ZigZm _ m tK O W E p o l i t e c h n i k i ś l ą s k i e j
S e r i a : AUTOMATYKA z . 86 i a a i .
Nr k o l . 696
A ndrzej Ś w ie rn ia k P o lite c h n ik a Ś lą s k a
STEROYiANIE IKŁADEM NApęcOWYM ROBOTA PRZY NIEPEŁNEJ INFORMACJI O MODELU I ZAKŁÓCENIACH
S t r e s z c z e n i e . W a r t y k u l e p r z e d s ta w io n o a lg o ry tm s te ro w a n ia u k ła dem napędowy-® r o b o ta z a p e w n ia ją c y " p r a k t y c z n ie " s t a b i l n ą p ra c ę bądź gw arantow any k o s z t pomimo n i e p e ł n e j in f o r m a c ji o m odelu i z a k łó c e n i a c h . S y n te z a a lg o ry tm u o p a r t a J e s t o w y k o rz y s ta n ie f u n k c ji Lapunowa d la m odelu n o m in a ln e g o , a u zy sk an e prawo s te ro w a n ia J e s t f u n k c ją z na
s y c e n ie m , w g ra n ic z n y m p rz y p a d k u s t a j ą c s i ę ste ro w a n iem p r z e k a ź n ik o wym.
lfc-łtflSSŁ
Szybkość d z i a ł a n i a i p r e c y z y jn e o d tw a r z a n ie p o ż ą d a n e j t r a j e k t o r i i ru ch u n a le ż ą do podstaw ow ych wymagań s ta w ia n y c h ro b o to m . R e a l i z a c j a ty c h wyma
gań zw iązana j e s t z k o n ie c z n o ś c ią p e ł n e j z n a jo m o ś c i o b ie k tu r o b o t-e le m e n t tra n sp o rto w a n y . Z d r u g i e j s t r o n y z ło ż o n o ść te g o o b i e k t u j a k rów nież zm ien
ność o b c ią ż e ń pow o d u ją, i ż n a j c z ę ś c i e j mamy do c z y n ie n ia z n ie p e łn ą in f o n - o a c ją o m odelu i z a k ł ó c e n i a c h . Proponowana w p r a c y m etoda s y n te z y um ożliw ia u zy sk an ie r u c h u d o s t a t e c z n i e b l i s k i e g o z a d a n e j t r a j e k t o r i i w p rzy p a d k i^ gdy znane s ą J e d y n ie pewne n ie ró w n o śc io w e o g r a n ic z e n ia na r ó ż n ic e m iędzy bez
w ła d n o ś c ią , d y s y p a c ją , s p r ę ż y s t o ś c i ą i o b c ią ż e n ie m w m odelu nominalnym
& i c h rz e c z y w is ty m i p o s ta c i a m i w u k ła d z ie napędowym.
2. S fo rm u ło w an ie p roblem u
R ozpatrzm y u p ro sz c z o n y p ro b lem s te ro w a n ia w u k ła d z ie napędowym. Załóżmy, Ze i n t e r e s u j e n a s J e d y n ie o b r ó t masy tr a n s p o r to w a n e j względem J e d n e j o s i przy p o z o s ta ł y c h k ą t a c h s t a ł y c h . W szy stk ie p rze p ro w ad z o n e t u rozw ażania można w ła tw y sposób r o z s z e r z y ć v/ przypadkw. z ło ż o n y c h ruchów r o b o ta .
Równanie ru c h u in t e r e s u j ą c e g o n a s ra m ie n ia o b cią ż o n e g o ¡ » s ą można za
p isa ć w p o s t a c i :
x = [ a (^x, x , t ) +■ A a ( x , x , t ) ] x + b ( x , t ) A b ( x , t ) +
+ [ c (x , x , t ) ♦ A c ( x , x , t ) ] u -i- d ( x , x , t ) v /1 /
—
--- _ _ _ _ _ --- A.Swiernlakg d z i e a ( x , x , t ) , b ( x , t ) , c ( x , x , t ) s ą znanym i fu n k c ja m i używanymi w m odelu nom inalnym ,
A
a (x , x , t ) ,A
b ( x , t ) , j c ( x , x , t ) s ą n ie z n a n y m i o d c h y łk a m i od f u n k c j i n o m in a ln y c h w y stę p u ją c y m i w rz e c z y w is ty m u k ła d z ie napędowym, u j e s t sy g n a łem s te r u j ą c y m e le m e n tu napędow ego p r z e w id z ia n e g o do u s ta w ie n ia k ą t a x , v j e s t n ie z n a n ą w i e l k o ś c i ą z a k ł ó c a j ą c ą ,n p . o b c ią ż e n ie m . M odel n o m in a ln y o tr z y m u je s i ę p r z y o d c h y łk a c h i za
k ł ó c e n i a c h rów nych z e ro .
Z akładam y, ż e n i e z o s t a ł p r z e k ro c z o n y " p ró g n ie p e w n o ś c i" ro zu m ian y w tyra s e n s i e , ż e t o r s te r o w a n ia j e s t " s i l n i e j s z y " od t o r u n ie p e w n o ś c i^ tz n . m ożliw a j e s t dekom pozycja :
ś a ■ c , ż i b ^ c b ^ , d ■= c d^ , A c ■» c c^ / 2 /
a ta k ż e zn a n e s ą o g r a n i c z e n i a g ó rn e n ie p e w n o ś c i i
l a -jXl ^ A ( x , x , t ) , |b1 | < ’ B ( x , t ) , C ( x , x , t ) < 1
|ó ^ v ( ^ D ( x ,x , t ) / 3 /
Zakładam y p o n a d to , ż e r o z w ią z a n ie ( x ( t ) , x ( t ) ) Sr C®*®) c^ a swobodnego m odelu n o m in aln eg o j e s t a s y m p to ty c z n ie g l o b a l n i e s t a b i l n e w s e n s i e Lapunowa
p . | n p . £1 } i można z n a le ź ć f u n k c ję Lapunowa V ( x , x , t ) d l a te g o mo
d e l u . . W p rz y p a d k u s ta c jo n a r n y m c z ę s t o w y s ta r c z y p r z y ją ć , u p r o s z c z o n ą formę t u r i e £2 ] ja k o f u n k c ję Lapunowa :
x
V ( x ,x ) = x2 - 2
J
b ( y ) d y / V0
W arunki d o s t a t e c z n e a s y m p to ty c z n e j s t a b i l n o ś c i g l o b a l n e j u z y s k u je s i ę wów
c z a s p o p rz e z z a ł o ż e n i e , ż e
b ( x ) x ■< 0 b (0 ) ■» 0 / 5/
o r a z a ( x , x) < 0 16/
gdyż d la m odelu ro m in a ln e g o pochodna f u n k c j i Lapunowa l i c z o n a w zdłuż t r a j e k t o r i i ma p o s ta ć s
VN = 2a ( x ,x ) x2 / 7 l
Model z n ie p e w n o ś c ią /1 j wymaga in n e g o o k r e ś l e n i a s t a b i l n o ś c i t r a j e k t o r i i
S te r o w a n ie układem n a p ę d o w a . . . 95
n i ż d e f i n i c j a Lapunow a. Wprowadzimy w tym c e l u p o j ę c i e s t a b i l n o ś c i " p ra k ty c z n e j" [3 ] w n ie c o odmiennym s e n s i e n iż d e f i n i c j a zaproponowana p r z e z La S a l l e 'a Q1 ] , Żądać będziem y m ian o w icie ,aby d la w sz y s tk ic h m ożliw ych w a r to ś c i zm ien n y ch n ie p ew n y ch ro z w ią z a n ia rów nania / • ) / b y ły j e d n o s t a j n i e o g r a n ic z o n e £ 4 j o r a z by i s t n i a ł o o t o c z e n i e z e r a , w k tó ry m w s z y s tk ie r o z w ią z a n ia s ą o s t a t e c z n i e j e d n o s t a j n i e o g r a n ic z o n e [ 5 ] , p rz y czym o to c z e n ie to można u c z y n ić d o w o ln ie małym .
P re c y z y jn e z d e f in io w a n ie wymagania s ta w ia n e g o praw u s te ro w a n ia o r a z je g o s y n te z ę p r z e d s ta w ia r o z d z i a ł 3 , W r o z d z i a l e 4 n a to m ia s t fo rm u łu je s i ę n ie c o odm ienne sfo rm u ło w a n ie c e l u s te ro w a n ia p o le g a ją c e na wymaga
n i u z a p e w n ie n ia z a d a n e j w a r to ś c i wrskaźnika k o s z t u , n ie m n ie j je d n a k s y n te z a praw a s te ro w a n ia p r z e b ie g a p o d o b n ie .
3 , S y n te z a u k ła d u p r a k t y c z n i e s t a b i l n e g o
P oszukiw ać będziem y praw a s te ro w a n ia :
u » k ( x , x , t ) /8/
z a p e w n ia ją c e g o p r a k ty c z n ą s t a b i l n o ś ć w s t o p n i u q f t z n . d la dowwolnego r > O :
1 . za m k n ię ty u k ła d / 1 / ze stero w an iem / 8 / p o sia d a ro z w ią z a n ie z warunkiem x ( t 0 ) » x 0 , x t t 0 ) « 0 , !x 0 l ¿ r d la k ażd ego t 6 [ t 0 , t ^ j e d n o s t a j n i e o g r a n ic z o n e 1 t z n . i s t n i e j e s t a ł a p ( r ) ta k a , że
2 . ro z w ią z a n ie to j e s t p r z e d łu ż a ln e na d o d a t n ie j p ó ło s i i o s t a t e c z n i e o g r a n ic z o n e d l a dow olnego f g ) t z n . dow olne ro zw d ąz an ie x ( t ) d la k ażdego t 6 [ t 0 ,o o ) z w arunkiem x ( t Q)= xo> x(tę,} » 0 , | x o|- $ r p o s ia d a t ę w ła s n o ś ć , ż e i s t n i e j e c z a s T ( f , r ) < 0 0 t a k i , że
to j e s t s t a b i l n e (t z n . i s t n i e j e m ( f ) t a k i e , ż e d la każdego txq1 m^f) ,
Z a k ła d a ć będziem y, ż e f u n k c ja /8 / j e s t c i ą g ł a , aby i s t n i a ł a możliwość k la s y c z n e j a n a l i z y r o z w ią z a n ia ró w n a n ia . W tym c e l u wprowadzimy p a ra m e tr
?. , k tó r e g o g r a n ic z n a w a rto ś ć Z = 0 p ro w a d z i do n i e c i ą g ł o ś c i s te r o w a n ia . D la z a ło ż o n e g o Z przyjm iem y prawo sterow rania o p o s t a c i s
t t + T ( f , r ) , a p o n a d to o to c z e n ie
A «S w le rn la ki
g d z ie R ( x , x , t ) j e s t o g r a n ic z e n ie m n ie p e w n o ś c i, k tó r e g o p o s ta ć z o s t a n i e wyprowadzona p o n i ż e j .
Z apiszm y /1 / w p o s t a c i :
o • • •
x « a ( x ,x , t ) x + b ( x , t ) + c ( x , x , t ) u + c ( x , x , t) f /1 0 /
g a z i e f - a 1 ( x , x , t ) x + b 1 ( x , t ) + c1 ^ x , x , t ) u + d 1( x , x , t j v Ponieiież z / 9 / wynika, że | u \ ^ . R więc można oszacować f p r z e z t
\ f \ ^ A ( x , x , t ) + B ( x , t ) + C ( x , x , t ) R ( x , x , t ) + D ( x , x , t )
P rz y jm u ją c , t e R j e s t o g r a n ic z e n ie m górnym \ f \ otrzym ujem y :
R o A + B + C R + D
sk ąd
R - ( i - C) " 1 (A + B + D) / 1 1 /
O szacow anie s t a ł y c h p ( r ) , m ( f ) o r a z c z a s u T ( f , r ) j e s t m ożliw e po wpro
w ad zen iu f u n k c j i o g r a n ic z a ją c y c h f u n k c ję Lapunov* 1 j e j p o ch o d n ą w zdłuż n o m in a ln e j t r a j e k t o r i i . J e ś l i p rzyjm iem y m ia n o w icie
(x ^+ x ^ ) ś V ( j c , x , t ) ^ ) /.1 2 /
VN ^ -L3 ^x2+x2 ) < 0 / 1 3 /
otrzym amy £.31 !
f l ; 1( l 2W ( I ) ) ) r ^ x 31 ( i )
p { r ) - J / l V
l Ś 1 ( L 2 ( r ) ) r > L ‘ 1 C D
S te rove a l e układem napędowym . . . 97
0 T ( f , r ) =
L2 l r ) - Li f e 1 U » )) Mih ( L j ^ + x 2) - § )
/ 1 5 / r >
V. x ,x
m (f) «» L j1 | /16/
P rzy p ad ek g r a n ic z n y Z «* 0 p r o v a d z l ■wprawdzie do a s y ip to ty c z n e j s t a b i l n o ś c i g l o b a l n e j u k ła d u , a l e n i e można go rozw ażać w k lasycznym u j ę c i u j a k o śc io w e j t e o r i i rów rań ró żn ic zk o w y ch Lapunowa, w k tó ry m z a k ła d a n a J e s t c i ą g ł o ś ć p raw ej s t r o n y ró w n a n ia . Rozw ażenie te g o p rz y p a d k u wymagałoby z a s to s o w a n ia a p a r a t u równań k o n tin g e a so w y c h £6 ] .
W p rz y p a d k u s ta c jo n a rn y m , gdy z a sto so w a n a z o s t a ł a f u n k c ja Lapunowa / k / , prawo s te r o w a n ia u p r a s z c z a s i ę do p o s t a c i s
W c h a r a k te r z e p r z y k ła d u rozważmy u k ła d napędowy, d la k tó r e g o rów nanie ru ch u względem j e d n e j o s i można z a p is a ć w p o s t a c i :
g d z ie s te ro w a n ie J e s t momentem napędowym pod zielo n y m p r z e z moment bezw ład
n o ś c i , a w ozn a cz a n ie z n a n e d o k ła d n ie p r z y ś p i e s z e n i e kątow e wywołane o b c ią ż e n ie m o g ra n ic z o n e p r z e z n ie ró w n o ść : | v | ^ R - c o n s t .
S y n tez y s te ro w a n ia dokonamy w dwóch e ta p a c h ; w pierw szym dokonamy s t a b i l i z a c j i D odelu nom inalnego , t z n . w którym w J e s t równe ze ro p o p rz e z w prow adzenie lin io w e g o s p r z ę ż e n ia od p o ło ż e n ia 1 p r ę d k o ś c i /a lg o r y tm PD / ; w drugim wprowadzimy proponow ane prawo s te ro w a n ia / 9 / «
2 R c ( x . x ) x Z
x » - b s i n x + u - w ( t ) c o s x / 1 7 /
A zatem :
/ 1 6 /
P rzy czym
/ 1 9 /
2 &
______ - ____________________ A.Swiernlaks i n x
g d z i e k ? ^ O o r a z k.. + b m in 0
1 X X
u2 wyznaczymy v o p a r c iu o z a le ż n o ś ć / 9/ p r z y w y k o rz y s ta n iu f u n k c j i Lapunowa f2 } 1
k 2
V - (k^ + - — ) x2 + k 2 x x + x 2 + 2b (1 - c o s x ) /20/
Otrzymamy za te m
- R |c o s x | sg n ( k 2x + 2 x ) | c o s x | |k 2x + 2 x | > Z
U2 ‘ 1 k • / 2 1 /
- R | c o s x | — --- | c o s x ) |k x + 2 x | Z
k . S te r o w a n ie g w a r a n tu ją c e zad an y k o s z t
Z a d a n ia s ta w ia n e p r z e d układem napędowym można czasem sform ułow ać w p o s t a c i p ro b le m u m i n i m a l i z a c j i w sk aź n ik a j a k o ś c i . N ie p e łn a in f o r m a c ja o m odelu i z a k łó c e n ia c h u n ie m o ż liw ia u z y s k a n ie s te ro w a n ia o p ty m a ln e g o . Można je d n a k w y k o rz y sta ć m odel i zn ajo m o ść o g r a n ic z e ń na zm ienną n iepew ne do s y n te z y s te r o w a n ia g w a r a n tu ją c e g o zad an y k o s z t [7j .
Przyjmować będ ziem y , ż e w sk aź n ik p o d le g a ją c y m in i m a l i z a c j i d la u k ła d u / 1 / ma p o s ta ć :
T
I ■ \ H x , x , u 1 ^ d t /22/
%
S te ro w a n ie u s k ła d a s i ę z dwóch sk ła d o w y ch t u^ z a p e w n ia ją c e j m ln in e - l i z a c j ę w sk aź n ik a d la m odelu n o m in a ln e g o , k t ó r e j k o s z t w lic z a n y J e s t do w sk aźn ik a o r a z u2 m a ją c e j c h a r a k t e r " t a n i e j " pop raw k i z a p e w n ia ją c e j g* « - ran to w a n y k o s z t mimo i s t n i e n i a n ie p e w n o śc i . K o s z t s te ro w a n ia il, n i e j e s t w lic z a n y do w s k a ź n ik a , a l e a m p litu d a u2 j e s t o g ra n ic z o n a n ie ró w n o ś c ią
\u2 \ 4 R ( x , x , t ) / 2 3 /
g d z ie R d a n e j e s t p r z e z / 1 1 / »
Z a k ła d a ją c , t e k o s z t m in im aln y u zy sk an y p r z y z a s to s o w a n iu o ptym alnego u^
S te ro w a n i e układem napędowym . . . ♦. 99
d la m odelu n o m in aln eg o w yraża s i ę f u n k c j ą l T
V ( x , x , t ) - Min j L ( x , x f u1 ) d t t
n a l e ż y d o b ra ć fek» ab y w a r to ś ć w sk aź n ik a I d la u k ła d u / ^ / n i e p r z e k r a c z a ł a w a r t o ś c i : v ( x ( t o) » x '( t t Q ) .
S y n te z y p raw a s te ro w a n ia można dokonać s t o s u j ą c a p a r a t H a m ilto n a - - J a c o b le g o -B e llm a n a [[8 ] , s tą d można d o p u śc ić n ie c ią g ło ś ć s te ro w a n ia .
Prawo s te r o w a n ia na p o s ta ć p o d o b n ą do a n a liz o w a n e j w r o z d z i a l e / 3 / z tym , t e w ykorzystyw any j e s t p rz y p a d e k g r a n ic z n y Z <* 0 .
A zatem ]
u2 « k ( x , x , t j
g d z i e
k ( x , x , t ) « - R sgn ( c ( x , x , t ) ) ' ' / 2 V
Wówczas bowiem z a c h o d z i d l a m odelu nom inalnego i o p ty n a ln e g o !
- - L ( x , x ,u i ) + 2 _ I _ i + ( a ( x , x , t ) x + b ( x , t ) *
t 1 ^ x Q x ■ ■.
+ c( x , k , t ) U l) / 2 5 /
A zatem d la u k ła d u /1 0 / , k tó r y j e s t równoważny 1^1 mamy :
L ( x , x , u ) + * ~ ~ x + - ^ -7 - ( a ( x , i , t ) x + b ( x , t ) ♦ c ( x ,x ,t) u.,)*
S 1 u X O X
+ « ( x , x , t ) ( u2 + f ) -
j
cAx » * 't ) | ( " R + f s g n (c ( x , x , t ) ¿ p r )< 0 >26/
Z r e l a c j i /26/ w ynika, ż e s
100
A .S v d e r n la k»d l a d o w o ln ej t r a j e k t o r i i b ę d ą c e j rozw iązanie® ) /1 / 1 praw a s te ro w a n ia s u « U + U2 .
S z c z e g ó ln ie i n t e r e s u j ą c y j e s t p r z y p a d e k , w k tó ry m m odel n o m in a ln y j e s t rów naniem r u c h u z lin ea ry z o w an y m wokół z a d a n e j t r a j e k t o r i i , a w sk aź n ik j e s t fu n k c jo n a łe m kw adratow ym . Zarówno n o m in a ln e prawo s t e r o w a n i a j j a k 1 poprawka^
m a ją p r o s t ą p o s ta ó £9} i mogą być ła tw o im plem entow ane w u k ła d z ie rz e c z y w istym .
LITERATURA
[ I -] La S a l l e J . , L e f s c h e tz S , i Z a ry s t e o r i i s t a b i l n o ś c i Lapunowa i je g o m etody b e z p o ś r e d n i e j , FWN, W arszaw a, 1966 .
[ 2 ] B a rb a s z y n , I , : F u n k c ji Lapunowa, N auka, Moskwa, 1970
[3 ] S w ie m ia k , A . ; Z a s to s o w a n ie p o j ę c i a s t a b i l n o ś c i p r a k t y c z n e j do s y n te z y układów z n i e równościowym modelem n ie p e w n o ś c i, M at.IV Koni C y b e rn e ty k i w G o sp o d a rc e M o rsk ie j , 1985 , s t r . 206-214 *
£4] H a r t s a n , I . t O b yknow lennyje d i f e r e n c j a l n y j e u r a w n ie n ia . M ir, Moskwa, 1970
[ 5 j L eltm an n , G, t On th e e f f i c a c y o f n o n l i n e a r c o n t r o l i n u n c e r t a i n l i n e a r s y s te m s , ASME J . o f Dynamic S y ste m s, M e as. an d C o n t r . , v .1 0 2 , 1 9 8 1 , p p . 96- 1 0 2 .
[6] R oxin, E . : On g e n e r a l i z e d d y n a m ic a l sy s te m s d e f in e d by c o n t i n g e n t e q u a t i o n s , J , D i f f e r e n t i a l E q u a t io n s , v . 1 , 1965, p p . 188-205 [ 7 ] CŁang, S . S . L . , P eng, T .K .C . tA d a p tiv e g u a r a n te e d c o s t c o n t r o l o f
sy s te m s w ith u n c e r t a i n p a r a m e te r s , IEEE T r a n s . , AC-17, n . 7 , 1972, p p . 4 7 4 -4 8 2 .
[8] A th a n s , M ., F a lb P .L . : S te ro w a n ie o p ty m a ln e , ViNT, W arszawa, 1969 [9 ] S w ie m ia k , A . : 0 pewnym s te r o w a n iu d la u k ła d u z n i e równościowym
modelem n ie p e w n o ś c i./ w d r u k u /
R e c e n z e n t: P r o f . d r T ad e u sz P u c h a łk a U p ły n ę ło do R e d a k c ji d o 1 9 B 6 .0 4 .3 0
S te ro w a n ie układem napędowym . . . 1Q1 ynPAKiEHHE CHcrasoH hphboaa pobota
¡m
HEUomoa m m A r n0 M O W H B03M71HEM5IX
P e 3 Q M
0
B
OTSTBe npescTaMeH ajiropzTU ynpaaaemw cacTewoź rtpzBOfia pokora, nos- BajiHBmaa Ha npaKTznecKH OTadajn>HyB pad o Ty sjra-se rapaBrapoBansyr otoemootł npn HenojiHoit HH$opwauHH o MOflejra h B03MyąeHHHX . CzHres axropaTua oohobhh Ha Hcnojrb30BaHHH ^ysKuza JteryHOBa jyw HOMEHaJiBHOfi Łsoneina a nojiya8HHoa yn- paBJieHHe asjinerca ępyHKtraelł c HacHmeHHeM , KOTopas b npeaejrtHOu ojryaae oTa- hobhtch ynpasjieHzeM pejieżHoro Tsoa.: CONTROL OF ROBOT DRIVING SYSTEMS IN THE PRESENCE OF UNCERTAINTY S u m m a r y
I n t h e p a p e r we p r e s e n t dn i d e a and a s o l u t i o n o f th e q u a ra n te e d c o s t and p r a c t i c a l s t a b i l i t y c o n t r o l p ro b lem s f o r r o b o t d r i v i n g s y s te m s .
A s i n g l e arm.movem ent c o n t r o l l e d by a c o n t r o l s i g n a l o f th e d r i v i n g system i s - d e s c r i b e d by a seco n d o r d e r dynam ic model w ith u n c e r t a i n l y .A d e s ig n p r o c e d u re c o n s i s t s o f two s t a g e s . I n t h e f i r s t one we f i n d th e nom inal c o n t r o l law w hich i s an o p tim a l s t a b l e , s t r a t e g g y f o r a n o m in a l model (m odel w ith o u t u n c e r t a i t y ) w ith a g iv e n c o s t f u n c t i o n a l .T h e n o m in al model .m odel may be g iv e n f o r exam ple by t h e l i n e a r i z e d equa t i o n s o f th e second o r d e r sy stem . Then we t r y to f i n d a chep c o n t r o l ( whose norm i s bounded by th e bounds f o r u n c e r t a i n t y ) t h a t e n s u re s a q u a r a n te d c o s t p r a c t i c a l s t a b i l i t y in s p i t e o f u n c e r t a i n t y . The u n c e r t a i n t y i s m odeled d e t e r m i n i s t i c a l l y nam ely th e u n c e r t a i n e le m e n ts a r e unknown e x e p t o f th e bounds t h e i r norma..Moreover we. make some i n f o r m a ti o n a l assu m p tio n s.N am ely we assume t h a t th e u n c e r t a i n t y nay be d o m in ated by t h e c o n t r o l v a r i a b l e and t h a t th e s ig n o f t h e fee d b a c k . i s c e r t a i n . A d is c o n tin u o u s c o n t r o l law i s p ro p o se d t o q u a r a n te e t h e d e s ir e d p e rfo rm a n c e . I t d epends s e r i o u s l y on t h e in f o rm a tio n ab o u t th e u n c e r t a i t y e x p r e s s e d by c o n s t a n t s o r f u n c t i o n s c o n s t r a i n i n g t h e norma o f unknown p a r a m e te rs o r i n p u t s . To p ro v e t h e p r o p e r t i e s o f t h i s c o n t r o l th e Bellm an - H a m ilto n - J a c c o b i - Lyapu ov th e o r y i s a p p lie d .A lth o u g h t h e p e r f e c t rcea- su rm en t o f t h e p o s i t i o n and t h e v e l o c i t y i s assum ed th e same ap p ro ach may ,be u se d t o d e s ig n c o n t r o l sy ste m s i n t h e p re s e n c e o f unknown by bounded
m e a s u ra e n t e r r o r s , I n t h i s c a s e th e c o n t r o l law must ta k e t h i s u n c e r t a i n t y i n t o a c c o u n t and i t l e a d s t o t h e i n c r e a s e o f t h e c o n t r o l a m p litu d e s .
