Zastosowanie programowania celowego w polioptymalizacji pary walcowych kół zębatych o zazębieniu zewnętrznym

Seria: MECHANIKA z. 92 Nr kol. 1027

XIII MIĘDZYNARODOWE KOLOKWIUM

"MODELE W PROJEKTOWANIU I KONSTRUOWANIU MASZYN"

13th INTERNATIONAL CONFERENCE ON

"MODELS IN DESIGNING AND CONSTRUCTIONS OF MACHINES"

25-28.04.1989 ZAKOPANE

Stanisław SKOTNICKI

Instytut Podstaw Budowy Maszyn Politechnika Warszawska

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA CELOWEGO W POLIOPTYMALIZACJI PARY WALCOWYCH KOL ZĘBATYCH O ZAZĘBIENIU ZEWNĘTRZNYM

Streszczenie. W pracy przedstawiono model matematyczny dla zadania poi ioptymalizacji pary walcowych kół zębatych o zazębieniu zewnętrznym. Przyjęto metodę poiioptymalizacji opartą, na algorytmie nieliniowego programowania celowego.

Sprawdzenie wytrzymał ościowe pary kół oparto na zaleceniach normy DIN 3990.

1. Wprowadzenie

Przekładnia zębata o walcowych kołach i zazębieniu zewnętrznym należy do podstawowych konstrukcji. W procesie jej projektowania- należy dążyć do otrzymania konstrukcji optymalnej wg przyjętych kryteriów (najlepszej). Złożoność zadania utrudnia szybkie poszu­

kiwanie rozwiązania najlepszego. Przyjęcie odpowiedniego modelu matematycznego, metody optymalizacji umożliwia zastosowanie ma­

szyny cyfrowej i ułatwienie rozwiązania tego zadania.

2. Matematyczny model konstrukcji 2.1.Zmienne decyzyjne

Przekładnię zębatą można zamodelować jako punkt w przestrzeni n wymiarowej, należący do pewnego obszaru dopuszczalnego okreś­

lonego narzuconymi na przekładnię ograniczeniami C33. Współrzę­

dnymi tego punktu są wszystkie wielkości opisujące tę przekład­

nię. Można je podzielić na dwie grupy;

- zmienne decyzyjne, - parametry.

Jako zmienne decyzyjne przyjęto : - odległość osi kół a ,

- kąt pochylenia linii zębów

- stosunek szerokości wieńca do średnicy zębnika k , - suma współczynników przesunięcia zarysu S ,

- stosunek współczynnika przesunięcia zarysu zębnika i współczyn­

nika przesunięcia zarysu koła t .

248

S.

P o z o s t a ł e w i e l k o ś c i o k r e ś l a j ą c e p a r ę kół p r z y j ę t o j a k o p a r a m e t r y . Z e w z g l ę d u n a c h a r a k t e r z m i e n n y c h * m o d u ł n o r m a l n y i l i c z b y z ę ­ b ó w z ę b n i k a i k o ł a ( p r z y j m o w a n i e d y s k r e t n y c h w a r t o ś c i ) p o t r a k t o ­ w a n o j e j a k o q u a s i - z m i e n n e d e c y z y j n e . O z n a c z a to, Z e p o p r z y j ę c i u k o n k r e t n y c h w a r t o ś c i m o d u ł u i l i c z b y z ę b ó w z ę b n i k a i k o ł a n a s t ę p u ­ j e w ł a ś c i w y d o b ó r z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h .

2 . 2 . O b s z a r d o p u s z c z a l n y

O b s z a r d o p u s z c z a l n y z o s t a ł z d e f i n i o w a n y p r z e z s f o r m u ł o w a n i e o g r a n i c z e ń g e o m e t r y c z n y c h o r a z w y t r z y m a ł o ś c i o w y c h .

J a k o o g r a n i c z e n i a g e o m e t r y c z n e p r z y j ę t o :

- o d l e g ł o ś ć os i kół n a l e ż y d o z a d a n e g o p r z e d z i a ł u <

A . ,A

lTlJ.ll Hid A

< (i ^{, f t}

>,

- s t o s u n e k s z e r o k o ś c i w i e ń c a d o ś r e d n i c y z ę b n i k a n a l e ż y d o z a d a n e g o p r z e d z i a ł u < k . . k > ,

3 m i n m ax

- s u m a w s p ó ł c z y n n i k ó w p r z e s u n i ę c i a z a r y s u n a l e ż y d o z a d a n e g o

p r z e d z i a ł u < ,

- m od u ł n o r m a l n y n a l e ż y d o s z e r e g u m o d u i ó w z a l e c a n y c h w n o r m i e P N - 7 9 / M - 8 8 5 0 2 ,

- l i c z b a z ę b ó w z ę b n i k a n a l e ż y d o z a d a n e g o p r z e d z i a ł u

<z. . ,z. >, l m i n lmax

- m i n i m a l n a g r u b o ś ć z ę b a n a ś r e d n i c y w i e r z c h o ł k ó w j e s t n i e m n i e j ­ s z a n i ż O . 4 m n ,

- c z o ł o w y w s k a ź n i k p r z y p o r u j e s t n i e m n i e j s z y n i ż 1.1 . J a k o o g r a n i c z e n i a w y t r z y m a ł o ś c i o w e p r z y j ę t o ;

- w s p ó ł c z y n n i k b e z p i e c z e ń s t w a n a z ł a m a n i e z m ę c z e n i o w e n i e m n i e j ­ s z y o d z a d a n e g o m i n i m a l n e g o ,

- w s p ó ł c z y n n i k b e z p i e c z e ń s t w a n a n a c i s k i p o w i e r z c h n i o w e n i e m n i e j s z y o d z a d a n e g o m i n i m a l n e g o .

S p r a w d z e n i e o g r a n i c z e ń w y t r z y m a ł o ś c i o w y c h o p a r t o n a z a l e c e n i a c h n o r m y D I N 3 9 9 0 C21.

2.3» K r y t e r i a jakości

J a k o k r y t e r i a j a k o ś c i p r z y j ę t o :

~ dj — s u m a m a s o w y c h m o m e n t ó w b e z w ł a d n o ś c i z ę b n i k a i k oł a.

K o ł a p o t r a k t o w a n o j a k o p e ł n e w a l c e o ś r e d n i c y r ó w n e j ś r e d ­ n i c y p o d z i a ł o w e j ,

- q.£ - c z o ł o w y w s k a ź n i k p r z y p o r u ,

- q 3 - r ó ż n i c a t r wa ł o ś c i z ę b n i k a i k o ł a n a z g i n a n i e z m ę c z e n i o w e , o b l i c z a n a d l a o g r a n i c z o n e j w y t r z y m a ł o ś c i z m ę c z e n i o w e j p a r y kół ,

- q ^ - r ó ż n i c a t r w a ł o ś c i z ę b n i k a i k o ł a n a n a c i s k i p o w i e r z c h n i o w e o b l i c z a n a d l a o g r a n i c z o n e j w y t r z y m a ł o ś c i z m ę c z e n i o w e j p a r y kół ,

- d g - s u m a c z a s u o b r ó b k i p r z e z d ł u t o w a n i e l u b f r e z o w a n i e o b w i e d ­ ni o w e w i e ń c ó w z ę b n i k a i k o ł a .

W p r o c e s i e p r o j e k t o w a n i a n a l e ż y d ą ż y ć d o m a k s y m a l i z a c j i i m i n i m a l i z a c j i p o z o s t a ł y c h k r y t e r i ó w .

3. R o z w i ą z a n i e z a d a n i a p o i i o o t y m a l i z a c i i

W w y n i k u p r z y j ę c i a t y c h k r y t e r i ó w p o w s t a j e z a d a n i e p o l i o p t y - m a l i z a c j i .

D l a r o z w i ą z a n i a t e g o z a d a n i a p r z y j ę t o a l g o r y t m n i e l i n i o w e g o p r o g r a m o w a n i a c e l o w e g o C l 3. A l g o r y t m t e n w y m a g a s f o r m u ł o w a n i a r o z w i ą z a n i a c e l o w e g o , t z n . p r z y j ę c i a w i e l k o ś c i c z y c e c h

k o n s t r u k c j i ż ą d a n e j . Z m i e n n e d e c y z y j n e są, t a k d o b i e r a n e , a b y

z b l i ż y ć s i ę m a k s y m a l n i e d o t a k p r z y j ę t e g o r o z w i ą z a n i a " i d e a l n e g o " . R o z w i ą z a n i e " i d e a l n e " m o ż e b y ć a b s o l u t n i e u t o p i j n e . N a t o m i a s t z n a l e z i o n e r o z w i ą z a n i e r z e c z y w i s t e n a j b l i ż s z e k o n s t r u k c j i c e l o w e j j e s t p o s z u k i w a n y m r o z w i ą z a n i e m o p t y m a l n y m .

W w y p a d k u r o z w i ą z y w a n i a z a d a n i a p o i i o p t y m a l i z a c j i w y m a g a n e j e s t u s t a l e n i e w a ż n o ś c i k r y t e r i ó w . O z n a c z a to, ż e k r y t e r i u m o w y ż s z y m p r i o r y t e c i e z o s t a n i e u w z g l ę d n i o n e w p i e r w s z e j k o l e j n o ś c i , a e w e n t u a l n e u l e p s z a n i e k o n s t r u k c j i w g p o z o s t a ł y c h k r y t e r i ó w n i e m o ż e p o g o r s z y ć t e g o p i e r w s z e g o .

O g r a n i c z e n i a n a l e ż y p r z y j ą ć j a k o k r y t e r i u m o n a j w y ż s z y m p r i o r y t e c i e . J a k o k r y t e r i u m d r u g i e j w a ż n o ś c i p r z y j ę t o k r y t e r i u m q^. K o l e j n y m i k r y t e r i a m i w g s t o p n i a w a ż n o ś c i s ą q 3 , q^,

T w a r z ą o n e k o m b i n a c j ę l i n i o w ą a 3 q 3 + a 4 q 4 +a,-q5 . W a r t o ś c i a3 , a 4 , a,- s t a n o w i ą w a g i u d z i a ł u t y c h k r y t e r i ó w . K r y t e r i u m q ^ u s t a n o w i o n o o n a j n i ż s z y m p r i o r y t e c i e .

D l a p r z y j ę t e g o p u n k t u s t a r t o w e g o p o s z u k i w a n i a p a r y o p t y m a l n e j p r z e b i e g a j ą p o p r z e z z m i a n y w a r t o ś c i z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h . t a k a b y s p e ł n i ć w / w k r y t e r i a z g o d n i e z p r z y j ę t ą h i e r a r c h i ą . Z m i a n y t e d o t y c z ą j e d y n i e p e w n e g o s k o ń c z o n e g o o b s z a r u w o k ó ł p u n k t u s t a r t o ­ w e g o . W c e l u p r z e s z u k a n i a c a ł e g o o b s z a r u d o p u s z c z a l n e g o n a l e ż y p r z y j m o w a ć w i e l e r ó ż n y c h p u n k t ó w s t a r t o w y c h . A b y p r z y s p i e s z y ć p o s z u k i w a n i a j a k o p u n k t y s t a r t o w e p r z y j ę t o r o z w i ą z a n i a d o p u s z ­ c z a l n e z n a l e z i o n e w g z m o d y f i k o w a n e j m e t o d y M o n t e - C a r l o o p i s a n e j w p r a c y C43.

K r y t e r i a q 3 , q 4 , q 5 m a j ą r ó ż n e w y m i a r y o r a z z a k r e s w a r t o ś c i i t w o r z ą r a z e m k r y t e r i u m z a s t ę p c z e o t r z e c i m s t o p n i u w a ż n o ś c i . A b y ł a t w i e j o k r e ś l a ć w p ł y w p o s z c z e g ó l n y c h k r y t e r i ó w n a k r y t e r i u m z a ­ s t ę p c z e p r z y j ę t o , ż e d o o b l i c z e ń n a l e ż y p r z y j m o w a ć w a r t o ś c i w z g l ę ­ d n e

tyrh

4. W y n i k i o b l i c z e ń

N a p o d s t a w i e p r z y j ę t e g o m o d e l u m a t e m a t y c z n e g o k o n s t r u k c j i o r a z m e t o d y p o s z u k i w a n i a p a r y o p t y m a l n e j z b u d o w a n o i u r u c h o m i o n o n a k o m p u t e r z e t y p u I B M P C p r o g r a m . S c h e m a t b l o k o w y c h p r o g r a m u j e s t p r z e d s t a w i o n y n a r y s . 1.

D l a p r z e d s t a w i o n y c h d a n y c h t e s t o w y c h w w y n i k u p o s z u k i w a ń m e t o d ą p r o g r a m o w a n i a c e l o w e g o o t r z y m a n o n a s t ę p u j ą c e w y n i k i .

J a k o c e l p r z y j ę t o w a r t o ś c i :

Qj = O. 0 ^ = 2. 0 ^ = O. Q = O. 0 ^ = O.

250 S. Skotnicki

W czy ta n ie d a n y c h w e jśc io w y c h o ra z pararryetrów o p is u ją c y c h m etod ę p o s z u k iw a ń p a r y o p ty m a ln e j _______

Z n a le z ie n ie p u n k tó w s ta r to w y c h p r z y s z u k a n i u m a k s y m a ln y c h w a r to ś c i k r y te r ió w q3, q4, q5 ____ _______

Z n a le z ie n ie w a r to ś c i m a k s y m a ln y c h k r y te r ió w q3, q4. qS

W ygenerow anie p w n k śó w ~ śta rto w ych dla' z n a le z ie n ia r o z w ią z a n ia o p tym a ln e g o

Rys. 1. S ch em a t b lo k o w y

F i g . 1 . S t r u e t u n o f p r o g r a m m ’ s a l g o r y t h y i

Z a ł o ż e n i a w s t ę p n e

K ą t p r z y p o r u ... 2 0 . 0 0 0 Cdegl

P r z e ł o ż e n i e p r z e k ł a d n i . . . . 3 . 0 0 0 D o k ł a d n o ś ć p r z e ł o ż e n i a . . ... . 3 . 0 0 0 CX3

M o c n o m i n a l n a ... ... 5 . 0 0 0 CkWl

M a k s . o d l e g ł . osi kół z ę b a t y c h . . . . 6 0 . 0 0 0 Cmml M i n . o d l e g ł . osi kół z ę b a t y c h ... . . A m i n = 4 0 . 0 0 0 Cmml M a k s . k ą t p o c h y l e n i a l i n i i z ę b ó w . . . . /3max = 2 8 . 0 0 0 Cd eg 1 Mi n . k ą t p o c h y l e n i a l i n i i z ę b ó w . . . . 0 0 0 C degl M a k s . l i c z b a z ę b ó w z ę b n i k a ... 3 5

M i n . l i c z b a z ę b ó w z ę b n i k a . . . Z l m i n = 14

M a k s . s t o s . s z e r . w i e ń c a d o ś r. z ę b n i k a . . k m a x = . 8 0 0 Mi n . s t o s . s z e r . w i e ń c a d o ś r . z ę b n i k a . . . k m i n = . 2 0 0 M a k s . s u m a w s p ó ł c z y n n i k ó w k o r e k c j i . . S m a x = 1 . 0 0 0 M i n . s u m a w s p ó ł c z y n n i k ó w k o r e k c j i . . . S m i n = — . 2 0 0

p r ę d k o ś ć o b r o t o w a z ę b n i k a . . . o m e g a = 2 0 0 . 0 0 0 C r a d / s l W s p ó ł c z y n n i k w y s o k o ś c i z ę b ó w . . . y = 1 . 0 0 0

W s p o ł c z . w i e l k o ś c i l u z u w i e r z c h c c = . 2 5 0 W s p o ł c z . o b c i ą ż e n i a d y n a m i c z n e g o . . . .Kj = 1 . 5 0 0

W y t r z y m . z m ę c z e ń , n a z g i n . m a t e r . z ę b n i ka. . S-fl 1 = 3 0 0 . 0 0 0 C M P a l W y t r z y m . z m ę c z e ń , n a z g i n . m a t e r . k o ł a S f l 2 = 3 0 0 . 0 0 0 C M P a l W y t r z y m . z m ę c z e ń , n a n a c i s k i mat. z ę b n i k a . .S h l 1 = 1 2 0 0 . 0 0 0 C M P a l W y t r z y m . z m ę c z e ń , n a n a c i s k i ma t. k o ł a . . . S h l 2 = 1 2 0 0 . 0 0 0 C M P a l Mi n . w s p ó ł . b e z p . z e w z g l ę d u n a z ł a m a n i e . . . S-fm = 1 . 0 0 0 Mi n . w s p ó ł . b e z p . n a n a c i s k i p o w i e r z c h n . . . . S h m = 1 . 0 0 0 M o d u ł Y o u n g a m a t e r i a ł u z ę b n i k a . . . El = 2 0 0 0 0 0 . 0 0 0 C M P a l M o d u ł Y o u n g a m a t e r i a ł u k o ł a . . . E 2 = 2 0 0 0 0 0 . 0 0 0 C M Pa l L i c z b a p u n k t ó w s t a r t o w y c h . . . N = 1 0 0

P r z y j ę t o , ż e k o ł a s ą o b r a b i a n e p r z e z -frezowanie.

O p t y m a l n a p a r a kół z ę b a t y c h

K r y t e r i a j a k o ś c i

Q l - s u m a m o m e n t ó w b e z w ł a d n o ś c i kół Q 2 - c z o ł o w a l i c z b a p r z y p o r u

Q 3 - r ó ż n i c a t r w a ł o ś c i n a z ł a m a n i e k o ł a i z ę b n i k a Q 4 - r ó ż n i c a t r w a ł o ś c i n a n a c i s k i k o ł a i z ę b n i k a Q 5 - c z a s o b r ó b k i w i e ń c ó w p a r y kół

01 = . 5 7 8 3 4 E + 0 8 C m m * * 5 1 0 2 = 1 . 3 2 1 4

Q 3 = 2 3 6 1 8 . Q 4 = 3 2 6 2 . 4

0 5 = 1 0 . 9 9 9 C m i n 1

M o d u ł n o r m a l n y . . . ... m n =

Stos. szer. wieńca

średn. zębnika..b/d

Kąt pochylenia linii zębów...

= Odległość osi kół... ...A = Czołowa liczba przypora... ...«^ = Poskokcwa liczba przyporu.. ...

Proponowana

z ę b n i k L i c z b a z ę b ó w . . . .

.z

Współczynnik korekcji ...-x = 53.000

1 . 3 7 5 1 mml . 6 4 4 1 8 . 2 3 9 C d e g l 5 3 . 0 0 0 C m m 1

1.321 1 . 2 1 5 1 0

.

koł o 5 3

1 8 . 2 3 9

252 S. Skotn^ckj

ś r e d n i c a p o d z i a ł o w a . . . -d * 2 6 . 0 5 9 7 6 . 7 3 0 [ m m 3 ś r e d n i c a s t ó p . . ■ ■ • ■ . ...ds— 24. 3 7 0 7 4 . 7 1 7 1 m m 3 ś r e d n i c a w i e r z c h o ł k ó w . . . d w = 3 0 . 5 9 6 B 0 . 9 4 3 [ m m 3

W sp . b e z p . z e w z g l ę d u n a z ł a m . . . S f = 1 . 4 2 6 1 . 4 5 3 W sp . b e z p .

na

P r z y j ę c i e m o d e l u m a t e m a t y c z n e g o o r a z p o w y ż s z y c h k r y t e r i ó w p o z ­ w a l a n a u z y s k a n i e d o s t a t e c z n i e z ł o ż o n e g o m o d e l u , a j e d n o c z e ś n i e n i e p o w o d u j e w y d ł u ż e n i a c z a s u o b l i c z e ń o r a z p o w i ę k s z e n i a z b u d o w a n e g o p r o g r a m u k o m p u t e r o w e g o .

M e t o d a p o s z u k i w a n i a r o z w i ą z a n i a o p t y m a l n e g o z a p r o p o n o w a n a p o ­ w y ż e j j e s t b a r d z o e f e k t y w n a . P r z y z a s t o s o w a n i u m i n i k o m p u t e r a

z g o d n e g o z I B M P C / X T u z y s k a n o p o w y ż s z e w y n i k i p o c z a s i e k r ó t s z y m niż

30

P r o g r a m o p r a c o w a n y j e s t b a r d z o w y g o d n y w u ż y t k o w a n i u n a w e t p r z e z o s o b y n i e o s w o j o n e z o b s ł u g ą t e c h n i k i c y f r o w e j .

L I T E R A T U R A

C13 J . I g n i z i o : G o a l P r o g r a m m i n g a n d E x s t e n t i o n s . L e x i n g t o n g B.

M a s s a c h u s e t t s 1977.

[23 Zb. J a ś k i e w i c z : P r o j e k t o w a n i e u k ł a d ó w n a p ę d o w y c h p o j a z d ó w s a m o c h o d o w y c h , WKił., W a r s z a w a 1982.

[33 Zb. O s i ń s k i , J, W r ó b e l : T e o r i a k o n s t r u k c j i m a s z y n . P W N , W a r s z a w a 1982.

[43 St. S k o t n i c k i : P r o j e k t o w a n i e w s p o m a g a n e k o m p u t e r o w o w a l c o w e j p r z e k ł a d n i z ę b a t e j o z a z ę b i e n i u z e w n ę t r z n y m i z ę b a c h s k o ś n y c h , p r a c e I n s t y t u t u P o d s t a w B u d o w y M a s z y n , n r 1 5 , W a r s z a w a 1987.

HCn0JIb30BAHHE UEJlEBOrO HEJlHHEflHOrO IIPOTPAMMHPOBAHH3 0113 MHOFO- lIEJlEBOfl OI1THMH3AI1HH IlAPbl UHnMHflPHHECKHX KOJIEC C BHEH1HHM 3AUEnJIEHHEM.

P e 3

10

3 paGoTe npn3 o a h t c a M e l o n MHoroKpuTepnaoibHoS onTHMH3ai[HH n a p a

’jHJHHnpH'iecKHX KOJiec c B H e n H H M 3aiieiuieHHeM.

3tot

‘Ha ue^eBOM HeJianeilHOM nporpaMMHpoBaHHH. BHHHCJieHHH npoHHocTu ocho- BHBaJOTca Ha M e T o n a x n p H B e n e H H H X

b

APPLICATION

S u m m a r y

A m e t h o d of p o l y o p t i m a l s e a r c h h e l i c a l g e a r s w i t h e x t e r n a l s p u r i s p r e s e n t e d . T h e m e t h o d i s b a s e d o n n o n - l i n e a r g o a l p r o g r a ­ m i n g a l g o r y t h m . R e s i s t a n c e c a l c u l a t i o n s a r e b a s e d o n m e t h o d p r o p o s e d in D I N 3 9 9 0 .

Wpłynęło do Redakcji 15.XXI.1988 r. Recenzent: doc. dr inż. Z. Jaskdła