Będziemy przyjmować orientację dodatnią (przeciwną do ruchu wskazówek zegara) układu współrzędnych

Geometria analityczna

Geometria analityczna w przestrzeni R²

Rozpatrujemy na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych. Punkt O(0,0) jest początkiem tego układu. Będziemy przyjmować orientację dodatnią (przeciwną do ruchu wskazówek zegara) układu współrzędnych.

Punkty płaszczyzny utożsamiamy z ich współrzędnymi w tym układzie, czyli parami liczb rzeczywistych, są to więc elementy przestrzeni R². Dowolny punkt P wyznacza wektor swobodny OP.

Wektor swobodny u PQ w przestrzeni R² wyznaczony przez punkty P(x1, x2), Q(y1, y2), ma współrzędne u₁  y₁x₁, u₂  y₂x₂ i będziemy stosować zapis u u₁, u₂.

Wektory ^e₁^ ^{1,0, e}₂ ^ ^0,1 nazywamy wersorami (wektorami jednostkowymi).

Odległość między punktami P(x1, x2), Q(y1, y2), w tej przestrzeni liczymy wg wzoru:

     















2

1

2 2

2 2 2 1

) 1

, (

i

i

i y

x y

x y

x Q

 P

Normą (długością) wektora ^{u }^u₁^{, u}₂ nazywamy liczbę:

 









2

1 2 2

2 2 1

i

ui

u u u

Iloczyn skalarny wektorów u u₁, u₂, v v₁, v₂

2 2 1 1 2

1

v u v u v u u, v

i i

i  





 



Dla niezerowych wektorów u, v możemy wyznaczyć cosinus kąta  między tymi wektorami v

v u u

v u v u v

u u, v

2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 1

cos 1





 



 



Niezerowy wektor u tworzy z osiami układu współrzędnych kąty 1, 2, których cosinusy nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora u i wyznaczamy na podstawie wzorów

u u

u u

u

2 2 2 1 1 1

cos 1





  ,

u u

u u

u

2 2 2 1 2 2

cos 2





 

Niezerowe wektory u, v są wzajemnie (prostopadłe) ortogonalne wtedy i tylko wtedy gdy <u, v> = 0.

Ponieważ elementy przestrzeni R² można utożsamiać z wektorami swobodnymi, to zbiór wektorów swobodnych z powyższym iloczynem skalarnym jest przestrzenią euklidesową. Wersory

 ^1,0, ₂  ^0,1

1  e 

e stanowią w niej bazę ortonormalną.

Niezerowe wektory u u₁, u₂, v v₁, v₂ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy e1

P

Q

u1

u2

u

y1

y2

x2

x1

e1

e2

0

2 2

1

1 

v u

v

u .

co jest równoważne warunkowi

2 2 1 1

v u v u 

Przy czym jeśli w mianowniku jest zero to w liczniku też powinno być zero.

Współrzędne punktu Cc1, c2 dzielącego odcinek o końcach Aa1, a2, Bb1, b2 w stosunku k,

tzn. k

CB AC

 obliczamy z wzorów

k kb c a

k kb c a



 



 

, 1 1

2 2 2 1 1 1

Trójkąt o wierzchołkach Aa1, a2, Bb1, b2, Cc1, c2 ma pole





















 

1 1 1 2

1

2 1

2 1

2 1

c c

b b

a a P ABC det

Zatem punkty A, B, C leżą na jednej prostej gdy

0 1 1 1

2 1

2 1

2 1























c c

b b

a a det

Prosta w R²

Elementy przestrzeni R² będziemy traktować jako pary liczb (x, y) i nazywać punktami.

Równanie ogólne prostej.

Ax + By + C = 0 Uwaga

Wektor A,B jest prostopadły do tej prostej i nazywa się, wektorem normalnym.

Odległość punktu P(x0, y0) od prostej Ax + By + C = 0 wynosi

2 2

0 0

B A

C By d Ax





 

Kąt (ostry) między prostymi A1x + B1y + C1 = 0 i A2x + B2y + C2 = 0 wyznaczamy na podstawie cosinusa kąta między ich wektorami normalnymi

2 2 2 2 2 1 2 1

2 1 2

cos 1

B A B A

B B A A





 



Równanie kierunkowe prostej

y = mx + b m - współczynnik kierunkowy

Współczynnik m jest równy tangensowi kąta , który ta prosta tworzy z dodatnim kierunkiem osi Ox.

Dwie proste w postaci kierunkowej y = m1x + b1 i y = m2x + b2 są:

a) równoległe gdy

2

1 m

m  b) prostopadłe gdy

2 1

1m  m

Kąt miedzy nimi wyznaczamy na podstawie wzoru na tangens różnicy kątów

2 1

1 2

tg 1

m m

m m



 



Równanie prostej przechodzącej przez punkty (x1, y1), (x0, y0)

 ₀

0 1

0 1

0 x x

x x

y y y

y 



 



Równanie parametryczne prostej

R y t

bt y

x at

x 













0 0

Powyższa prosta przechodzi przez punkt (x0, y0) a wektor a,b wyznacza kierunek tej prostej.

Równanie odcinkowe prostej

1



b y a

x

(a, 0), (0, b) to punkty przecięcia tej prostej z osiami układu współrzędnych Zbiory wypukłe w R²

Zbiór W jest wypukły jeśli dla dowolnych x, y  W i dowolnego c  [0, 1] również cx + (1 - c)y  W

Zatem zbiór jest wypukły jeśli dla każdych dwóch różnych punktów należących do tego zbioru, należy do niego cały odcinek którego końcami są te punkty.

Część wspólna zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Przykład

Koło - zbiór wypukły,

Okrąg - nie jest zbiorem wypukłym, Prosta - zbiór wypukły,

Para przecinających się prostych - nie jest zbiorem wypukłym, Półpłaszczyzna - zbiór wypukły,

Zauważmy, że zbiór rozwiązań układu nierówności liniowych jest albo zbiorem pustym albo zbiorem wypukłym (ograniczonym lub nieograniczonym).

Powyższa własność wynika stąd, że zbiorem rozwiązań układu nierówności liniowych jest część wspólna półpłaszczyzn będących rozwiązaniami poszczególnych nierówności oraz własności: część wspólna zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Kwadryki w R²

Niepusty podzbiór K R² jest kwadryką jeśli dla pewnej formy kwadratowej f(x, y) określonej na R² i liczby rzeczywistej c mamy

^{x R f x y d}

K   ² : ( , )

Jeśli rozpatrywaną formę sprowadzimy do postaci kanonicznej i ewentualnie przenumerujemy zmienne, to równania określające kwadryki w R² (nazywane w tym przypadku krzywymi stożkowymi) można zapisać w postaci

2 1

2 2 2



 b y a

x elipsa

2 0

2 2 2



b y a

x punkt

2 1

2 2 2





b y a

x zbiór pusty (elipsa urojona)

2 1

2 2 2



b y a

x hiperbola

2 0

2 2 2



b y a

x przecinające się proste px

y² 2 parabola

2 1

2

b 

y proste równoległe

2 1

2

 b 

y zbiór pusty

2 0



y prosta

Geometria analityczna w przestrzeni R³

Rozpatrujemy w przestrzeni prostokątny układ współrzędnych. Punkt O(0,0,0) jest początkiem tego układu. Będziemy przyjmować orientację prawoskrętną (zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej) układu współrzędnych.

Punkty przestrzeni utożsamiamy z ich współrzędnymi w tym układzie, czyli trójkami liczb rzeczywistych, są to więc elementy przestrzeni R³. Dowolny punkt P wyznacza wektor swobodny OP.

Wektor swobodny u PQ w przestrzeni R³ wyznaczony przez punkty P(x1, x2, x3), Q(y1, y2, y3), ma współrzędne u₁  y₁x₁, u₂  y₂x₂, u₃  y₃x₃ i będziemy stosować zapis ^{u }^u₁^,u₂^,u₃^.

Wektory ^e₁^^1,0,0^{, e}₂ ^^0,1,0^{, e}₃ ^^0,0,1 nazywamy wersorami (wektorami jednostkowymi).

Odległość między punktami P(x1, x2, x3), Q(y1, y2, y3), w tej przestrzeni liczymy wg wzoru:

       



















3

1

2 2

3 3 2 2 2 2 1

) 1

, (

i

i

i y

x y

x y

x y

x Q

 P

z

e2

e3

P

u1

u

y

x e1

Normą (długością) wektora u u₁,u₂,u₃ nazywamy liczbę:

 











3

1 2 2

3 2 2 2 1

i

ui

u u u u

Iloczyn skalarny wektorów u u₁,u₂,u₃, v v₁,v₂,v₃

3 3 2 2 1 1 3

1

v u v u v u v u u, v

i i

i   





 



Dla niezerowych wektorów u, v możemy wyznaczyć cosinus kąta  między tymi wektorami v

v v u u u

v u v u v u v

u u, v

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1

cos 1











 







Niezerowy wektor u tworzy z osiami układu współrzędnych kąty 1, 2, 3, których cosinusy nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora u i wyznaczamy na podstawie wzorów

u u₁ cos1  ,

u u₂ cos2  ,

u u₃ cos3 

Niezerowe wektory u, v są wzajemnie (prostopadłe) ortogonalne wtedy i tylko wtedy gdy <u, v> = 0.

Ponieważ elementy przestrzeni R³ można utożsamiać z wektorami swobodnymi, to zbiór wektorów swobodnych z powyższym iloczynem skalarnym jest przestrzenią euklidesową. Wersory

1,0,0, ₂ 0,1,0, ₃ 0,0,1

1  e  e 

e stanowią w niej bazę ortonormalną.

Iloczyn wektorowy wektorów u u₁,u₂,u₃, v v₁,v₂,v₃,

 

3 2 1

3 2 1

3 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3

2 , ,

v v v

u u u

e e e v u v u v u v u v u v u v

u     

(pierwszy wiersz to wersory osi).

Iloczyn wektorowy u v jest wektorem prostopadłym do wektorów u, v, jego zwrot jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej, a jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v. Zatem połowa jego długości jest równa polu trójkąta rozpiętego na tych wektorach.

Iloczyn mieszany wektorów ^{u }^u₁^,u₂^,u₃^{, v }^v₁^,v₂^,v₃^{, w }^w₁^,w₂^,w₃

   





























3 3 3

2 2 2

1 1 1

det

w v u

w v u

w v u w

v u uvw

Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów u, v, w jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach. Zatem objętość czworościanu rozpiętego na tych wektorach jest równa























3 3 3

2 2 2

1 1 1

6det 1

w v u

w v u

w v u V

Niezerowe wektory ^{u }^u₁^,u₂^,u₃^{, v }^v₁^,v₂^,v₃są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy 1

3 3 2 2 1

1 









v u v u v r u

co jest równoważne warunkowi

3 3 2 2 1 1

v u v u v

u  

Przy czym jeśli w mianowniku jest zero to w liczniku też powinno być zero.

Niezerowe wektory u u₁,u₂,u₃, v v₁,v₂,v₃, w w₁,w₂,w₃są komplanarne (współpłaszczyznowe) wtedy i tylko wtedy, gdy

0 det

3 3

3

2 2 2

1 1 1























w v u

w v u

w v u

co oznacza zerowanie się ich iloczynu mieszanego.

Prosta i płaszczyzna w R³

Elementy przestrzeni R³ będziemy traktować jako trójki liczb (x, y, z) i nazywać punktami.

Równanie ogólne płaszczyzny.

Ax + By + Cz +D = 0 Uwaga

Wektor ^A,B,C jest prostopadły do tej płaszczyzny i nazywa się wektorem normalnym.

Kąt (ostry) między płaszczyznami A1x + B1y + C1z + D1 = 0 i A2x + B2y + C2z + D2 = 0 wyznaczamy na podstawie cosinusa kąta między ich wektorami normalnymi

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2

cos 1

C B A C B A

C C B B A A











 



Odległość punktu P(x0, y0, z0) od płaszczyzny Ax + By + Cz +D = 0 wynosi

2 2 2

0 0 0

C B A

D Cz By d Ax









 

Korzystając z własności iloczynu mieszanego możemy wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(x0, y0, z0) i równoległej do dwóch danych nierównoległych wektorów u u₁,u₂,u₃, v v₁,v₂,v₃

0 det

3 3

0

2 2

0

1 1

0





















   

v u

z z

v u

y y

v u

x x

Podobnie równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3).

0 det

1 3

1 2

1

1 3

1 2

1

1 3

1 2

1









































z z

z z

z z

y y

y y

y y

x x

x x

x x

Równanie odcinkowe płaszczyzny

1





 c

z b y a

x

(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) to punkty przecięcia tej prostej z osiami układu współrzędnych

Równanie kanoniczne prostej. Prosta przechodząca przez punkt P(x0, y0, z0) i równoległa do wektora

u₁,u₂,u₃

u  ma równanie

3 0 2

0 1

0

u z z u

y y u

x

x 

 

 

Jeśli przyjąć t

u z z u

y y u

x

x  

 

 

3 0 2

0 1

0 , to po przekształceniu otrzymamy równanie

parametryczne prostej

t u z z t u y y t u x

x ₀  ₁ ,  ₀  ₂ ,  ₀ ₃ Równanie prostej przechodzącej przez punkty (x1, y1, z1), (x0, y0, z0)

0 1

0 0

1 0 0

1 0

z z

z z y y

y y x x

x x



 



 





Ponieważ prosta jest wyznaczona przez dwie nierównoległe płaszczyzny A1x + B1y + C1z + D1 = 0 i A2x + B2y + C2z + D2 = 0, to





















0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

D z C y B x A

D z C y B x A

jest równaniem krawędziowym prostej.

Wektor kierunkowy tej prostej jest równy iloczynowi wektorowemu wektorów normalnych rozpatrywanych płaszczyzn.

Odległość punktu P(x0, y0, z0) od prostej o wektorze kierunkowym u u₁,u₂,u₃ i przechodzącej przez punkt Q(x1, y1, z1) wynosi

2 3 2 2 2 1

3 2

1

0 1 0 1 0 1

3 2

1

u u u

u u

u

z z y y x x

e e

e

d































 det

Cosinus kąta między prostą o wektorze kierunkowym u u₁,u₂,u₃ a płaszczyzną Ax + By + Cz +D

= 0 wyraża się wzorem

2 3 2 2 2 1 2 2 2

3 2 1

u u u C B A

Cu Bu d Au











 

Kwadryki w R³

Niepusty podzbiór K R³ jest kwadryką jeśli dla pewnej formy kwadratowej f(x, y, z) określonej na R³ i liczby rzeczywistej c mamy

^{x R f x y z d}

K   ²: ( , , )

Jeśli rozpatrywaną formę sprowadzimy do postaci kanonicznej i ewentualnie przenumerujemy zmienne, to równania określające kwadryki w R³ można pogrupować i zapisać w postaci

Typ elipsoidalny

2 1

2 2 2 2 2





 c

z b

y a

x elipsoida

2 0

2 2 2 2 2





 c

z b

y a

x punkt

2 1

2 2 2 2 2







 c

z b y a

x zbiór pusty (elipsoida urojona)

Typ hiperboidalny

2 1

2 2 2 2 2





 c

z b

y a

x hiperboloida

2 0

2 2 2 2 2





 c

z b

y a

x stożek

2 1

2 2 2 2 2







 c

z b y a

x hiperboloida dwupowłokowa

Typ paraboidalno-eliptyczny b z

y a

x ₂ 2

2 2 2



 paraboida eliptyczna

2 1

2 2 2



 b y a

x walec eliptyczny

2 0

2 2 2



b y a

x prosta

2 1

2 2 2





b y a

x zbiór pusty

Typ paraboidalno-hiperboliczny b z

y a

x ₂ 2

2 2 2



 paraboida hiperboliczna

2 1

2 2 2





b y a

x walec hiperboliczny

2 0

2 2 2



b y a

x przecinające się płaszczyzny Typ paraboidalny

px

y² 2 walec paraboliczny

2 1

2

b 

y różne płaszczyzny równoległe

2 0



y płaszczyzna

2 1

2

 b 

y zbiór pusty

Zadania Zadanie 1

Punkt C(2; 3) jest środkiem odcinka o końcach A, B. Wiedząc, że B(7; 5), wyznaczyć współrzędne punktu A.

(odp. A(-3; 1)) Zadanie 2

Sprawdzić, że trójkąt o wierzchołkach A(-3; -3), B(-1; 3), C(11; -1) jest prostokątny.

Zadanie 3

Niech u1 , 2, v1 , 1. Wyznaczyć w = 2u - v, w , <u, v>.

Czy wektory u, v są prostopadłe?

Czy wektory u, v są równoległe?

(odp. nie są prostopadłe, nie są równoległe) Zadanie 4

Wyznaczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(-2; -4), B(2; 8), C(10; 2).

(odp. 60)

Zadanie 5

Dane są trzy kolejne wierzchołki równoległoboku A(11; 4), B(-1; -1), C(5; 7). Wyznaczyć współrzędne czwartego wierzchołka.

(odp. D(17; 12)) Zadanie 6

Sprawdzić, że punkt Ss1, s2 przecięcia środkowych trójkąta o wierzchołkach Aa1, a2,

^b₁^{, b}₂

B , ^C^c₁^{, c}₂ ma współrzędne

, 3 3

2 2 2 2 1 1 1 1

c b s a

c b

s a  

 

  Zadanie 7

Dany jest punkt ^S ^1,1 przecięcia środkowych trójkąta o wierzchołkach ^A^3,8^{, B}^10,2^{, C.}

Obliczyć współrzędne wierzchołka C.

(odp. (-10,-7)) Zadanie 8

Punkty o współrzędnych (0, 0), (3, 0), (0, 4) są środkami boków pewnego trójkąta. Ile wynosi pole tego trójkąta?

(odp. 24) Zadanie 9

Koszt produkcji K jest liniową funkcją wielkości produkcji P K = e + fP e - koszty stałe,

f - współczynnik kosztów, f > 0.

Wiedząc, że koszty stałe są równe 100 oraz, że wzrost produkcji o 100 sztuk powoduje wzrost kosztów o 1000 zł, wyznacz funkcję kosztów.

(odp. K = 100 + 10P) Zadanie 10

Prosta przecina osie układu współrzędnych w punktach (0, -2) i (6, 0).

Wyznaczyć równanie

a) odcinkowe, b) ogólne, c) kierunkowe, d) parametryczne tej prostej.

(odp. a) 1

2

6 

y

x , b) x y3 60, c) 2 3 1 

 x

y , d) t R

t y

t

x 









 2

6

6 )

Zadanie 11

Dana jest prosta 2x - y + 3 = 0. Sprawdź, które z punktów A(2, 1), B(-1, -4), C(-1, 1), leżą na danej prostej.

(odp. A – nie, B – nie, C – tak) Zadanie 12

Znaleźć punkty przecięcia prostej 2x - 3y + 6 = 0 z osiami układu współrzędnych.

(odp. (-3, 0), (0, 2)) Zadanie 13

Prostą o równaniu parametrycznym

R t t

y t

x 













 1 4

1 2

zapisać w postaci ogólnej i kierunkowej.

(odp. 2x y10, y2 x 1) Zadanie 14

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (2, 5) i (0, 7).

(odp. x y7 0) Zadanie 15

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (-1, 3) i (2, 5).

(odp. 2x y3 110)