ÏIIERMODYNAUISCllE GllONDSLAGEN VAN ])E ELASTICITEITSÏllROUIE
A. V c r r u i j t
1 1.. Coc|r(1 in'd en . [ B e s c l i o i n v d v / o r d i c o n c o n t i n u e v o r z a i n o l i n g v a n i d c n t i f i c c e r l j a r c p i i n t c n , d i e t e z a m e n e e n l i c h a a m vorracn„ Pc b e w e -g i n -g v a n do p u n t e n c n de v e r v o r m i n -g e n v a n h e t l i c h a a m -/.uilen w o r d e n w e e r g e g e v e n met b e h u l p v a n c a r t o s i s c l i o coördinaten ll^^,l,?>) , ^^ie f i g u u r 1 . A ^3 - E e n w i l l e k e u r i g i d e n t i f i c e e r b a a r p u n t 'P /.al op e l k t i j d s t i p h '^^andere coördinaten >C^ h e b b e n . T o r d o f i n i U o w o r d t g e s t e l d
^ " d a f de^ coördinaten v a n T op hc L ( i j d n t i p f r - o X.^^^ yA^n, ( l o l )
"'--Elk p u n t o n d e r g a a t i n p r i n c i p e .on nn<io,-o w e g i n g . Een p u n t - d a - r o p h e t t i j d s t i p b . o r o o r d i n a t o n h e e f t , h e e f t op e e n 'van e n t , w i l l e k e u r i g t i j d s t i p l' c .uS'r d U.n to n d i e a f h a n g e n ( 1 . 2 ) ^ Do.e v e r g e l i j k i n g b o s c h r i . f t d. van a l l o p u n t e n v a n •' h e t l i c h a a m .
2
Y e r K c l i i j n s e . l on EQS d e f o D i i a t i . O en .';pan)5ing lean )uen b e s c l u : i j Y ( M i d o o r ze op t o v a t t e n a l s i ' u n k t i e s v a n cn t ^
ol' d o o r x,c op t o v a t t e n a l s l ' u n ) ( t i c s v a n o n t" „ I n h e t e e r s t e g e v a l s p r e e k t men v a n e e n r u i m t e l i j k e b e s c l i r i j v i n g (men n o e m t r u i m t e l i j k e coördinaten)» I n h e t t w e e d e g e -v a l s p r o e l i t me)i -v a n e e n m a t e r i e l e b e s c l i r i j -v i n g , en men noeurt
raatoriclc coördinaten» I n h e t a l g e m e e n h e b b e n i ' y s i s c h e w e t t e n en b e g r i p p e n b e t r e k k i n g op materiële g r o o t h e d e n . V o o r het o p l o s s e n v a n v r a a g s t x i k J c e n z i j n e c h t e r de r u i m t e l i j k e coördinaten ^ v i s k u n d i g h e t b e s t b r u i k b a a r . De s n e l h e i d v a n e e n m a t e r i e e l p u n t 7^ i s de partiële a f g e l e i d e v a n de b a a n >^y^ C^^p^^) n a a r de t i j d . B i j de d i f f e r e n t i a t i e d i e n t X ^ k o n s t a n t g e h o u d e n t e w o r d e n ( h e t g a a t om de s n e l h e i d v a n e e n i d e n t i f i c e e r b a a r , o f m a t e r i e e l punt)» Men s c h r i j f t d i t a l s ( l o 3 ) w a a r b i j l i e t s y m b o o l a a n g e e f t d a t de materiële c o ö r d i -) i a t e n k o n s t a n t g e h o u d e n w o r d e n . Men s p r c e J c t v a n de iaateriële •afgeleide» I n p l a a t s v a n AS'ordt v a a k o o k e e n p u n t b o v e n de g r o o t h e i d g e b r u i k t , - . • . . (Uk) V o o r e e n A S ' i l l e k o u r i g e g r o o t h e i d F d i e met r u i m t e l i j k e coördi-n a t e coördi-n b e s c h r e v e coördi-n w o r d t , g e l d t . . • e n d u s o f , met ( l» 3 ) , I n . b o v e n s t a a n d e u i t d r u k k i n g e n i s de s o m m a t i e - c o n v e n t i e g e b r u i k t ; a l s i n e e n t e r m een i j i d e x t w e e m a a l v o o r k o m t , d i e n t o v e r d e z e
i)ul.cx gcsoniiiicoj'd t o A v o r d o i u D a t w j . l z o g g e n
V, — V
—
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—
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( 1 . 6 )€1
2 « V <•' r I'r, 0 n 1. i o - 1.11 fi cw c in ri „ Men beleend t l i e o r e n i a u i t de v c c t o r a n a l y s e i s l i e t z o g e naamde d i v e r g e n t i e t h e o r e m a . H e t s t e l t d a t v o o r een w i l l e -l -l j c r J i i i s O' een r u i m t e -l i j k v o -l u m e , c n 5 h e t o p p e r v -l a k e r v a n . V e r d e r z i j n de g r o o t h e d e n iVj_^ de c o m p o n e n t e n v a n de h a a r b u i -t e n g e r i c h -t e e e n h e i d s - n o r r a a a l - v e c -t o r op h e -t o p p e r v l a k . V o o r een b e w i j s v a n d i t t h e o r e m a z i e men een l e e r b o e k o v e r v e c t o r a n a l y s e . O p g e m e r k t moge n o g w o r d e n d a t men i n de m e e s t e l e e r -b o e k e n o v e r v e c t o r a n a l y s e g e e n i n d e x - n o t a t i e g e -b r u i k t z o a l s h i e r , maar v e c t o r - n o t a t i e . H e t t h e o r e m a s c h r i j f t men dan a l s I c e u r i g c o n t i n u d i f f e r e n t i e e r b a a r v e c t o r v e l d k. g e l d t
( 2 „ 1 )
( 2 . 2 )
I n p l a a t s v a n V. a s c h r i j f t men soms o o k w e l Men noem.t d i t de d i v e r g e n t i e v a n de v e c t o r co .
3 O n e t _ i''': 1.11 f; ] ) O r I - i 1 KM) r t; in a. \r ;i i). 11 o y n o 1 d s ^ L'lcn b e l a n g r i j k t b e o r o i n a n . i t do c o n t i n v i u i n - n i e c h a n i c a i s b e t zogenaamde tranö])ort"theorema d a t s t e l t d a t v o o r e e n v , ' i l l e k e u r i g e aan de m a t e r i e g e b o n d e n g r o o t l i e i d F g e l d t
^ Fv.
i t , cis V o o r e e n b e w i j s b i e r v a n z i e men b i j v o o r b c l d A R I S ( 1 9 6 2 ) . Een b e u r i s t i s c b e i n t e r p r e t a t i e v a n b e t t h e o r e m a i s a l s volgt» Pe g r o o t h e i d ƒ f iK^^y\:)cby h a n g t v a n de t i j d a f , d o o r d a t de i n t e g r a n d v a n de t i j d a f h a n g t en d o o r d a t h e t v o l u m e w a a r o v e r g c i n t e g r e c r d v.'ordt v a n de t i j d a f h a n g t . De t o e n a m e v a n d e z e g r o o t h e i d m e t de t i j d b e s t a a t u i t t w e e b i j d r a g e n ( z i e f i g u u r 2 ) . 2 I n e e n e l e m e n t a i r t i j d j e Ah n e e i i i t de g r o o t h e i d /" l o k a a l t o e m e t C^^'/'^h) Ab . Geïntegreerd o v e r h e t o o r s p r o n k e l i j k v o l u m e g e e f t d a t e e n b i j d r a g e t o t de t o t a l e t o e n a m e v a n de i n t e g r a a l . A n d e r z i j d s i s n a h e t t i j d j e Ah h e t v o l u m e [y g r o t e r g e w o r d e n ( i n f i g u u r 2 g e a r c e e r d ) . De g r o o t h e i d F g e i n t e g r e e r d o v e r d a t v o l u m e g e e f t e e n t w e e d e b i j d r a g e . Deze t w e e b i j d r a g e n z i j n de e e r s t e , r e s p e c t i e v e l i j k de t w e e d e t e r m u i t h e t r c c h t e r l i d v a n ( 3 J . ) . M e t b e l i u l p v a n h e t d i v e r g e n t i e - t h e o r e m a , v e r g e l i j k i n g ( 2. l ) , lean men ( 3. l ) o o k s c h r i j v e n a l s I n deze v o r ) u z a l l i e t t i ' a n s p o r t - t h c o r e m a l a ( . e r g e b r u i k t w o r d e n ._ c _ i I n de I v l a s s i o l c c m e c J i a n i c a i s e o i d c i - u i t g a n g s p u n t e n h e t p i ' i n c i ] ) e v a n h e h o u d van. massa,, Do t o t a l e m a s s a M v a n c e n c o n t i n u l i c h a a m i s , op c e n z c k c i ' t i j d s t i p t , ... ^ w a a r i n \>- l i e t r u i m t e l i j k e v o l u m e i s d a t h e t l i c h a a m op d a t t i j d s t i p i n n e e m t , e n w a a r i n ^ de m a s s a - d i c l i t h e i d i s ( m a s s a p e r e e n h e i d v a n voltune)» G e s t e l d w o r d t d a t deze m a s s a - d i c h t h e i d b e s t a a t en c o n t i n u d i f f e r e n t i e e r b a a r i s . ( D e r g e l i j k e v e r o n d e r -Q ^ s t e l l i n g e n z u l l e n v a k e r g e m a a k t w o r d e n ; m o e s t a l z a l d a t d a n n i e t e x p l i c i e t g e s t e l d w o r d e n ^ . H e t p r i n c i p e v a n b e h o u d v a n m a s s a i s n u • • {k.2) e n d u s , m e t ( 4. l ) M e t b e h u l p v a n h e t t r a n s p o r t - t h e o r e m a ( 3 . ? - ) w o r d t d i t D i t moet g e l d e n v o o r h e t g e h e l e l i c h a a m , m a a r 'ook v o o r e l k w i l l e -k e u r i g m a t e r i e e l d e e l v o l u m e . D a t l e i d t d a n t o t de c o n c l u s i e d a t ( 4 . 3 ) m o e t g e l d e n v o o r e l k w i l l e k e u r i g r u i m t e l i j k d e e l v o l u m e . D a t k a n a l l e e n a l s de i n t e g r a n d n u l i s , d u s I n b o v e n s t a a n d e v e r g e l i j k i n g b e t e k e n t l i e t s y m b o o l partiële d i f f e r e n t i a t i e n a a r de t i j d , A v a a r b i j de r u i m t e l i j k e coördinaten k o n s t a ) \ t g e h o u d e n worden» V e r g e l i j k i n g {kok) i s de l o k a l e v o r m v a n h e t p r i n c i p e v a n b e h o u d v a n m a s s a . V o o r e e n v . ' i l l e k e u r i g c a a u de m a t e r i e g e b o n d e n g r o o t h e i d A ( d i t k a n b i j v o o r b e e l d e e n v o r m v a n e n e r g i e z i j n , z o a l s k i n e t i s c h e e n e r g i e , d a n i s A .= z \ '^l- ^ g d d t n u , m e t h e t t r a n s p o r t
-t)u'OX''ciiia ( 3 » ' - )
dó'
M e t ( 4O4 ) v / o r d t d i t
De u i t d r u k k i ) ) g t v i s s o i o.ldcoladcn i s j u i s t de m a t e r i e l e a f g e -l e i d e v a n A , z i e ( -l o 5 ) o Ei^ g e -l d t dus v o o r een w i -l -l e k e u r i g e g r o o t h e i d ^ ,
4- I / f ^ ^ - ^ ^ ? ^ f P ' A ^15- ( 4. 5 )
4
&
5« E^221üihoofflu'ci. Van 111ormodynnin:i ca.„
De e e r s t e l i o o f d w e t v a a de t h e r i u a d y n a m i c a i s h e t z o g e naamde ) ) r i n c j i i e v a n b e h o u d v a n e n e r g i e . I n h e t ) i i e r b e -s c l i o m r d e g e v a l , v.'aarbij a l l e e n m e c h a n i -s c l i c en t l i e r m i -s c h e v o r m e n v a n e n e r g i e e e n r o l w o r d e n g e a c l i t t e s p e l e n , l u i d t de e e r s t e h o o f d w e t ; V o o r e e n w i l l e l c o u r i g l i c h a a m b e s t a a t e r een. t o e s t a n d s g r o o t h e i d genaamd iuv.'cndige e n e r g i e , z o d a n i g d a t de som v a n de a r b e i d op l i e t l i c h a a m v e r r i c h t e n de v/armte a a n h e t l i c h a a m t o e g e v o e g d , g e l i j k i s a a n de t o e n a m e v a n i n w e n d i g e e n k i n e t i s c h e e n e r g i e , , . Om d i t p r i n c i p e i n f o r m u l e v o r m t e b r e n g e n , m o e t w o r d e n n a g e g a a n op w e l k e m a n i e r e n a r b e i d op h e t l i c h a a m v e r r i c h t A v o r d t , o f w a r m t e e r a a n w o r d t toegevoegd» K l a s s a k r a c h t o n . . . ' • A l s op e e n m a s s a - e e n h e i d e e n u i t w e n d i g e k r a c h t w e r k t ( b . v , z w a a r t e k r a c h t ) , d a n v e r r i c h t e n d e z e k r a c h t e n p e r t i j d s -' e e n h e i d de v o l g e n d e h o e v e e l h e i d a r b e i d p p p e r v l alctcb'elasting» ' S t e l d a t op c e n o p p e r v l a k t e ds. e e n k r a c h t cU. a a n g r i j p t . De d o o r d e z e k r a c h t e n p e r t i j d s e e n h e i d v e r r i c h t e a r b e i d i s g e 1 i j k a an De o p p e r v l a k t e k r a c h t e n k u n n e n w o r d e n u i t g e d r u k t i n do s p a n n i n g e n met b e h u l p v a n de r e l a t i e s |?j ~ , De d o o r de o p p e r v l a l c l e - k r a c h t c n v c r r i c J i t e a r b e i d k a n men d u s o o k s c h r i j v e n a l s .
S i c l d a t c r e c u w a r r e t c t o c v o o r v a ) i b u i t o i a r i s , , g r o o t fv p e r e o j i l i e j d v a n massa e n p e r e c n l i e i d v a n t i j d . I n t o t a a l w o r d t dan a a n l i e t l i c h a a m ];er t i j d s e e n h e i d de voJ.gende h o e v e e l h e i d v/armto t o e g e v o e g d O W a r i r . t e s t r o o n : d o o r h e t opjlcrvlA^f,» A l s de l o h a l e w a r m t e s t r o o r a d i c h t h e i d s v o c t o r i s , dan w o r d t p e r t i j d s e e n h e i d de v o l g e n d e h o e v e e l h e i d w a r m t e aan h e t l i c h a a m t o e g e v o e g d d o o r m i d d e l v a n s t r o m i n g d o o r h e t o p p e r v l a k . W o r d t de i n w e n d i g e e n e r g i e a a n g e g e v e n m e t F e n de k i n e t i s c h e e n e r g i e m e t K , d a n g e l d t n u / op g r o n d v a n de e e r s t e h o o f d w e t v a n de t h e r m o d y n a m i c a ,
• ^:LM)..j;F^_v^i...lö^^:y^^a-,jstA,,^-jc^,n^'k . (5.1)
De i n w e n d i g e e n e r g i e k a n men s c h r i j v e n a l s w a a r i n . ^ de i n w e n d i g e - e n e r g i e - d i c h t h c i d i s . De I c i n e t i s c h e e n e r g i e k a n men s c h i ' i j v e n a l s Op g r o n d v a n ( 4 , 5 ) g e l d t n u •^CEr,.K)^'j^Cl,^v^{^^)chy '
( 5 . 2 )
i> ' • . D i t g e s u b s t i t u e e r d i n ( 5 ^ 2 ) g e e f t . D i t i s do v e r g e l i j k i n g v a n b e h o u d v a n e n e r g i e v o o r h e t l i c h a a m a l s g e h e e l , •10
6 <, l^iLJ^iLJlL'lk'i-Jl^yiiLlLi^^
})o v e r g e ] i j k i i i g ( 5 . 3 ) i " o e t a l t i j d g e l d e n . . V o l g e n s , een p r i n c D j)c a a n g e g e v e n d o o r CllEEN & R I V I / I N ( 1 9 6 4) , (x.ic o o k GllEEN & KAGIIDI ( I 9 6 5 ) ) , d a t c e n g e n e r a l i s a t i e i s v a j i h o t b e -k e n d e p r i n c i p e v a n G a l i l e i , m o o t v e r g e l i j -k i n g ( 5 < . 3 ) 0 0 k g e l d e n a l s b i j a l l e s n e l h e d e n e e n k o n s t a n t e v c l c t o r o A v o r d t o p g e t e l d e Men k a n z i c h v o o r s t e l l e n d a t ( 5 6 3 ) ook m o e t g e l d e n a l s h e t o o r s p r o n k e l i j k v a s t v e r o n d e r s t e l d e r u i m t e l i j k e c o ö r d i -n a t e -n s t e l s e l met ee-n g e l i j k m a t i g e e e -n p a r i g e s -n e l h e i d b e w e e g t . Men z e g t d a t v e r g e l i j k i n g ( 5 » 3 ) m o e t v o l d o e n a a n een o b j e k t i -v i t e i t s p r i n c i p e . E r m o e t dus g e l d e n l>- •
D-Omdat ( 5 . 3 ) z e l f o o k moet g e l d e n , v i n d t meji n u
' i f ^ ^ . ^ / . ^ = / f T / l ^ ^ ^ ' ( 6 . 1 ) M e t b e l i u l p v a n h e t d i v e r g e n t i e t h e o r e m a ( S . l ) k a n men de o p p e r -v l a k t e - i n t e g r a a l o m z e t t e n i n e e n -v o l u m e - i n t e g r a a l . D i t g e e f t , g e b r u i k makende v a n h e t f e i t d a t C^^ k o n s t a n t i s , . • D i t mioet g e l d e n v o o r h e t h e l e l i c h a a m , m a a r o o k v o o r e l k w i l l e -k e u r i g d e e l l i c h a a m , e n v o o r e l -k e A v i l l e -k e u r i g e v e c t o r D a t k a n a l l e e n a l s de u i t d r u k k i n g t u s s e n h a a k j e s o v e r a l e n a l t i j d n u l i s , . • • D i t i s de e e r s t e b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g v a n G a u c h y . A l s e r g e e n v e r s n e l l i n g e n o p t r e d e n . , r e d u c e r e n d e z e v e r g e l i j k i n g e n t o t de zogenaamde e v e n w i c h t s v c r g c l i j l c i n g e n .
7 O Pc- l ü ' i " ^ (; v e r go ] i j I c j ' i i g v a n l i c i i o u c l v ; n i c i i o r g I n de v e r g o ] J j k i n g v a n b e h o u d v a n e n e r g i e ( 5 < . 3 ) ^^un men do o p p e r v l a l v t o - i i r t c g r a l . c n o m z o t i e n i n v o l u m e - - i n t e g r a l e n m e t b e h u l p v a n h e t d i v e r g e n t i e - t h e o r e m a (2„ l ) o D i t g e e f t M e t ( 6 . 3 ) r e d u c e e r t d i t t o t Xr Omdat d i t o o k moet g e l d e n v o o r e e n w i l l e k e u r i g d e e l v o l u m e j m o e t nu. g e l d e n D i t i s de l o k a l e v o r m v a n de v e r g e l i j k i n g v a n b e h o u d v a n e n e r g i e . . ' . •
De v e r g e l i j k i n g v a n beUo\ul v a n c j j c r g i e i n o e t o n v e r a n d e r d g e l d e n a l s l i o t g e l i e l e s y s i e e n i met een k o n s t a n t c l i o e k -s n c l l i c i d om C,c o o r -s j j r o n g r o t e e r t , Dan w o r d e n de -s n e l h e d e n v e r v a n g e n d o o r v^^ 4- Q^^^^ , w a a r i n .Q')^,,^.^^ e e n w i l l e -k e u r i g e a n t i s y r a m c t r i s c h e t e n s o r i s , met -k o n s t a n t e coëiTicienten„ Dan w o r d t V,, ^ dus v e r v a n g e n d o o r V^^^g
•'''^-'Lv^ ^M^t,
cn onxlat Xj^,^ ^'^M/!' w o r d t ^ d u s v e r v a n g e n d o o r e " ^ i - f - 0™'^^'''^ ^^an n o g raoet g e l d e n , g e l d t d u s Omdat a n t i s y m m e t r i s e h i s , m a a r v e r d e r w i l l e k e u r i g , k a n men s e h r i j v o n . • w a a r i n n u v o l k o m e n w i l l e k e u r i g i s . Men v i n d t n u • o f w e l D i t m o e t g e l d e n v o o r e l k e w i l l e k e u r i g e . D a t k a n a l l e e n a l s . .. D i t n o e m t men soms de t w e e d e b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g v a n G a u c h y . Deze s t e l t d a t de s p a n n i n g s t e n s o r s j a m i i e t r i s c h i s . ,G e i i o . s i u l e e r t l w o r d t d a t do t o e s t a n d v a n ) j o t l i c l i a a n i . v e r d e r g o k a r a k t e r i . s e o r d v ; o r d t d o o r c e n g r o o t ] i e : i d S , d c . z o
-gcnaaiiide e n t r o p i e (FAST, 1959; GÜGGEK11EÏ1,!, 1 9 5 9 ) , m e t e o n
d i c h t h e i d \ , • ' 0 E r AS'ordt v e r d e r g e s t e l d d a t de v o l g e n d e o n g e l i j l c h c i d g e l d t ^
4 ^ ^- ƒ -éd.'^ f ^ i Ü ^ ^ >,o ( 9 . 2 )
Xh ^y T , 1 A l s h e t g e l i j k t e k e n g e l d t , s p r e e k t men v a n e e n r e v e r s i b e l p r o c e s . A l s h e t o n g e l i j k - t e k e n g e l d t , s p r e e k t men v a n e e n g e d e e l t e l i j k i r r e v e r s i b e l p r o c e s . M e t b e h u l p v a n ( 4 . 5 ) k a n men ( 9 ^ 2 ) o o k s c h r i j v e n a l sf ^v^do- ^ \ É Jay
[
o
L o ( 9 . 3 )
• V e r g e l i j k i n g ( 9 . 2 ) o f ( 9 . 3 ) n o e m t men de t w e e d e h o o f d w e t v a n de t h e r m o d y n a m i c a . - . . . M e t b e h u l p v a n h e t d i v e r g e n t i e - t h e o r e m a ( 2 . l ) k a n men ( 9 o 3 ) t r a n s f o r i n e r e n t o t J p i -4
^ ^ - I ^ ^ i ' f ^ - > » ( 9 . 4 ) Omdat d i t o o k m o e t g e l d e n v o o r e l k d e e l v o l u m . c , m o e t g e l d e n Cr YiT^ .^ ^^^^^ - Y ? / . V r > D i t i s de l o k a l e v o r m v a n de t w e e d e h o o f d w e t . I n d e z e v o r m v i n d t men de v e r g e l i j k i n g o n d e r a n d e r e b i j BOLEY & WEINER14
-N a a s t de j m v c n d i g o e n e r g i e , f^., cn de e n t r o p i e S
w o r d t soliis n o g een g r o o t h e i d ^ A^oor w e J k s d i c h t h e i d ,
g e l d t , d a t , h i j d e f i n i t i e , Nu g e 1 (31 e n m e t ( 7 . l ) e n (9p!5) v i n d t men n u v o o r de t w e e d e h o o f d w e t U i t g e d r u k t i n ^ w o r d t de e e r s t e h o o f d w e t {l^l) 'In ( 1 0 . 3 ) e n ( I O. 4 ) k o m t de i n w e n d i g e e n e r g i e a l s z o d a n i g n i e t m e e r v o o r . • • .
^ .1.5
-1^ » I i i £ i i L i j i i i U : l H l 2 - £ L j ] . l L L ^ l l l ^
I n p a r a g r a a f .1 .is a ] g e s t e l d d a t do co o r d i n a t e n v a n cen m a t e r i e e l puirf; a f h a n g e n v a n z i j n h e g i n c o örii i n a t e n
en de t i j d , E r v / o r d t n u i n g e v o e r d o e n g r o o t h e i d u.^^ g e d e f i n i e e r d v o l g e n s L Men n o e m t u.^^ de v e r p l a a t s i n g s v e c t o r . De s n e l h e i d s v e c t o r i s de m a t e r i e l e a f g e l e i d e e r v a n , z i e ( l . 4 ) , E r z a l n u v e r o n d e r s t e l d w o r d e n d a t de v e r p l a a t s i n g s g r a d i e n t e n ^ t e n a l l e n t i j d e z e e r k l e i n z i j n , Uj^^^ « \ • . ( U . 3 ) I n d a t g e v a l k a n men de l o k a l e v o r m v e r a n d e r i n g v o l l e d i g b e -s c h r i j v e n m e t de v o l g e n d e -s y i i m i e t r i -s c h e t e n -s o r d i e d e f o r m a t i e - t e n s o r genoem.d z a l woorden. E r g e l d t n u , a l s g e b r u i k g e m a a k t w o r d t v a n de s j T i m i e t r i e v a n de_ s p a n n i n g s t e n s o r , De b a s i s v e r g e l i j k i n g e n ( j . 0 . 3 ) e n ( l O , 4 ) w o r d e n n u , , ^ 0(0 - o'h D i t z i j n de e e r s t e t w e e h o o f d w e t t e n v a n de t h e r m i o d y n a n i c a v o o r i n f i n i t e s i m v a a l k l e i n e d e f o r m a t i e s .
,_ j, 6
-1 2 . K i i i i i t i i i i i ^ i i "
Do niC'clianiscUo l o o s i r n u l v a n ecu l i c l i a n i i i lean w o r d e n g e k a r a k i o r i s e e r d d o o r v e r s c l i i U c n d c g r o o t h e d e n , h i 3 v o o r h c e 1 d do d e f o r m a t i e s , do t e m p e r a t u u r , de d e f o r m a t i e - s n e l h e d e n , e t c . A l s de t o e s t a n d v o l l e d i g w o r d t g e k a r a k t e r i s e e r d d o o r de d e f o r m a t i e s B^^^ en de t e m p e r a t u u r T n o e m t men h e t m a t e r i a a l e l a s t i s c h . Men h e d e n k e d a t d i t b e t e k e n t d a t b i j v o o r b e e l d de s p a n n i n g e n a l l e e n a f h a n g e n v a n de t e m p e r a t u u r en de d e f o r m a t i e s , en b i j v o o r b e e l d n i e t v a n de w i j z e w a a r o p d e z e d e f o r m a t i e s t o t s t a n d z i j n g e k o m e n , e n o o k n i e t v a n de t i j d . • E r g e l d t n u e n d u s • • • S u b s t i t u t i e v a n ( l 2 . 2 ) i n de t w e e d e h o o f d w e t ( l l . ? ) g e o f t I n e e n b e p a a l d e l o k a l e t o e s t a n d ( g e k a r a k t e r i s e e r d d o o r w a a r d e n v o o r en T ) m o e t d i t a l t i j d g e l d e n . I n d i e t o e s t a n d l i g g e n 'cr^^ > '^9/'^^Lt> \ > ^ ^ P / ^ T v a s t . d o o r de d e f o r m a t i e s t^^ en de t e m p e r a t u u r T . Wat de w a a r d e n v a n t^^ ^ T c n T j ^ d a a r b i j z i j n , d o e t n i e t t e r zake." E r mag b i j v o o r b e e l d g e l d e n d a t È|.e^-:0 en T\^^o . O p d a t d a n a a n ( l 2 . 3 ) v o l d a a n i s v o o r a l l e m o g e l i j k e w a a r d e n v a n ' f ( p o s i t i e v e a l s n e g a t i e v e ) raoet g e l d e n , , . „ l t . . ( 1 2 . M Op a n a l o g e w i j z e v i n d t men • •. Met ( 1 2 .'1) en (,12.5) r e d u c e e r t ( 1 2 , 3 ) dan t o t
V o o r (.(niipora turen h o g o r dan lio t a b K o l n i o nvi.] ))uu t ( f/'O) g e l d t d a n H i e r a a n k a n K ] ( ! c l r t s w o r d e n v o l d a a n a l s t u s s e n de v e c t o r e n ' i l l e e n zelcer f u n l c t i o n e e l v e r b a n d b e s t a a t . H e t m e e s t oenvoudJ.ge v e r b a n d t u s s e n t w e e v e c t o r e n i s een l i n e a i r v e r b a n d . I n z i j n m o e s t a l g e m e n e v o r m i s d a t De t e n s o r ^1,1 n o e m t men de g e l e i d b a a r h e i d s t e n s o r . H e t v e r -b a n d ( 1 2 . 8 ) i s v o o r v e l e m a t e r i a l e n e e n g o e d e -b e n a d e r i n g ( d e w e t v a n F o u r i e r ) . Op de g e l e i d b a a r b e d e n ^ . i j n de O n s a g e r - r e l a t i c s v a n t o e p a s s i n g ( D E GROOT & M Z U R , I 9 6 2 ) Ol Oi. • ( 1 2 . 9 ) De I c w a d r a t i s c b e v o r m ^i^^^t m o e t n i e t - n e g a t i e l - d e f i n i e t z i j n , o p d a t a a n ( 1 2 . ? ) v o l d a a n w o r d t . De h o o f d w a a r d e n v a n de . ( s y m m e t r i s c h e ) g e l e i d b a a r h e i d s t e u s o r z i j n d a n n i e t - n e g a t i e f .
I B ZoEi/J r; a ] i n de v o r i g e p a r a g r a a f g e s t e l d , i s v o o r e e n e 1 a s t i s C'. ] i jr. a t e r i a a 1 d c v r i j e •- e 11 e r g i e - d i c: 1) I • h e i d f a l l e e n e e n f i i o k t i c v a n t^^ en 1 o G e s t e l d w o r d t d a t de t e m p e r a t n u r s v a r i a t i es o o k k l e i n z i j n ( / w i j k t w e i n : i g a f v a n e e n r e f e r c n t i e - t e r a p e r a t u i r r ) , e n d a t (p e e n m i n s t e n s t w e e m a a l k o n t i n u d i f f e r e n t i e e r b a r e f u n k t i e v a n
i.^^f> c n T i s . Dan k a n men, m i t s S-;,^ e n 7 - v o l d o e n d e k l e i n z i j n , Cf b e n a d e r e n d o o r de e e r s t e t e r m e n u i t e e n r e e k s -o n t w i k k e l i n g v -o l g e n s T a y l -o r . Yi'e s c h r i j v e n w a a r i n (ƒ„, ^ t f , ^ , C,^f,„„ ,/?„ C - "Og n a d e r t e b e s c h o u w e n k o n s t a n t e n z i j n . M e t b e h u l p v a n ( l 2 . 5 ) k r i j g t men n u l i e t g e e n men o o k k a n s c h r i j v e n a l s (15.2) w a a r i n -d , , ' . . ( 1 3 . 3 )
.In ( 1 3 . 2 ) z i e t men d a t Oj;^ a l s = ^ '
e n T.- „ D i t b e t e k e n t d a t C^f^ e e n initiële s p a n n i n g v o o r s t e l t . De t w e e d e t e r m i n ( l 3 o 2 ) g e e f t e e n l i n e a i r e s p a n -n i -n g s t o e -n a m e m e t de d e f o r m a t i e s . Me-n -n o e m t ^-ll^^^^, e l a s t i -c i t e i t s t e n s o r , en noemt ( 1 3 . 2 ) de g e g e n e r a l i s e e r d e Avet v a n l l o o k c . De d e r d e t e r m i n ( 1 3 . 2 ) g e e f t e e n k o p p e l i n g t u s s e n t e m p e r a t u u r e n s p a n n i n g e n w e e r . De i n t e r p r e t a t i e v a n de g r o o t l i e d e n flj^^ i s b e t e e n v o u d i g s t a a n de h a n d v a n e e n ( f i c t i e f ) p r o c e s w a a r b i j de s p a n n i n g e n n i e t v e r a n d e r e n (O]"^ ^ = Oy^^ ^
.19
-Dan ir,oo(; (ya'Ulon
S c h r i j f t mo) d i t al.s
w a a r i n o6^^^^ do z o g c n a a i i i d e u i t z o t t i n g s c o e f f i c i c n t c n z J j n , d a n g e l d t b l i j k b a a r
Be g r o o t h e d e n f f%__^ b e s t a a n d u s u i t p r o d u k t e n v a n e l a s t i s c h e coëfficiënten met uitzcttingacoëfficienten. '
V o o r v e l e m a t e r i a l e n ( i n h e t b i j z o n d e r m e t a l e n ) i s g e -b l e k e n d a t do r e l a t i e s ( 1 3 . 2 ) de s p a n n i n g e n g o e d b e s c h r i j v e n . De coëfficiënten ^U^u^. en «ï^^j^ Icunnen e x p e r i m e n t e e l b e -p a a l d w o r d e n . V o o r de & n . t r o p i e ( w a a r i n we op z i c h z e l f n i e t e r g g e -ïnteresseerd z i j n , maar d i e a l s h u l p g r o o t h e i d w e l v a n v e e l b e l a n g i s ) g e l d t , met ( l 2, 4 ) e n ( l 3 o l ) De e e r s t e h o o f d w e t ( l l, 6 ) w o r d t n u , n a e n i g c i j f e r e n , c / I n v e r b a n d m e t de b e p e r k i n g ( T - 7 ^ ^<i=i 7^ k u n n e n we d i t o o k s c h r i j v e n a l s
j C , r . ^ f t ^ j (13.7)
A l s ƒ ^ EZ O c n de t w e e d e t e r r a v e r w a a r l o o s d w o r d t , i s d i t de beleende w a r m t e - d i f f u s i e - v e r g e l i j k i n g . H e t v e r s c h i j n e n v a n de t w e e d e t e r m d u i d t op o e n k o p p e l i n g v a n de , d e f o r m a t i e m e t l i e t w a r m t e ~ t r a n s p o r t . T e r i n t e r p r e t a t i e v a j i de g r o o t h e i d k a n men z i c h e e n ( f i c t i e f ) p r o c e s d e n k e n , w a a r b i j g e e n d e f o r m a t i e s o p t r e d e n .Dc t o t a l e h o e v e o l l j c i d v/armto aan l i e t s y s t e e m t o e g e v o e g d , I S
o l ' , met h e t d i v e r g e n t i e - t h e o r e m a ( 2 , l ) en m e t ( l 2 o 8 ) ,
Met (13 o7) v i n d t men n u , a l s •= :
• • * V o o r een homogeen l i c h a a m w o r d t d i t • AS'aarin
r'^i
jf
Vr J • • i> . de g e m i d d e l d e w a a r d e v a n de t e m p e r a t u u r s t o e n a m e . B l i j k b a a r i s ' ; ƒ Q de h o e v e e l h e i d w a r m t e d i e n o d i g i s om e e n e e n h e i d v a n . v o l u m e de t e m p e r a t u u r s e e n h e i d i n t e m p e r a t u u r t e d o e n s t i j -g e n ( b i j a f w e z i -g h e i d v a n d e f o r m a t i e s ) . Men n o e m t 0^ de . s o o r t e l i j k e w a r m t e i n a f A v e z i g h e i d v a n d e f o r m a t i e s , ~ R e c a p i t u l e r e n d h e e f t men n u de v o l g e n d e v e l d v e r g e l i j -k i n g e n v o o r l i n e a i r e t h e r m o - e l a s t i c i t e i t .' er 4- E" 9 ir T) (13.10)
T e r c o m p l e t e r i n g v a n d e z e p a r a g r a a f z u l l e n e n i g e g e t a l -W a a r d e n Avorden g e g e v e n , h i j w i j z e v a n v o o r b e e l d . V o o r s t a a l- 21 g e l d t , b i j b e n a d e r i n g .3 , y 3 Dan g e l d t , i n o r d e v a n g r o o t t e , v o l g e n s ( l 3 . 5 )
j p =^ 7. é X. 10^ !<^3 /'•'^
e n d u s g e l d t t i L 0. 6 3 • • • V e r g e l i j k i n g ( l 3 . 8 ) k a n men o o k s c h r i j v e n a l s V e r w a c h t k a n w o r d e n d a t 6^^ h o o g s t e n s v a n de o r d e v a n g r o o t t e v a n T z a l z i j n , w a a r i n oC v/eer de u i t z e t t i n g s -.coëfficiënt is„ Dan i s • . • .kt e n men v i n d t d u s 0 ^ 1 B i j n o r m a l e t e m p e r a t u r e n i s d i t k l e i n ; de k o p p e l i n g k a n d a n w e l v e r w a a r l o o s d w o r d e n . De r e d e n e r i n g g a a t n a t u u r l i j k n i e t op a l s d o o r e e n o f a n d e r e o o r z a a k de deformatie-gradiënten z e e r g r o o t z i j n . D i t i s b i j v o o r b e e l d h e t g e v a l b i j z e e r snél o p t r e d e n d e d e f o r m a t i e s .
22 1 ' -L-ÜÜ' ^ ioy"'o do ƒ o r m a t i c s . S t e l d a t e r g e e n w a r m t e aan h e t s y s t e e m w o r d t t o e g e -v o e r d , d a t w i l z e g g e n d a t o -v e r a l n u l i s , en d a t l a n g s d a t g e d e e l t e v a n de r a n d waar de w a r m t e s t r o o m v e c t o r a l s r a n d -v o o r w a a r d e m o e t w o r d e n -v o o r g e s c h r e -v e n , d e z e n u l is„ S t e l v e r d e r d a t l a n g s h e t o v e r b l i j v e n d e d e e l v a n de r a n d g e g e v e n i s d a t T~T^ , en d a t de d e f o r m a t i e s zo l a n g z a a m z i j n d a t de k o p p e l i n g s t e r m i n ( l 3 . 8 ) v e r w a a r l o o s d k a n w o r d e n . Deze v e r g e l i j k i n g r e d u c e e r t dan t o t , j C / r \ e Til met a l s r a n d v o o r w a a r d e n 0^ ( 1 4 . 1 ) ( 1 4 . 2 ) f 4 It n (. I<-w a a r i n s,^ en g e d e e l t e n v a n de r a n d z i j n , d i e t e z a m e n j u i s t de g e h e l e r a n d voimen. S t e l v e r d e r d a t vi^ór h e t a a n -' b r e n g e n v a n de b e l a s t i n g de t e m p e r a t t i u r 1^ i s , d a n i s de b e g i n v o o r w a a r d e . De o p l o s s i n g v a n h e t t e m p e r a t u u r s p r o b l e e m b e s c h r e v e n d o o r de v e r g e l i j k i n g e n (l4„l) - ( l 4 . 4 ) i s e e n v o u d i g , n a m e l i j k De t e m p e r a t u u r i s c n b l i j f t dus o v e r a l k o n s t a n t . Men s p r e e k t v a n een i s o t l i e r m p r o c e s . De v e r g e l i j k i n g e n (1 3 . 1 0 ) en ( l 3. l l ) w o r d e n n u . . n.t-'ïl - ; • ; Tezamen met de r a n d v o o r w a a r d e n , b i j v o o r b e e l d ( 1 4 . 9 )
CU met de b e g j u v o o r w a a r d c n , b i jA'ooi'beeld ; U, • ( 1 4 . 1 0 ) m o e t e n de v e i ^ g e l i j l c i n g e n v/orden o p g e l o s t . Dc t e m p e r a t u i x r d o e t ex- n i e t t o e i n d i t g e v a l , Dc e l a s t i c i t e i t s t e n s o r m o e t v o l d o e n a a n de v o l g e n d e sym-m e t r i e -vooi-Avaar den E . = E _ E - E • ( i ^ i . 3 2 ) •> . D i t b e t e k e n t d a t e r v a n de 8 1 c o m p o n e n t e n v a n m a a r 2 1 o n a f h a n k e l i j k z i j n . • O p g e m e r k t moge n o g Aïorden d a t de b o v e n s t a a n d e v e r g e l i j -k i n g e n a l l e e n g e l d i g z i j n v o o r e e n i s o t h e r m p r o c e s , d a t i s : b i j z e e r l a n g z a m e b e l a s t i n g e n . I n h e t a l g e m e e n i s d a n U.;^ v e r w a a r l o o s b a a r . De v e r g e l i j k i n g e n g e l d e n v o o r s t a t i s c h e o f q u a s i - s t a t i s c h e b e l a s t i n g e n . ••
2h 15 -'^ililill5-l?Ji£iL'L-.4iLÏ^^^ A d i a b a t i s olie d e f o r m a t i e s t r e d e n op a l s de b e l a s t i n g e n zo s n e l v e r a n d e r e n d a t 'de e n t r o p i e i n d i e k o r t e t i j d n i e t . v e r a n d e r t . Dc Avaarde v a n de e n t r o p i e i s e n b l i j f t dan,.-A, z i e ( 1 3 . 6 ) . U i t ( 1 3 . 6 ) v o l g t d a n
• T - r (15.1)
D i t . i s i n o v e r e e n s t e m m i n g met de A v a r m t e - d i f f u s i e - v e r g e l i j k i n g ( 1 3. 8 ) a l s ^ L = 0 ( g e e n i n t e r n e A v a r m t e - t o e v o e r ) e n \^Ty - ~ ^ l l c = ° ( g e e n g e l e g e n h e i d v o o r Avarmte-st3."oming) . De v e r g e l i j k i n g ( 1 3. I O ) Avordt n u A e • ( 1 5 « 2 ) . A v a a r i n ' " • .• A . . ^ F . , rjc, ( 1 5 . 3 ) De b c A v e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n ( 1 3. I I ) z i j n o o k i n d i t g e v a l m a a r n u z i j n de " t r a a g h e i d s k r a c h t e n " ƒ 11^ n i e t v e r A v ^ a a r l o o s -baar» " • De o r d e v a n g r o o t t e v a n de b i j k o m e n d e t e r m i n de Avaarde v a n de elasticiteitscoëfficienten i s ( v o o r s t a a l )Ten o p z i c h t e v a n de Avaarde v a n E" (p., i >c i o" N / ) i s d i t , b i j n i e t a l t e hoge t e m p e r a t u r e n , k l e i n . . . .
- 25
9( I l e t _ l i t ' i n c . i po d c i ' v i r t u e l e f U ' L o i d . • We bescliouAven e o n c o n t i n u m a t e r i a a l w a a r i n de v e r s n e l l i n g e n %ó k l e i n z i j n , d a t de t e r m ^ oj^ i n de e v o n w i c h t s v c r g c l i j k i n g v e r w a a r l o o s d k a ) i w o r d o i . Deze v e r g e -l i j k i n g -l u i d t d a n , z i e ( -l ^ . -l -l ) % t f t . I n d e z e v e r g e l i j k i n g komen v a n de o n b e l c e n d e n a l l e e n n o g de s p a n n i n g e n v o o r . De h i e r b i j b e h o r e n d e r a n d v o o r w a a r d e i s ( 1 6 . 1 ) ( 1 6 „ 2 )'r' '-i
Tic '^^ = \ A l l e c o m b i n a t i e s v a n f u n k t i e s d i e a a n (lö.l) en ( 1 6 . 2 ) v o l d o e n , n o e m t men t o e l a a t b a r e s p a n n i n g s v e l d e n . ' A a n de a n d e r e k a n t noemen we c o m b i n a t i e s v a n f u n k t i e s U-j^ v e r p1a a t s i n g s r andvo o r w a a r de d i e v o l d o e n a a n de ( 1 6 . 3 ) t o o l a a t b a r e v e r p l a a t s i n g s v e l d e n . Nu g e l d t ^ • J t\o l l J tic w a a r i n de c o m p o n e n t e n z i j n v a n de i n f i n i t e s i m a l e d e f o r m a t i c t e n s o r V e r d e r i s op g r o n d v a n ( l 6. l ) en d u s g e l d t 0;, L, (ly^ f ^ u, cb, f( r _ 11 { + f ('F u ch-j tka
J !<• L J CL t^Lj .
t
1^
( 1 6 . 4 ) ( 1 6 . 5 )- 26
V o r g o l i j k i n g ( J 6 „ 5 ) ,„oe-t b l i j k e n s de a X l e i d i n g ) , i o r b o v e n g o l d e n v o o r e l k e c o m b i n a t i e v a n een t o e l a a t b a a r s p a n n i n g s -v e l d mot c e n t o e l a a t b a a r -verplarèings-vcld. ])e b e i d e -v e l d e n b e h o e v e n met e l k a a r g e e n e n k e l e m a t h e m a t i s c h e oi: f y s i s c h e b e t r o l c k i n g t e b e z i t t e n . . V e r g e l i j k i n g ( 1 6 . 5 ) g e l d t o o k a l s h e t s p a n n i n g s v e l d •0-^^ en h e t v e r p l a a t s i n g s v e l d il^^ met e l k a a r v e r b o n d e n z i j n m i d d e l s de een o f a n d e r e s p a n n i n g s - r e k - r e l a t i e , z o d a t d e z e v e l d e n de o p l o s s i n g v a n een b e p a a l d p r o b l e e m d e r c o n -t i m i u m - m e c h a n i c a v o r m e n . V e r g e l i j k i n g ( 1 6 . 5 ) g e l d t e v e n e e n s v o o r h e t s p a n n i n g s v e l d O^^ ' i n c o m b i n a t i e m e t h e t v e r p l a a t -s i n g -s v e l d ^^^^U^^X ^ ^ ^ ^ ^ ' i ^ ^ ^ ^ I c ec^n v a r i a t i e i -s d i e z o d a n i g i s d a t ook t t ^ e e n t o e l a a t b a a r v e r p l a a t -s i n g -s v e l d i -s . Dan raoet du-s met ( I 6. 3 )
Ar •• ( 1 6 . 6 )
B l i j k b a a r m o e t e n dus de t w e e v o l g e n d e v e r g e l i j k i n g e n g e l d e n :
1%. .\
w a a r i n
2 7 D i t i s h e t ] ) r i i i o i ] > o d e r v i i - L u e ' i e a r h e i d . H e t z e g t d a t dc , a r b e i d v e r r i c l i t d o o r dc i n w e n d i g e s p a n n i n g e n b i j e e n v a r i a t i e v a n de v e r p l a a t s i n g e n ( d i e z o d a n i g i s d a t aan de v e r p l a a t s i n g s r a n d v o o r v . ' a a r d e s t e e d s v o l d a a n i s ) g e l i j k i s a a n de b i j d i e v i r t u e l e v e r p l a a t s i n g d o o r de u i t w e n d i g e l-'rachten v e r r i c l i t o a r b e i d . We z u l l e n n u n o g een s p e c i a a l g e v a l b e s c h o u w e n , n a r a e l i j l c d a t v a n een i s o t l i e r n i e e l a s t i s c h e d e f o r m a t i e . O p g e m e r k t d i e n t t e w o r d e n d a t h e t k a r a k t e r v a n de s p a n n i ) i g s - r c k - r e l a t i e s n i e t v a n b e i a n g i s v o o r dc g e l d i g h e i d v a n (16. 8 ) , . H e t p r i n c i p e d e r v i r t u e l e a r b e i d g e l d t v o o r e l k m a t e r i a a l . ^
V o l g e n s dc b e s c l i o n w i n g e n v a n ^ ik i s v o o r een i s o -t h e r m p r o c e s de v r i j c - e n e r g i c - d i c l r L h c i d a l l e e n a f h a n k e l i j k v a n de r e l O v c n , en m o t ( l 2 . 5 ) g e l d t d u s Omdat we o n s b e p e r k e n t o t i n f i n i t e s i m a l e d e f o r m a t i e s k a n . k o n s t a n t v e r o n d e r s t e l d w o r d e n . Dan w o r d t ( 1 6 . 8 ) m e t ( l 7 o 2 ) J- ,.' li k J > k te •^1 - - i> w a a r i n ^ de v r i j e e n e r g i e v a n h e t s y s t e e m i s , ... J 1= f ƒ cp diy ( 1 7 . 4 ) O- . . • Aannemende d a t de b e l a s t i n g e n j:>^ ( o p S.^ ) e i i j ^ ( i n O' ) z o d a n i g z i j n a a n g e b r a c h t d a t l i u n we,arden n i e t v e r a n d e r e n b i j de v a r i a t i e v a n h e t v e r p l a a t s i n g s v e l d , k a n men s t e l l e n d a t ^0 • ( 1 7 . 5 ) w a a r i n (J de aogenaamde potentiële e n e r g i e i s ,
Al
D i t i s l i e t p r i n c i p e v a n s t a t i o n n a i r e potentiële e n e r g i e , l i e t b l i j k t t e g e l d e n v o o r de s t a t i c a v a n e e n e 1 a s t i s c h m a t 0 r i a a l , d a t w i l z e g g e n : v o o r e e n m a t e r i a a l z o d a n i g d a t de v r i j e e n e r g i e a l l e e n a f h a n g t v a n de d e f o r m a t i e - c o m p o n e n t e n , • M e t a n d e r e w o o r d e n : h e t p r i n c i p e v a n s t a t i o n n a i r e potentiële e n e r g i e g e l d t v o o r a l l e m a t e r i a l e n d i e z o d a n i g z i j n d a t h u n^ 2 9 m o c h i' D i i s c h c t o c K t a n d ( z o a l s b o s c l i r c v c u d o o r I j i j v o o r b o c l d do s p a i D i i n g c n ) v o l l e d i g cn e e n d u i d i g b e p a a l d z i j n d o o r de g r o o t t e ' v a n do deformatie-coüiponentoi V o o r e e n l i n e a i r e l a s t i s c h m a t e r i a a l j d e f o r m e r e n d o n d e r i s o t l i c r m e o m s t a n d i g h e d e n i s , z i e ( l 3 t l ) Z o n d e r v e r l i e s v a n a l g e m e e n h e i d k a n men de r e f e r e n t i e - w a a r d e Cp^, v a n de v r i j e e n e r g i e n u l s t e l l e n , S t e l t men o o k de initiële s p a n n i n g e n n u l , d a n w o r d t de v r i j e - e n e r g i e - d i c l i t h e i d e n d u s J kUn Li I n l i e t g e v a l z o n d e r intitiële s p a n n i n g e n r e d u c e e r t de s p a n n i n g s -r e k - -r e l a t i e ( l 4 . 6 ) t o t . • • . H i e r m e d e Avoi-.dt ( 1 7, 8 ) Men b e d e n k e d a t d i t a l l e e n g e l d t v o o r e e n l i n e a i r e l a s t i s c h m a t e r i a a l . V o o r e e n n i e t - l i n e a i r e l a s t i s c h m a t e r i a a l g e l d e n de a l g e m e n e r e l a t i e s ^ ^ j ^ifd^ ' ( 1 7 . 1 1 ) • ' f CJ>U^^) (17,12)
o r , , f l ^ ^ ' ^ ' . . (17.13)
O p g e m e r k t moge n o g w o r d e n d a t de b e p e r k i n g t o t e l a s t i s c h e m a t e r i a l e n i r r e v o r s i b i l i t o i t e n u i t s l u i t .3 0
1 8 . P r :i " c j y j j j _ v a i j s t a t i o » n ;i i i ' c c cimp 1 c]\\o 111 a i r p,_,.e2j.'^&i.2,° • I n dc t w e e v o o r g a a n d e p a r a g r a f e n z i j n p r i n c i p e s a f -g e l e i d v a n c o m b i n a t i e s v a n b e t w e r k e l i j k e s p a n n i i i -g s v e l d m e t v a r i a t i e s v a n b e t w e r k e l i j k e v e r p l a a t s i n g s v e l d . Men k a n o o k p r i n c i p e s a f l e i d e n v o o r c o m . b i n a t i e s v a n h e t w e r k e l i j k e v e r -p l a a t s i n g s v e l d mot v a r i a t i e s v a n de w e r k e l i j k e s -p a n n i n g e n . D a t g e v a l w o r d t i n d e z e p a r a g r a a f b e s c h o u w d . U i t g a n g s p u n t i s o o k i n d i t g e v a l v e r g e l i j k i n g ( 1 6 . 5 ) d i e g e l d t v o o r e l k e c o m b i n a t i e v a n e e n ( s t a t i s c h ) t o e l a a t b a a r s p a n n i n g s v e l d e n e e n ( k i n e r a a t i s c h ) t o e l a a t b a a r v e r p l a a t s i n g s -v e l d , ' Nu w o r d t b e s c h o u w d e e n w i l l e k e t i r i g d e f o r m a t i e - p r o c e s v o o r e e n U w i l l e k e u r i g m a t e r i a a l . S t e l d a t i n ( l 8 . l ) 0^^ e n h e t w e r k e l i j k e s p a n n i n g s v e l d e n h e t w e r k e l i j k e v e r p l a a t s i n g s -v e l d z i j n . De -v e r g e l i j k i n g ( l 8 . l ) g e l d t o o k -v o o r de c o m b i n a t i e v a n ^^t-l^'^^t '"^^"^ ^tu ' H i e r i n i s Sö^^ e e n v a r i a t i e v a n de s p a n n i n g e n d i e , omdat o o k 0^^ ^ t o e l a a t -b a a r s p a n n i n g s v e l d m o e t z i j n , m o e t v o l d o e n a a n de homogene v o r m e n v a n ( l 6. l ) e n ( 1 6 . 2 ) , in O- ^ 0 ^ ^ ^ « ö . • ( 1 8 . 2 ) Men k r i j g t n u , na a f t r e k k e n v a n de b e i d e v e r g e l i j k i n g e n D i t p r i n c i p e i s h e t c o m p l e m e n t v a n h e t p r i n c i p e d e r v i r t u e l e a r b e i d , v e r g e l i j l c i ) ; g ( l 6. 8 ) . . Om v o o r d i t t y p e v a r i a t i e s e e n f o r m u l e r i n g e q u i v a l e n t a a n ( l 7 . 5 ) , h e t p r i n c i p e v a n s t a t i o n n a i r e potentiële e n e r g i e , t e g e v e n w o r d t e e n n i e u w e g r o o t h e i d i n g e v o e r d , en w e l de •
zogcnuanide t i i e r m o d y j i a r a i s c l u ; p o t e n t i a a l , l l i e i - i n i s de d i c ] ) t l i e i d Van de t h e r m o d y i u u n i s c h e p o t e n t i a a l , g o d e f i n i e c i ' d v o l g e n s E r g e l d t m i , ( b i j b e n a d e r i n g , a l s de d i c b t b c i d s v a r i a t i e s g e r i n g z i j n ) De t w e e d e l i o o f d w e t v a n de t h e r m o d y n a m i c a i s , z i e (ll„7)> Met (l8„7) h a n men d i t o o k s c b r i j v e n a l s A l s de t h e r m o d y n a n i i s c h e i s o t e n t i a a l ' \ ] / e e n t o e s t a n d s -g r o o t h e i d i s d i e u i t s l u i t e n d a f h a n -g t v a n Ü^^^ e n r , d a n g e l d t S u b s t i t u t i e h i e r v a n i n ( l 8 < , 9 ) g e o f t Op d e z e l f d e m a n i e r a l s i n p a r a g r a a f 12 v i n d t men h i e r u i t ( 1 8 J . 3 )
B i j e o i iüotJjcrii! j i r o c o s i s a l l e e n de v a r i a t i e v a n ^^' m o t de s ] ) a n n i n g e n v a n b e l a n g . S u b s t i t n t i e v a n (l8„lj) i n {iSJi) g e e f t n u cr ... . o f w e l " 7 i ' 4 " K e ^ ^ - j h t 'fk^-' ^2 Men k a n d i t o o k s c h r i j v e n a l s :^ O >. ( 1 8. 1 5 ) w a a r i n V de zogenaamde c o m p l e m e n t a i r e e n e r g i e i s , ' -V e r g e l i j k i n g ( I 8. I 5 ) i s h e t b e g i n s e l v a n s t a t i o n n a i r e c o m p l e m e n -t a i r e e n e r g i e . , • Men h e d e n k e d a t h e t i n d e z e p a r a g r a a f v a r i a t i e s v a n h e t s p a n n i n g s v e l d b e t r e f t e n n i e t , z o a l s i n de v o r i g e p a r a g r a f e n , v a r i a t i e s v a n h e t v e r p l a a t s i n g s v e l d . I n h e t b i j z o n d e r e g e v a l v a n e e n l i n e a i r e l a s t i s c h m a t e r i a a l was g e v o n d e n , z i e (l7<,7) en ( l 7 . 9 ) , S - f - é % f H . n h A
0.
•
kt ^ IcfnAiA. >V1K O m g e k e e r d g e l d t n u " • • • e n men k a n d\xs ook s c h r i j v e n H i e r u i t v o l g t • Q • E , n0^
en d u s ' • ' © ' ^LC " f ( 1 8. 1 7 )- 70 "In d i t h i j z o n d e r o g e v a l ( v a n een l i n e a i r e l a s t i c l i m a t e r i a a l ) b l i j l c i . de v r i j e c n o j g i e j u i s t g e l i j l i t e / , i j n aan b e t t e g c i n g e s t e l d e v a n de Miej'modynai;iJ s c b c . p o t e n t i a a l . , ( e v o r t u e e l a i ' g o -z i e n v a n een k o j i ; ; t a n t e ) , -z i e ( l 8 . l l ) en ( 1 8 . 1 ? ) . P i t v o l g t ook d i r e k t u i t ( j S . G ) omdat v o o r c e n l i n e a i r e l a s t i s c h m a t e r i a a l ^ ~ J ^kl ^^d ' ^ v i n d t men dan j u i s t h e t t e g e n g e s t e l d e .
34
19. L i t o r a i
MUS, l U , V e c t o r s , t e n s o r s a n d t h e b a s i c e q u a t i o n s o f f l u i d
w o c l i a n i c s , P r e n t i c e - l l a l l , L o n d o n , I 9 6 2 .
BOLEY, B.A., a n d WEINER, J.H. , T ] , e o r y o f t h e r m a l s t r e s s e s , W i l e y , New York,' 196O.
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