RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE n-TEGO RZĘDU O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE n-TEGO RZĘDU O STAŁYCH

WSPÓŁCZYNNIKACH

JJ, IMiF UTP

24

DEFINICJA.

Równanie postaci

any⁽ⁿ⁾+ an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a1y⁰+ a0y =f (x ), (1) gdzie f jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale, a0, . . . , an to stałe (liczby rzeczywiste) oraz an6= 0 nazywamy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu o stałych współczynnikach.

Gdy f (x ) = 0, to równanie (1) nazywamy jednorodnym.

DEFINICJA. Warunki początkowe dla równania n-tego rzędu to warunki:

y (x0) = y0, y⁰(x0) = y1, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = yn−1.

Metoda rozwiązywania równania jednorodnego.

ETAP 1.

Dla równania jednorodnego

any⁽ⁿ⁾+ an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a1y⁰+ a0y = 0 (2) tworzymy równanie charakterystyczne

a_nrⁿ+ a_n−1rⁿ⁻¹+ · · · + a₁r + a₀ = 0. (3) Znajdujemy wszystkie n rozwiązań tego równania

(rozwiązania mogą być wielokrotne).

Metoda rozwiązywania równania jednorodnego.

ETAP 2.

Tworzymy układ fundamentalny rozwiązań równania (2) (oznaczany UF). Układ ten składa się z n funkcji.

Jeżeli liczba rzeczywista r1 jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego (3), to odpowiada jej w UF funkcja e^r1x.

Jeżeli liczba rzeczywista r2 jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego (3), to odpowiadają jej w UF funkcje e^r2x, xe^r2x, . . . , x^k−1e^r2x.

Metoda rozwiązywania równania jednorodnego.

ETAP 2.

Jeżeli liczba zespolona α + βi , gdzie β 6= 0, jest

jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego (3), to liczba α − βi też jest pierwiastkiem równania charakterystycznego; tym liczbom odpowiadają w UF funkcje e^αxcos βx , e^αxsin βx .

Jeżeli liczba zespolona α + βi , gdzie β 6= 0, jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego (3), to liczba α − βi też jest k-krotnym pierwiastkiem tego równania; tym liczbom odpowiadają w UF funkcje

e^αxcos βx , e^αxsin βx ,

xe^αxcos βx , xe^αxsin βx , . . . , x^k−1e^αxcos βx , x^k−1e^αxsin βx .

Metoda rozwiązywania równania jednorodnego.

ETAP 3. Jeżeli funkcje

y1, . . . , yn

tworzą UF, to rozwiązanie równania (2) jest postaci y = C₁y₁+ · · · + C_ny_n.

PRZYKŁAD 1. Rozwiąż równanie y

− y

− 2y

= 0.

Tworzymy równanie charakterystyczne r⁴− r³− 2r²= 0.

Znajdujemy wszystkie rozwiązania tego równania,

r²(r²− r − 2) = 0, r₁ = r2= 0, r3 = −1, r4 = 2.

Rozwiązaniom r₁ i r₂ odpowiadają w UF funkcje y1 = e^0x =1, y2= xe^0x =x.

Rozwiązaniu r₃ odpowiada funkcja y₃=e^(−1)x, rozwiązaniu r₄ odpowiada y₄ =e^2x.

Rozwiązaniem równania różniczkowego jest więc y = C1·1+ C2x+ C3e^−x+ C4e^2x.

PRZYKŁAD 2A. Rozwiąż równanie y

+ 9y = 0.

Tworzymy równanie charakterystyczne r²+ 9 = 0.

Znajdujemy wszystkie rozwiązania tego równania, r₁= 3i = 0 + 3i , r₂ = −3i = 0 − 3i .

Rozwiązaniom tym (tutaj α = 0, β = 3) odpowiadają w UF funkcje

y1 = e^0xcos 3x =cos 3x, y2= e^0xsin 3x =sin 3x. Rozwiązaniem równania różniczkowego jest więc

y = C1cos 3x + C2sin 3x.

PRZYKŁAD 2B. Rozwiąż równanie y

+ 9y = 0 z warunkami początkowymi y (0) = 2, y

(0) = 9.

Spośród wszyskich rozwiązań opisanych wzorem:

y =C1cos 3x +C2sin 3x ,

gdzie C1 ∈ R, C2 ∈ R, szukamy takiego (szukamy takich C1, C2), by y = 2 dla x = 0 oraz by y⁰ = 9 dla x = 0.

Oczywiście

y⁰= −3C₁sin 3x + 3C₂cos 3x . Rozwiązując układ równań

( 2 = C₁cos(3 ·0) + C₂sin(3 ·0) 9 = −3C₁sin(3 ·0) + 3C₂cos(3 ·0) otrzymamy C₁= 2 oraz C₂ = 3.

Szukanym rozwiązaniem jest funkcja

y =2cos 3x +3sin 3x .

PRZYKŁAD 3. Rozwiąż równanie y

− y

+ 3y

+ 5y

= 0.

Tworzymy równanie charakterystyczne r⁶− r⁵+ 3r⁴+ 5r³= 0, czyli

r³(r²− 2r + 5)(r + 1) = 0.

Znajdujemy wszystkie rozwiązania tego równania,

r1 = r2 = r3 = 0, r4= 1 + 2i , r5 = 1 − 2i , r6 = −1.

Rozwiązaniom tym (tutaj α = 1, β = 2) odpowiadają w UF:

y₁ =e^0·x = 1, y₂ =xe^0·x = x, y₃=x²e^0·x = x², y4 =e^xcos 2x, y5=e^xsin 2x, y6 =e^−x.

Rozwiązaniem równania różniczkowego jest więc

y = C1·1+ C2x+ C3x²+ C4e^xcos 2x + C5e^xsin 2x + C6e^−x.

PRZYKŁAD 4. Rozwiąż równanie y

+ 3y

+ 3y

+ y = 0.

Tworzymy równanie charakterystyczne r⁶+ 3r⁴+ 3r²+ 1 = 0, czyli

(r²+ 1)³ = 0.

Znajdujemy wszystkie rozwiązania tego równania, r₁= r₂ = r₃= i , r₄ = r₅ = r₆ = −i .

Rozwiązaniom tym (tutaj α = 0, β = 1) odpowiadają w UF funkcje

cos x , x cos x , x²cos x , sin x , x sin x , x²sin x . Rozwiązaniem równania różniczkowego jest więc

y = (C₁+ C₂x + C₃x²) cos x + (C₄+ C₅x + C₆x²) sin x .

Metody rozwiązywania równania niejednorodnego:

METODA PRZEWIDYWAŃ

Rozwiązanie równania (1) jest sumą rozwiązania (całki ogólnej) równania jednorodnego (2) (tę całkę będziemy oznaczać COJ) i dowolnego rozwiązania (całki szczególnej) równania

niejednorodnego (1) (to rozwiązanie będziemy oznaczać CSN), czyli

CON = COJ + CSN.

Metoda przewidywania CSN:

Gdy f (x ) = Wm(x )e^ax, gdzie Wm(x ) to wielomian m-tego stopnia i gdy liczba rzeczywista a nie jest pierwiastkiem odpowiedniego równania charakterystycznego (3), to na pewno istnieje rozwiązanie (całka szczególna) równania niejednorodnego (2) postaci

ys = Qm(x )e^ax,

gdzie Qm(x ) to wielomian stopnia niewiększego od m.

Gdy f (x ) = Wm(x )e^ax, gdzie Wm(x ) to wielomian m-tego stopnia i gdy liczba rzeczywista a jest k-krotnym

pierwiastkiem równania charakterystycznego, to na pewno istnieje całka szczególna równania niejednorodnego postaci

ys = x^kQm(x )e^ax,

gdzie Qm(x ) to wielomian stopnia niewiększego od m.

Metoda przewidywania CSN:

Gdy f (x ) = [Wm(x ) cos bx + Pm(x ) sin bx ]e^ax, gdzie W_m(x ), P_m(x ) to wielomiany stopnia niewiększego od m, i gdy liczba zespolona a + bi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to na pewno istnieje całka szczególna równania niejednorodnego postaci

y_s = [W_m^∗(x ) cos bx + P_m^∗(x ) sin bx ]e^ax

gdzie W_m^∗(x ), P_m^∗(x ) to wielomiany stopnia niewiększego od m.

Metoda przewidywania CSN:

Gdy f (x ) = [Wm(x ) cos bx + Pm(x ) sin bx ]e^ax, gdzie Wm(x ), Pm(x ) to wielomiany stopnia niewiększego od m, i gdy liczba zespolona a + bi jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to na pewno istnieje całka szczególna równania niejednorodnego postaci

ys = x^k[W_m^∗(x ) cos bx + P_m^∗(x ) sin bx ]e^ax

gdzie W_m^∗(x ), P_m^∗(x ) to wielomiany stopnia niewiększego od m.

Gdy funkcja f (x ) jest sumą funkcji opisanych powyżej, to dla każdej z tych funkcji znajdujemy odpowiednią całkę

szczególną; wtedy całka szczególna jest sumą wszystkich uzyskanych całek.

PRZYKŁAD 5. Rozwiąż równanie y

+ 9y = 9x .

Rozwiązaniem równania charakterystycznego r²+ 9 = 0 są liczby r1 = 3i , r2 = −3i . Rozwiązaniem (COJ) równania jednorodnego y⁰⁰+ 9y = 0 jest

y =C1cos 3x + C2sin 3x.

Funkcja f (x ) = 9x = 9xe^0x jest wielomianem pierwszego stopnia, liczba a = 0 nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, przewidujemy więc CSN postaci

ys = (Ax + B)e^0x =Ax + B.

PRZYKŁAD 5. Rozwiąż równanie y

+ 9y = 9x .

Rozwiązaniem równania charakterystycznego r²+ 9 = 0 są liczby r1= 3i , r2 = −3i . Rozwiązaniem (COJ) równania jednorodnego y⁰⁰+ 9y = 0 jest

y =C1cos 3x + C2sin 3x.

Funkcja f (x ) = 9x = 9xe^0x jest wielomianem pierwszego stopnia, liczba a = 0 nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, przewidujemy więc CSN postaci

ys = (Ax + B)e^0x =Ax + B.

PRZYKŁAD 5. Rozwiąż równanie y

+ 9y = 9x .

PrzewidujemyCSNpostaci

ys = Ax + B.

Podstawiając y_s do równania niejednorodnego (oczywiście y_s⁰ = A, y_s⁰⁰ = 0) otrzymamy

0 + 9(Ax + B) = 9x , czyli A = 1, B = 0.

Szukaną całką szczególną jest ys =x. Jak wiemy, COJ to y =C₁cos 3x + C₂sin 3x.

Zatem rozwiązanie (całka ogólna) równania niejednorodnego (CON=COJ+CSN) ma postać:

y =C1cos 3x + C2sin 3x+x.

PRZYKŁAD 6. Rozwiąż równanie y

+ y

= 9x .

Rozwiązaniem równania charakterystycznego r²+ r = 0 są liczby r1 = 0, r2 = −1. Rozwiązaniem (COJ) równania jednorodnego y⁰⁰+ y⁰ = 0 jest

y =C1+ C2e^−x.

Funkcja f (x ) = 9x = 9xe^0x jest wielomianem pierwszego stopnia, liczba a = 0 jestjednokrotnym pierwiastkiem równania

charakterystycznego, przewidujemy więc CSN postaci y_s = x¹(Ax + B)e^0x =Ax²+ Bx.

PRZYKŁAD 6. Rozwiąż równanie y

+ y

= 9x .

Rozwiązaniem równania charakterystycznego r²+ r = 0 są liczby r1= 0, r2= −1. Rozwiązaniem (COJ) równania jednorodnego y⁰⁰+ y⁰ = 0 jest

y =C1+ C2e^−x.

Funkcja f (x ) = 9x = 9xe^0x jest wielomianem pierwszego stopnia, liczba a = 0 jestjednokrotnym pierwiastkiem równania

charakterystycznego, przewidujemy więc CSN postaci y_s = x¹(Ax + B)e^0x =Ax²+ Bx.

PRZYKŁAD 6. Rozwiązać równanie y

+ y

= 9x .

PrzewidujemyCSNpostaci

ys = Ax²+ Bx .

Podstawiając y_s do równania niejednorodnego (oczywiście y_s⁰ = 2Ax + B, y_s⁰⁰= 2A) otrzymamy

2A + 2Ax + B = 9x , czyli A = 4, 5, B = −9.

Szukaną całką szczególną jest ys =4, 5x²− 9x. Jak wiemy, COJ to

y =C₁+ C₂e^−x.

Zatem rozwiązanie (całka ogólna) równania niejednorodnego (CON=COJ+CSN) ma postać:

y =C1+ C2e^−x+4, 5x²− 9x.

UKŁADY RÓWNAŃ.

UWAGA.

Do równania n-tego rzędu można także sprowadzić układy n równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu.

PRZYKŁAD 7. Rozwiąż układ równań ( y⁰ = z − y

z⁰ = z − 10y + 9x .







y

= z − y

z

= z − 10y + 9x .

Z pierwszego równania wyznaczamy z = y⁰+ y i podstawiamy do równania drugiego otrzymując (y⁰+ y )⁰ = y⁰+ y − 10y + 9x , czyli

y⁰⁰+ y⁰= y⁰− 9y + 9x, y⁰⁰+ 9y = 9x .

Z poprzedniego zadania wiemy, że to równanie ma rozwiązanie y = C1cos 3x + C2sin 3x + x . Zatem,

z = y⁰+y = −3C₁sin 3x +3C₂cos 3x +1+C₁cos 3x +C₂sin 3x +x . Rozwiązania układu to:

( y = C₁cos 3x + C₂sin 3x + x ,

z = (C2− 3C₁) sin 3x + (3C2+ C1) cos 3x + x + 1. .

UKŁADY RÓWNAŃ.

PRZYKŁAD 8. Rozwiąż układ równań ( x⁰ = x + 2y

y⁰ = 2x + 4y .

Tutaj x = x (t), y = y (t).

SPOSÓB I. Z pierwszego równania wyznaczamy y = 1

2x⁰− 1 2x i podstawiamy do równania drugiego.

PRZYKŁAD 8. y =

x

−

x

Podstawiamy do drugiego równania: y⁰= 2x + 4y.

1 2x⁰−1

2x^0 = 2x + 4 ·^1 2x⁰−1

2x^. 1

2x⁰⁰− 1

2x⁰= 2x + 2x⁰− 2x.

x⁰⁰− 5x⁰= 0.

Równanie charakterystyczne: r²− 5r = 0; rozwiązania:

r1 = 0, r2= 5. Stąd:

x = C1+ C2e^5t oraz

y = 1

2 C₁+ C₂e^5t
0−1

2 C₁+ C₂e^5t
= −1

2C₁+ 2C₂e^5t.

PRZYKŁAD 8.

Rozwiąż układ równań (tutaj x = x (t), y = y (t)):

( x⁰ = x + 2y y⁰ = 2x + 4y . SPOSÓB II.

Układ ten zapisujemy w postaci macierzowej X⁰ = A · X, czyli

"

x⁰ y⁰

#

=

"

1 2 2 4

#

·

"

x y

# .

PRZYKŁAD 8.

Dla macierzy A =

"

1 2 2 4

#

znajdujemy wartości własne λ1 = 0, λ2 = 5 oraz odpowiednie wektory własne

v₁=

"

−2 1

#

, v₂=

"

1 2

#

. Wtedy

X = S1v1e^λ1t+ S2v2e^λ2t, czyli

"

x y

#

= S₁

"

−2 1

#

· e^0·t + S₂

"

1 2

#

· e^5t. Zatem

x = −2S₁+ S₂e^5t, y = S1+ 2S2e^5t.

PRZYKŁAD 9.

Rozwiąż układ równań (tutaj x = x (t), y = y (t), z = z(t)):







x⁰ = x + 2z y⁰ = x − 2y + z z⁰ = −x + 4z

.

Zastosujemy drugą metodę.

Układ ten zapisujemy w postaci macierzowej X⁰ = A · X, czyli





 x⁰ y⁰ z⁰





=







1 0 2

1 −2 1

−1 0 4





·





 x y z





.

PRZYKŁAD 9.

Dla macierzy A =







1 0 2

1 −2 1

−1 0 4





 znajdujemy wartości własne λ₁= 3, λ₂ = −2, λ₃ = 2

oraz odpowiednie wektory własne v₁=





 5 2 5





, v₂=





 0 1 0





 v₃=





 8 3 4





. Wtedy

X = S1v₁e^λ1t+ S₂v₂e^λ2t+ S₃v₃e^λ3t, czyli





 x y z





= S₁





 5 2 5





· e^3t+ S₂





 0 1 0





· e^−2t+ S₃





 8 3 4





· e^2t.

PRZYKŁAD 9.

Wykonując działania po prawej stronie





 x y z





= S₁





 5 2 5





· e^3t+ S₂





 0 1 0





· e^−2t+ S₃





 8 3 4





· e^2t.

i przyrównując odpowiednie wiersze otrzymamy x = 5S₁e^3t+ 8S₃e^2t, y = 2S₁e^3t + S₂e^−2t+ 3S₃e^2t,

z = 5S₁e^3t+ 4S₃e^2t.