Weryfikacja wiarygodności modelu matematycznego maszyny indukcyjnej w stanach nieustalonych uwzględniającego zjawisko nasycenia

ZESZYTY N A U K O W E PO LITEC H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria E L E K T R Y K A z. 171

2000 N r kol. 1466

Jerzy K U D Ł A

Katedra M aszyn i U rządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej

W ERYFIK ACJA W IA RY G O DN O ŚCI M O DELU M A T E M A T Y C Z N E G O M ASZYNY IN D U K C Y JN E J W STANACH NIEU STA LO N Y C H

U W Z G LĘ D N IA JĄ C E G O ZJAW ISKO NASYCENIA

S treszczen ie. W artykule przedstaw iono model m atem atyczny maszyny indukcyjnej obow iązujący w stanach nieustalonych, w którym uw zględniono zjaw isko nasycania się rdzeni m agnetycznych maszyny przez pole m agnetyczne głów ne i pola rozproszeń. W ykorzystując param etry elektrom agnetyczne m aszyny estym ow ane na p odstaw ie charakterystyk statycznych przeprow adzono badania sym ulacyjne jej stanów dynamicznych. Wyniki symulacji procesu rozruchu silnika porów nano z wynikami pom iaru dokonując w ten sposób oceny wiarygodności modelu.

VERIFICATION OF THE RELIABILITY OF AN INDUCTION MACHINE MATHEMATICAL MODEL IN THE TRANSIENT STATE TAKING INTO ACCOUNT SATURATION EFEECT

S u m m a ry . In the paper an induction machine mathematical m odel in the transient state in w hich the saturation effect o f the machine m agnetic cores by the main and leakage m agnetic fields has been taken into account is presented. The simulation investigations o f the transient state have been perform ed using the electrom agnetic param eters o f the machine, which have been estim ated basing on steady state characteristics. R esults o f the simulations and measurem ents during start-up have been com pared and the reliability o f the mathematical model has been verified.

1. W PR O W A D Z E N IE

B adania o raz analiza w łaściwości eksploatacyjnych maszyn indukcyjnych pracujących w system ach elektrom echanicznych dokonyw ane są coraz częściej za p o m o cą kom puterów przy w ykorzystaniu specjalistycznego oprogram ow ania. O program ow anie to w ykorzystując sform ułow ane w języku algorytm icznym modele m atem atyczne maszyn indukcyjnych oraz innych elem entów badanych system ów umożliwia przeprow adzenie w szechstronnych eksperym entów sym ulacyjnych odtw arzających różnorodne stany pracy system ów w tym także stany awaryjne.

122 ./. Kudła

P rzydatność przeprow adzonych badań symulacyjnych zależy od wielu czynników, przy czym do szczególnie w ażnych można zaliczyć w iarygodność uzyskanych w taki sposób w yników obliczeń o raz wyciąganych na ich podstawie wniosków.

W iarygodność badań symulacyjnych, której m iarą m ogą być w yznaczone dla typowych stanów pracy różnice między wynikami pom iarów a wynikami obliczeń kom puterow ych zależy przed e wszystkim od:

dokładności odw zorow ania w modelach matematycznych maszyn elektrycznych zjawisk elektrom agnetycznych decydujących o ich w łaściwościach eksploatacyjnych,

dokładności w yznaczenia poprzez pomiar lub obliczenia param etrów elektrom agnetycznych w ystępujących w rów naniach tw orzących ich modele m atem atyczne

D o zjaw isk, k tó re m ają duży wpływ na właściwości maszyny, zaliczyć m ożna zjawisko nasycania się rdzeni m agnetycznych stojana i wirnika zarów no w polu magnetycznym głów nym , ja k i polu rozproszenia. Nieuwzględnienie tego zjawiska m oże być przyczyną błędów między wynikami badań symulacyjnych i pomiarowych, szczególnie w idocznych przy zm ianach stanu nasycenia rdzeni magnetycznych maszyny. W niniejszej pracy p rzedstaw iono m odel matem atyczny maszyny indukcyjnej obow iązujący dla stanów nieustalonych oraz dokonano weryfikacji tego modelu w ykorzystując w tym celu param etry elektrom agnetyczne estym ow ane z charakterystyk statycznych [4,5]

2. M O D E L M A TEM A TY C ZN Y M A SZY N Y IN D U K CY JN EJ W STA N A C H N IE U S T A L O N Y C H

M odele m atem atyczne maszyn indukcyjnych formułuje się zw ykle w e w spółrzędnych naturalnych (fazow ych), następnie stosując odpow iednie transform acje przekształca się rów nania tw o rzące modele do prostszych postaci w tak zwanych dw uosiow ych układach w spółrzędnych. W dalszej kolejności wielkości elektrom agnetyczne w ystępujące w dw uosiow ych układach w spółrzędnych zastępuje się często w ektoram i przestrzennym i upraszczając k o ń co w ą postać rów nań maszyny [6],

Z e w zględu na to, że wpływ zjaw iska nasycenia stosunkow o łatw o je st uw zględnić po p rzez m odyfikację rów nań maszyny indukcyjnej, w których wielkości elektrom agnetyczne w yrażone są za pom ocą w ektorów przestrzennych i ich składowych osiow ych, w dalszej części pracy rów nania te będą stanowiły podstaw ę rozważań.

Z jaw isko nasycania się rdzeni ferromagnetycznych stojana i w irnika maszyny indukcyjnej z w irnikiem jednoklatkow ym , w którym pomija się zjaw isko w ypierania prądu, m ożna uw zględnić w jej m onoharmonicznym modelu matematycznym przyjm ując oprócz tradycyjnych [6] now e dodatkow e założenia:

- charakterystyki m agnesow ania rdzeni ferrom agnetycznych stojana i w irnika są nieliniowe jednoznaczne,

- zjaw iska nasycania się rdzeni magnetycznych maszyny przez pole m agnetyczne głów ne i pola ro zproszenia są od siebie niezależne, tak że m ożna je analizow ać oddzielnie,

Ocena w ia ryg o d n o ści m odelu m atem atycznego m aszyny indukcyjnej.. 123

w ektory przestrzen n e sprzężeń m agnetycznych pola głów nego oraz pól rozproszeń stojana i w irnika s ą nieliniow ym i funkcjam i m odułu i argum entu w ektorów przestrzennych o dpow iednich prądów : prądu stojana (pole rozproszenia stojana) i prądu w irnika (pole ro zproszenia w irnika) oraz prądu m agnesującego (pole głów ne)

' r a s = r m ( i s , r s ) , A l ^ A K . Y r ) , r m = r j i m. r m ) , 0 ) w ektory przestrzenne sprzężeń m agnetycznych stojana i w irnika z odpow iednim i polam i m ożna w yrazić z a p o m o cą nieliniow ych syntetycznych charakterystyk sprzężeń m agnetycznych zależnych tylko od m odułów odpow iednich prądów :

' F J I s , y s ) = 'Fas( I s ) e Jr s , ( I

r • ^ J =

J rr,

W ( l Y ) = 'P ( 1 ) e j r , n .

(

)

P rzyjm ując pow yższe założenia rów nania m aszyny indukcyjnej [3] m ożna po przekształceniach doprow adzić do układu rów nań różniczkow ych napięciow o-prądow ych o następującej postaci

r T r i [•/• _ / 1 j T J 1

(

)

(

)

' u ; ' R ss R A

h

+

1

R D s r d X

_ 0 _ A s R r r _L ' , . _ D s r^{J 1} R Dr r _ d t J r .

J dco p d t

■ M e

,

e

Sy

my

Z 'r x l 'ry W ystępujące w tych rów naniach w ektory i m acierze przy jm u ją postać:

- w ektory

Us=[usx usy]T, / , = [ / „ i j , Ir =

- m acierze zaw ierające rezystancje i indukcyjności statyczne

R , ______

X L J I s ) + L J I m ) \ R " =

=

R rr -

(Ox -CO

0

Rr o -

G>X L m ( I m ) 0

\cdx - c o ) L J I m ) m acierze zaw ierające nieliniow e

Ld<jsx ( I s >Y s ) ^ ^Dmx ( ^m >Y m )

^Dasxy s >YS) + ^Dmxy ( ^m >Y m )

L D o r x ( I r * Y r ) ^ JDmx ^ m^ Y m ) _ L D o r x y ( ^ r >Y r ) ^ ^ D m x y ( ^ m * Y m )

L D s s

L Dr r ~

R s

r; \ - {cox - co) ( c ( i ; ) +l j iJ j ( L ' J i ; j + L m( i X ) \ K

~ 0

~ 0

ndukcyjności dynam iczne

R o a s x y ( I , ’ Y s ) 4" R o m x y m >Y m )

R D o s y ( ^ s ‘ Y s ) 4" R o m y ( ^ m ’ Y m )

R o a r x y r ’ Y r ) R D m x y ( ^ m > Y m ) R o a r y ( I r ' Y r ) R Dmy ( ^ m ’Y m )

(

)

( 6 )

(

)

(

8

(

)

(

)

(U)

124 J. Kudła

L Dsr ~ I ' D m x ( I m , Y m ) ^ I J D m x y ( I m ’ Y m )

■JDmxy ( I m ’ Y m ) I ^ D y m ( I m >Y m ) (1 2 )

W ystępujące w m acierzach indukcyjności statyczne i dynam iczne m aszyny dla pola m agnetycznego głów nego i pól rozproszenia w ynoszą

indukcyjności dynam iczne stojana zw iązane z polem głów nym

L Dmx Om>Ym) = L Dm Om ) C0S

* (r J + ¿«

2

)>

^Dmy Om

*

) “

)

)»

I ‘Dmxy (L . Y m ) Ą ( * Dm ( O " K { L ) W f a m )■

indukcyjności dynam iczne stojana zw iązane z polem rozproszenia

L Dosx ( I S ’Y s ) = L d J I s ) COs2( Y s ) + L o s ( I s ) s ‘” 2 ( Ys ) ’ L o o s y d s ’Y s ) = L d J I s ) s i n 2{ys ) + L J I S ) c o s 2( y s ),

■Ys ) = i2 (LDJ I s ) - L as( I s ) ) si n( 2ys ),

indukcyjności dynam iczne w irnika zw iązane z polem rozproszenia L'D a n ( i ; , y r ) = ¿ Dor ( I ' ) c o s 2 ( y r ) + L ^ a ; ) s i n 2 ( Y r ),

¿Dory ( I r - Y r ) = ¿D or ( ¿ r ) ^ ( Y r ) + ¿a r ( ¿ r )COS2( Y r )■

¿D arty ( ¿ r - Y r ) = ^ (¿D or (¿ r ) ~ ¿a r ( ¿r ) ) ^ ( 2 y r ),

(13)

(14)

(15)

gdzie:

IJD m (Im ) ~

d r j i j d r j i j . d n a ; )

Dos ( s / ~ T > L D o r \ l r ) ~ ~ > O W

5

L 9 9 r

indukcyjności statyczne stojana i w irnika zw iązane z polem głów nym i polem rozproszenia

r n , T m O m ) r y r ) J ^ i l A m \ * m ) r • os \ 1 s

/

¥ ( I * )

¿ „ ( ¿ r ^ ^ j r 1 - 0 7)

3. P A R A M E T R Y ELEK R O M A G N E TY C ZN E M ODELU M A TEM A TY C ZN EG O M A SZ Y N Y

P rzedstaw iony pow yżej m odel m atem atyczny m aszyny indukcyjnej nie je s t w pełni m odelem param etrycznym . A proksym ując syntetyczne charakterystyki sprzężeń m agnetycznych z a p o m o cą funkcji analitycznych o nieznanych w spółczynnikach:

O cena w iarygodności m odelu m atem atycznego m aszyny indukcyjnej.. 125

'/ / o s ( 1 s ) = A o s a r C ‘g ( B J s ) + C m I s , K ( I r ) = A o r a r C ‘g ( B a r 1 ',. ) + C a r ! r • . .

( i » ; Y m ( I m ) = A ma r C tg ( B mI m ) ,

otrzym uje się w pełni param etryczny model maszyny. W modelu tym w ek to r param etrów elektrom agnetycznych maszyny ma postać:

P = [7? P „ Pn r Pm ] T (19)

gdzie:

* = f c K i ’ B„_r C m r ] T , Pm = [ A m B n, ] T (20) P aram etry elektrom agnetyczne modelu m atem atycznego maszyny m ożna estym ow ać na podstaw ie jej charakterystyk statycznych i dynamicznych [1,2] korzystając przy tym z różnych algorytm ów optymalizacyjnych. W pracach [4,5] przedstaw iono m etodykę estymacji param etrów elektrom agnetycznych silnika przy w ykorzystaniu charakterystyk mocy czynnej i biernej silnika w funkcji prędkości obrotow ej w irnika i zastosow aniu algorytm u genetycznego i gradientow ego. W yniki estymacji w postaci zbioru param etrów silnika indukcyjnego klatkow ego o następujących danych znamionowych

PN = 3 k W ; U sN = 2 2 0 / 3 8 0 V ; I sN = 1 1 , 5 / 6 , 7 A ; cos(</>sN ) = 0 ,8 2 ; n n = 1 4 3 0 o b r / m in

dla dw óch napięć zasilania silnika zestaw iono w tabeli 1.

Tabela 1 Wyniki estymacji param etrów Param etry U,=380 V U,=220 V

A as = A or 0,137 0,135

Bas = B (jy 0,0760 0,0616

feOII6O

0,00372 0,00339

2,255 2,436

K 1,258 1,251

Am 1,3

0,226

4. W E R Y FIK A C JA M O D E L U M A TEM A TY C ZN EG O M A SZY N Y IN D U K C Y JN EJ U W Z G L ĘD N IA JĄ C E G O Z JA W ISK O N A SY CEN IA

W yznaczone na podstaw ie pom iarów param etry elektrom agnetyczne nieliniowego m odelu m atem atycznego maszyny indukcyjnej um ożliw iają przeprow adzenie badań sym ulacyjnych w łaściw ości dynamicznych i statycznych maszyny indukcyjnej w różnorodnych stanach jej pracy. Wyniki takich badań m ożna w ykorzystać do oceny

126 J. Kudła

w iarygodności opracow anego modelu matem atycznego maszyny. W eryfikację modelu i jego param etrów przeprow adza się zazwyczaj dla typow ych w arunków pracy maszyny, rzadziej do stanów aw aryjnych. W przypadku nieliniowego modelu m atem atycznego maszyny indukcyjnej, uw zględniającego zjawisko nasycenia, korzystne je st przeprow adzenie takiej weryfikacji dla różnych stopni nasycenia rdzeni m agnetycznych M iarą wiarygodności opraco w an eg o m odelu oraz w yznaczonego zbioru param etrów są zw ykle różnice pomiędzy przebiegam i czasow ym i lub charakterystykami maszyny zm ierzonym i na obiekcie rzeczyw istym o raz obliczonymi za pom ocą kom puterów przy w ykorzystaniu jej modelu m atem atycznego. W niniejszej pracy taką weryfikację przeprow adzono zarów no dla stanu ustalonego i nieustalonego.

Poniżej w postaci w ykresów i charakterystyk przedstaw iono wyniki pom iarów oraz wyniki badań sym ulacyjnych Pomiary i symulacje wykonano dla dw óch w artości napięcia zasilania maszyny: napięcia znam ionow ego (380 V) oraz napięcia (220 V), zm ieniając w ten sposób stan nasycenia rdzeni magnetycznych maszyny. Wyniki badań przedstaw iono na

Rys. 1. W ykresy m ocy czynnej i biernej stojana zm ierzone (p) i obliczone (m) Fig. 1. P lo t o f th e m easured (m) and calculated (p) stator active and passive p ow er

O cena w iarygodności m odelu m atem atycznego m aszyny indukcyjnej.. 127

P rzedstaw ione na rys. 1 wykresy mocy czynnej i biernej stojana w funkcji prędkości obrotow ej w irnika pozw alają ocenić jak o ść estymacji param etrów elektrom agnetycznych silnika o raz w iarygodność modelu m atem atycznego maszyny w stanach statycznych

P rzedstaw ione natom iast na rys.2 przebiegi czasow e prądu stojana i prędkości obrotow ej w irnika podczas rozruchu silnika umożliwiają dokonanie takiej weryfikacji w

Rys.2. Przebieg czasow y prądu stojana silnika podczas rozruchu silnika zm ierzony i obliczony

Fig.2. Tim e w aveform o f the m easured and calculated stator current during start-up

(A =380 V Us=2 2 0V

1500n

w 900 600 300

<ym u lą q a /

A p oijnia r /

/ / Ay A A A 0.0 0.2 0.4 0.6 O.f

1 [ s ]

1.0 1.2 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

t Is] _____

Rys.3. P rzebieg czasow y prędkości obrotow ej wirnika podczas rozruchu silnika zm ierzony i obliczony

Fig.3. Tim e w aveform o f m easured and calculated rotational ro to r speed during start-up

128 ./. Kudła

1.0 2.0 3.0

/ |s)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

I fsj

2.0 3.0 4 0

<

1 *1

40 / , / A 20

-20

-40 1 ... I...

portTiar,-r., -j

u la c ja

... 1...

.... 1...1...!, . L . _ i ... i ...i

3 0 3.5 4.0 4 5

t 1*1

5.0

Rys.4. Przebieg czasow y prądu stojana silnika podczas rozruchu silnika zm ierzony i obliczony

Fig.4. Tim e w aveform o f the measured and calculated stator current during start-up

Z porów nania charakterystyk oraz przebiegów czasow ych dla różnych napięć zasilania stojana w ynika dobra zgodność charakterystyk maszyny rzeczywistej z charakterystykam i w yznaczonym i na podstaw ie modelu. Pojaw iające się rozbieżności pom iędzy wynikami symulacji o raz pom iarów , szczególnie w idoczne pod koniec rozruchu, zw iązane są według oceny autora, z dynam iką zmian prędkości obrotow ej wirnika. Wolniej narastająca prędkość o b ro to w a w irnika w rzeczyw istym silniku indukcyjnym w porów naniu z prędkością obrotow ą obliczoną z symulacji zw iązana jest z nieuwzględnieniem w modelu m atem atycznym m aszyny zjaw isk pasożytniczych, które pow odują obniżenie charakterystyki momentu elektrom agnetycznego silnika.

5 U W A G I K O Ń CO W E

P rzedstaw iony w artykule model m atematyczny maszyny indukcyjnej uw zględniający zjaw isko nasycania się rdzeni magnetycznych maszyny w polu magnetycznym głów nym oraz w polach rozproszenia w dostatecznie dokładny sposób odw zorow uje właściwości

Ocena w iarygodności m odelu m atem atycznego m aszyny indukcyjnej.. 129

rzeczywistej maszyny indukcyjnej klatkowej, w której m ożna pom inąć zjaw isko w ypierania w prętach w irnika oraz w pływ wyższych harmonicznych przestrzennych.

Przyjm ując upraszczające założenie, że zjawisko nasycenia obw odu m agnetycznego dla pola rozproszenia w irnika wpływa jedynie na strumień m agnetyczny w spólny dla pręta wirnika glębokożłobkow ego lub prętów wirnika dw uklatkow ego, rozw ażany m odel m ożna rozszerzyć tak że na silniki dw uklatkow e i głębokożłobkow e

L IT E R A T U R A

1. H ickiew icz J., M acek-K am ińska K., W ach P.: A lgorithm ic M ethods o f Induction M achines P aram eters Estim ation from M easured Slip-Curves, Archiv fur E lektrotechnik,, 1989, no.

72, s. 239-249.

2 H ickiew icz J,, M acek-K am ińska K., W ach P : Simulation investigations and param eters estim ation o f induction m achine’s model considering saturation o f leakage inductances.

Proc. o f lC E M 1988, s. 271-276

3. K udła J.: R ów nania i schem aty zastępcze nieliniowego modelu m atem atycznego maszyny indukcyjnej, Z eszyty N aukow e Pol. ŚI. ser. „ E lektryka” z. 168, G liw ice 1999, s. 21-33.

4 K udła J : W ykorzystanie algorytm u genetycznego i gradientow ego do estymacji param etrów elektrom agnetycznych nieliniowego modelu m atem atycznego maszyny indukcyjnej, Z eszyty N aukow e Pol. Śl. ser. „ E lektryka” z. 171, G liw ice 2000.

5. K udła J.: E stym acja param etrów elektrom agnetycznych modelu m atem atycznego maszyny indukcyjnej uw zględniającego zjaw isko nasycenia M ateriały konferencyjne S M E 2000 (w p rzygotow aniu do druku)

6 Paszek W .: D ynam ika maszyn elektrycznych prądu przem iennego, Wyd. H elion, Gliwice 1997.

Recenzent: D r hab. inż. Jerzy H ickiew icz prof. Politechniki Opolskiej

Wpłynęło do R edakcji dnia 5 maja 2000 r. ■

A b sta rc t

In the p ap er the nonlinear mathematical model o f an induction machine taking into account a saturation effect o f the stator and ro to r ferrom agnetic cores is presented (3).

Nonlinear static and dynamic inductances (13,14,15) that appear in the m achine voltage equations are expressed by the m eans o f the nonlinear synthetic flux linkage characteristics (2). T he set o f th e machine electrom agnetic param eters (19,20) is determ ined when

130 J. Kudła

approxim ating the synthetic characteristics by the analytical function with unknown coefficients (18). The results o f the param eter estim ations for tw o different stato r voltages (380 V, 220 V) are given in the table 1. In order to verify the presented m athem atical model th e sim ulation investigations are perform ed and the results o f com putations are compared with the results o f measurem ents. Those com parisons are usually m ade for the typical steady and transient states. Quality o f the param eter estimation and reliability o f the mathematical m odel in the steady-state can be determined from the plots o f the stato r active and passive p ow er versus rotation speed, which are presented in Fig. 1. T he w aveform s o f the stator current and ro to r speed during a m otor start-up which are show n in Fig.2,3,4 enable to make such verifications fo r the transient states. Comparing these plots and w aveform s for different stato r voltages one can draw a conclusion that the nonlinear m athem atical m odel o f an inductions machine describes the static and dynamic behaviour o f this machine w ith the sufficient accuracy. The parasitic electrom agnetic torques, which appear in the actual machine and w hich are not taken into account in the mathematical model cause the small discrepancies betw een the results o f com putations and measurements.

W Y K A Z W A Ż N IE JSZ Y C H O ZN ACZEŃ

L s J s ’Ys L J r ’Yr- - w ektory przestrzenne prądu stojana, w irnika oraz ich moduły i argumenty.

L m 'I m ’Y m ’U -s’U s ~ w ektory przestrzenne prądu m agnesującego oraz jego m oduł i argument, napięcia stojana oraz jeg o moduł.

,'¥_ar,'¥_m , - w ektory przestrzenne sprzężeń m agnetycznych pola rozproszenia stojana, w irnika oraz pola głów nego.

( I s ) , 'F^r ( l'r ) , iF m( / „ , ) - syntetyczne charakterystyki sprzężeń m agnetycznych pola rozproszenia stojana, wirnika, oraz pola głów nego.