Obwody magnetyczne i podstawy

Elektrotechnika elektronika miernictwo

Franciszek Gołek

Wykład 15.

Obwody magnetyczne i podstawy

elektromechaniki

Wstęp.

W tym wykładzie omówimy podstawy elektromechaniki, między innymi opiszemy obwody magnetyczne i wyprowadzimy wyrażenie na siłę jaka działa w elektromagnesach. Zaczniemy jednak od określenia siły

występującej między okładkami naładowanego kondensatora, gdzie istotne jest tylko pole elektryczne.

Wiemy, że pole elektryczne jest polem zachowawczym (potencjałowym) a energia elektryczna jest energią potencjalną. Oznaczając energię

(skalarnego) pola elektrycznego symbolem W możemy, jak dla każdego pola zachowawczego, zapisać zależność pomiędzy wektorem siły F i rozkładem potencjału jako: F = - grad W

Siłę F między okładkami rozumiemy zatem jako stosunek zmiany energii do zmiany odległości między okładkami. Kierunek wektora siły to

kierunek spadku energii potencjalnej. W przypadku kondensatora będzie to kierunek zgodny z siłą przyciągania się naładowanych okładek. Przy wybraniu osi x prostopadle do płasko-równoległych okładek

kondensatora wektor siły ma niezerową tylko składową x:

F

= - dW/dx (15.1)

Zgodnie z (15.1) najpierw znajdziemy takie wyrażenie na energię W = W(x), które zawiera zmienną x określającą odległość między okładkami.

Aby się nie męczyć zrobimy to dla kondensatora płaskiego powietrznego.

Policzmy zatem siłę z jaką przyciągają się okładki kondensatora naładowanego ładunkiem Q do napięcia U.

Aby obliczyć energię kondensatora założymy, że jego

okładki o powierzchni S są od siebie oddalone o dystans x.

Ładując kondensator będziemy gromadzić energię, czyli wykonywać prace dW przenosząc porcyjki ładunku dQ z jednej okładki na drugą w aktualnym polu

elektrycznym E, które oczywiście zależy od aktualnego napięcia U na kondensatorze.

Zgodnie z definicją napięcia U mamy:

U = dW/dQ (15.2)

dW = UdQ (15.3)

Zanim zabierzemy się do obliczenia W, czyli całkowania (15.3) musimy poznać jak U zależy od zmienianej wartości Q. Tę zależność znamy z definicji pojemności C:

C = Q/U (15.4)

Podstawiając U = Q/C do (15.3) otrzymamy:

dW = (1/C)QdQ (15.5)

Całka po zmiennej Q z (15.5) jest prosta i wynosi:

W = Q²/2C (15.6) W = CU²/2 (15.7)

Mamy już energię kondensatora W, którą chcemy zróżniczkować po zmiennej x – odległości między okładkami, ale w (15.7) tej zmiennej nie widać! Domyślamy się, że zmienna ta siedzi w wyrażeniu na pojemność C. W dobrym przybliżeniu pojemność kondensatora płaskiego z

powietrzem między okładkami jako izolatorem wyraża się przez:

C = A



/x (15.8)

gdzie: A – powierzchnia jednej strony okładki, x – odległość między okładkami, ₀ = 8,8541878176· 10^-12 C/Vm przenikalność elektryczna próżni



względna, dla powietrza



W = xQ

/2A

(15.9)

albo W = A

U

/2x (15.10)

Patrząc na powyższe równości można się domyśleć, że przynajmniej jedna z wartości Q oraz U musi zależeć od x. W przypadku gdy okładki kondensatora po naładowaniu odłączono od źródła ładującego mamy stałe Q a zmienia się U i jest ono proporcjonalne do x w przypadku

równoległych do siebie płaskich okładek z pomijalnie małymi efektami brzegowymi. Gdy natomiast źródło ładunku (na przykład wzmacniacz, zasilacz, generator lub inne źródło napięcia), czyli coś co decyduje o aktualnym napięciu na kondensatorze, pozostaje podłączone do okładek kondensatora to przy zmianie x musi się zmieniać ładunek Q. W tym przypadku zmiana x, powodująca zmianę pojemności C, kompensowana przemieszczeniem ładunku dla utrzymania zadanego napięcia U. Z

przemieszczaniem ładunku w obwodzie zasilania związana jest dodatkowa praca, której uwzględnienie utrudnia analizę.

Rozważmy zatem najpierw przypadek kondensatora odłączonego od zasilania:

W = A

[U(x)]

/2x (stałe Q)

Przy stałym ładunku oraz geometrii kondensatora zapewniającej stałe pole elektryczne E między okładkami (daleko od pomijalnego efektu brzegowego) możemy napisać, że: U(x) = x·E (E jest stałe wszędzie wewnątrz poza obrzeżem okładek)

W = A

E

x/2

F

= - dW/dx = - A

E

/2 = - A

U

/2x

(15.11) Policzmy ile wynosi ta siła gdy okładki o powierzchni 1 m

znajdą się w odległości 1 mm i przyłożymy do nich napięcie 100 V:

F = [1 (m

)· 8,8541878176· 10

(C/Vm) · 100

(V

)]/[2 10

(m

)]

F  0,044 CV/m = 0,044 N.

Niestety taką siłą samochodu nie podniesiemy, ale przykładowo głośniki mogą działać na tej zasadzie całkiem dobrze! Sytuację nieco

poprawiłaby warstwa dielektryka o dużej przenikalności względnej 

.

Ten wynik oznacza jednak, że w przetwornikach elektromechanicznych

korzystamy raczej z energii i siły magnetycznej.

Zanim zajmiemy się drugim podejściem konieczna jest następująca uwaga: Oczywiście wynik powinien być identyczny, ponieważ na

początku, dopóki ta istniejąca siła nie wykona przemieszczenia to ilość ładunku na okładkach nie zacznie się zmieniać i obecność obwodu

zasilającego, do tego momentu, jest bez znaczenia. Gdybyśmy chcieli analizować mierzalne (nie zerowe) przemieszczenia to obecność obwodu zasilania kondensatora oznacza przepływy ładunku i wymianę energii z urządzeniem zasilającym i dlatego warto przeprowadzić obliczenie tej siły poprzez wyznaczenie nieskończenie małej zmiany energii dW i

podzielenie jej przez zmianę położenia dx uwzględniając znak zgodnie z (15.1). Aby pozostać w sferze pul i energii potencjalnych założymy, że przemieszczanie ładunku odbywać się będzie bez strat energii na

rozpraszanie (np. przepływ ładunku przez przewody itp..). Obliczymy dwa składniki „nieskończenie małej” zmiany energii dW:

dW1 - to zmiana energii układu przy przemieszczeniu okładki o dx bez zmiany ładunku i to już mamy z (15.11):

dW1 = (dW1/dx)dx = (A

U

/2x

)dx,

dW2 - to zmiana energii przy przeniesieniu ładunku tak aby powrócić do ustalanego przez zasilacz czy wzmacniacz napięcia U.

Przy dodatnim przemieszczeniu dx (powiększeniu wartości x), dW2 jest energią odebraną od kondensatora, a nie włożoną, zatem jest to wartość ujemna w sferze energii włożonych, przeciwnie do znaku dW1.

dW2 = -UdQ, dQ znajdziemy z następujących związków:

dQ = CdU, dU = Edx, C = A

/x, Zatem dQ = CEdx = (EA

/x) dx

dW2 = -UdQ= -(UEA

/x) dx = -(U

A

/x

)dx Więc dla zadanego U

dW = dW1 + dW2 = (A

U

/2x

)dx - (U

A

/x

)dx = - (A

U

/2x

)dx F

= -dW/dx = A

U

/2x

Mamy oczywiście taki sam wynik, ale przy tym rozumowaniu możemy (gdyby zaszła potrzeba) policzyć energię czerpaną z układu zasilającego kondensator z poruszającą się lub oscylującą okładką. Należałoby

zaczynać od całkowania dW1, dW2 oraz przekazów i strat energii

(wymiana energii z kondensatorem i z układem zawieszenia ruchomej

okładki, jako magazynami energii oraz straty, jak fala akustyczna, fala

elektromagnetyczna, straty energii na oporności obwodu elektrycznego i

straty w układzie zawieszenia ruchomej okładki).

Przetworniki elektromechaniczne spotykamy w wielu

dziedzinach techniki (od technik w medycynie do technik związanych z eksploracją kosmosu).

Zagadnienie obwodów magnetycznych jest jednym z

fundamentalnych w opisie działania i przy projektowaniu przetworników elektromechanicznych.

Stałe pola magnetyczne wytwarzane są przez ładunek

elektryczny w ruchu stacjonarnym, a ich efekt ujawnia się poprzez siłę jaką wywierają na każdy poruszający się

ładunek elektryczny.

Zmienne pola magnetyczne, generowane przez

niestacjonarny ruch ładunku działają na każdy, również

nieruchomy, ładunek elektryczny.

W projektowaniu maszyn elektrycznych podstawę stanowią:

prawo Faradaya prawo Ampère’a

i wzór Lorentza

Dla obliczenia napięcia indukowanego w uzwojeniach maszyny

stosujemy prawo Faradaya. Ma ono zastosowanie również do obliczania strat związanych z prądami wirowymi. Siła elektromotoryczna SEM – czyli siła wymuszająca ruch ładunku elektrycznego w uzwojeniu

zawierającym N zwoi wynosi:

gdzie, Φ strumień magnetyczny, Ψ = NΦ strumień skojarzony (flux linkage), współczynnik k

< 1 uwzględnia fakt nie idealnego

przenikania strumienia magnetycznego przez wszystkie zwoje.

Wyjaśnienie dlaczego indukcję magnetyczną

nazywamy też gęstością strumienia magnetycznego.

Przykład 15.1. Zmienne pole magnetyczne o amplitudzie B

= 1 T, częstotliwości 50 Hz przenika 100-zwojowe uzwojenie o powierzchni przekroju S = 0,01 m

i współczynniku

uzwojenia k

= 0,9. Oblicz wartość siły elektromotorycznej indukowanej w uzwojeniu.

Rozw. Z prawa Faradaya w postaci:

mamy związek: SEM = -k

N(d/dt)(B

Ssinωt) = -0,9100(d/dt)(1Vs/m

0,01m

sin(2π50 rads

t)) =

(-90π V)cos(314 rads

t) = -283cos(314rads

t) V. Amplituda indukowanego napięcia wynosi zatem

283 V, a wartość skuteczna 283/2

V = 200 V.

Proste związki między jednostkami

Jednostką strumienia magnetycznego jest Weber

(1Wb), wyraźmy go przy pomocy innych jednostek:

dΦ/dt = d(B·S)/dt = SEM -> T·m

/s = V -> T = V·s/m

Wb = [Φ] = [B]·[S] = T·m

= (V·s/m

) · m

= V·s.

Widać też, że: T = Wb/m

= V·s/m

ale również 1T mamy ze wzoru Lorentza:

F = Qv  B -> B = F/Qv –>

[B] = T = N/(C ·m/s) = (J/m)/(A·m) = (J)/(A·m

) =

(V·A·s)/(A·m

) = V ·s/m

, zgadza się!

Uogólnione przez Maxwella prawo Ampère’a

zawiera pochodną czasową ze strumienia indukcji elektrycznej D:

Składnik

stanowi tzw. prąd przesunięcia Maxwella, który w

analizie maszyn elektrycznych pracujących przy

niskich częstotliwościach jest zwykle pomijany.

Przykład 15.2. Oblicz prąd przesunięcia w warstwie izolacyjnej (między uzwojeniem a rdzeniem) o przenikalności ε

= 3, o grubości 0,3 mm

i powierzchni 0,01 m

. Rdzeń jest uziemiony a w uzwojeniu pojawia się potencjału = 400Vsin(2π50/s t). ε

= 8,85410

F/m.

Rozwiązanie. E

= 400V/0,3 mm = 1333 kV/m, D = εE = ε

ε

E , D

= 38,85410

As/Vm 1333 kV/m = 3,54 10

As/m

= 3,54 10

C/m

Ψ

= SD = 0,01m

 3,54  10

As/m

 sin(314t) = 3,54 10

As  sin(314t) dΨ

/dt = 314 3,54 10

A cos(314t) = 11110

Acos(314t) =

111 Acos(314t),

Wartość skuteczna prądu przesunięcia przez izolację wynosi: 111A/2

= 78,6 A – niewiele (mała pojemność i niska częstotliwość to i małe

prądy przeładowywania a przez to też małe prądy przesunięcia!).

Przykład 15.3. Obliczmy siłę oddziaływania dwóch Prostoliniowych i równoległych przewodów z prądem.

Jeżeli w przewodzie o powierzchni przekroju S i długości l gęstość

poruszającego się ładunku wynosi ρ tworząc prąd o natężeniu I to mamy relację że: qv = ρSlv = ρSvl = Il

Ponieważ linie pola magnetycznego wytwarzanego przez każdy z

przewodów z osobna są symetrycznymi kołami możemy łatwo uzyskać z prawa Ampère’a równość: 2πrB

= 

I

i podobnie 2πrB

= 

I

.

Siła działająca na przewód z prądem I

wyniesie F

= B

I

l po

podstawieniu 

= 4π10

H/m i wartości B

= 

I

/(2πr) otrzymamy:

F

= 2I

I

l 10

/r N. Identycznie otrzymujemy F

, jej wartość jest

identyczna z F

ale zwrot przeciwny (i nic dziwnego, akcja równa jest

reakcji ze znakiem przeciwnym).

Obwód Magnetyczny

Obwodem magnetycznym nazywa się zamkniętą drogę, po której przebiega strumień magnetyczny, drogą tą zwykle jest materiał o dużej przenikalności magnetycznej przyczyniając się do uzyskania dużej indukcji magnetycznej. Analizując układ w którym prąd przesunięcia dD/dt jest zerowy lub do pominięcia możemy korzystać z prawa Ampère’a w postaci bez tego członu:

z której wynika, że całka po krzywej zamkniętej z natężenia pola magnetycznego równa jest sumie (całce z) prądów przenikających powierzchnię rozpiętą na tej krzywej. W przypadku uzwojeń maszyn elektrycznych sumą tą jest tzw. przepływ Θ = NI,

nazywany też siłą magnetomotoryczną (SMM = MMF = F_m) i wyrażany w amperach A (czasem w amperozwojach Az) bo N – liczba zwoi jest wielkością niemianowaną. Jest to iloczyn natężenia prądu i ilości zwoi z tym prądem otoczonych krzywą całkowania pola H. Stwierdzenie to nazywamy prawem przepływu.

Pomiędzy natężeniem pola magnetycznego H i indukcją magnetyczną B istnieje związek:

B = H = 



H [Wb/m lub T]

gdzie 

= 4π10

H/m – przenikalność próżni,

a 

- przenikalność względna materiału (względem próżni).

Olbrzymia wartość 

materiałów ferromagnetycznych oznacza

możliwość uzyskiwania dużych gęstości strumienia magnetycznego B przy małym prądzie w strukturach elektromagnetycznych. W

konsekwencji wiele elektromechanicznych urządzeń zawiera rdzenie wykonane z takich materiałów celem osiągnięcia odpowiednio dobrych parametrów.

Koncentrowanie się silnego pola indukcji B w

materiałach o dużej przenikalności jest analogiczne do koncentrowania się natężenia prądu

elektrycznego w materiałach

(i obwodach) o dużej przewodności.

W prawie przepływu można całkę z H podzielić na takie odcinki całkowania, że całka zamienia się na sumę

iloczynów:

Prosty obwód magnetyczny

Do uproszczonego prawa przepływu

NI = H

l

+ H

l

+ ....

Φ

Ciągłość strumienia Φ (podobnie jak ciągłość prądu) można zapisać:

Φ = B

S

= B

S

=.... = 

H

S

= 

H

S

=... Jeżeli dla każdego n H

 S

^{to: Φ = B}

^S

^{= B}

^S

^{=.... =} 

H

S

= 

H

S

=...

Otrzymana równość jest już prawem Ohma

dla obwodu magnetycznego, w którym R_m = NI/Φ – nazywamy reluktancją,

[R_m] = [NI/Φ] = A/Vs = 1/H G_m = Φ/NI – nazywamy

permeancją, jest to odwrotność reluktancji.

Dla średniej linii indukcji magnetycznej

(linia przerywana na rysunku) prawo przepływu w postaci: H₁l₁ + H₂l₂ +... + H_nl_n = NI = Θ,

przypomina napięciowe prawo Kirchhoffa. Podobieństwo takie upoważnia do tego, że H_nl_n – nazywamy spadkami

potencjału (napięcia) magnetycznego, NI – (SMM) jest siłą magnetomotoryczną, Podstawiając

Φ/(

S

) za H

Strumień Φ jest tu odpowiednikiem natężenia prądu. Z prawa Ohma dla obwodu

magnetycznego wynika, że dla danego przepływu Θ = NI duży strumień Φ w obwodzie uzyskujemy przy małych wartościach R_m. Małe wartości R_m wykazują materiały o

dużym współczynniku przenikalności magnetycznej . Zatem nic dziwnego, że głównym oporem magnetycznym, reluktancją, w obwodach magnetycznych są szczeliny powietrzne.

Analogie między obwodami elektrycznymi i magnetycznymi

W uproszczonej i często stosowanej analizie przyjmowane są następujące założenia:

a) Strumień znajduje się całkowicie w rdzeniu i wszystkie zwoje obejmują cały strumień magnetyczny.

b) Gęstość strumienia magnetycznego (indukcja magnetyczna) jest stała na poprzecznym przekroju rdzenia.

Analogia do powszechnie znanych obwodów elektrycznych ułatwia

inżynierię obwodów magnetycznych. 3 proste przykład poniżej:

Przykład 15.4. Oblicz strumień Φ, gęstość strumienia B i natężenie pola magnetycznego H w obwodzie

magnetycznym pokazanym na rysunku, z rdzeniem o przenikalności _r = 1000. Obliczamy stosując założenia, że pole w rdzeniu jest jednorodne i nie opuszcza rdzenia – przenika wszystkie zwoje.

Rozwiązanie.

Siła magnetomotoryczna F_m = Ni = 500  0,1 A = 50 Az (albo 50 A).

Średnia droga strumienia magnetycznego l = 4  0,09 m = 0,36 m.

Pole przekroju poprzecznego rdzenia A = 0,01 m  0,01 m = 0,0001 m²

Reluktancja R_m = l/(A) = l/(_r ₀A) = 0,36/(1000  4π10^-7  0,0001) = 2,865 10⁶ Az/Wb.

Strumień magnetyczny

Φ = F

/R

Gęstość strumienia B = Φ/A = (1,75 10^-5 Wb)/(0,0001 m²) = 0,175 Wb/m² = 0,157 T.

Natężenie pola magnetycznego H = B/ = B/_r₀ = (0,175 Wb/m²)/(1000  4π10^-7 H/m) = 139 Az/m.

Zastosowane uproszczenia jak widać pozwalają na łatwe wyliczenie przybliżonych wielkości i analizę układu. W projektowaniu wymagana jest jednak większa precyzja i rozwiązywanie równań

3-wymiarowych.

Przykład 15.5. Oblicz prąd w uzwojeniu zawierającym 95 zwoi, zapewniający amplitudę indukcji magnetycznej (przebiegu

sinusoidalnego) w szczelinie powietrznej B_sz = 0,82 T w pewnej maszynie elektrycznej. W obliczeniach założyć, że przenikalność rdzenia magnetycznego jest _Fe= ∞ nieskończona w porównaniu z przenikalnością powietrza ₀=4π10^-7 H/m. Szerokość szczeliny wynosi 3,5 mm. Obliczyć reluktancję szczeliny przy a = b = 0,1 m.

Rozwiązanie.

Przy założeniu _Fe= ∞, reluktancja rdzenia wynosi zero, podobnie spadki potencjału magnetycznego H_nl_n w obszarze rdzenia są równe zero. Zatem cała siła magnetomotoryczna NI = Θ odkłada się

w szczelinie: Θ = NI = H_szl_sz = (B_sz/_sz)l_sz

(B_sz/_sz)l_sz = (0,82/(4π10^-7)) (3,5 10^-3) A (lub Az) I = Θ/N = (0,82/(4π10^-7  95)) 3,510^-3 = 24 A - jest to amplituda natężenia prądu.

Aby obliczyć reluktancję szczelin należy oszacować efektywny jej przekrój, w tym celu przyjmuje się, że przekrój szczeliny S’_sz = (a + l_sz)  (b + l_sz) -> R_{m sz}= l_sz/(₀S’_sz)

W praktyce od około 70 do 90% całej siły magnetomotorycznej spada w szczelinie, zatem dla dokładnych obliczeń jednak należy uwzględniać pozostałe 10 do 30% spadku mającego miejsce w rdzeniach maszyn elektrycznych.

Przykład 15.6. Mając układ magnetyczny z dwoma szczelinami jak na rysunku,

przedstawić układ zastępczy.

Rozwiązanie.

Przy założeniu  => ∞, reluktancja rdzenia jest do zaniedbania – wynosi zero.

Siła magnetomotoryczna F

= SMM = Ni, Reluktancje wynoszą:

R

= l

/(

S

), R

= l

/(

S

),

Strumień magnetyczny w szczelinie 1:

Φ

= Ni/R

= Ni

S

/l

Φ

= Ni/R

= Ni

S

/l

Całkowity strumień: Φ = Φ

+ Φ

Energia w obwodach magnetycznych

Jeżeli potrafimy wyznaczyć energię obwodu magnetycznego w funkcji odległości między jego elementami to pochodna

energii po odległości między dwoma elementami daje wartość

siły (moduł wektora siły) z jaką się one przyciągają, może to

być siła udźwigu elektromagnesu.

Przykład 15.7.

gromadzoną w indukcyjności L.

Rozwiązanie. Z definicji indukcyjności mamy: U_L = L(di/dt).

Po włączeniu wyłącznika W, z napięciowego prawa KIrchhoffa mamy: U = Ri + L(di/dt). Mnożąc tę równość stronami przez „idt” otrzymujemy: Uidt = Ri²dt + Lidi.

Iloczyn Uidt jest porcją energii traconej przez źródło napięcia U w czasie dt, iloczyn Ri²dt jest energią zamienianą na ciepło w rezystorze R w czasie dt, iloczyn Lidi jest energią gromadzoną w indukcyjności L w czasie dt. Całkowitą energię zgromadzoną w polu magnetycznym cewki W_L otrzymamy całkując iloczyn Lidi od zerowej wartości prądu do wartości ustalonej I = U/R.

Wymiar [W_L] = [L][I²] = 1 (Vs/A) A² = 1 VAs = 1 J. Warto przy okazji odnotować, że podobieństwo wzoru na energię W_L do wzorów na energię kinetyczną w układach mechanicznych mv²/2 lub Jω²/2 jest podstawą do modelowania analogowego

(symulacji) układów mechanicznych za pomocą układów elektrycznych. Indukcyjność w obwodzie elektrycznym jest elementem wykazującym inercję (bezwładność).

Siła przyciągania elektromagnesu

W wielu urządzeniach elektromagnesy są stosowane w celu wytworzenia odpowiedniej siły. Spotykamy elektromagnesy

w podnośnikach elektromagnetycznych służących do podnoszenia ciężarów czy w stycznikach i przekaźnikach do przesterowania styków. Podczas przemieszczania zwory wykonywana jest praca z użyciem pewnej siły F.

Praca ta równa jest zmianie energii pola magnetycznego elektromagnesu.

Energia pola magnetycznego wyraża się przez: W_m = Li ²/2.

Indukcyjność z definicji występuje w wyrażeniu na indukowaną siłę elektromotoryczną E = -L(di/dt), ale też z prawa Faradaya otrzymujemy E = - N(dΦ/dt), gdzie N jest

liczbą zwoi otaczających strumień Φ. Z analizy obwodów magnetycznych pamiętamy, że Φ = Ni/R_m = NiS/l - dla prostego układu bez szczelinym.

Zatem możemy zapisać E = -L(di/dt) = - N(dΦ/dt) = -(N²S/l)(di/dt), z czego wynika, że L = N²S/l. Więc energia pola magnetycznego daje się zapisać jako

W_m = (N²S/l) i²/2 . Wykorzystajmy jeszcze związek między indukcją magnetyczną B a prądem i :  H =  Ni/l; B =  Ni/l i wstawmy za i wyrażenie i = Bl/( N) do

wzoru na W_m . W_m = (N²S/2l) (Bl)²/( N)² = B²Sl/(2) = B²V/(2) = HBV/2. Warto odnotować, że energia pola magnetycznego to iloczyn B² i objętości przestrzeni, w której rezyduje indukcja B, podzielony przez 2.. Aby z tego wyrażenia obliczyć siłę zastosujmy rozumowanie: dW = (dW/dl)dl = Fdl: F = dW_m /dl

F = (BVdB/dl)/ + B²S/(2)

Siła przyciągania elektromagnesu

gdy szczelina jest wyzerowana

Siła przyciągania elektromagnesu

gdy szczelina jest mała ale nie zerowa.

Indukcja wzajemna

określa sprzężenie magnetyczny między uzwojeniami powodowane ich wzajemną bliskością i orientacją.

Indukcja wzajemna oznaczana jest symbolem M i zdefiniowana równością:

u

= Mdi

/dt

Kropki na rysunku (i na schematach) oznaczają końcówki cewek o zgodnej polaryzacji (zgodnej fazie napięć).

W cewce, gdy płynie przez nią prąd zmienny, indukowane jest też napięcie za sprawą samoindukcji.

u

Zatem napięcie wymuszające prąd i_a gdy zaciski uzwojenia wtórnego są rozwarte spełnia równość:

u_a = iR + L_adi_a/dt.

Gdy w uzwojeniu wtórnym popłynie prąd to napięcie wymuszające ma do

pokonania jeszcze jedno obciążenie i w zakresie liniowym całego układu mamy u_a = iR + L_adi_a/dt + Mdi_b/dt.

Czy można analizować układy sprzężone przy pomocy układów zastępczych? Owszem, można to robić stosując tzw. źródła zależne (źródła sterowane):



= - L

di

/dt  Mdi

/dt



= - L

di

/dt  Mdi

/dt

Pierwszy człon po prawej stronie obu równań pochodzi od samoindukcji danej cewki, a drugi od jej indukcyjności wzajemnej z drugą cewką. Znak drugiego członu, zależnie od sposobu w jaki strumień magnetyczny jednej cewki

przenika drugą. Oczywiście w obszarze liniowym napięć i prądów

analizowanego układu dopisywane równania (np. jak zależy dana siła EM od prądu w innej części układu) są liniowe.

Dla przebiegów sinusoidalnych, w zapisie zespolonym mamy:

 MdI

/dt = jMI

 MdI

/dt =jMI

Na marginesie dodajmy, że oprócz indukcyjności wzajemnej mogą

też występować pojemności wzajemne.

Taką sytuację można spotkać w wiązkach

przewodów elektrycznych czy w lampach elektronowych, gdzie występuje wiele elektrod jedna obok drugiej. Jeżeli na jedną z takich elektrod wprowadzany jest ładunek elektryczny to jego pole wyindukuje pewien rozkład ładunku na

pozostałych i będzie wpływać na ich potencjały elektryczne.

W układach wysokich częstotliwości takie pojemności mogą stanowić małą impedancję (1/jC i znaczną

konduktancję: jC) odpowiedzialną za przenikanie sygnałów

pomiędzy obwodami elektrycznymi. Innymi słowy pojemności

wzajemne (czasem bardzo niepożądane) mogą sprzęgać ze

sobą odizolowane od siebie obwody elektryczne.

Liniowy sensor położenia z

transformatorem różnicowym.

W układzie obok od położenia ruchomego rdzenia zależą wartości indukcji wzajemnych dwóch uzwojeń wtórnych z uzwojeniem pierwotnym - M₁ i M₂.

Uzwojenia wtórne 1 i 2 są połączone szeregowo ale w taki sposób, że ich siły elektromotoryczne są w przeciwfazie: u_out = (M₁ – M₂)di/dt.

Gdy w uzwojeniu pierwotnym mamy wymuszenie

sinusoidalne to amplituda sygnału wyjściowego u_out będzie zależała od położenia rdzenia. W pozycji zerowej u_out będzie równe zeru. Sensory położenia tego typu są projektowane tak aby M₁ – M₂ było liniową funkcja przemieszczenia.

Reluktancyjny sensor przemieszczenia i prędkości.

Bardzo prostym w działaniu jest sensor w postaci magnesu trwałego z nawiniętym na nim uzwojeniem.

Kiedy ferromagnetyczne klocki przelatują między biegunami magnesu trwałego zmienia się strumień magnetyczny. Dzieje się tak ponieważ reluktancja

obwodu magnetycznego maleje gdy klocek ferromagnytyczny zmniejsza

rozmiary szczeliny i rośnie gdy klocek opuszcza bieguny magnesu trwałego. W uzwojeniu pojawia się siła elektromotoryczna zgodnie z prawem Faradaya:

e = -dΦ/dt.

Energia i ko-energia

W praktyce często (zwłaszcza w zakresie większych natężeń pola magnetycznego) zależność pomiędzy strumieniem

skojarzonym  a natężeniem prądu jest nieliniowe.

Wynika to z faktu, że materiały ferromagnetyczne (z których wykonywane są rdzenie magnetyczne) mają w tym względzie nieliniowe charakterystyki.

W konsekwencji indukcyjność L, nie może być stała, ale zależy od natężenia pola magnetycznego i proste wyrażenie U = Ldi/dt ze stałym L nie może być

stosowane swobodnie. Wówczas dogodniej jest opierać analizę na bilansie energetycznym.

Energia magnetyczna W_mag możemy wyrazić jako całkę z mocy p = ei, gdzie siła elektromotoryczna e = d/dt, e = d(k_wNΦ)/dt, czyli:

W

= ∫eidt’ lub: W

= ∫(d/dt)idt’ = ∫id’

W’

= i  - W

nazywamy ko-energią

Energia i ko-energia

Okazuje się, że energia i ko-energia są sobie równe gdy zależność między „” a „i ” (czy między „Φ” a „F_m”) może być uznana za liniową (lub liniową w przybliżeniu).

Natomiast małe zmiany energii i ko-energii,

można przyjąć, że są sobie równe nawet przy nieliniowej zależności:

strumień skojarzony – natężenie prądu.

Przykład 15.8. Wyliczyć energię i ko-energię oraz przyrostową liniową

indukcyjność L_ cewki z rdzeniem. Wyliczyć również napięcie na zaciskach cewki mając dane: zależność między prądem a strumieniem skojarzonym  w postaci i =  + 0,5 ²; nominalną wartość  = _o = 0,5 Vs; R = 1 ; i(t) = 0,625 + 0,01sin(400t).

Rozwiązanie. 1) Energia i ko-energia: W_mag = ∫id’ = ∫( + 0,5²)d’ = ²/2 +

³/6, podstawiając do tego wyrażenia nominalną wartość strumienia skojarzonego ₀ = 0,5 Vs otrzymujemy:

W_mag( = ₀) = 0,5²/2 + 0,5³/6 = 0,1458 J.

W’

= i

2) Indukcyjność przyrostowa L_ = d/di = 1/(di/d ) = 1/[(d/d)( + 0,5²) = 1/(1 + ) w otoczeniu ₀ = 0,5 Vs, L_ = 1/(1 + 0,5) = 0,667 H (w otoczeniu i = 0,625 A).

3) u = iR + L_di/dt = [0,625 + 0,01sin(400t)]1 + 0,667  4cos(400t) = 0,625 + 0,01sin(400t) + 2,667sin(400t + 90°) = 0,625 + 2,667sin(400t + 89,8°).

Ten przykład ilustruje możliwość linearyzacji równań w zagadnieniach, w których zmiany pewnej wielkości (tu prądu i = 0,01 A) są małe w porównaniu do wartości stałej wokół której te zmiany zachodzą (tu i₀ = 0,625 A).

E-E-M. Lista-15

1) Wychodząc z wyrażeń na napięcie na zaciskach uzwojenia: u = NdΦ/dt i u = Ldi/dt pokazać, że L = N²/R_m. Gdzie reluktancja R_m = Ni/Φ.

2) Mając dane układu magnetycznego pokazanego obok:

N = 1000 zwoi, i = 10 A, _r -> , l_sz = 0,01m, S_sz = 0,1 m². Oblicz strumień magnetyczny i gęstość strumienia

w szczelinie.

3) Określić indukcyjność i magazynowaną energię magnetyczną w układzie obok.

4) Zakładając, że w szczelinie układu z zadania 3 występuje indukcja

magnetyczna (gęstość strumienia magnetycznego) B(t) = 0,6 sin(314t) Wb/m², Oblicz indukowane napięcie na uzwojeniu.

5) Oblicz siłę z jaką układ z zadania 3 „stara się” zmniejszyć szczelinę.

Elektrotechnika i elektronika Lista 15. rozwiązania

1) u = NdΦ/dt i u = Ldi/dt pokazać, że L = N²/R_m. Gdzie reluktancja R_m = Ni/Φ.

Rozw.

NdΦ/dt = Ldi/dt -> Nd(Ni/R_m)/dt = Ldi/dt -> N²/R_mdi/dt = Ldi/dt -> N²/R_m = L.

2) N = 1000 zwoi, i = 10 A, _r -> , l_sz = 0,01m, S_sz = 0,1 m². Siła SMM = F_m = N i = 1000 10 A = 10000 A (A zwoi).

Cała reluktancja szczelin R_m2sz= 2  l_sz/(_o S_sz) = (20,01)/(410^-7 0,1) = 1,5910⁵ A/Wb.

Strumień magnetyczny: Φ = Ni/R_m2sz =10000 /1,59 10⁵ = 0,0628 Wb.

Gęstość strumienia B_sz = Φ/S_sz = 0,0628/0,1 = 0,628 Wb/m². 3) Indukcyjność L = N²/R_m = N²  _o  S_sz/l_sz =

500² 410^-7 0,01²/0,002 = 0,0157 H.

magazynowana energia W_m = Li²/2 = 0,0157  0,1²/2 = 7,85 10^-5 J.

4) B(t) = 0,6 sin(314t) Wb/m², SEM = -k_wN(d/dt)(BSsinωt) = -1  500  0,6  0,01²  314 cos(314t) = - 9,4cos(314t) V.

5) F = dW/dl_sz = (d/dl_sz)(Li²/2) = (d/dl_sz)(N²_oS_szi²/2l_sz) =