Wykład 6.Obwody magnetyczne i podstawy elektromechaniki

Elektrotechnika elektronika miernictwo

Franciszek Gołek

Wykład 6.

Obwody magnetyczne i podstawy

elektromechaniki

W wieku 19-tym Oersted pokazał, że prąd elektryczny

produkuje efekty magnetyczne a konkretnie pole magnetyczne co doprowadziło do powstania prawa Ampere’a. Następnie

Faraday pokazał istnienie procesu „odwrotnego”: zmienne

pole magnetyczne produkuje pole elektryczne i daje napięcie elektryczne.

Ważnym okazało się, że podobnie jak energia elektryczna tak i

magnetyczna może być zamieniana na energię mechaniczną.

Przed tym wykładem warto też przypomnieć sobie podstawowe pojęcia magnetostatyki.

Pole magnetyczne przejawia się poprzez działanie siłą na poruszające się ładunki elektryczne. Pole to jest

charakteryzowane wektorami indukcji magnetycznej B ^[Wb/m

^{lub Vs/m}

^{lub T]} .

Do charakteryzowania pola magnetycznego stosuje się również pojęcie wektora pola magnetycznego H

[A/m].

Pomiędzy natężeniem pola magnetycznego H i indukcją magnetyczną B istnieje związek:

B = µ H = µ

µ

H [Wb/m

lub T], gdzie µ

= 4π10

[H/m lub Vs/Am] – przenikalność próżni, a µ

- przenikalność względna materiału

(względem próżni), może być nawet tensorem.

Obwody magnetyczne stanowią jeden z głównych filarów mechatroniki

– dziedziny, która podobnie jak elektronika otacza nas coraz ściślej! Mechatronika

obejmuje urządzenia od prostych

przełączników i przekaźników po wysoce zintegrowane i precyzyjne systemy ruchu.

Stanowią również istotne zagadnienie

w elektrotechnice.

Przetworniki elektromechaniczne spotykamy w wielu

dziedzinach techniki (od technik w medycynie do technik związanych z eksploracją kosmosu).

Zagadnienie obwodów magnetycznych jest jednym z

fundamentalnych w opisie działania i przy projektowaniu przetworników elektromechanicznych.

Stałe pola magnetyczne wytwarzane są przez ładunek

elektryczny w ruchu stacjonarnym, a ich efekt ujawnia się poprzez siłę jaką wywierają na niemal każdy poruszający się ładunek elektryczny.

Zmienne pola magnetyczne, generowane przez

niestacjonarny ruch ładunku działają na każdy, również

nieruchomy, ładunek elektryczny.

W projektowaniu maszyn elektrycznych podstawę stanowią:

prawo Faradaya prawo Ampère’a i wzór Lorentza

Dla obliczenia napięcia indukowanego w uzwojeniach maszyny

stosujemy prawo Faradaya. Ma ono zastosowanie również do obliczania strat związanych z prądami wirowymi. Siła elektromotoryczna SEM – czyli siła wymuszająca ruch ładunku elektrycznego w uzwojeniu

zawierającym N zwoi wynosi:

gdzie, Φ strumień magnetyczny, Ψ = NΦ strumień skojarzony (flux

linkage), współczynnik k

< 1 uwzględnia fakt nieidealnego przenikania

strumienia magnetycznego przez wszystkie zwoje.

Wyjaśnienie dlaczego indukcję magnetyczną

nazywamy też gęstością strumienia magnetycznego.

Przykład 6.1. Zmienne pole magnetyczne o amplitudzie B

= 1 T, częstotliwości 50 Hz przenika 100-zwojowe uzwojenie o powierzchni przekroju S = 0,01 m

i współczynniku

uzwojenia k

= 0,9. Oblicz wartość siły elektromotorycznej indukowanej w uzwojeniu.

Rozw. Z prawa Faradaya w postaci:

mamy związek: SEM = -k

N(d/dt)(B

Ssinωt) = -0,9 ⋅ 100(d/dt)(1Vs/m

0,01m

sin(2π50 rad ⋅ s

⋅ t)) = (-90π V)cos(314 rad ⋅ s

⋅ t) = -283cos(314rad ⋅ s

⋅ t) V.

Amplituda indukowanego napięcia wynosi zatem

283 V, a wartość skuteczna 283/2

V = 200 V.

Proste związki między jednostkami

Jednostką strumienia magnetycznego jest Weber

(1Wb), wyraźmy go przy pomocy innych jednostek:

dΦ/dt = d(B·S)/dt = SEM -> T·m

/s = V -> T = V·s/m

Wb = [Φ] = [B]·[S] = T·m

= (V·s/m

) · m

= V·s.

Widać też, że: T = Wb/m

= V·s/m

ale również 1T mamy ze wzoru Lorentza:

F = Qv × B -> B = F/Qv –>

[B] = T = N/(C ·m/s) = (J/m)/(A·m) = (J)/(A·m

) =

(V·A·s)/(A·m

) = V ·s/m

, zgadza się!

Analiza obwodów magnetycznych bazuje na

założeniu, że stosowane materiały są liniowe i że wektory natężenia pola magnetycznego H oraz

wektory indukcji magnetycznej B są współliniowe (mają zgodne kierunki).

W praktyce założenia te są w dużym stopniu spełnione (choć nie zawsze).

W analizie głównie wykorzystujemy bilans

energetyczny oraz relacje między strumieniem magnetycznym a jego gęstością (indukcją

magnetyczną). Istotna jest też relacja między

natężeniem pola a tzw. siłą magnetomotoryczną.

Uogólnione przez Maxwella prawo Ampère’a zawiera

pochodną czasową ze strumienia indukcji elektrycznej D.

Składnik

stanowi tzw. prąd przesunięcia Maxwella i często w analizie maszyn elektrycznych pracujących

przy niskich częstotliwościach jest pomijany.

Przykład 6.2. Oblicz prąd przesunięcia w warstwie izolacyjnej (między uzwojeniem a rdzeniem) o przenikalności ε

= 3, o grubości 0,3 mm

i powierzchni 0,01 m

. Rdzeń jest uziemiony a w uzwojeniu pojawia się potencjału = 400Vsin(2π50/s t). ε

= 8,85410

F/m.

Rozwiązanie. Natężenie pola elektrycznego: E

= 400V/0,3 mm = 1333 kV/m, Indukcja elektryczna: D = εE = ε

ε

E ,

D

= 3 ⋅ 8,854 ⋅ 10

As/Vm ⋅ 1333 kV/m = 3,54 10

As/m

= 3,54 10

C/m

Ψ

= S ⋅ D = 0,01m

⋅ 3,54 ⋅ 10

As/m

⋅ sin(314t) = 3,54 ⋅ 10

As ⋅ sin(314t) dΨ

/dt = 314 ⋅ 3,54 10

A cos(314t) = 111 ⋅ 10

Acos(314t) =

111 µ Acos(314t),

Wartość skuteczna prądu przesunięcia przez izolację wynosi: 111 µ A/2

= 78,6 µ A – niewiele (mała pojemność i niska częstotliwość to i małe

prądy przeładowywania a przez to też małe prądy przesunięcia!).

Przykład 6.3. Obliczmy siłę oddziaływania dwóch prostoliniowych i równoległych przewodów z prądem.

Jeżeli w przewodzie o powierzchni przekroju S i długości l gęstość

poruszającego się ładunku wynosi ρ, tworząc prąd o natężeniu I to mamy relację że: qv = ρSlv = ρSvl = Il

Ponieważ linie pola magnetycznego wytwarzanego przez każdy z

przewodów z osobna są symetrycznymi kołami możemy łatwo uzyskać z prawa Ampère’a równość: 2πrB

= µ

^I

i podobnie 2πrB

= µ

^I

.

Siła działająca na przewód z prądem I

wyniesie F

= B

I

l po

podstawieniu µ

^{= 4π10}

H/m i wartości B

= µ

^I

/(2πr) otrzymamy:

F

= 2I

I

l 10

/r N. Identycznie otrzymujemy F

, jej wartość jest

identyczna z F

ale zwrot przeciwny (jak akcja i reakcja!).

Przykład 6.3.

przykład ten wiąże się z historyczną (nie praktyczną) definicją ampera.

F

= 2I

I

l 10

/r N

Obwód Magnetyczny

Obwodem magnetycznym nazywa się zamkniętą drogę, po której przebiega strumień magnetyczny, drogą tą zwykle jest materiał o dużej przenikalności magnetycznej przyczyniając się do uzyskania dużej indukcji magnetycznej. Analizując układ w którym prąd przesunięcia dD/dt jest zerowy lub do pominięcia możemy korzystać z prawa Ampère’a w postaci bez tego członu:

z której wynika, że całka po krzywej zamkniętej z natężenia pola magnetycznego H równa jest sumie (całce z) prądów przenikających powierzchnię rozpiętą na tej

krzywej. W przypadku uzwojeń maszyn elektrycznych sumą tą jest tzw. przepływ Θ = NI, nazywany też siłą magnetomotoryczną (SMM = MMF = F_m) i wyrażany w

amperach A (czasem w amperozwojach Az) bo N – liczba zwoi jest wielkością

niemianowaną. Jest to iloczyn natężenia prądu i ilości zwoi z tym prądem otoczonych krzywą całkowania pola H. Stwierdzenie to nazywamy prawem przepływu.

Pomiędzy natężeniem pola magnetycznego H i indukcją magnetyczną B istnieje związek:

B = µ H = µ

µ

H [Wb/m

lub T]

gdzie µ

^{= 4π10}

H/m – przenikalność próżni,

a µ

- przenikalność względna materiału (względem próżni).

Olbrzymia wartość µ

materiałów ferromagnetycznych oznacza

możliwość uzyskiwania dużych gęstości pól indukcji magnetycznej B przy małym prądzie w strukturach elektromagnetycznych. W

konsekwencji wiele elektromechanicznych urządzeń zawiera rdzenie wykonane z takich materiałów celem osiągnięcia odpowiednio dobrych parametrów.

Koncentrowanie się silnego pola indukcji B w

materiałach o dużej przenikalności jest analogiczne do koncentrowania się natężenia prądu

elektrycznego w materiałach

(i obwodach) o dużej przewodności.

W prawie przepływu całkę z H·dl można podzielić na takie odcinki całkowania, że całka zamienia się na sumę

iloczynów:

Prosty obwód magnetyczny

Do uproszczonego prawa przepływu

NI = H

l

+ H

l

+ ....

Φ

Ciągłość strumienia Φ (podobnie jak ciągłość prądu) można zapisać:

Φ = B

S

= B

S

=.... = µ

H

S

= µ

H

S

=... Jeżeli dla każdego n H

⊥ S

to: Φ = B

S

= B

S

=.... = µ

^H

^S

⁼ µ

^H

^S

^=...

Otrzymana równość jest już prawem Ohma

dla obwodu magnetycznego, w którym R_m = NI/Φ – nazywamy reluktancją,

[R_m] = [NI/Φ] = A/Vs = 1/H G_m = Φ/NI – nazywamy

permeancją, jest to odwrotność reluktancji.

Dla średniej linii indukcji magnetycznej

(linia przerywana na rysunku) prawo przepływu w postaci: H₁l₁ + H₂l₂ +... + H_nl_n = NI = Θ,

przypomina napięciowe prawo Kirchhoffa. Podobieństwo takie upoważnia do tego, że H_nl_n – nazywamy spadkami

potencjału (napięcia) magnetycznego, NI – (SMM) jest siłą magnetomotoryczną, Podstawiając

Φ/( µ

S

) za H

Strumień Φ jest tu odpowiednikiem natężenia prądu. Z prawa Ohma dla obwodu

magnetycznego wynika, że dla danego przepływu Θ = NI duży strumień Φ w obwodzie uzyskujemy przy małych wartościach R_m. Małe wartości R_m wykazują materiały o

dużym współczynniku przenikalności magnetycznej µ. Zatem nic dziwnego, że głównym oporem magnetycznym, reluktancją, w obwodach magnetycznych są

szczeliny powietrzne. Ponadto R_m rośnie z długością l, i maleje z przekrojem S rdzenia.

Analogie między obwodami elektrycznymi i magnetycznymi

„Strumień w reluktancji”– magazynowanie, prąd w rezystorze tracenie energii <- koniec analogii.

W uproszczonej i często stosowanej analizie przyjmowane są następujące założenia:

a) Strumień znajduje się całkowicie w rdzeniu i wszystkie zwoje obejmują cały strumień magnetyczny.

b) Gęstość strumienia magnetycznego (indukcja magnetyczna) jest stała na poprzecznym przekroju rdzenia.

Analogia do powszechnie znanych obwodów elektrycznych ułatwia

inżynierię obwodów magnetycznych. 3 proste przykład poniżej:

Przykład 6.4. Oblicz strumień Φ, gęstość strumienia B i natężenie pola magnetycznego H w obwodzie

magnetycznym pokazanym na rysunku, z rdzeniem o przenikalności µ_r = 1000. Obliczamy stosując założenia, że pole w rdzeniu jest jednorodne i nie opuszcza rdzenia – przenika wszystkie zwoje.

Rozwiązanie.

Siła magnetomotoryczna F_m = Ni = 500 × 0,1 A = 50 Az (albo 50 A).

Średnia droga strumienia magnetycznego l = 4 × 0,09 m = 0,36 m.

Pole przekroju poprzecznego rdzenia A = 0,01 m × 0,01 m = 0,0001 m²

Reluktancja R_m = l/(µ^{A) = l/(}µ_r µ₀A) = 0,36/(1000 × 4π×10^-7 × 0,0001) = 2,865 10⁶ Az/Wb.

Strumień magnetyczny

Φ = F

/R

Gęstość strumienia B = Φ/A = (1,75 10^-5 Wb)/(0,0001 m²) = 0,175 Wb/m² = 0,157 T.

Natężenie pola magnetycznego H = B/µ = B/µ_rµ₀ = (0,175 Wb/m²)/(1000 × 4π×10^-7 H/m) = 139 Az/m.

Zastosowane uproszczenia jak widać pozwalają na łatwe wyliczenie przybliżonych wielkości i analizę układu. W projektowaniu wymagana jest jednak większa precyzja i rozwiązywanie równań

3-wymiarowych.

Przykład 6.5. Oblicz prąd w uzwojeniu zawierającym 95 zwoi, zapewniający amplitudę indukcji magnetycznej (przebiegu

sinusoidalnego) w szczelinie powietrznej B_sz = 0,82 T w pewnej maszynie elektrycznej. W obliczeniach założyć, że przenikalność rdzenia magnetycznego jest µ_Fe= ∞ nieskończona w porównaniu z przenikalnością powietrza µ₀=4π×10^-7 H/m. Szerokość szczeliny wynosi 3,5 mm. Obliczyć reluktancję szczeliny przy a = b = 0,1 m.

Rozwiązanie.

Przy założeniu µ_Fe= ∞, reluktancja rdzenia wynosi zero, podobnie spadki potencjału magnetycznego H_nl_n w obszarze rdzenia są równe zero. Zatem cała siła magnetomotoryczna NI = Θ odkłada się

w szczelinie: Θ = NI = H_szl_sz = (B_sz/µ_sz)l_sz

(B_sz/µ_sz)l_sz = (0,82/(4π10^-7)) (3,5 10^-3) A (lub Az) I = Θ/N = (0,82/(4π10^-7 × 95)) 3,510^-3 = 24 A - jest to amplituda natężenia prądu.

Aby obliczyć reluktancję szczelin należy oszacować efektywny jej przekrój, w tym celu przyjmuje się, że przekrój szczeliny S’_sz = (a + l_sz) × (b + l_sz) -> R_{m sz}= l_sz/(µ₀S’_sz)

W praktyce od około 70 do 90% całej siły magnetomotorycznej spada w szczelinie, zatem dla dokładnych obliczeń jednak należy uwzględniać pozostałe 10 do 30% spadku mającego miejsce w rdzeniach maszyn elektrycznych.

Przykład 6.6. Mając układ magnetyczny z dwoma szczelinami jak na rysunku,

przedstawić układ zastępczy.

Rozwiązanie.

Przy założeniu µ => ∞, reluktancja rdzenia jest do zaniedbania – wynosi zero.

Siła magnetomotoryczna F

= SMM = Ni, Reluktancje wynoszą:

R

= l

/( µ

S

), R

= l

/( µ

S

),

Strumień magnetyczny w szczelinie 1:

Φ

= Ni/R

= Ni µ

S

/l

Φ

= Ni/R

= Ni µ

S

/l

Całkowity strumień: Φ = Φ

+ Φ

Energia w obwodach magnetycznych

Jeżeli potrafimy wyznaczyć energię obwodu magnetycznego w funkcji odległości między jego elementami to pochodna energii po odległości między dwoma elementami daje

wyrażenie na siłę z jaką się one przyciągają, może to być siła

udźwigu elektromagnesu.

Przykład 6.7.

Rozwiązanie. Z definicji indukcyjności mamy: U_L = L(di/dt).

Po włączeniu wyłącznika W, z napięciowego prawa KIrchhoffa mamy: U = Ri +

L(di/dt). Mnożąc tę równość stronami przez „idt” otrzymujemy: Uidt = Ri²dt + Lidi.

Iloczyn Uidt jest porcją energii traconej przez źródło napięcia U w czasie dt, iloczyn Ri²dt jest energią zamienianą na ciepło w rezystorze R w czasie dt, iloczyn Lidi jest energią gromadzoną w indukcyjności L w czasie dt. Całkowitą energię zgromadzoną w polu magnetycznym cewki W_L otrzymamy całkując iloczyn Lidi od zerowej wartości prądu do wartości ustalonej I = U/R.

Wymiar [W_L] = [L][I²] = 1 (Vs/A) A² = 1 VAs = 1 J. Warto przy okazji odnotować, że podobieństwo wzoru na energię W_L do wzorów na energię kinetyczną w układach mechanicznych mv²/2 lub Jω²/2 jest podstawą do modelowania analogowego

(symulacji) układów mechanicznych za pomocą układów elektrycznych. Indukcyjność w obwodzie elektrycznym jest elementem wykazującym inercję (bezwładność).

Siła przyciągania elektromagnesu

W wielu urządzeniach elektromagnesy są stosowane w celu wytworzenia odpowiedniej siły. Spotykamy elektromagnesy

w podnośnikach elektromagnetycznych służących do podnoszenia ciężarów czy w stycznikach i przekaźnikach do przesterowania

styków. Podczas przemieszczania zwory wykonywana jest praca z użyciem siły F.

Praca równa jest zmianie energii pola magnetycznego elektromagnesu.

Energia pola magnetycznego wyraża się przez: W_m = Li ²/2.

Indukcyjność z definicji występuje w wyrażeniu na indukowaną siłę elektromotoryczną E = -L(di/dt), ale też z prawa Faradaya otrzymujemy E = - N(dΦ/dt), gdzie N jest

liczbą zwoi otaczających strumień Φ. Z analizy obwodów magnetycznych pamiętamy, że Φ = Ni/R_m = NiµS/l - dla prostego układu bez szczeliny.

Zatem możemy zapisać E = -L(di/dt) = - N(dΦ/dt) = -(N²µS/l)(di/dt), z czego wynika, że L = N²µS/l. Więc energia pola magnetycznego daje się zapisać jako

W_m = (N²µ^{S/l) i2}/2 . Wykorzystajmy jeszcze związek między indukcją magnetyczną B a prądem i : µ ^{H =} µ Ni/l; B = µ Ni/l i wstawmy za i wyrażenie i = Bl/(µ ^{N) do}

wzoru na W_m . W_m = (N²µ^{S/2l) (Bl)2/(}µ ^{N)2 = B2Sl/(2}µ^{) = B2V/(2}µ) = HBV/2. Warto odnotować, że energia pola magnetycznego to iloczyn B² i objętości przestrzeni, w której rezyduje indukcja B, podzielony przez 2µ.. Aby z tego wyrażenia obliczyć siłę zastosujmy rozumowanie: dW = (dW/dl)dl = Fdl: F = dW_m /dl

F = (BVdB/dl)/µ ^{+ B2S/(2}µ⁾

Siła przyciągania elektromagnesu

gdy szczelina jest wyzerowana

Siła przyciągania elektromagnesu

gdy szczelina jest mała ale nie zerowa.

Indukcja wzajemna

określa sprzężenie magnetyczny między uzwojeniami powodowane ich wzajemną bliskością i orientacją.

Indukcja wzajemna oznaczana jest symbolem M i zdefiniowana równością:

u

= Mdi

/dt

Kropki na rysunku (i na schematach) oznaczają końcówki cewek o zgodnej polaryzacji (zgodnej fazie napięć).

W cewce, gdy płynie przez nią prąd zmienny, indukowane jest też napięcie za sprawą samoindukcji.

u

Zatem napięcie wymuszające prąd i_a gdy zaciski uzwojenia wtórnego są rozwarte spełnia równość:

u_a = iR + L_adi_a/dt.

Gdy w uzwojeniu wtórnym popłynie prąd to napięcie wymuszające ma do

pokonania jeszcze jedno obciążenie i w zakresie liniowym całego układu mamy u_a = iR + L_adi_a/dt + Mdi_b/dt.

Czy można analizować układy sprzężone przy pomocy układów zastępczych? Owszem, można to robić stosując tzw. źródła zależne (źródła sterowane):

ε

= - L

di

/dt ± Mdi

/dt ε

= - L

di

/dt ± Mdi

/dt

Pierwszy człon po prawej stronie obu równań pochodzi od samoindukcji danej cewki, a drugi od jej indukcyjności wzajemnej z drugą cewką. Znak drugiego członu, zależnie od sposobu w jaki strumień magnetyczny jednej cewki

przenika drugą. Oczywiście w obszarze liniowym napięć i prądów

analizowanego układu dopisywane równania (np. jak zależy dana siła EM od prądu w innej części układu) są liniowe.

Dla przebiegów sinusoidalnych, w zapisie zespolonym mamy:

± MdI

/dt = ± j ω MI

± MdI

/dt = ± j ω MI

Na marginesie dodajmy, że oprócz indukcyjności wzajemnej mogą

też występować pojemności wzajemne.

Taką sytuację można spotkać w wiązkach

przewodów elektrycznych czy w lampach elektronowych, gdzie występuje wiele elektrod jedna obok drugiej. Jeżeli na jedną z takich elektrod wprowadzany jest ładunek elektryczny to jego pole wyindukuje pewien rozkład ładunku na

pozostałych i będzie wpływać na ich potencjały elektryczne.

W układach wysokich częstotliwości takie pojemności mogą stanowić małą impedancję: 1/j ω C i znaczną

konduktancję: j ω C, odpowiedzialną za przenikanie sygnałów

pomiędzy obwodami elektrycznymi. Innymi słowy pojemności

wzajemne (czasem bardzo niepożądane) mogą sprzęgać ze

sobą odizolowane od siebie obwody elektryczne.

Liniowy sensor położenia z

transformatorem różnicowym.

W układzie obok od położenia ruchomego rdzenia zależą wartości indukcji wzajemnych dwóch uzwojeń wtórnych z uzwojeniem pierwotnym - M₁ i M₂.

Uzwojenia wtórne 1 i 2 są połączone szeregowo ale w taki sposób, że ich siły elektromotoryczne są w przeciwfazie: u_out = (M₁ – M₂)di/dt.

Gdy w uzwojeniu pierwotnym mamy wymuszenie

sinusoidalne to amplituda sygnału wyjściowego u_out będzie zależała od położenia rdzenia. W pozycji zerowej u_out będzie równe zeru. Sensory położenia tego typu są projektowane tak aby M₁ – M₂ było liniową funkcja przemieszczenia.

Reluktancyjny sensor przemieszczenia i prędkości.

Bardzo prostym w działaniu jest sensor w postaci magnesu trwałego z nawiniętym na nim uzwojeniem.

Kiedy ferromagnetyczne klocki przelatują między biegunami magnesu trwałego zmienia się strumień magnetyczny. Dzieje się tak ponieważ reluktancja

obwodu magnetycznego maleje gdy klocek ferromagnytyczny zmniejsza

rozmiary szczeliny i rośnie gdy klocek opuszcza bieguny magnesu trwałego. W uzwojeniu pojawia się siła elektromotoryczna zgodnie z prawem Faradaya:

e = -dΦ/dt.

Energia i ko-energia

W praktyce często (zwłaszcza w zakresie większych natężeń pola magnetycznego) zależność pomiędzy strumieniem

skojarzonym Ψ a natężeniem prądu jest nieliniowe.

Wynika to z faktu, że materiały ferromagnetyczne (z których wykonywane są rdzenie magnetyczne) mają w tym względzie nieliniowe charakterystyki.

W konsekwencji indukcyjność L, nie może być stała, ale zależy od natężenia pola magnetycznego i proste wyrażenie U = Ldi/dt ze stałym L nie może być stosowane swobodnie. Wówczas dogodniej jest opierać analizę na bilansie energetycznym.

Energia magnetyczna W_mag możemy wyrazić jako całkę z mocy p = ei – gdzie siła elektromotoryczna e = dΨ/dt, e = d(k_wNΦ)/dt, czyli:

W

= ∫eidt’ lub: W

= ∫(d Ψ /dt)idt’ = ∫id Ψ ’

W’

= i Ψ - W

∫ Ψ di –

nazywamy

ko-energią (czasem użyteczną).

Energia i ko-energia

Okazuje się, że energia i ko-energia są sobie równe gdy zależność między „Ψ” a „i” (czy między „Φ” a „F_m”) może być uznana za liniową (lub liniową w przybliżeniu).

Natomiast małe zmiany energii i ko-energii są sobie równe nawet przy nieliniowej zależności strumień skojarzony – natężenie prądu.

Przykład 6.8. Wyliczyć energię i ko-energię oraz przyrostową liniową

indukcyjność L_∆ cewki z rdzeniem. Wyliczyć również napięcie na zaciskach cewki mając dane: zależność między prądem a strumieniem skojarzonym Ψ w postaci i = Ψ + 0,5 Ψ²; nominalną wartość Ψ = Ψ_o = 0,5 Vs; R = 1 Ω; i(t) = 0,625 + 0,01sin(400t).

Rozwiązanie. 1) Energia i ko-energia: W_mag = ∫idΨ’ = ∫(Ψ + 0,5Ψ²)dΨ’ = Ψ²/2 + Ψ³/6, podstawiając do tego wyrażenia nominalną wartość strumienia

skojarzonego Ψ₀ = 0,5 Vs otrzymujemy:

W_mag(Ψ = Ψ₀) = 0,5²/2 + 0,5³/6 = 0,1458 J.

W’

= i

2) Indukcyjność przyrostowa L_∆= dΨ/di = 1/(di/dΨ) = 1/[(d/dΨ)(Ψ + 0,5Ψ²) = 1/(1 + Ψ) w otoczeniu Ψ₀ = 0,5 Vs, L_∆ = 1/(1 + 0,5) = 0,667 H (w otoczeniu i = 0,625 A).

3) u = iR + L_∆di/dt = [0,625 + 0,01sin(400t)]×1 + 0,667 × 4cos(400t) = 0,625 + 0,01sin(400t) + 2,667sin(400t + 90°) = 0,625 + 2,667sin(400t + 89,8°).

Ten przykład ilustruje możliwość linearyzacji równań w zagadnieniach, w których zmiany pewnej wielkości (tu prądu ∆i = 0,01 A) są małe w porównaniu do wartości stałej wokół której te zmiany zachodzą (tu i₀ = 0,625 A).

Nomogram do projektowania

transformatorów

sieciowych

Wyrażenie

H = B/ µ [A/m]

sugeruje, że wielkość wektora H jest niezależna od własności magnetycznych środowiska.

I formalnie zależy od wygenerowanego natężenia prądu w uzwojeniu i geometrii tego uzwojenia. Jednak gdy ustaloną porcje energii próbujemy zamienić na energię pola magnetycznego to okazuje się, że

wygenerowany prąd (dla tej samej porcji energii) zależy od środowiska,

a zatem i wielkość wektora H!

E-E-M. Lista-06

1) Wychodząc z wyrażeń na napięcie na zaciskach uzwojenia: u = NdΦ/dt i u = Ldi/dt pokazać, że L = N²/R_m. Gdzie reluktancja R_m = Ni/Φ.

2) Mając dane układu magnetycznego pokazanego obok:

N = 1000 zwoi, i = 10 A, µ_r -> ∞, l_sz = 0,01m, S_sz = 0,1 m². Oblicz strumień magnetyczny i gęstość strumienia

w szczelinie.

3) Określić indukcyjność i magazynowaną energię magnetyczną w układzie obok.

4) Zakładając, że w szczelinie układu z zadania 3 występuje indukcja

magnetyczna (gęstość strumienia magnetycznego) B(t) = 0,6 sin(314t) Wb/m², Oblicz indukowane napięcie na uzwojeniu.

5) Oblicz siłę z jaką układ z zadania 3 „stara się” zmniejszyć szczelinę.