

(g

_j¯_k

+ ϕ

_j¯_k

) .. .

˙ ϕ

_n

˙

ϕ

¯1

. . . ϕ ˙

_¯_n

ϕ ¨







= 0

(16)

Znalezienie geodezyjnej łączącej metryki ω + dd

^c

ϕ

₁

oraz ω + dd

^c

ϕ

₂

∈ H jest równoważne rozwiązaniu jednorodnego równania Monge’a-Amp` ere’a

(Ω + dd

^c

ϕ)

ⁿ⁺¹

= 0

na zwartej rozmaitości k¨ ahlerowskiej z brzegiem M × {1 ≤ |z

n+1

| ≤ 2}, gdzie

Ω := ω + dd

^c

|z

_n+1

|

²

, przy warunku brzegowym

ϕ = ϕ

_j

na M × {|z

_n+1

| = j}, j = 1, 2.

(17)

Hipotezy Donaldsona (1997):

1. Dowolne metryki ω

₁

, ω

₂

∈ H można połączyć geodezyjną klasy C

^∞

.

2. d(ω

₁

, ω

₂

) := inf{l(Φ) : Φ - krzywa łącząca ω

₁

z ω

₂

} jest metryką na H.

Twierdzenie (X.X.Chen, 2001). 1. Dowolne metryki

ω

₁

, ω

₂

∈ H można połączyć geodezyjną klasy C

^1,1

.

2. d jest metryką.

(18)

Twierdzenie (B., 2008). Załóżmy, że ϕ ∈ C

³

(M ), ω + dd

^c

ϕ > 0 oraz

(ω + dd

^c

ϕ)

ⁿ

= f ω

ⁿ

.

Istnieje stała C > 0, zależna od sup osc ϕ, sup f , sup |∇f

^1/n

|, n, inf bisec, t.że

|∇ϕ| ≤ C.

(19)

Twierdzenie (Caffarelli-Kohn-Nirenberg-Spruck, 1985).

Ω - ograniczony, gładki, silnie pseudowypukły (np.

kula) obszar w C

ⁿ

, f ∈ C

^∞

(Ω), f > 0, h ∈ C

^∞

(∂Ω).

Wtedy istnieje dokł. jedno u ∈ C

^∞

(Ω), t.że (u

_j¯_k

) > 0, det(u

_j¯_k

) = f w Ω, u = h na ∂Ω.

Przykład (Gamelin-Sibony, 1980) B = {(z, w) ∈ C

²

: |z|

²

+ |w|

²

< 1}

h(z, w) = |z|

²

−

¹₂

2

= |w|

²

−

¹₂

2

, (z, w) ∈ ∂B.

Wtedy u(z, w) = max |z|

²

−

¹₂

, |w|

²

−

¹₂

, 0

2

jest

klasy C

^1,1

(ale nie C

²

!), (u

_j¯_k

) ≥ 0, det(u

_j¯_k

) = 0 oraz

u = h na ∂B.