1
Ćwiczenia z przedmiotu:
„Teoria Sygnałów i Systemów”.
Zestaw zadań 5.
Wprowadzenie.
Schemat blokowy układu liniowego.
Układ liniowy może składać się z wielu członów, z których każdy opisany jest odpowiadającą mu transmitancją. Tego typu układy przedstawia się w postaci schematów blokowych. W każdym schemacie blokowym występują trzy rodzaje elementów podstawowych:
− człony dynamiczne, opisane transmitancją operatorową.
Dla każdego k –tego członu transformata sygnału wyjściowego jest iloczynem transformaty wymuszenia i transmitancji:
Yk( )s =Uk( ) ( )s ⋅Gk s
− węzły sumacyjne realizujące dodawanie lub odejmowanie co najmniej dwóch sygnałów. Na schemacie podaje się znak działania wykonywanego na sygnale.
− węzły zaczepowe (rozdzielcze) pozwalają na rozdzielenie sygnału i równoczesne doprowadzenie go do kilku różnych punktów układu.
2
Transmitancja zastępcza złożonego układu liniowego.
Złożony z wielu bloków układ można zastąpić układem równoważnym, w którym sygnały:
wyjściowy i wejściowy pozostają w takim samym związku. Poniżej podano podstawowe zasady przekształcania schematów blokowych.
1. Połączenie szeregowe (kaskadowe, łańcuchowe).
Odpowiedź k-tego członu jest zarazem wymuszeniem członu następnego.
Transmitancja zastępcza jest w tym przypadku iloczynem transmitancji członów składowych.
( ) ∏ ( )
=
= n
k k s G s
G
1
2. Połączenie równoległe.
Wymuszenie wszystkich członów jest jednakowe. Odpowiedź układu jest sumą algebraiczną odpowiedzi poszczególnych członów. Transmitancja zastępcza jest w tym przypadku sumą transmitancji członów składowych.
( ) ∑ ( )
=
= n
k k s G s
G
1
Działania na węzłach sumacyjnych.
Węzły sumacyjne można rozdzielić i zmienić ich kolejność, co wynika z praw przemienności i łączności względem dodawania.
3
Można także zmieniać położenie węzłów sumacyjnych na schemacie blokowym tak, jak na poniższym rysunku.
Przemieszczanie węzłów zaczepowych.
Na rysunku poniżej przedstawiono, w jaki sposób można zmienić położenie węzła
zaczepowego na schemacie blokowym tak, aby sygnały w układzie pozostały niezmienione.
Sprzężenie zwrotne.
W wielu układach występuje sprzężenie zwrotne, to znaczy sygnał wyjściowy z układu oddziałuje wstecznie na jego sygnał wejściowy. Jeśli składowa sygnału wejściowego pochodząca od sprzężenia zwrotnego dodaje się do zasadniczego sygnału wejściowego, to sprzężenie takie nazywamy dodatnim, jeśli odejmuje się, to sprzężenie zwrotne jest ujemne.
4 Jeśli uwzględni się, że:
(U Y H) G U G Y H G
G E
Y = ⋅ = ± ⋅ ⋅ = ⋅ ± ⋅ ⋅
to po przekształceniu otrzymamy:
( H G) U G
Y G H Y
Y m ⋅ ⋅ = 1m ⋅ = ⋅ a stąd transmitancja zastępcza układu jest równa:
G H G U
GZ Y
= ⋅
= 1m
Zadania.
Zadanie 1.
Obliczyć transmitancję układu, którego schemat blokowy przedstawiono poniżej. Wyznaczyć odpowiedź impulsową układu.
5 Transmitancja zastępcza układu jest równa:
( ) 5
1 2 1 5
1 −
⋅ +
+
= +
s s s s
G
Po przekształceniach dostaniemy:
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
(s )( )s s s ss ss
s
s s s s
s s s s s
G 6 5
10 21 30 5 1
5
1 5 5 5 2 5 2 1 5
5 2 2
2 3
2 3
+ +
+
−
−
= − +
+
+ +
−
= + + −
+
= +
Odpowiedź impulsowa układu, przy wymuszeniu u( ) ( )t =δ t , jest równa odwrotnej transformacie transmitancji układu.
( )t [ ]G( )s
y =L−1
Po rozłożeniu transmitancji na ułamki proste otrzymamy:
( ) 5
1 2 1 1 1 2 3 21 5 5
6
10 21 30 5
2 3
2 3
⋅ + + −
⋅
− +
− + =
+
+
−
−
= −
s s
s s
s s
s s s s
G
Odpowiedź impulsowa układu:
( )t [ ]G( )s ( )t e t e t
y =L−1 =−5⋅δ +2−1,5 − −0,5 −5
Zadanie 2.
Układ o transmitancji ( )
1 1
= + s s
G objęto pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego o
transmitancji H( )s =2 (człon proporcjonalny). Porównać odpowiedzi skokowe układu bez sprzężenia zwrotnego i ze sprzężeniem zwrotnym.
Dla układu bez sprzężenia zwrotnego transformata odpowiedzi skokowej, dla wymuszenia
( ) ( )t t
u =1 , jest równa:
( ) ( )
1 1 1 ) 1 (
1 1
− + + =
=
= G s s s s s s s
Y
6 Odpowiedź skokowa jest równa:
( )t e t
y =1− − Transmitancja układu ze sprzężeniem zwrotnym jest równa:
( ) ( )
( ) ( ) 2 13
1 1 1
1 1
1 = +
+ ⋅ +
= +
= +
s s
s s
H s G
s s G
GZ
Transformata odpowiedzi skokowej układu zamkniętego:
( ) ( )
− + + =
=
= 3
1 1 3 1 ) 3 (
1 1
s s s
s s sG s
YZ Z
Odpowiedź skokowa układu zamkniętego:
( ) ( t)
Z t e
y 1 3
3 1 − −
=
Poniżej przedstawiono przebieg wyznaczonych odpowiedzi skokowych.
Zadanie 3.
Układ o transmitancji ( )
1 1
= + s s
G objęto pętlą dodatniego sprzężenia zwrotnego o
transmitancji H( )s =2 (człon proporcjonalny). Porównać odpowiedzi skokowe układu bez sprzężenia zwrotnego i ze sprzężeniem zwrotnym.
7
Odpowiedź skokową układu bez sprzężenia zwrotnego wyznaczyliśmy w poprzednim zadaniu. Układ z dodatnim sprzężeniem zwrotnym ma transmitancję:
( ) ( )
( ) ( ) 2 11
1 1 1
1 1
1 = −
+ ⋅
−
= +
= −
s s
s s
H s G
s s G
GZ
Transformata odpowiedzi skokowej układu zamkniętego:
( ) ( )
1 1 1 ) 1 (
1 1
+ −
−
− =
=
= G s s s s s
s s
YZ Z
Odpowiedź skokowa układu zamkniętego:
( )= t−1
Z t e
y
Odpowiedź skokowa układu zamkniętego dąży do nieskończoności. Taki układ nazywamy niestabilnym.
Poniżej przedstawiono przebieg wyznaczonych odpowiedzi skokowych.
Zadanie 4.
Obliczyć transmitancję układu, którego schemat blokowy przedstawiono poniżej. Wyznaczyć odpowiedź skokową układu.
8
Dla przedstawionego wyżej układu możemy napisać następujące równanie:
( ) ( ) ( )
⋅ +
−
= 1 12
2 ,
0 s s
s Y s U s Y a stąd
( ) U( )s
s s s
Y =
+ ⋅1+ 12 2 , 0 1
Transmitancja układu jest równa:
( ) ( )
( ) 1 0,211 1 2 0,2 1
2
2
+
= + + +
=
= s s
s s
s s
U s s Y G
Transformata odpowiedzi skokowej:
( )s s(s s s ) s s s s j ss j sX( )s
Y =
− + +
= + +
= + +
= +
) 995 , 0 1 , 0 )(
995 , 0 1 , 0 ( 1 2 , 0 1
2 ,
0 2
2 2
Z tablic odczytujemy oryginał transformaty dla wyrażenia:
( )
) 995 , 0 sin(
005 , 2 1
995 , 0
995 , 0 2
1 )
995 , 0 1 , 0 )(
995 , 0 1 , 0 ( ) 1
(
1 , 0 995
, 0 995 , 0 1 , 0
) 995 , 0 1 , 0 ( ) 995 , 0 1 , 0 ( 1
t j e
e e
e
e j e
j s
j t s
x
t t
j t j t
t j t
j
⋅
− =
⋅
=
⋅ −
−
=
− + +
= +
− −
−
+
−
−
−
L−
Odpowiedź skokowa układu jest równa:
[ ]
[ 0,1 sin(0,995) cos(0,995 )]
) (
) 995 , 0 cos(
005 , 1 995 , 0 ) 995 , 0 sin(
005 , 1 1 , ) 0 ) (
( )
(
1 , 0
1 , 0 1
, 0 1
t t
e t y
t e
t dt e
t s dx sX t
y
t
t t
+
⋅
−
=
⋅
⋅ +
⋅
⋅
−
=
=
=
−
−
−
L−
9 Zadanie 5.
Obliczyć transmitancję układu, którego schemat blokowy przedstawiono poniżej.
Kolejne przekształcenia schematu pokazują rysunki.
10 Transmitancja zastępcza układu jest równa:
4 3 2 1 1 3 2 2 4 3 3
4 3 2 1
1 H GG H GG HGGGG G
G G GZ G
+ +
= +
