RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE n-TEGO RZĘDU O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE n-TEGO RZĘDU O STAŁYCH

WSPÓŁCZYNNIKACH

JJ, IMiF UTP

24

Najpierw kilka słów o liczbach zespolonych

DEFINICJA. Liczba zespolona, to liczba z = a + bi ,

gdzie a oraz b to liczby rzeczywiste, natomiast i to jednostka urojona o własności

i²= −1.

Liczba a to część rzeczywista liczby z, liczba b to część urojona liczby z.

Czasami jednostkę urojoną i oznacza się przez j .

Rozwiązania równania kwadratowego.

TWIERDZENIE. Rozwiązaniami równania kwadratowego

az²+ bz + c = 0 (tutaj a, b, c to dowolne liczby zespolone oraz a 6= 0) są z1= ^−b−p_2a oraz z2 = ^−b+p_2a , gdzie p jest taką liczbą, że p² = b²− 4ac (czyli p =√

∆, a mówiąc precyzyjniej, p jest dowolnie wybranym − jednym z dwóch − pierwiastków z ∆).

Uzasadnienie. Wykażemy, że

az²+ bz + c = a(z − z1)(z − z2).

P = a z −^−b−p_2a
z −^−b+p_2a
= a z +_2a^b + _2a^p
z +_2a^b −_2a^p
= a^ z +_2a^b
2− _2a^p
2= a z²+ 2_2a^bz +_4a^b22 −_4a^p22

=

az²+ bz +^b2_4a^−p2 = az²+ bz + ^b2−b_4a^2+4ac = az²+ bz + c = L

Rozwiązania równania kwadratowego.

TWIERDZENIE. Rozwiązaniami równania kwadratowego

az²+ bz + c = 0 (tutaj a, b, c to dowolne liczby zespolone oraz a 6= 0) są z1= ^−b−p_2a oraz z2 = ^−b+p_2a , gdzie p jest taką liczbą, że p² = b²− 4ac (czyli p =√

∆, a mówiąc precyzyjniej, p jest dowolnie wybranym − jednym z dwóch − pierwiastków z ∆).

Uzasadnienie. Wykażemy, że

az²+ bz + c = a(z − z1)(z − z2).

P = a z −^−b−p_2a
z −^−b+p_2a
= a z +_2a^b +_2a^p
z +_2a^b −_2a^p
= a^ z +_2a^b
2− _2a^p
2= a z²+ 2_2a^bz +_4a^b22 −_4a^p22

=

az²+ bz +^b2_4a^−p2 = az²+ bz + ^b2−b_4a^2+4ac = az²+ bz + c = L

Rozwiązania równania kwadratowego

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie z²+ 4z + 5 = 0.

∆ = b²− 4ac = 16 − 20 = −4, p =√

∆ = 2i , ponieważ (2i )² = 4i²= 4 · (−1) = −4 (możemy także przyjąć p = −2i ). Zatem:

z1= −4 − 2i

2 = −2 − i , z₂= −4 + 2i

2 = −2 + i .

Rozwiązania równania kwadratowego

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie z²+ 4z + 5 = 0.

∆ = b²− 4ac = 16 − 20 = −4,

p =√

∆ = 2i , ponieważ (2i )² = 4i²= 4 · (−1) = −4 (możemy także przyjąć p = −2i ). Zatem:

z1= −4 − 2i

2 = −2 − i , z₂= −4 + 2i

2 = −2 + i .

Rozwiązania równania kwadratowego

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie z²+ 4z + 5 = 0.

∆ = b²− 4ac = 16 − 20 = −4, p =√

∆ = 2i , ponieważ (2i )² = 4i²= 4 · (−1) = −4 (możemy także przyjąć p = −2i ).

Zatem:

z1 = −4 − 2i

2 = −2 − i , z₂ = −4 + 2i

2 = −2 + i .

DEFINICJA.

Równanie postaci

any⁽ⁿ⁾+ an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a1y⁰+ a0y = 0, gdzie a0, . . . , an to stałe (liczby rzeczywiste) oraz an6= 0

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym n-tego rzędu o stałych współczynnikach.

DEFINICJA. Warunki początkowe dla równania n-tego rzędu to warunki:

y (x0) = y0, y⁰(x0) = y1, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = yn−1.

Metoda rozwiązywania równania jednorodnego.

ETAP 1.

Dla równania jednorodnego

any⁽ⁿ⁾+ an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a1y⁰+ a0y = 0 tworzymy równanie charakterystyczne

a_nrⁿ+ a_n−1rⁿ⁻¹+ · · · + a₁r + a₀ = 0.

Znajdujemy wszystkie n rozwiązań tego równania (rozwiązania mogą być wielokrotne).

Metoda rozwiązywania równania jednorodnego.

ETAP 2.

Tworzymy układ fundamentalny rozwiązań (oznaczany UF). Układ ten składa się z n funkcji.

Jeżeli liczba rzeczywista r1 jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to odpowiada jej w UF funkcja e^r1x.

Jeżeli liczba rzeczywista r2 jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to odpowiadają jej w UF funkcje e^r2x, xe^r2x, . . . , x^k−1e^r2x.

Metoda rozwiązywania równania jednorodnego.

ETAP 2.

Jeżeli liczba zespolona α + βi , gdzie β 6= 0, jest

jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to liczba α − βi też jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego; tym liczbom odpowiadają w UF funkcje e^αxcos βx , e^αxsin βx .

Jeżeli liczba zespolona α + βi , gdzie β 6= 0, jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to liczba α − βi też jest k-krotnym pierwiastkiem tego równania; tym liczbom odpowiadają w UF funkcje

e^αxcos βx , e^αxsin βx ,

Metoda rozwiązywania równania jednorodnego.

ETAP 3. Jeżeli funkcje

y1, . . . , yn

tworzą UF, to rozwiązanie równania jest postaci y = C₁y₁+ · · · + C_ny_n.

PRZYKŁAD 1. Rozwiąż równanie y

− y

− 2y

= 0.

Tworzymy równanie charakterystyczne r⁴− r³− 2r²= 0.

Znajdujemy wszystkie rozwiązania tego równania,

r²(r²− r − 2) = 0, r₁ = r2= 0, r3 = −1, r4 = 2.

Rozwiązaniom r₁ i r₂ odpowiadają w UF funkcje y1 = e^0x =1, y2= xe^0x =x.

Rozwiązaniu r₃ odpowiada funkcja y₃=e^(−1)x, rozwiązaniu r₄ odpowiada y₄ =e^2x.

Rozwiązaniem równania różniczkowego jest więc

PRZYKŁAD 2A. Rozwiąż równanie y

+ 9y = 0.

Tworzymy równanie charakterystyczne r²+ 9 = 0.

Znajdujemy wszystkie rozwiązania tego równania, r₁= 3i = 0 + 3i , r₂ = −3i = 0 − 3i .

Rozwiązaniom tym (tutaj α = 0, β = 3) odpowiadają w UF funkcje

y1 = e^0xcos 3x =cos 3x, y2= e^0xsin 3x =sin 3x. Rozwiązaniem równania różniczkowego jest więc

y = C1cos 3x + C2sin 3x.

PRZYKŁAD 2B. Rozwiąż równanie y

+ 9y = 0 z warunkami początkowymi y (0) = 2, y

(0) = 9.

Spośród wszyskich rozwiązań opisanych wzorem:

y =C1cos 3x +C2sin 3x ,

gdzie C1 ∈ R, C2 ∈ R, szukamy takiego (szukamy takich C1, C2), by y = 2 dla x = 0 oraz by y⁰ = 9 dla x = 0.

Oczywiście

y⁰= −3C₁sin 3x + 3C₂cos 3x . Rozwiązując układ równań

( 2 = C₁cos(3 ·0) + C₂sin(3 ·0) 9 = −3C₁sin(3 ·0) + 3C₂cos(3 ·0) otrzymamy C₁= 2 oraz C₂ = 3.

PRZYKŁAD 3. Rozwiąż równanie y

− y

+ 3y

+ 5y

= 0.

Tworzymy równanie charakterystyczne r⁶− r⁵+ 3r⁴+ 5r³= 0, czyli

r³(r²− 2r + 5)(r + 1) = 0.

Znajdujemy wszystkie rozwiązania tego równania,

r1 = r2 = r3 = 0, r4= 1 + 2i , r5 = 1 − 2i , r6 = −1.

Rozwiązaniom tym (tutaj α = 1, β = 2) odpowiadają w UF:

y₁ =e^0·x = 1, y₂ =xe^0·x = x, y₃=x²e^0·x = x², y4 =e^xcos 2x, y5=e^xsin 2x, y6 =e^−x.

Rozwiązaniem równania różniczkowego jest więc

y = C1·1+ C2x+ C3x²+ C4e^xcos 2x + C5e^xsin 2x + C6e^−x.

PRZYKŁAD 4. Rozwiąż równanie y

+ 3y

+ 3y

+ y = 0.

Tworzymy równanie charakterystyczne r⁶+ 3r⁴+ 3r²+ 1 = 0, czyli

(r²+ 1)³ = 0.

Znajdujemy wszystkie rozwiązania tego równania, r₁= r₂ = r₃= i , r₄ = r₅ = r₆ = −i .

Rozwiązaniom tym (tutaj α = 0, β = 1) odpowiadają w UF funkcje

cos x , x cos x , x²cos x , sin x , x sin x , x²sin x . Rozwiązaniem równania różniczkowego jest więc

Do równania n-tego rzędu można także sprowadzić układy n równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu.

PRZYKŁAD 5. Rozwiąż układ równań ( x⁰ = x + 2y

y⁰ = 2x + 4y .

Tutaj x = x (t), y = y (t).

Z pierwszego równania wyznaczamy y = 1

2x⁰− 1 2x i podstawiamy do równania drugiego.

PRZYKŁAD 5,

, y =

x

−

x

podstawiamy do drugiego równania: y⁰= 2x + 4y.

1 2x⁰−1

2x^0 = 2x + 4 ·^1 2x⁰−1

2x^. 1

2x⁰⁰− 1

2x⁰= 2x + 2x⁰− 2x.

x⁰⁰− 5x⁰= 0.

Równanie charakterystyczne: r²− 5r = 0; rozwiązania:

r1 = 0, r2= 5. Stąd:

x = C1+ C2e^5t oraz