M arek M A G IERA
Akadem ia G órniczo-H utnicza
HIER A R C H IC ZN A M E T O D A PLANO W ANIA PRO DUK CJI DLA SYSTEM U PR ZE PŁ Y W O W EG O B EZ M A GA ZYN ÓW
Streszczenie. O pracow ana dw upoziom ow a m etoda dotyczy jednokierunkow ego, w ielostadialnego system u przepływowego. N a pierw szym poziom ie tej m etody przydzielane są operacje do maszyn, a na drugim operacje te są szeregowane.
Uwzględniono przypadek, w którym m aszyny m o g ą pełnić rolę buforów oraz tzw. system „bez czekania”. Zam ieszczono wyniki testowania metody.
H IER ARCH ICAL M E T H O D OF PRO DUC TIO N PLANING FO R FLO W SHOP W ITH O U T STO RES
Sum m ary. The paper presents a two-level m ethod o f production planning for flow shop with parallel machines. The top-level is a m achine loading, i.e., allocation o f operations among the stations. The base-level is a task scheduling.
The case w hen m achines are free to use as buffers and the system without waiting are regarded. Results o f com putational experim ents are presented.
1. W prow adzenie - ogólny opis m etody
System y przepływ ow e, w których pom inięto bufory m iędzyoperacyjne, cieszą się coraz większym zainteresow aniem . W ynika to z korzyści wynikających z takich konfiguracji system ów , do których należą: prostsze sterow anie (mniej param etrów , zm iennych ograniczeń), zm niejszenie kosztów sterow ania, zw iększenie niezaw odno
ści. Dla system ów bez m agazynow ania buduje się nowe, coraz szybsze m etody plano
wania produkcji. Problem atyce tej pośw ięcone s ą m . in. prace: [1, 3 ,4 , 5, 6].
N iniejszy artykuł przyłącza się do przedstaw ionego nurtu badań. Dla w ielosta
dialnego, jednokierunkow ego systemu przepływ ow ego opracow ana została dw upozio
m owa m etoda planow ania produkcji. Na pierw szym poziom ie tej m etody operacje rozdzielane są pom iędzy m aszyny tak, aby obciążenia poszczególnych m aszyn były zbliżone. N a drugim poziom ie - w celu otrzym ania harm onogram u produkcji - szeregowane są operacje przydzielone wcześniej do poszczególnych maszyn. Każde stadium to zbiór m aszyn pracujących równolegle. Przechodząc przez dane stadium produkt obciąża w nim co najwyżej je d n ą m aszynę.
W opracowanej m etodzie uw zględnione zostały dwa przypadki:
• m aszyny m ogą pełnić rolę buforów (m ogą być „blokow ane”) - w sytuacji, gdy dana
m aszyna nie m oże wykonać operacji, produkt obciąża m aszynę, na której zakoń
czono uprzednią operację;
• m aszyny nie m ogą pełnić roli buforów - obowiązuje zakaz przerw pom iędzy w yko
nywaniem kolejnych operacji (tzw. system z ograniczeniam i „bez czekania”).
W zięte zostały pod uwagę dwa rodzaje m arszrut produkcyjnych:
• sztywne m arszruty produkcyjne - każdy typ operacji przydzielany jest do m aszyn należących do tego samego stadium;
• alternatyw ne m arszruty produkcyjne - każdy typ operacji przydzielany je st do co najmniej jednej m aszyny; m aszyny te m ogą należeć do różnych stadiów.
2. M odele m atem atyczne
Dla poszczególnych poziom ów opracowanej m etody zbudow ane zostały linio
we m odele m atem atyczne zadań program ow ania całkowitoliczbowego. Zestaw ienie oznaczeń tych m odeli, przedstaw ione jest w tabeli 1. W ykaz indeksów, param etrów i zm iennych zamieszczonych w tych m odelach przedstaw iono w tabeli 2.
Tabela 1 O znaczenia modeli m atem atycznych ___________________
Opis modelu Poziom I Poziom II
Planowanie produkcji dla systemu ze sztywnymi marszrutami,
w którym maszyny mogą pełnić rolę buforów M l-I M l-II
Planowanie produkcji dla systemu z alternatywnymi marszrutami,
w którym maszyny mogą pełnić rolę buforów M2-I M l-II
Planowanie produkcji dla systemu ze sztywnymi marszrutami,
w którym maszyny nie mogą pełnić roli buforów M l-I M2-II Planowanie produkcji dla systemu z alternatywnymi marszrutami,
w którym maszyny nie mogą pełnić roli buforów M2-1 M2-II
Tabela 2 _______ W ykaz indeksów, param etrów i zm iennych ___ __________
Indeks: /'— maszyna; i e I = / - przedział czasowy; / e i = (l,...,//}
j - operacja; = v - stadium; v e k = {l,...,<9}
________ k - produkt; k e K = W }___________________________________________
Parametry wejściowe:
a.. — przestrzeń robocza maszyny i wymagana dla operacji j;
bv — całkowita przestrzeń robocza maszyny należącej do stadium v;
g jt — czas transportu produktu k z maszyny, na której uprzednio wykonano operację na maszynę w /', uwzględniający orientację przestrzenną produktu;
p Jt - czas wykonywania operacjiy dla produktu k;
p it = 1, jeżeli maszyna / jest dostępna w przedziale czasowym I, inaczej juu = 0;
F - zbiór uporządkowanych par (/', v) takich, że maszyna i należy do stadium v;
/ — zbiór maszyn, na których można wykonać operacjęy;
J c - zbiór operacji wymagających użycia podajnika części, J c a J \ J k - zbiór operacji wykonywanych dla produktu Ic, J k c z J ;
Rk — zbiór par operacji { j , r \ gdzie j , r e J t , kolejno wykonywanych dla produktu k\
Zmienne dla I poziomu: Zmienne dla II poziomu:
Xj = 1, jeżeli operację^' przydzielono qM = 1, jeżeli w przedziale I operacje dla produktu k do maszyny inaczej xv = 0; wykonywane są na maszynie i; inaczej ąM = 0;
zijt = 1, jeżeli j produktu k przydziclo- = 1, jeżeli w przedziale / maszyna i pełni rolę bu no do maszyny i, inaczej ziJk = 0. f°ra dla produktu k; inaczej y m = 0 .
Liczba przedziałów czasow ych H szacowana je st wg procedury opisanej w pra
cy [5] (str. 170). W procedurze tej szacowana je st długość cyklu produkcyjnego , uw zględniająca ograniczoną dostępność maszyn. Liczba H w yznaczana je s t z zależ
ności: dla sztyw nych m arszrut: H = 1,3 • C“ x , dla alternatywnych: H = 1,2 • C “ x . Zadanie rozdziału operacji pom iędzy maszyny, rozw iązyw ane na I poziom ie zostało sform ułow ane w postaci liniowych m odeli m atem atycznych M l-I, M2-I:
Zm inim alizow ać: Prra (1) z iJkś x iJ; j e J k; k e K (6)
przy ograniczeniach: xij = 0 ; / g L ; y e J (7)
£ £ w + Z ( 1- M / ) ź ^ ; i ' e / ( 2) z,;<- + z vt - 1; 0 > ) , M
k e K j e j l e L l S C ^
Y j z ijk = 1 ; j J k (3) j , r e J k : j * r ; k e K (8)
i e l j
X a f y < bv ; {i, v ) e F (4) £ /z., < £ i 0 > ) e Ri >k & K (9)
j e J e i e l ¡<=1
'¿Txij > 1 ; j e J (5) x..,zijk e{ 0 ,l} ; i e l ; j e J - , k e K (10) ielj
Do m odelu M l-I należy ponadto następujące ograniczenie:
X j + x Jj < 1; ( i , v ) , ( r , f ) e F : v * e ; j e J (11) Na I poziom ie m etody m inim alizow ane je st obciążenie najbardziej obciążonej m aszyny, w yznaczane w g zależności (2). Drugi składnik nierów ności (2) uw zględnia planow ane przestoje m aszyn (np. rem onty, konserw acje, przezbrojenia) w szacowanej długości cyklu produkcyjnego C “ x . Pozostałe ograniczenia zapewniają: (3) - rozdział w szystkich operacji pom iędzy m aszyny, (4) - zachow anie ograniczonych przestrzeni roboczych m aszyn, (5) - przydział każdej operacji do co najmniej jednej m aszyny, (6) - przydział produktów do takich maszyn, do których przydzielono odpow iednie operacje, (7) - elim inację przydziału operacji do niew łaściw ych m aszyn, (8) - prze
pływ przez co najwyżej je d n ą m aszynę danego stadium , (9) - jednokierunkow ość przepływ u i zachow anie ograniczeń kolejnościow ych, (10) - binam ość zm iennych, a (11) - zbudow ane tylko dla M l-I, gwarantuje sztywność m arszrut produkcyjnych.
W yniki rozw iązań zadań M ł-I i M2-I stanow ią dane w ejściow e do problem ów rozw iązyw anych na poziom ie II. W śród param etrów wejściow ych są czasy obciążeń m aszyn m przez produkty k, znane na podstawie zależności (12):
t<t = ' E p * z# ’ i e l >k e K (12^
j e J ,
Zagadnienie szeregow ania operacji zostało sform ułow ane w postaci modeli matem atycznych: M l-II i M 2-II (wg oznaczeń z tabeli 1). Oto te modele:
Zminimalizować: ' ^ ' ^ ^ , 1 ■ qM (13)
i e l k e K l e L
przy ograniczeniach: 'Yj qM =tlk\ UgK ' JgL (14)
i e l
^ ? j w - / - ^ S i Ä- 1 + 0 - 4 V ) ' a ; i e l \ k e K ; l , f e L : I > f , lik > 1 (15)
; / e / ; / e Z (16)
k e K
2 > ,* ,< 1 ; k e K - , / z L (17)
i e l
l<hu - fil* - 1 ä gik + « (1 - 4W); *, T e /; * e K : tik,tA > 0 a £ / * = /„ + / * ; A / e £ (18)
p e l : r ś p ś i
qM,y,t, e {0,1}; i e I; k e K; I e L (19)
• O graniczenia tylko dla M l-II (m aszyny m og ą pełnić rolę buforów):
A* A* + 0 “ &*
/eA / /eA / /eA
i,r e I :i> z \ k e K > 0 a £ / * = / « + * „ (20)
p e l s ś p i i ' '
' Z i , + 4 - ) ' J 2:E / ? A ,i ł 0 ’5 ,/ J + 0 ’5 i z e I ; k e K : t ń > 0 a Y . ł/* >t* ’ l e L (21)
/ e A p e l r t S p
1 • z * s Z / • W ' » _ ° ’5 • '<*~ ° ’5 _ ;
f e L
i , T e I : i > r ; k e K : t lt,t* >0a Z tl* = ł* + t*’ 1 e L n o s
p e l T S p ś i
q,u + }’M £ 1; i e I; k e K; l e L (23)
• O graniczenie w yłącznie dla M 2-II (dla system u „bez czekania”):
l - q itl- f - q * f ^ g ik + ' * - l + a Q - q # ) ;
i , T e I : i > r , k e K : t „ t A > 0 *
Z ^ = G + **;/,/ e A (24)
p e l : r ś p ś i
Zależność (13) um ożliw ia aproksymację m inim alizacji długości uszeregow ania.
G w arantuje ona ponadto uzyskanie stosunkow o krótkich czasów zakończenia w ykony
w ania operacji dla produktów . Poszczególne ograniczenia zapewniają: (14) - rozdział operacji pom iędzy m aszyny; (15) - niepodzielność operacji (w ykonyw anie danej ope
racji w kolejnych przedziałach czasowych); (16) - przydział co najwyżej jednej opera
cji do m aszyny dostępnej w danym przedziale czasowym ; (17) - w ykonyw anie co n aj
wyżej jednej operacji produktu w danej chwili; (18) - zachow anie kolejności w ykony
w ania operacji w jednokierunkow ym system ie przepływ ow ym , uw zględniającym cza
sy transportu pom iędzy m aszynam i; (19) - binam ość zm iennych. Kolejne ogranicze
nia, zbudow ane dla M l-II, służą do: (20) - w yznaczenia łącznego czasu, w którym m aszyna m usi pełnić rolę bufora; (21), (22) - w yznaczenia przedziałów czasowych, w których m aszyna pełni tę funkcję; (23) - uniem ożliw ienia rów noczesnego w ykony
w ania operacji i pełnienia roli bufora przez m aszynę. N ierów ność (24), przynależna do m odelu M 2-II, zapew nia przepływ , w którym m aszyny nie m ogą pełnić roli buforów .
3. W eryfikacja m etody
O pracow ana m etoda została przetestow ana dla 5. grup zadań. Dla każdego testow ego zadania, rozw iązyw anego za pom ocą pakietu optym alizacji dyskretnej [2], w yznaczany byl w skaźnik y/ (25), stanow iący odchyłkę otrzym anej długości uszerego
w ania od szacowanej w artości długości uszeregow ania. Param etry grup oraz w artości średnie w skaźnika y/ zestaw ione są w tabeli 3.
W = ( CU - C LB) / C LB (25)
t \ ma x max // max
gdzie: C “ x - szacow ana długość uszeregow ania [5], C ‘'(x - długość uszeregow ania otrzym ana po zastosow aniu opisanej m etody i zależności (26):
CnL = , m ax (/• ? „ ,) (26)
i gI , Ice A J e L
T abela 3 Zestaw ienie param etrów wejściow ych i otrzym anych w yników
Parametry grupy y/ [%] dla problemów sfonnułowanych w modelach:
Grupa 9 M N W H M l-I, M1-1I M2-I, M1-1I M l-I, M2-II M2-1, M2-II
1 2 4 10 3 18 9,3 8,4 14,8 10,7
2 2 6 12 4 20 8,3 7,5 13,3 9,6
3 3 6 14 6 30 7,7 7,1 11,5 8,8
4 3 8 16 7 35 7,4 6,5 10,3 7,9
5 4 8 18 8 40 6,8 5,0 9,4 7,4
Liczby: 9 - stadiów, M - łów czaso%vych.
maszyn, N - typów operacji, W - typów produktów, H - przedzia-
Jak w ykazały w yniki eksperym entów obliczeniow ych, najw iększa w artość odchyłki yi nie przekroczyła 15,1%, a jej średnia w artość 14,8%. W przypadku przyjęcia sztyw nych m arszrut produkcyjnych w artości tych odchyłek były w iększe w porów naniu do w yników w yznaczonych dla alternatyw nych m arszrut. W yniki w ykazały rów nież w pływ m ożliw ości „blokow ania” m aszyn na w ydłużenie długości uszeregow ania - w odniesieniu dla system u przepływ ow ego „bez czekania” .
4. Uwagi końcowe
Rozwój techniki kom puterow ej i oprogram ow ania d ają dobre perspektyw y dla opracow anych m odeli zadań program ow ania całkow itoliczbow ego. M odele te m o g ą być oczyw iście zm odyfikow ane, rozbudowane. M ożna je ponadto w ykorzystać do b u dowy algorytm ów heurystycznych, um ożliw iających rozw iązyw anie opisanych zadań w znacznie krótszym czasie.
D ekom pozycja zagadnienia planow ania produkcji na dwa zadania cząstkow e, rozw iązyw ane na kolejnych poziom ach m etody, um ożliw iła rozw iązyw anie próbie-
m ów o stosunkowo dużych rozmiarach. A lternatyw ne podejście do planow ania pro dukcji - monolityczne - charakteryzuje się bowiem znaczną liczbą param etrów i zm ie
nnych, co wpływa na rozm iary zadania a tym sam ym na czasochłonność obliczeń.
Pom inięcie buforów m iędzyoperacyjnych uprościło sterowanie system em i ob
niżyło jeg o koszty. U w zględnienie ograniczonej dostępności m aszyn w płynęło ko
rzystnie na planowanie ich przezbrojeń, przeglądów technicznych, rem ontów itp.
LITERATU RA
1. Abadi I. N. K., Hall N. G., Sriskandarayah C.: M inim izing Cycle Tim e in a Blocking Flowshop. Operations Research, 46, 2000, p. 177-180.
2. Fourer R., Gay D., K em ighan B.: A M PL - A M odelling Language for M athem atical Programming. Boyd & Fraser Publishing Com pany 1993.
3. Grabowski J., Pem pera J.: Zagadnienie przepływ ow e z ograniczeniam i “bez m agazynow ania”. A lgorytm tabu search z m ultirucham i. A utom atyka, tom 9, zeszyt 1-2, W ydawnictwa AGH, Kraków, 2005, s. 95-104.
4. Hall N. G., Sriskandarayah C.: A survey o f m achine scheduling problem s with blocking and no-wait in process. O perations Research, 44, 1996, p. 510-525.
5. M agiera M.: A lgorytm y szeregowania operacji dla wielostadialnego system u przepływ ow ego z ograniczeniam i bez czekania; w: Kom puterow o zintegrow ane zarządzanie, tom II pod red. R. Knosali. O ficyna W ydaw nicza Polskiego Tow arzystw a Zarządzania Produkcją, Opole 2006, s. 167-186.
6. Reddi S.S., Ram am oorthy C,V.: On flowshop sequencing problem s w ith no-w ait in process. Operational R esearch Quarterly, 23, 1972, p. 323-331.
7. Sawik T.: Badania operacyjne dla inżynierów zarządzania. W ydaw nictw a AGH, K raków 1998.
Recenzent: D r hab. inż: M. Zaborowski, prof. IISiT PAN A bstract
The paper presents a m ethod o f production planning for a flexible unidirectional system without stores. The proposed m ethod is hierarchical. The top-level is a m achine loading, i.e., allocation o f operations am ong the stations. The base-level is a task sche
duling. The case when m achines are free to use as buffers and the system w ithout w ai
ting are regarded. The m athem atical linear m odels with binary decision variables are constructed for the described levels. The m odels are created for two different types o f routes: fixed and alternative production routes. The schedule is divided into tim e inter
vals in the method. The approxim ation to time criterion is used in the m ixed integer program m ing. Results o f com putational experim ents w ith the m ethod are included.
