Egzamin z Równań Rekurencyjnych, 29 stycznia 2007 Nazwisko i imię: ...................................................................................... Nr indeksu: ..................... Pyt. 1. [2p] Rozwiązaniem ogólnym pewnego jednorodnego równania lin

Egzamin z Równań Rekurencyjnych, 29 stycznia 2007

Nazwisko i imię: ... Nr indeksu: ...

Pyt. 1. [2p] Rozwiązaniem ogólnym pewnego jednorodnego równania liniowego jest:

x_n = (c₁ + n c₂+ n²c₃) · 5ⁿ.

Napisać to równanie.

ODP.:

Pyt. 2. [2p] Równanie

x_n+3 = 3 x_n+2− x_n

zapisać w postaci operatorowej jako zagadnienie jednorodne („zero po prawej stronie”). Można używać operatorów I, E, ∆ oraz działań +, −, ·, ◦ i potęgowania.

ODP.:

Pyt. 3. [2p] Wykazać, że transformata odwrotna G⁻¹, G⁻¹(f ) = (x_n)^∞_n=0 dla f (z) =

∞

X

n=0

x_n· zⁿ,

jest addytywna tzn.

G⁻¹(f + g) = G⁻¹(f ) + G⁻¹(g).

ODP.:

Pyt. 4. [2p] Pokazać, że schemat Newtona-Raphsona na znajdowanie miejsc zerowych funkcji g jest identyczny ze schematem dla funkcji (−g).

ODP.:

Pyt. 5. [2p] Pokazać, że jeśli M jest macierzą ergodyczną tzn.

∃ π^∗ – rozkład ∀ π π⁽ⁿ⁾= π Mⁿ −→

n→∞π^∗,

to M² również jest ergodyczna.

ODP.:

PROSZĘ ODWRÓCIĆ KARTKĘ!

1

Pyt. 6. [3p] Czy możliwe jest aby liniowe jednorodne równanie rekurencyjne o współczynnikach rzeczy- wistych posiadało niestacjonarną orbitę okresową (tj. różną od rozwiązania stałego), która jest atrakto- rem? Podać krótkie uzasadnienie.

ODP.:

Pyt. 7. [3p] Niech g(x) = x² − 3. Napisać schemat Newtona x_n+1 = f (x_n), f : R \ {0} → R \ {0}, poszukiwania miejsc zerowych g. Wykazać, że basen przyciągania Bas_f(−√

3) = (−∞, 0).

ODP.:

Pyt. 8. [3p] Wyznaczyć wszystkie rozkłady stacjonarne łańcucha o macierzy Markowa M =







0 ¹₂ ¹₂

1 2 0 ¹₂

1 2

1 2 0





. Czy macierz jest ergodyczna? Dlaczego?

ODP.:

[8p → dst, 10p → dst+, 13p → db, 16p → db+, 18p → bdb]

2