Een vereenvoudigd lange termijn waterkwaliteits model voor de Noordzee

vereenvoudigd

lange

termijn

waterkwaliteits

model voor

de

noordzee

projectg

roep

wakwon

waterkwaliteits

onderzoek

nóordzee

rijkswaterstaat:

directie noordzee e directie waterhuishouding

en waterbeweging

I

deltadiens

t

e

_

dienst informatie verwerking_

rijksinstituut

voor zuivering van atvalwater e

t.h. delft:

onderafdel ing der wiskunde

EEN VEREENVOUDIGD

LANG E_

TERMIJt.J

WATERKWALITEITS

MODE_L

VOOR

DE NOORDZEE

door

Ir. B~J.ALFRINK

-.

augustus

1977_

Medio 1976 werd door het specialistisch HID-CornitéVIII van de RWS de Projectgroep Waterkwaliteits Onderzoek Noordzee (WAKW)N)ingesteld. Spec. Comité VIII fungeert zelf als stuurgroep WAKVl)N.

Inde projectgroep .zijn vertegenwoordigd: de directie Noordzee,

de directie Waterhuishouding en WaterbewegingjDeltadienst, het Rijksinstituut voor Zuivering van Afvalwater en de Dienst Infonnatie Verwerkfnq,

Doel van de projectgroep is het binnen de lW) a:>5rdineren vàn en het richting geven áán alle onderzoekingen en metingen m.b.t. het rrariene

milieu en rret neme de waterkwaliteit en de daarvoor van belang zijn processen . op de Noordzee. In dit verband hebben de in de proj ectgroep sam:mwerkende ~\S-diensten o.m, tot taak: het initiëren en a:>5rdineren van de ontwikkeling, evaluatie en toepassing van ecologische waterkwaliteitsrrodellen voor de korte en lange termijn.

Deze beschrijvende en voorspellende modellen zullen een beLanqr'Ljke rol spelen bij de beleidsvoorbereidin~ en beheërsvoering inzake het

martene milieu. In concreto gaat het hierbij au de volgende praktische beleids- en beheersproblerren.

A. De ontwikkeling, het onderzoek en de evaluatie van beleids- en

beheers-al.ternat.Leven

inzake het mariene milieu (sanering waterkwaliteit, etc.). B. De behandeling van verçunninqs- c.q.ontheffingsaanvragen en de

beoor-deling van beroep- en bezwaarschriften in het kader van de op het water en de bodemvan de Noordzee gerichte nationale en internationale wetgeving. C. Het onderzoek en de advisering inzake de

groot-

en kleinschalige effecten

op het rrariene milieu van grote" "off shore" werken en activiteiten en andere ingrepen in het rrariene milieu.

toor de dt.rect.Le Waterhuishouding en Waterbeweging, de Deltadienst en de Dienst Infonnatie VeIWerkingwordt binnen de ~1S reeds veel gedaan aan de ontwikkeling en toepassing van korte termijn rrodellen (horizontaal 2-dimen-sionale getijmodellen voor de waterbeweging en stofverspreiding). Zulks vooral i.v.m. ontwerp en uitvoering van de <X>sterscheldewerken.De toepas-sing van deze rrodellen op de Noordzee (ZUKO-model)heeft dan bok als een van de belangrijkste doeleinden, het verkrijgen van goec1er'andvoorwaarden voor het Rand Delta II Mcx1elannex Scheldes model.

11

Op grond van de hiervoor anschreven doelstelling en traken. hebben de in de projectgroep WAKYDNsemenwerkendeJMS-diensten vanaf het begin

tevens bijzondere aandacht besteErl aan de ontwikkeling, evaluatie en toepassing van lange tennijn waterkwaliteitsrrodellen voor de Noordzee zelf.

I. v.rn, het gebrek aan mankracht bij de betrokken specialistische diensten is in WAKWJN-verbandcontact gezocht en verkregen met de Onder-afdeling' der Wiskundevan de TH-Delft. Mededank zij de hi.erui.t; gegroeide intensieve en tegelijk soepele samenwerkingtussen TH-Deilft en RWS,bleek het rrogelijk cm de ontwikkeling van de genoemdelange tennijn waterkwaliteits-nodellen stapsgewijs te realiseren via afstudeerprojecten. Daartoe werd uit de Onderafdeling der Wiskundevan de TH-Delft en de meest betrokken RWS-diensten een AlgemeneBegeleidingsgroep gevonnd, waarin zitting hadden: Narrens de TH-Delft: dr. ir. A.J. Hermans

"

" DIV

"

" dir. NZ

dr. K.K.Th. Kubik ir. J. Voogt

dr. ir. H.M. van Schieveen ing. W.A.A,van Eyden

De kandidaat wiskundig ingenieur B.J. Alfrink werd bereid gevonden zijn doctoraal studie te wijden aan een eerste ?pzet van een lange termijn waterkwaliteitsrrodel voor de Noordzee. Na een cerst.e algemene terrein-verkenrrinq en inventarisatie (sept. '76 - jan. '77). werd besloten tot de ontwfkkeHnq van een "vereenvoudigd horizontaal 2-dirnensionaal wiskundig nodel voor de verspreiding van passieve stoffen

op

de Noordzee

op

lange tennijn" •

Voor de in dit stadium gewenste meer frequente contacten, werd.een kleine . groep gevorrrd bestaande uit: dr. ir. A.J. Hermans, drs. N.praagman en dhr.

B.J. Alfrink van de TH~Delft resp. dr. ir. H.M. van Schieveen en ing. , ~ W.A.A. van Eyden van.IMS.

Juli 1977 voltooide de hr , Alfrink zijn studie-opdracht. De resul-taten vatte hij serren in onderhavige doctoraal-scriptie,

op

grond waarvan hij in aug. 1977 met lof het diplana Wiskundig Ingenieur behaalde aan de TH-Delft.

111

Op

gezette tijden werd aan de projectgroep WlW'l:>N

oVer

de·

voortgang

van dit studieproject

gerapporteerd. In onderling overleg tussen ing.

van Eydenen

ir.

.;J.

frink werd het afstudeerverslag

zodanig opgezet, dat

het tegelijk

als rapport van

de

projectgroep WAKVDN

kon dienen. Zie ook

de

sarrenvatting, verantwoording, inleiding en aanbevelingen aan het

begin en einde van het rapport.

Tenslotte is hier een bijzonder woordvan

dank

op

zijn plaats

aan

ir.

Alfrink,

die door zijn creatieve en constructieve inzet een

be-langrijke bijdrage heeft geleverd aan het werk van WAKhON,

zowel als

aan de samenwerkinçtussen de TH-Delft en de ~

terzake.

Namensde proj ectgroep 1'lAKWJN

de secretaris,

-2-SAMENVATTING

In dit verslag wordt een mathematisch model beschreven voor de

berekening van de verspreiding van passieve stoffen in een kustgebied op lange termijn.

Het model is gebaseerd op de massa-balansvergelijking en de continuiteits-vergelijking. Deze vergelijkingen worden geïntegreerd over de diepte

en gemiddeld over een getijperiode. Het blijkt dat met name bij de tweede middeling produkt-termen extra bijdragen geven, die niet a priori verwaarloosd mogen worden. De twee gemiddelde vergelijkingen worden gecombineerd, hetgeen resulteert in één

advectie-dispersieverge-lijking. Voor enkele eenvoudige situaties wordt een analytische oplossing van de advectie-dispersievergelijking gegeven. Deze is gebaseerd op

een constante diepte en een uniforme, mogelijk oscillerende, snelheid. Indien men rekening wil houden met de variatie van coëfficiënten in

plaats en tijd, of indien men een gebied beschouwt met grillig verlopende randen, dan is een numerieke oplossingsmethode noodzakelijk.

De vergelijking voor het lange termijn model wordt numeriek opgelost m.b.v. de eindige elementenmethode. De methode der gewogen residuen,

in het bijzonder de Galerkin methode, wordt toegepast.

Nadat met deze ruimtediskretisatie de oorspronkelijke partiële

differentiaalvergelijking gereduceerd is tot een stelsel gewone differen-tiaalvergelijkingen, wordt het stelsel m.b.v. de expliciete methode

van Euler opgelost. Het blijkt dat de berekeningen met fysisch aannemelijke waarden voor de parameters bij een tijdstap van elf uur nog stabiel zijn. De resultaten van de numerieke experimenten kunnen bevredigend genoemd worden.

VERANTWOORDING

Het onderzoek,waarvan de resultaten in dit verslag vermeld worden, is in het kader van een afstudeerwerk vanaf 1 september 1976 gedurende een jaar voor de Rijkswaterstaat verricht.

Met dank aan:

dr.ir. A.J. Hermans, afstudeerdocent van ondergetekende ing. W.A.A. van Eyden, Directie Noordzee

drs.N. Praagman, Onderafdeling der Wiskunde

ir. A. Segal, Onderafdeling der Wiskunde

dr. K.K.Th. Kubik, Dienst Informatie Verwerking

dr.ir. H.M. van Schieveen, Dienst Informatie Verwerking

Gonny Scheurkogel, Onderafdeling der Wiskunde.

-4-I

NHOUDSOPGAVE

blz

S

AMENVA

TTI

N

G

2

VERA

NTW

OO

RD

I

N

G

₃

INHOUDSOPG

AVE

4

L

IJST VAN

F

IG

UREN

6

I

INLEIDING

₇

11

MOD

E

LL

E

N

I

N

HE

T ALG

EMEE

N EN WATERKWALITEITSMODELLE

N

IN HET

BIJZONDER

11.1

Inleiding

11

.

2

Enige Algemene

M

odelaspecten

11.3

Waterkwaliteitsmodellen

9

10

14

111 AF

LE

IDING VAN D

E

V

ER

G

E

LIJKING VOOR HET LANGE TERMIJN

WATERKWALI

TE

IT

SM

ODEL

111

.

1 Inleiding

1

9

1

1

1

.

2 Het

M

iddelen van de Adve

c

tie

-

Diffusieve

r

gelijkingov

er

d

e

D

iepte

2

0

111

.

3 Het Middelen van d

e

Continuiteitsvergelijking

o

ve

r

d

e Diepte

29

111

.

4 Middelen over een Getijperi

o

de

3

0

111

.

5 Een Vereenvoudiging

39

111

.

6 Lijst van in Hoofdstuk 111

M

eest Voorkomende Symbolen

42

IV

E

NIG

E

ANALYTISCH

E

OPLOSSINGENVAN DE ADVECTIE

-

DISPERSIEVERGELIJKING

44

V

TOEPASSI

N

G VA

N

DE EI

N

DIGE EL

E

MENTENMETHODE OP DE ADVECTIE-DISPERSIE

VERGELIJKING

V

.

l

Inleiding

52

V.2

D

e Eindige

E

lementenmet

h

ode

54

V

.

3

De Opbouw van het Stelsel Differentiaalvergelijkingen

58

v

.

4

De Opbouw van de Grote

M

atrices v

i

a Elementmatrices

64

V

.

5

Oplossing van het Stelsel Differentiaalvergelijkingen

71

v.6

Waaro

m

de

E

indige Elementenmethode ?

74

VI

NUMERIEKE EXPERIMENTEN

VI.1

Inleiding

VI.2

Het in Rekening Brengen van de Bronnen

VI.3

Testberekeningen

78

79

85

CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN

99

BIJLAGEN

101

APPENDIX

126

BIBLIOGRAFIE

129

-6-LIJST VAN FIGUREN fig.

3.4.1

3.5.1

4.1

5.2.1

5.2.2

5

.

4.1

5.6.1

5.6.2

6.2.1

6.3.1

Rest- en getijbijdragen van de waterstand 1n een punt (x,y) gedurende enkele getijperioden

Reststroom in de Zuidelijke Noordzee

Spiegeling van een bron t.o.v. een geïsoleerde rand Verdeling van een gebied in elementen met de

basispunten in de hoekpunten van de elementen Lineaire basisfunctie in JR2

Standaardelement ek met hoekpunten i1, 12 en 13 Elementenverdeling van het Noordzeegebied langs de Nederlandse kust

Dieptelijnenkaart van het Noordzeegebied langs de Nederlandse kust

Voorbeeld van een bron Saliniteitsmeting 75-3

32

40

50

54

56

64

76 77

7

9

89

1 INLEIDING

In dit verslag wordt gepoogd een bijdrage te leveren aan de oplossing van het probleem inzake de vervuiling van het water, in het bijzonder dat van de Noordzee.

Helaas is dit probleem al dermate ernstig, dat een nadere explicatie ervan niet nodig is.

Menigeen heeft wel eens enige nadelige effecten ervan aan de lijve ondervonden; anderen worden er via de persmedia mee geconfronteerd. Een ieder kan uit de laatste jaren een voorbeeld noemen.

In Nederland wordt reeds jaren door verschillende instellingen en bedrijven op het gebied van de waterkwaliteitsproblematiek onderzoek verricht. Eén van die instellingen is vanzelfsprekend de Rijkswaterstaat res&rterend onder'het Ministerie van Verkeer en Waterstaat.

In de loop van

1976

is uit een aantal diensten van de Rijkswaterstaat de Projectgroep Waterkvaliteitsonderzoek Noordzee (WAKWON) samengesteld. Voorzitterschap en secretariaat van deze Projectgroep berust bij de

Directie Noordzee, die richting moet geven aan dit waterkwaliteitsonderzoek en het ook binnen de Rijkswaterstaat moet coördineren.

Als één der doelstellingen van deze Projectgroep kan genoemd worden: het verkrijgen van inzicht in de wijze waarop de verschillende stoffen zich over de Noordzee verspreiden onder invloed van emissiebronnen enerzijds, en de meteorologische, hydrodynamische, sedimer.tologische, hydrochemische en hydrobiologische processen en verschijnselen anderzijds. Dit inzicht kan o.a. verkregen worden door het toepassen van mathematische modelvorming.

Het is in dit kader dat men dit voor de Rijkswaterstaat verrichtte onder-zoek geplaatst moet zien.

O.a. op basis van de result~ten van bovengenoemde mathematische

(beschrijvende) modelvorming zal men ten behoeve van de ondersteuning van het beleid en beheer tot de ontwikkeling van voorspellende water-kwaliteitsmodellen op korte, middellange, en lange termijn moeten komen. Juist voor het beleid 1S men geïnteresseerd in de verspreiding van

stoffen op lange termijn.

In dit verslag wordt een eerste poging beschreven om tot de ontwikkeling van een lange termijn waterkwaliteitsmodel voor de Noordzee te komen.

-8-Het verslag is als volgt ingedeeld:

In hoofdstuk II worden enige algemene modelaspecten belicht.

Er

wordt van de mathematische modellen een classificatie gegeven naar methodiek.

Vervolgens zullen we het onderscheid in de typen waterkwaliteits

-modellen aangeven.

Na dit algemene hoofdstuk wordt in hoofdstuk III de vergelijking voor

het ·lange termijn waterkwaliteitsmodel afgeleid. Hierbij wordt allereerst

een middeling over de diepte toegepast, waarbij verondersteld is dat

de stoffen in deze richting min of meer uniform verdeeld z~Jn.

Aangezien men bij een lange termijn model geïnteresseerd ~s ~n de

verspreiding van stoffen over een periode in de orde van grootte van

enkele maanden, is het hier niet zinvol om variaties binnen een

getij-periode te berekenen.

Om

deze reden wordt tevens een middeling over een getijperiode toegepast.

In hoofdstuk IV worden enige analytische oplossingen van de

advectie-dispersievergelijking ge~even.

De vergelijking voor het lange termijn model wordt numeriek m.b.v.

de eindige elementenmethode opgelost, hetgeen in hoofdstuk V beschreven

wordt.

In hoofdstuk VI tenslotte worden een aantal numerieke experimenten

11 MODELLEN IN HET ALGEMEEN EN WATERKWALITEITSMODELLEN IN HET ·BIJZONDER

11.1 Inleiding

Een van de doelstellingen van het waterkwaliteitsonderzoek op de

Noordzee is het verkrijgen van inzicht in de wijze waarop stoffen zich

over de Noordzee verspreiden.

Deze verspreiding vindt plaats onder invloed van emissiebronnen enerzijds~

en anderzijds onder invloed van meteorologische~ hydrodynamische,

sedimentologische, hydrochemische en hydrobiologische processen en

verschijnselen.

Bovengenoemd inzicht kan m.b.v. een mathematisch model verkregen worden.

In zo'n model worden de verschillende processen en mechanismen door

een of meerdere differentiaalvergelijking(en) beschreven. Deze

verge-lijkingen worden dan meestal numeriek opgelost.

Een mathematisch model dat de waterkwaliteit beschrijft en~ in een

later stadium, eventueel voorspelt, noemen we in het vervolg een water

-kwaliteitsmodel.

Waterkwaliteitsmodellen dragen bij om in het milieubeheer tot een

rationele kwantitatieve afweging van alternatieve beleidsbeslissingen

te komen. Hiertoe is een koppeling met andere mathematische modellen~

zowel als met sociaal-economische modellen gewenst.

Het op deze manier ontstane modellencomplex vervult een centrale functie

in het analytische beslissingsmodel~ dat bij complexe problemen als de

beleidsvoorbereiding en het beheer inzake aquatische ecosystemen welhaast

onontbeerlijk is.

In dit hoofdstuk zullen 1n het kort en1ge algemene modelaspecten

belicht worden.

We zullen ons hierbij beperken tot de mathematische modellen~ waarvan

naar methodiek een classificatie gegeven zal worden.

Vervolgens volgen enige opmerkingen over waterkwaliteitsmodellen.

Ook hiervan geven we een classificatie~nu evenwel naar onderwerp.

Bij het schrijven van dit hoofdstuk hebben we dankbaar gebruik kunnen

maken van een tweetal artikels: Moore (1972), "data-model interactions and water quali ty control ", en Lyklema (1976) ~ "model voorstellingen ter voorspelling van de vat erkwa.Liteit" .

-10-11.2 Enige Algemene Modelaspecten

Het begrip model kan op talloze manieren gedefinieerd worden, hetgeen zich o.a. manifesteert in de verschillende methoden van onderzoek in de wetenschap.

Twee eigenschappen van modellen kunnen we 0vmerken:

(i) Een model vertegenwoordigt slechts een beperkt aantal aspecten van het gedrag van het bestudeerde systeem in de werkelijkheid. (ii) Een model kan velerlei vormen aannemen.

Iedere onderzoeker zal op zijn eigen wijze de modelvorming toepassen, teneinde zijn denkp!'cces te vergemakkelijken.

Veelal zal hij niet het model kiezen dat het best het reële systeem beschrijft, maar zal hij het meest nauwkeurige model nemen, waarmee hij nog kan manipuleren.

Dit betekent een belangrijke restrictie voor het onderzoek. Een eerste vereiste bij modelvoorstellingen is dan ook, dat expliciet de voor-onderstellinge~, die ten grondslag liggen aan het model, worden aange-geven. Uitspraken dienen slechts binnen het kader van deze vooronder-stellingen gedaan te worden.

In het algemeen kunnen modellen geclassificeerd worden ln beschrijvende en beslissings-modellen.

Beschrijvende modellen worden gebruikt om karakteristieke eigenschappen van systemen te reproduceren.

Beslissingsmodellen worden gebruikt bij de selectie van alternatieve ontwerpen of plannen.

Een beslissingsmodel maakt meestal gebruik van een of meerdere beschrijvende modellen.

Beperken we ons in het volgende tot de beschrijvende modellen, dan kunnen we hiervan noemen:

(i) schaalmodellen (ii) analoge modellen

(iii) mathematische modellen

Schaalmodellen geven het te onderzoeken systeem verkleind of vergroot weer, zodat het qua afmetingen beter geschikt is voor het doen van waarnemingen. (Postma,

1976).

Analoge modellen gaan uit van een fysisch (elektrisch of hydraulisch) analogon van het systeem, waarmee sneller simulaties verricht kunnen worden.

Mathematische modellen beschrijven het systeem met een aantal algebraïsche e~/of differentiaalvergelijkingen.

Bovengenoemd overzicht is zeker niet uitputtend en bovendien kunnen verschillende modelleringen gecombineerd worden.

We zullen in dit verslag niet ingaan op de voor- en nadelen van de desbetreffende modelleringen, maar we zullen ons beperken tot de mathematische modellen.

Mathematische modellen

Mathematische modellen z~Jn wiskundige beschrijvingen van de werkelijkheid. Ze beschrijven de relaties tussen het ing2ngssignaal en het uitgangs

-signaal. Met behulp van mathematische modellen kan in situaties, waarin een groot aantal verschillende processen op min of meer complexe wijze samenhangen, in relatief korte tijd gekwantificeerd worden, wat het effect van gewijzigde omstandigheden op het beschreven systeem zal zijn, zonder dat men het systeem zelf behoeft te verstoren.

Een dergelijke modelvoorstelling zal vanzelfsprekend de werkelijkheid voldoende nauwkeurig moeten representeren, wil het resultaat van zo'n nabootsing ook tot praktisch bruikbare conclusies kunnen leiden.

Naar methodiek kunnen de tot op heden ontwikkelde modellen op meerdere manieren gekarakteriseerd worden. Het meest in het oog springende

onder-scheid is dat tussen stochastische en deterministische modellen.

Stochastische modellen worden gebruikt in situaties waarin het toeval een grote rol speelt of waarbij geen of weinig kennis bestaat over de processen binnen het systeem, die de omvorming (transformatie) van het ingangssignaal (input) tot het uitgangssignaal (output) bepalen. In zijn eenvoudigste vorm kunnen deze modellen een manier van gegevens-verwerking zijn: uit tijdreeksanalyses is informatie over bv. seizoen

-variaties, trends of de waarschijnlijkheid van het optreden van extreme waarden te verkrijgen.

-12-Analyse van in- en uitgangssignalen met behulp van b.v. kruiscorrelaties of filtertechnieken kan echter ook leiden tot informatie over de optredende processen.

Tegenover stochastische modellen staan deterministische of intern-beschrijvende modellen.

Bij deze categorie kent men ~n beginsel wel de in het systeem optredende processen in tegenstelling tot de "hl.ack.-box"typen. Heeft men voor het ontwikkelen van stochastische modellen lange meetreeksen nodig, bij deterministische modellen vormt het vaststellen van de vorm en het aantal relaties (vergelijkingen) van de bestudeerde systeemvariabelen, dat nodig is om tot de gewenste representatie te kunnen komen, meestal de grootste moeilijkheid.

Ook het experimenteel vaststellen van de coëfficiënten en exponenten, die in deze relaties voorkomen, is vaak zeer moeilijk (parameterschatting). Voo~al bij toepassing van stochastische modellen is extrapolatie naar

situaties buiten het gebied, waarop het model geijkt is, een riskante zaak. Beperken we ons in het volgende tot deterministische modellen, dan kan o.a. naar de volgende aspecten een onderscheid gemaakt worden:

statisch - dynamisch

éen-, twee- of drie-dimensionaal discreet - analoog

enkelvoudig - gekoppeld lineair - niet lineair

Statische modellen beschouwen een systeem, waarvan de input en ook de parameters in de tijd constant zijn. Het uitgangssignaal is dan, eventueel na een ingangsverschijnsel, eveneens constant in de tijd. Hoewel de

meeste systemen dynamisch zijn, kan de grotere eenvoud van statische modellen vaak nuttige informatie geven, b.v. over gemiddelde waarden

en over de gevoeligheid voor bepaalde parameters.

Naarmate in meer richtingen variaties in systeemvariabelen voorkomen, en meer detail in de beschrijvingen gewenst is, zal het aantal dimensies toenemen. Ook de geometrie van het systeem speelt hierbij een grote rol.

Ondanks het ~eit dat ~n het algemeen de systeemvariabelen continu variëren, worden bij simulaties voornamelijk digitale rekenmachines gebruikt.

Hierbij stuit men op speci~ieke problemen uit de numerieke analyse, zoals stabiliteit, consistentie en convergentie.

Enkelvou~ige modellen bestuderen variabelen, die alleen worden beïnvloed

door de eigenschappen van het systeem en de input.

Bij gekoppelde modellen beïnvloeden variabelen elkaar wederzijds ook.

Lineair zijn modellen indien de e~~ecten van a~zonderlijke inputs gesommeerd kunnen worden om het eindresultaat te berekenen.

Vaak vat men voor een eerste benadering een niet-lineair systeem als

I

11.3

-

14-Waterkwaliteitsmodellen

Waterkwaliteitsmodellen zijn mathematische modellen, die een beschrijving geven van de waterkwaliteit als functie van plaats en/of tijd onder

invloed van één of meerdere ingangsvariabelen. Indien deze ingangs

-variabelen kunnen worden beïnvloed door de beheerder, zoals b.v. bij sanering van lozingen, spreekt men van instrumentvariabelen. Externe variabelen zoals meteorologische condities kunnen niet beheerst worden.

Waterkwaliteitsmodellen kunnen worden ingedeeld naar hun methodiek en naar hun onderwerp.

Het onderscheid naar methodiek is al in sectie 11.2 behandeld. M.b.t.

het bestudeerde onderwerp kan een indeling naar resp. fysische,

(bio-) chemische en ecologische aspecten gemaakt worden.

Dit zal in het onderstaande nader verklaard worden.

Fysische modellen

Hiertoe dienen allereerst de stromingsmodellen gerekend te worden,

die leiden tot een beschrijving van de watersnelheid en waterhoogte als functie van plaats en tijd.

Hoewel deze modellen op zichzelf geen waterkwaliteitsgegevens bevatten,

worden de resultaten van deze studies gebruikt bij de invoer van waterkwaliteitsmodellen.

Uitgangspunt voor stromingsmodellen 1S de Navier-Stokes vergelijking,

waarin afhankelijk van de omstandigheden bepaalde termen verwaarloosd kunnen worden. Zo zal in kleinschalige systemen de Coriolis-term, die de versnelling ten gevolge van de aardrotatie beschrijft, vrijwel altijd weggelaten worden.

De inpassing van een schuifspanningsterm voor wind zal in een model soms kunnen ontbreken; in veel systemen is wind echter de bepalende factor, die o.a. ook de verticale menging in het water van meren en spaarbekkens beïnvloed.

Voor een afleiding van de vergelijkingen van een stromingsmodel voor een zee of estuarium (getij- of stormvloedmodel) wordt verwezen naar het proefschrift van Leendertse

(1967).

Veelal kunnen ~e resultaten van een stromingsmodel direkt ingevoerd worden in een waterkwaliteitsmodel voor een bepaalde sto~.

Indien deze stof niet aan afbraakreacties, absorptie of dergelijke processen onderhavig is, spreken we van een conservatief materiaal. Een waterkwaliteitsmodel voor een conservatieve sto~ bevat termen voor het advectieve (letterlijk: meegevoerde) en voor het dispersieve

transport. Indien het een stof betreft, die weliswaar aan bovengenoemde processen onderhavig is, maar waarvan het e~~ect vertaald kan worden middels een "interactieterm" die slechts af'hankeLijk is van de eigen concentratie, spreken we van een passieve stof. Het waterkwaliteits-model voor een passieve stof is dus nog enkelvoudig. In dit verslag wordt een model voor passieve stof~en met een lineaire interactieterm beschreven. Daarbij wordt dan nog het onderscheid lange vs. korte termijn waterkwaliteitsmodel gehanteerd. Dit duidt op de lengte der periode waarover men simulaties c.q. voorspellingen wil doen.

Men moet hierbij denken aan de orde groottes enkele maanden vs. enkele dagen.

Een en ander zal nader uitgewerkt worden in hoofdstuk III.,

Indien de beschouwde stof zelf ook de stroming zal beïnvloeden, wordt de simulatie modeltechnisch ingewikkelder; men zal de dif~erentiaal-vergelijkingen voor stof transport en waterbeweging dan i.h.a. simultaan moeten oplossen. Deze situatie doet zich voor bij sterke gradiënten

in de zoutconcentratie, waardoor de dichtheid van het water beïnvloed wordt.

Ook de aanwezigheid van temperatuurverschillen leidt tot dichtheids-verschillen die de stroming beïnvloeden en daarmee weer het temperatuur-veld. Studie van deze groep fysische modellen is b.v. van belang voor de situering en inrichting van koelsystemen van elektrische centrales.

(Bio-)chemische modellen

Hiertoe kunnen worden gerekend de BOD-zuursto~odellen, die de directe invloed van de lozing van zuurstofbindende sto~fen op de zuurstofhuis-houding van zeeën, rivieren en meren beschrijven.

-16-Voorts modellen voor de opname van zuurstof door sedimenten en de adsorptie, desorptie en indien van belang ook omzettingen van zware metalen en voedingsstoffen als stikstof- en fosfor-verbindingen in

sedimenten.

Ook modellen voor het afsterven van darmorganismen, waarbij het gehalte aan Coli-bacteriën een maat is voor de faecale verontreiniging van oppervlaktewater, zou bij deze categorie ingedeeld kunnen worden.

Van de in deze categorie genoemde modellen zijn de BOD-zuurstofmodellen het meest bekend. De BOD (een maat voor de concentratie zuurstofbindende stoffen) zal i.h.a. afhangen van de lozingen en van de optredende

afbraakreacties.

Omgekeerd zal het zuurstofgehalte in oppervlaktewater op zijn beurt, behalve van de herbeluchting en de lozingen, weer afhangen van de BOD-concentratie.

Door deze terugkoppeling 1.Shet moeilijker om tot een juiste model-identificatie en parameterschatting te komen.

De wisselwerking tussen zwevend of gesedimenteerd slib en water is een belangrijk onderzoekgebied voor de waterkwaliteit.

Het lot van zware metalen en toxische stoffen, die de Rijn meevoert naar de Noordzee, en die via kuststromingen mogelijk ook de Waddenzee bedreigen, is in hoge mate afhankelijk van de interactie met dit slib. Daarbij spelen ook de verschillen in zoutgehalte een rol. De interactie van nutriënten met sedimenten, waarbij de aandacht zich vooral op

fosfaten richt, ondervindt toenemende aandacht vanwege de grote hoeveel-heden fosfaat die in recente jaren in de sedimenten van o.a. het

Ysselmeer zijn geaccumuleerd. De mate waarin en de omstandigheden waaronder deze fosfaten weer gemobiliseerd zouden kunnen worden bij afnemende fos-faatbelasting ten gevolge van saneringsmaatregelen is van belang voor de pogingen om de voortgaande eutrofiëring terug te dringen.

Bij deze klasse modellen z1.Jn de relaties die hierbij gelden en de factoren die hierbij een rol spelen meestal nog onvoldoende bekend om tot voor het beheer bruikbare modellen te komen.

Evenwel kunnen in het onderzoek zelf modellen, mits goed gehanteerd, behulpzaam zijn om het onderzoek te richten.

Ecologische modellen

Meer nog dan bij de hierboven genoemde modellen geldt voor ecologische systemen dat de complexiteit van het systeem vooralsnog de resultaten

van de inspanningen op dit terrein sterk beperkt.

De modellen voor aquatische ecosystemen spitsen zich toe op de algen-groei. De kennis op het gebied van groei als functie van temperatuur, lichtintensiteit en nutriëntenconcentratie heeft tot enkele beperkte successen op dit gebied geleid. Zodra echter een belangrijke invloed van graas door zoöplankton zich manifesteert en ook de diversiteit een rol gaat spelen wordt een realistische modelrepresentatie proble-matisch.

Voor een inzicht in de moeilijkheden die bij een dergelijk model kunnen optreden, wordt verwezen naar het afstudeerverslag van Postma

(1976),

waarin een mathematisch model van blauwwierbloei in het Brielse Meer beschreven wordt.

Door de systeemgrenzen te vernauwen en de weggelaten variabelen als gemeten randvoorwaarden in te voeren kunnen ook gedeelten van een model getoetst en onderzocht worden. Zo zal in een zuurstofmodel waar~n

de algen één van de dominante factoren zijn, idealiter ook een

variabele algenconcentratie meegenomen moeten worden. Door nu de gemeten algenconcentratie in te voeren wordt zo'n model aenzienlijk vereenvoudigd en kan een redelijke verificatie daarvan gerealiseerd worden.

Tot zover dit overzicht van waterkwaliteitsmodellen. Resumerend kunnen we concluderen dat met name fysische modellen in het stadium van toepas-sing bij beleids- en beheersvraagstukken verkeren.

Hiertoe dienen dan de waterkwaliteitsmodellen, eventueel gecombineerd met andere mathematische modellen, geintegreera te worden met

sociaal-economische modellen.

Het op deze wijze ontstane modellencomplex vervult een centrale functie in het analytische beslissingsmodel, dat bij complexe problemen als de beleidsvoorbereiding en het beheer inzake aquatische ecosystemen welhaast onontbeerlijk is.

Bij een beslissingsmodel vormt de formulering van een hanteerbare doel-functie meestal een groot probleem.

-18-Voogd (1977) geeft een overzicht van methoden voor het beoordelen en afwegen van alternative plannen. Hij onderscheidt hierin een viertal categorieën:

(i) financiële beoordelingsmethoden (ii) overzichtstabel - methoden (iii) participatie - methoden (iv) multicriteria - analyses

Voor een uitvoeris literatuuroverzicht wordt verwezen naar het artikel van Voogd.

Met name bij beslissingsvraagstukken waar met vele uiteenlopende criteria (doelstellingen) rekening gehouden dient te worden, kan men dankbaar gebruik maken van de vierde categorie evaluatiemethoden.

In ons land heeft Nijkamp uitvoerig onderzoek verricht op het gebied van de multicriteria-analyses.

In dit verslag zal niet verder ingegaan worden op de mogelijke evaluatie

-methoden.

M.b.t. de vierde categorie wordt verwezen naar een drietal rapporten verschenen aan de Vrije Universiteit te Amsterdam: van Delft en Nijkamp (1974), Nijkamp (1975) en van Delft en Nijkamp (1975).

In de hierna volgende hoofdstukken zullen we onze aandacht richten op de fysische waterkwaliteitsmodellen.

In het bijzonder zal een ?oging gedaan worden tot de ontwikkeling van een lange termijn waterkwaliteitsmodel voor de verspreiding van passieve

111 AFLEIDING VAN DE VERGELIJKING VOOR HET LANGE TERMIJN WATERKWALITEITSMODEL

111.1 Inleiding

Bij de afleiding van de vergelijking voor het l~~ge termijn

waterkwali-teitsmodel starten we met het opstellen van een massabalans.

Onder een aantal veronderstellingen leidt dit tot een

advectie-diffusie-vergelijking.

Aangezien we juist geïnteresseerd zijn 1n het horizontale transport, passen

we op deze vergelijking een middeling over de diepte toe (sec. 111.2).

De vergelijking voor het horizontale vlak wordt nauwkeurig afgeleid,

waarbij we gebruik maken van de regel van Leibniz en van een tweetal

voor-waarden aan het wateroppervlak en aan de bodem. De over de diepte gemiddelde

advectie-diffusievergelijking noemen we in het vervolg de

advectie-dispersie-vergelijking.

Eenzelfde procedure wordt in sec. 111.3 toegepast op de

continuiteits-vergelijking. Deze vergelijking kunnen we combineren met de

advectie-dispersievergelijking, waardoor deze in een eenvoudigervorm komt te staan.

Voordat we beide vergelijkingen combineren, wordt in sec. 111.4 een middeling

over een getijperiode toegepast.

Op

deze wijze brengen we het specifieke karakter van een lange termijn

model in rekening.

Het blijkt dat produkt-termen 1n de advectie-dispersievergelijking na deze

middeling extra bijdragen geven in de vorm van gemiddelden van produkt en

van afwijkingen van het gemiddelde.

Deze extra bijdragen mogen niet a priori verwaarloosd worden.

In sec. 111.5 wordt noodgedwongen overgegaan op een vereenvoudigde vergelijking

voor het lange termijn model.

Deze vereenvoudiging komt hierop neer, dat niet expliciet rekening gehouden

wordt met de genoemde extra bijdragen.

In dit laatste gedeelte wordt niet alleen duidelijk dat korte en lange

termijn modellen, respectievelijk modellen voor de waterbeweging en voor

de waterkwaliteit elkaar aanvullen, maar tevens dat deze gekoppeld gebruikt

kunnen worden.

Tenslotte wordt een lijst van in dit hoofdstuk meest gebruikte symbolen

-20-111.2 Het t4iddelenvan de Advectie-Diffusievergelijking over de Diepte

Als uitgangspunt nemen we de volgende massabalans voor bestanddeel Cl

ar

~+v.(ur)=Q +1 -V.(ar)+D

at - Cl a a --u Cl Cl (3.2.1)

waarin de turbulente fluctuaties al uitgemiddeld ZlJn.

Hierin is

r de over de turbulente fluctuaties gemiddelde concentratie van

Cl

bestanddeel Cl.

u de over de turbulente fluctuaties gemiddelde snelheid, met als

componenten u, v en w in de richting van resp. de x-, y- en z-as.

QCl de input van het systeem, i.e. de productiesnelheid van bestanddeel a.

I term, welke de chemische, biochemische en ecologische interacties

Cl

binnen het systeem weergeeft.

a

de migratiesnelheid van bestanddeel Cl.

-a

D de moleculaire en turbulente diffusie.

Cl

Bij de migratie moet men denken aan bewegingen die de deeltjes uit "eigen

vrije wil" uitvoeren. Te denken valt aan stijging van lichte deeltjes,

en aan sedimentatie, terwijl ln het geval van een model, dat de beweging

van kleine visjes beschrijft ook de horizontale migratie een rol speelt.

Er wordt verondersteld dat

D

geschreven kan worden als

a D Cl " ar", ar ar

=

0 (k u.) + _2_ (k~)

a

a ax x ~ ay y ay +

az

(kz

az-)

(3.2.2)

waarin k ,k en k de turbulente diffusiecoëfficiënten in de richting

x y z

van resp. de x-, y- en z-as voorstellen.

We beperken ons tot passieve stoffen, waarvan de interactieterm lineair

voorgesteld kan 'Horden:

I

=

a r

Cl Cl (3.2.3)

Hierin stelt a een willekeurige constante voor.

Teneinde I te elimineren, stellen we

a

r = c (x,t) exp( at ).

Substitueren van vgl. In

(3.2.2)

tlm

(3.2.4)

1n

(3.2.1)

en delen door exp(at) levert de volgende vergelijking-op

~+V.(uc)=

at R-V.(_OC)+2.(k ax x ax~}+2.(kay y ay~}+2.(kaz z az '~)

(3.2.5

waarin de index a weggelaten 1S, en waar1n

R = Q exp( -at)

a

(3.2.6)

Hoewel in vgl.

(3.2.5)

c formeel gezien niet de werkelijke concentratie voorstelt, zullen we in het vervolg toch over "de concentratie c" spreken.

Merk op, dat indien in het beschouwde systeem geen interactie aanwezig is (i.e. a =

0),

geldt

c - r .

a

(3.2.7)

Evenzo geldt dan

R ::

Q

a

(3.2.8)

Ve~gelijkingen

(3.2.5)

en

(3.2.1)

ZlJn dan aan elkaar gelijk.

Interactietermen welke evenredig aan de concentratie voorgesteld kunnen worden (anders gezegd: eerste orde reactie-termen), leveren, zoals men ziet, geen extra moeilijkheden op.

Verwaarloost men de migratie, dan reduceert vgl.

(3.2.5)

tot

~ + V .(~ c) at

= ~ (k ~) f- ~ (k ~) + 2. (k ~) + R

ax x ax êy y ay az z êz

(3.2.9)

Kies een horizontaal referentievlak ter hoogte van de gemiddelde waterstand. De x- en y-as van het coördinatenstelsel nemen we in dit vlak, terwijl

de z-as verticaal omhoog wijst. We voeren de volgende notatie in:

h = afstand van het referentievlak tot de bodem.

i; = waterstand boven het referentievlak (ook wel het verticale getij genoemd)

-22-De volgende relatie geldt dus

H

=

h

+ Z;; (3.2.10)

Definieer

c

=

c + ....c

,

u

=

u e + v e

₌

u + Û -x,y +x --y -X,y -X,y

A R

=

R + R

,

(3.2.11) (3.2.12) (3.2.13) waarin -1 Z;; c

=

H

_J

c dz

,

-h -1 Z;; -1 Z;; u

=

H

_J

u dz

,

v

=

H

_J

v dz -h -h -1 Z;; R

=

H

_J

R dz -h (3.2.14) (3.2.15a,b) (3.2.16)

Ten overvloede ZlJ er op gewezen dat de tweedimensionale snelheidsvector in het horizontale vlak genoteerd wordt als u

-x,y

Dit ter onderscheid van de oorspronkelijke driedimensionale snelheids-vector u.

Er geldt per definitie

Z;;

f

ê

dz

=

0, -h Z;; Z;;

f

û dz

₌

0

,

J

v

dz

=

0 -h -h Z;;

f

~ dz

=

0 -h (3.2.17) (3.2.18a,b) (3.2.19)

M.a.w., afwijkingen van het gemiddelde over de diepte, welke weer gemiddeld worden over de diepte, leveren geen bijdrage op.

Bij het integreren over de diepte maken we gebruik van de regel van Leibniz, teneinde integralen van.partiële afgeleiden m.b.t. x, y en t uit te drukken in termen van afgeleiden van integralen.

De regel van Leibniz kunnen we voor dit onderzoek als volgt formuleren: ftlsn een van de variabelen x, y of t voorstelt, dan geldt voor iedere functie F = F(x,y,z,t) r;(x ,y,t) aF a r;

f

a

(x,y,z,t)dz =

a-

f

F(x,y,z,t) dz

--h(x,y,t)

n

n -h

( ) ~

F x,y,r;:,tan

F(x,y,-h,t) an

ah

(3.2.20)

Integreren van vgl. (3.2.9) over de diepte levert bij gebruik maken

van de regel van Leibniz de volgende vergelijking op

a!

(H ë) -

[cJz=r;

~

- [cJ

ah

+ 'V .(Hu ë) +

at

z=-h

at

x,y

-x,y

r;

~

ah

ar;:

'V

f

û

...

c

dz - [u cJ

[u cJ

_{[v cJz=r;}

dX -

--x,y

-h

-x,y

z=r; ax

z=-h

ay

[v c]Z=_h

ah

+

[w cJ

dy

z=r;

[wC]z=_h

=

'"

r;

"

o

f

k ~ dz

ax

x ax

-h [k~] ~

x

dX

z=r; ax

[k

x ax z=-h

~] "h "I

r;

"

_0 + 0

f

k ~ dz

ax

ay

y ay

-h [k

~J

yayz=r;

[k

y ay z=-h

~J

ah

ay

+ [k

z dZ z=r;

~J

[k~]

z az z=-h

+ H

R

(3.2.21)

We hebben in overeenstemming met definitie (3.2.12) een tweedimensionale

horizontale gradiënt vector ingevoerd:

'V

x,y

a

=

e - + e

+x

ax

-y

ay

(3.2.22)

De kinematische randvoorwaarde aan het vrije oppervlak luidt

dr;

= ~

+

ti 'V r

=

-24-Evenzo geldt, wanneer variaties van de bodem 1n de ruimte en 1n de tijd mogelijk zijn, de volgende randvoorwaarde

dh == ah + u V h = - [wJ

dt at -X,y X,y z=-h

(3.2.24)

Maken we van voorwaarden

(3

.2.23)

en

(3.2.24)

gebruik in vgl.

(3.2.21),

dan leidt dit tot de volgende vergelijking

r;

..,t

a

(H ë) + V (H

ü

ë) + V

f

û

ê

dz

=

o x,y -X,y x,y -x,y

-h a Sr;k ~ dz - [k ~J ~ ax -h x ax x ax z=r; ax [k ~J ah a Sr;k ~ dz x ax z=-h ax + ay y ay -h [k ~ J ~ - [k ~ J ah + [k ac J [k ac + HR. y ay z=r; ay y ay z=-h ay z 'dzz=r;-

z

äZJz=-h

(3.2.25)

We zullen vervolgens twee vergelijkingen afleiden, welke de voorwaarden, dat er geen (diffusief) massatransport door het wateroppervlak en door de bodem plaatsvindt, mathematisch verwoorden.

Beschouw allereerst het wateroppervlak.

Dit oppervlak wordt door de volgende uitdrukking gegeven:

F1(x,y,z,t) = z - r;(x,y,t) = 0

(3.2.26)

De normaal in een willekeurig punt van dit oppervlak op een willekeurig tijdstip wordt gegeven door

V F

=

e (- ll.) + e (- !Ç_) + e .1

1 +x

ax

--y ay ---z

(3.2.27)

Hierin Z1Jn e~, e en e de eenheidsvectoren 1n resp. de x-, y- en z-richting . .A --y ---z

De voorwaarde dat er op ieder tijdstip door het wateroppervlak geen massatransport plaatsvindt, kan nu als volgt geformuleerd worden:

voor iedere t en voor ieder punt in het wateroppervlak z = r;geldt

V F1 [e (-k -~c) + e (-k ~) + e (-k ~)J

=

0

Uitwerken van vgl. (3.2.28) levert de volgende voorwaarde op

(3.2.29) Beschouw vervolgens de bodem.

Op dezelfde man:ler kunnen we voor dit oppervlak

F2(x,y,z,t)

=

z + h(x,y,t)

=

0 (3.2.30)

een uitdrukking afleiden, welke de voorwaarde, dat er geen massatransport door de bodem plaatsvindt, verwoordt.

Deze uitdrukking luidt, zoals men nu eenvoudig kan nagaan, als volgt

(3.2.31 )

Past men voorwaarden (3.2.29) en (3.2.31) toe in vgl. (3.2.25), dan levert dit de volgende vergelijking op

a (

_

r,;

at H c) +

v

(H

ü

ë) +

v

J

Û

x,y -x,y x,y -h -X,y

r,;

ê

dz

=....1.

J

k .QE_ dz + . ax -h x ax

a

Jr,; k ~ dz -- + HR. ay y ay -h (3.2.32)

We maken nu de volgende veronderstelling:

r,;

k

dz r,; aë

f

k

f

û

ê dz

=

H K -h x ax -h x ax r,; k

k

dz r,; aë J

f

v

ê dz

=

H K a -h y ay -h y Y

Vergelijk Holley, Harleman en Fischer (1970, pag. 1693) .

(3.2.33a)

(3.2.33b)

Er

worden ln vgl. (3.2.33a en b) dispersiecoëfficiënten K en K

geintrodu-x y

ceerd, welke naast de turbulente diffusie tevens een dispersie in het horizontale vlak vertegenwoordigen.

Deze dispersie wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van een verticale gradiënt van de horizontale snelheid gecombineerd met concentratieverschillen over de verticaal.

-26-In de literatuur wordt dit een dispersie ten gevolge van een "shear effect" genoemd.

De terminologie van een "shear effect" wordt veel gebruikt voor gelijk-soortige maar zeker niet identieke verschijnselen.

In deze context wordt het volgende bedoeld:

Bij het opstellen van een model (vergelijking) voor het beschrijven van de waterkwaliteit, zal men i.h.a. uitgaan van een driedimensionale massabalans. Doordat in een of meer richtingen de concentraties min of meer uniform

verdeeld zijn, is men niet zozeer geïnteresseerd in een beschrijving van de verspreiding van de concentraties in deze richting('.en),en men zal daarom de massabalans over die richting(en) middelen.

In een estuarium leidt dit vaak tot een eendimensionale vergelijking voor de stromingsrichting; een model voor een meer of voor een zee beschrijft meestal de verspreiding van stoffen in het horizontale vlak.

In het middelingsproces geven de kwadratische advectieve termen twee bijdragen.

De eerste ervan bestaat uit het produkt van de gemiddelden

(ü

_-x,y en

ë),

en deze vertegenwoordigt het advectieve transport door de gemiddelde stroming. De tweede bijdrage bevat het gemiddelde van het produkt van afwijkingen

(û en

ê).

-X,y

Ook dit is principieel een advectief transport. We vatten dit evenwel niet als zodanig op, maar brengen dit transport in een dispersieve term

onder.

Ruwweg komt het middelen dan ook hier op neer, dat advectieve bijdragen vertaald worden 1n een dispersief transport.

Het shear-effect in bovengenoemde vorm 1S 1n de afgelopen twintig jaar door talloze onderzoekers beschreven in pijpen, kanalen en estuaria.

De stroming was hierbij na integratie over een dwarsdoorsnede één-dimensionaal.

In al deze studies wordt o.a. ingegaan op de vorm die de

dispersie-coëfficiënt zou moeten hebben.

Dit blijkt een groot probleem te z1Jn, reden waarom sceptici de dispersie-coëfficiënt dan ook meer als een soort "vuilnisbakcoëfficiënt" beschouwen:

naar gelang er meer advectief transport uitgemiddeld wordt, zal de coëfficiënt een grotere waarde krijgen. De vraag op welke wijze dit evenwel gebeurt,

We zullen in dit verslag niet verder ingaan op bovengenoemde reoeilijkheid, maar volstaan met enkele literatuurverwijzingen: Taylor

(1953

,

1954),

Elder

(1959),

Bowden

(1965)

en Okubo

(1967)

.

Nihoul

(1972)

stelt, dat het "shear-effect" in kustgebieden een niet te verwaarlozen invloed kan hebben op de horizontale diffusie met name in de stromingsrichting.

Dit zal waarschijnlijk ook het geval zijn 1n het Zuidelijk Noordzeegebied. Substitueren we vgl.

(3

.

2

.

33

a en b) in vgl.

(3

.

2

.

32)

,

dan leidt dit tot de volgende vergelijking

""t

a

(H ë) +

v

(H

u

ë

)

o x,y -x,y

_

a

a

x

(H K

x ax

aë

)

+ _1_

ay

(H K

y ay

aë

)

+ H

R

(3.

2

.3

4

)

(vergelijk

(3.2

.

34)

met

(2

.

35)

1n Leendertse,

1970)

Definieer nu 1n overeenstemming met vgl.

(3

.2.

1

5

a,b) 1; U

=

f

u dz -h 1; =Hu,V=

f

-h v dz = H

v

,

( 3. 2 •3 5a , b) U=Ue +Ve =Hu -x -y -X,y

(3.2.36)

Merk op dat U per definitie een tweedimensionale vector is.

Het is daarom niet noodzakelijk om de notatie U te gebruiken, en -x,y

we zullen dit dan ook nalaten. Definieer tevens

H

R

=

P

(3.

2

.

3

7)

Door toepassen van vergelijkingen

(3.2

.

36)

en

(3

.

2

.

37)

in vel.

(3

.

2

.

34

)

komt de over de diepte gemiddelde advectie-diffusievergelijking uiteindelijk in de volgende vorm te staan

""ta

(H

ë)

+

v

(u

ë)

o X,y

-a

(H K ÊS.) +

...1..

(H K

a

ë

)

+ P.

ax

x ax

ay

y a

y

(

3.

2

.

38)

-28-Behalve aan de massabalans moet ook aan de continuiteitsvergelijking voldaan worden.

Het zal blijken dat we de twee vergelijkingen kunnen combineren tot

één vergelijking.

Vanzelfsprekend moet wel eerst tevens de continuiteitsvergelijking

gemiddeld worden over de diepte. Dit zullen"we in het volgende gedeelte

111.3 Het Middelen van de Continuiteitsvergelijking over de Diepte.

We kunnen op overeenkomstige wijze als bij de advectie-diffusievergelijking ook de continuïteitsvergelijking middelen over de diepte.

Als uitgangspunt nemen we de volgende vergelijking

ap a(pu) a(pv)

ät

+ dX +

ay

+

a

()z(pw)

=

0 (3.3.1)

waarin u, v en w weer de over detuibulente fluctuaties gemiddelde compo

-nenten van de snelheid, en p de dichtheid voorstellen.

We veronderstellen het water incompressibel, m.a.w. we nemen de dichtheid constant. (Hiermee veronderstellen we impliciet, dat de invloed van de

variaties in de cqncentraties van de verschillende bestanddelen op de

dichtheid te verwaarlozen iSJ

Dit leidt dan tot de volgende vergelijking

(3.3.2)

Integreren van vgl. (3.3.2) over de diepte, levert bij gebruik maken

van de regel van Leibniz

(3.2.20)

de volgende vergelijking op

_! (H ü) _u(r;;)~ - u(-h) ah + ,,\y(Ha v) _ v(r;;)~y _ v(-h) ah +

a

x

ax

êx a a ay

w(~) - w(-h)

=

0

(3.3.3)

Maken we vervolgens gebruik van de eer-der afgeleide kinematische rand

-voorwaarden aan het vrije oppervlak en aan de bodem

(

3.

2

.

23)

en

(

3

.

2

.

24

),

dan leidt dit tot de vergelijking

aH + ~ (H ü) + ~ (H v:)

=

0

at

ax

ay

(

3

.3

.

4)

Vgl.

(3

.

3

.

4)

kunnen we weer schrijven als

(

3

.3.5)

Voordat we vgl.

(3.2.38)

en

(3.3

.

5)

nu gaan combineren, passen we eerst op beide vergelijkingen een tweede middeling toe, nu over een

getijperiode. Op deze wijze brengen we het specifieke karakter van een

-30-111.4 Middelen over een Getijperiode

We zijn geïnteresseerd in de verdeling van de concentratie over een

periode in de orde van grootte van enkele maanden. Het is niet de bedoeling

om variaties binnen een getijperiode te berekenen. Dit doet men immers

juist met de korte termijn waterkwaliteitsmodellen, zoals het model

van Leendertse

(197

0

, 197

1

a en b)

Kies de getijperiode T als de karakteristieke tijd voor het lange

termijn waterkwaliteitsmodel.

Processen met een karakteristieke tijd, die groter is dan T, zullen

weinig variëren over T, en we zullen deze processen dan ook "langzaam"

variërend noemen.

De "snel" variërende processen met een karakteristieke tijd, die kleiner

is dan T, zullen veelal grillig en oscillerend van aard zijn, en zij

zullen elkaar bij benadering uitmiddelen over T.

Het gemiddelde over T van de snel variërende processen 1S m.a.w. bij

benadering gelijk aan nul.

Dit is echter niet het geval voor het gemiddelde van de amplitudes in

het kwadraat (variantie !),en dit zal in het algemeen een verspreidend

effect van concentraties tot gevolg hebben.

(Vergelijk de diffusieve werking ten gevolge van turbulente fluctuaties)

Teneinde de snel variërende processen te elimineren, zullen we een

middeling over een getijperiode T uitvoeren overeenkomstig de methode

van Krylov, Bogolioubov en Mitropolsky, welke in de literatuur wel de

K-B-M-methode genoemd wordt. (zie o.a. Nayfeh,

1973

,

Ch.5 en Nihoul,

1972

b).

Definieer de volgende langzaam 1n de tijd variërende componenten

°

1 t+T H (Et)

= -

f

H d. T t -0 t+T c (Et)

=

f

c dr

,

T t UO(Et) t+T VO(Et) 1 t+T

=

f

U d.

=

-

f

V d. T t

,

T t

,

(3

.

4.1)

(3

.

4.2)

(3.4.3a,b)

t+T

=

T

S

t K dL X t+T

=

T

f

t K dr , Y

(3

.

4.4a,b)

1 t+T T

f

p dr .

t

(3.4

.

5)

In vgl.

(3

.

4.1)

tlm

(3.4.5)

is E een kleine positieve parameter, zodat Et de "langzame tij d " iroca:stelt•

(Mitropolski,

1966)

De snel variërende componenten definiëren we nu als volgt

HO (zie ook fig.

3

.

4.1) ,

(3.4.6)

-1 c

=

c -0c

(3.4

.

7)

U1

₌

U _ uO V1

=

V - V

°

Kl

₌

_K KO Kl

₌

_K KO x x x y y y pl

=

p - pO

.

(3

.

4

.

8a,b)

(3.4

.

9a,

b) (3.4.10)

Aansluitend op vgl.

(3

.

4

.

6)

definiëren we tevens .0 _ HO h

1; - - (3.4.11)

De snel variërende componenten zullen we ook wel "getijbijdragen" noemen.

UO komt overeen met de door Nihoul en Ronday

(1975)

gedefinieerde rest-stroom. Deze is in het Noordzeegebied langs de Nederlandse kust een

orde van grootte kleiner dan de "getijstroom" Ql

De verhouding tussen langzaam en snel variërende componenten 1S 1n het

geval van concentraties heel anders. Nadat het proces zich ingesteld

heeft, zal ëO waarschijnlijk veel groter zijn dan cl, hetgèen men o.a.

kan concluderen uit de numerieke berekeningen die Harleman

(1973

,

pp.

21

-

25)

geeft.

Bij benadering gelden de volgende relaties

1

°

1 t+T 1

(~) = -

f

~

dL

=

° ,

T t

referentie-vlak I C\J (Y'l I H=h+1; H = HO

+

Z;1 HO

=

h

+

Z;O z

HO

h H

Figuur 3.4.1

Rest~ en getijbijdragen van de waterstand in een punt

(x,y)gedurende enkele getijperioden .

(verhoudingen zijn sterk vervormd weergeëeven)

z=1;

_-tijd~

-1

'0

1

t+T

_-1

(c)

= _

f

C

dL

=

0

T t

t+T

U1

(V1)0

1

t+T

(U1)0

=.!_

f

dL

=

0

= _

f

V1 dL

=

0

T t

T t

,

t+T

Kl

(K1)0

1

t+T

Kl

(K1)0

=.!_

f

dL

=

0

= _"

f

dL

=

0

X

T t

X Y

T t

Y

,

(3.4.13)

(3.4.14a,b)

(3.4.

1

5a,

b )

(3

.

4

.

16)

Substitueren we vergelijkingen (3.4

.

6) t/m (3

.

4.10) in de over de

diepte gemiddelde advectie-diffusievergelijking(3.2

.

28), dan levert

dit de volgende vergelijking op

__!

[(HO +

r;;

1)(

-

c

0

+ c

-1 )

]

+ V

CU

(0

+U

1)(-0

c

+

ë

1)]

=

at

x,y

a! [(HO +

r;;

1

)(K

0

+

K )

1

a

a

(c

-0

+

ë

1 )] +

X X X __!

[(HO +

r;;

1)

(K

O +

K

l)

__! (ë

O

+

-

c )] +

1

(pO+pl)

.

ay

y

y

ay

(3

.

4.

17

)

Vergelijking (3

.

4

.

17) gaan we middelen over de getijperiode T

.

Dit

levert bij benadering de volgende vergelijking

o

p

-34-We hebben hierbij gebruik gemaakt van de volgende veronderstellingen:

(i)

Zowel ~1als c-1 zijn bij benadering periodiek van aard met periode T. Deze veronderstelling impliceert dat het gemiddelde over T van de snel variërende componenten ~1 en

ë

1 bij benadering gelijk aan nul is. (zie ook vgl.

3.4.12

en

3.4.13)

(ii) Het gemiddelde van de overige snel v3xiërende componenten U

1,

V

1,

K

1,

x

K1

en

p1

is eveneens bij benadering gelijk aan nul. (vgl.

3.4.14

tlm

y

3.4.16)

( 1• l' 1') Dl'"e angzaam var1eren de componenten H , c , U ,0 -0 0 VO, K "K0 0 en P0

x

y

zijn bij benadering over een getijperiode T onafhankelijk van de tijd t. (vergelijk definities

3.4.1

tlm

3.4.5)

Veronderstel dit tevens voor een aantal eerste orde partiële afgeleiden van de langzaam variërende componenten, i.e. voor

aHO

aëo

aëo

aëo

ät 'ät

a;c

en

ay

(3.4.19)

Vervanging van het differentiequotiënt door de (partiële)

. 0 -0 ... .

afgele1de van H c naar de t1Jd 1S b1J benader1ng toegestaan,

. 0-0

aangez1en zowel Hals c nog slechts langzaam met de tijd variëren. Let wel dat de afgeleide naar de "langzame tijd" Et genomen wordt. In dit verslag zullen we voor het gemak één symbool voor zowel de langzame als de snelle tijd gebruiken, nl. t.

Men moet zich dan wel goed blijven realiseren, dat vgl.

(3.4.18)

het langzaam in de tijd variërende concentratieverloop over een lange termijn beschrijft.

Ter verduidelijking van het een en ander zal de middeling van een tweetal termen van vgl.

(3.4.17),

te weten

a

0

1

-0

-1

a

0

1 )(

-0

-1

at [(

H + ~ )( c + c )J_en

ax [(

U + U C + c )] ,

1n detail uitgevoerd worden, zodat de noodzaak van een aantal van de veronderstellingen (i)

tlm

(iv) aangetoond wordt.

(a)

(ai)

(aH)

(aiii)

(aiv)

(b)

1

tf+T a

(0

1)(-0

-1

T

t

aT [H

+ ~

c

+

c )]

dT

=

t+T

1

f

a

(HO -0 0 -1 1 -0

1-1

- - c + H c + ~ e + ~ e) d-r •

T

t

aT

1 [ 0 -O( ) 0 -O( )]

a

(HO e-O)

T

H

e

t+T

- Het

~ a(Et)

(veronderstelling (iv»

o

1

t+T ae1

H -

f

-

dr T t

aT

1

t+T_1

- f

e

T

t

(veronderstellingen (i) en (iii»

1

t+T"

1 1

t+T

-0 1

f

0 (

ëO) dT

= -

f

(r1 ~

+

-0 ~)

dT ~

T

t

"äT ~

Tt'"

aT

e

aT

.--0

de

at

t+T

T

f

t

1 -0 1

t+T a

1 ~ dr + C -

f

È-L dr ... T t dT ~ -0 1 1 1 e

T

ï

c

(t+T) - ~ (t)] :::::

O.

(veronderstellingen (i) en (iii»

1

tf+T a

1 -1 .1 1 -1 ) 1 -1 ) - - (~ c ) dr

= - [~

c

(t+T

- ~

c

(t ] ~

0 T t

aT

T

(veronderstelling (i»

1

t+T"

0

1

0

-1

- f

.

_0 [(u + U )(

ë

+ c )] dr

=

T

t

ax

-36-(bi) (veronderstelling (iii)) (bii)

- f

1 t+T U0-1C dT ~

T

t

o

1 tf+T_1 U - c dr ~ 0

T

t

(veronderstellingen (i) en (iii)) (biii) t+T 1-0 T

f

U C dr ~ t -0 1 t+T 1 c -

f

U dT::::: 0 T t

(veronderstellingen (i) en (ii)) (biv)

- f

1

t+T U

1 -1

C dT

=

(U

1

ë ) .

1 0

T

t

Indien men de overige termen van vgl.

(3.4.17)

op overeenkomstige w~Jze middelt over T, dan zal men merken, dat de veronderstellingen (i) tlm (iv) voldoende zijn voor het afleiden van vgl.

(3.4.18),

welke het gemiddelde concentratieverloop op lange termijn beschrijft.

We gaan nu gebruik maken van de continuiteitsvergelijking, teneinde vgl.

(3.4.18)

te vereenvoudigen.

Zoals we in sec.

I11.3

afgeleid hebben, luidt de over de diepte gemiddelde continuiteitsvergelijking als volgt

(3.3.5)

Deze vergelijking gaan we eveneens middelen over een getijperiode. Dit leidt dan bij benadering tot de volgende vergelijking.

(3.4.20)

waarbij we gebruik gemaakt hebben van de volgende veronderstellingen: (i) ~1 is bij benadering periodiek van aard met periode T.

(ii) Het gemiddelde van de snel variërende componenten U1 en V1 ~s bij benadering gelijk aan nul.

(iii) De langzaam variërende componenten UO en VO zijn bij benadering over een getijperiode

T

onafhankelijk van de tijd t.

(iv)

(3.4.21)

Het middelen verloopt op gelijksoortige wijze als bij de advectie-dispersievergelijking

Beschouw nu het linkerlid

(L.L.)

van vgl.

(3.4.18).

M.b.v. vgl.

(3.4.20)

komen HO, uO en

V

O in het linkerlid van vgl.

(3.4.18)

vóór de partiële

differentiatietekens te staan, i.e.:

L.L.

_=ät

a (_H

°

-0

_{c) +}

_{_1_}

_(UO cO) +

_1_

(VO cO)

₌

ax ay

-0

aHO HO ac

-0

-0

auO uO ac

-0

-0

avO _VO

_~=

-0

c -- + --+ C -- + -- + c -- +

at at ax ax ay ay

(3.4.22)

Zodoende luidt de vergelijking voor het gemiddelde (langzaam 1n de tijd

variërende) concentratieverloop:

_1_

(u

1 -1)0

ax c

(3.4.23)

Opmerking

Het combineren van de continuiteitsvergelijking met de

advectie-dispersie-vergelijking, voordat we middelen over een getijperiode, levert

-38-Wanneer we nu deze vergelijking gaan middelen over T, dan resulteert dit in dezelfde vergelijking als die we hierboven afgeleid hebben

(vgl.

3

.

4

.

23).

111.5 Een vereenvoudiging

Beschouw vgl. (3.4.23).

We zien daarin een aantal termen in de vorm van gemiddelden van produkt en

van afwijkingen van gemiddelden over een getijperiode.

Deze termen zijn ontstaan na middeling over een getij periode van produkten

in de oorspronkelijke advectie-dispersievergelijking.

We zien hier een analogie met het reststroommodel van Ronday

(1975).

Ook daar ontstaan na middeling extra termen. Enkele van deze termen

noemt Ronday, nadat deze gegroepeerd zijn, de "tidal stress".

Het blijkt dat de "tidal stress" een significante invloed op de rest stroom

heeft.

In zijn numerieke berekeningen krijgt Ronday, indien hij rekening houdt

met de "tidal stress" lokale cirkulaties voor de Belgische kust.

(zie fig.

5

.

5.1)

.

De aanwezigheid van deze cirkulaties verklaren o.a.

sedimentologische processen.

Ronday concludeert dan ook dat ln de berekeningen voor de rest stroom de

"tidal stress" een niet te verwaarlozen rol speelt.

De ervaring door Ronday ln zijn reststroomberekeningen opgedaan, is voor

ons reden om te veronderstellen dat de eerder genoemde extra termen ln

vgl. (3.4.23) een belangrijke rol in het lange termijn

waterkwaliteits-model kunnen spelen.

Het lijkt ons in ieder geval niet verantwoord om de termen a priori te

verwaarlozen.

Voor het bepalen van de extra termen kan een getijmodel samen met een

korte termijn waterkwaliteitsmodel gebruikt worden.

Leendertse

(1

9

70)

heeft een model ontwikkeld, waarin getijberekeningen

en berekeningen voor de waterkwaliteit (op korte termijn) gekoppeld zijn.

Aangezien Rijkswaterstaat dè beschikking heeft over de programmatuur

van dit model, ligt het voor de hand om hiervan voor het bepalen van de

extra termen in vgl. (3.4.23) gebruik te maken.

Na verloop van tijd is evenwel gebleken dat het "model Leendertse" nog

niet in een dermate operationeel stadium verkeert, dat hiermee voor ons

doel toereikende berekeningen gedaan kunnen worden.

Dientengevolge is voor dit afstudeeronderzoek besloten dat nog niet

expliciet rekening gehouden wordt met de genoemde extra termen.