Ca÷ ka Riemanna
Niech dana b ¾edzie funkcja f (x) ograniczona na przedziale domkni ¾etym [a; b] (a < b). Zacznijmy od zde…niowania podzia÷u P przedzia÷u [a; b].
Obierzmy liczby x0; x1; :::; xn tak, by spe÷niony by÷warunek a = x0 < x1 <
::: < xn= b. Liczby takie nazywamy punktami podzia÷u P , za´s liczb ¾e
= maxf(xi xi 1) : 16 i 6 ng
´srednic ¾atego podzia÷u.
W ka·zdym z przedzia÷ów [xi 1; xi] wybierzmy punkt ci, który nazwiemy punktem po´srednim. Sum ¾e
= Xn
i=1
f (ci) (xi xi 1)
nazywamy sum ¾a ca÷kow ¾a Riemanna dla ustalonego podzia÷u P . Podzia÷
przedzia÷u [a; b] mo·ze by´c dokonany na wiele sposobów, przy czym liczba punktów podzia÷u mo·ze by´c dowolnie du·za, a ´srednica podzia÷u dowolnie ma÷a. Ci ¾ag podzia÷ów utworzonych w taki sposób, aby ich ´srednice d ¾a·zy÷y do zera nazywamy normalnym ci ¾agiem podzia÷ów, a odpowiadaj ¾acy im ci ¾ag sum ca÷kowych - normalnym ci ¾agiem sum ca÷kowych.
Je´sli ka·zdy normalny ci ¾ag sum ca÷kowych jest zbie·zny do tej samej granicy, niezale·znie od wyboru punktów po´srednich, to t ¾e granic ¾e nazywamy ca÷k ¾a oznaczon ¾a Riemanna funkcji f w przedziale [a; b] i oznaczamy symbolem
Zb
a
f (x) dx
a o funkcji f mówimy, ·ze jest ca÷kowalna w sensie Riemannana przedziale [a; b].
Sens geometryczny ca÷ ki Riemanna
Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a i nieujemna na przedziale [a; b], to ca÷ka Rb
f (x) dx
Bezpo´srednio z de…nicji ca÷ki Riemanna wynikaj ¾a nast ¾epuj ¾ace w÷asno´sci:
a) Funkcja sta÷a f (x) = s jest ca÷kowalna na dowolnym przedziale [a; b], przy czym
Zb
a
f (x) dx = s (b a) :
b) Je´sli funkcja f jest ca÷kowalna i nieujemna na przedziale [a; b], to Zb
a
f (x) dx > 0:
c) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], m oznacza minimum funkcji f na przedziale [a; b], za´s M - maksimum funkcji f na tym przedziale, to
m (b a) 6 Zb
a
f (x) dx 6 M (b a) :
Twierdzenie 1 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na przedziale [a; b], to jest ona tak·ze ca÷kowalna na dowolnym przedziale [ ; ] [a; b]. Ponadto, dla dowolnego punktu c 2 [a; b]
Zb
a
f (x) dx = Zc
a
f (x) dx + Zb
c
f (x) dx:
Je·zeli a > b, to dla dowolnej funkcji f ca÷kowalnej na przedziale [b; a] sym- bolem
Rb a
f (x) dxoznacza´c b ¾edziemy liczb ¾e Ra
b
f (x) dx. Ponadto Ra
a
f (x) dx = 0.
Twierdzenie 2(o warto´sci ´sredniej) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], to istnieje w tym przedziale taki punkt c, ·ze
Zb
a
f (x) dx = (b a) f (c) :
Twierdzenie 3(o ca÷kowalno´sci w sensie Riemanna)
a) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], to jest ca÷kowalna w tym przedziale.
b) Je·zeli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a; b] i ma w tym przedziale sko´nczon ¾a ilo´s´c punktów nieci ¾ag÷o´sci, to f jest ca÷kowalna na [a; b].
c) Je·zeli funkcja f jest monotoniczna na przedziale [a; b], to jest ca÷kowalna w tym przedziale.
Zwi ¾ azek mi ¾ edzy ca÷ k ¾ a Riemanna a ca÷ k ¾ a nieoznaczon ¾ a
Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b]. Dla dowolnego x2 [a; b] funkcja f jest ca÷kowalna na [a; x]. Zde…niujmy funkcj¾e
(x) = Zx
a
f (t) dt
dla x 2 [a; b].
Twierdzenie 4(pierwsze twierdzenie podstawowe rachunku ca÷kowego) Funkcja (x) jest ró·zniczkowalna na [a; b] oraz dla dowolnego x 2 [a; b]
0(x) = f (x) :
Twierdzenie 5(drugie twierdzenie podstawowe rachunku ca÷kowego) Dla dowolnej funkcji pierwotnej F (x) funkcji f (x) zachodzi równo´s´c
Zb
a
f (x) dx = F (b) F (a) :
Przyk÷ady:
1. Z4
0
pxdx = 2 3x32
4
0
= 2 3
p4
3
= 16 3
2. Z
sin xdx = [ cos x]
2 = cos + cos 2 = 1
Zamiana zmiennej w ca÷ ce oznaczonej
(ca÷kowanie przez podstawienie)
Przypu´s´cmy, nale·zy obliczy´c ca÷k¾e Rb
a
f (t) dt gdzie f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a na przedziale [a; b], t = ' (x), przy czym funkcja '
- jest okre´slona na pewnym przedziale [ ; ] i ma warto´sci w przedziale [a; b],
- ' ( ) = a za´s ' ( ) = b,
- funkcja ' ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a na [ ; ].
Wówczas
Zb
a
f (t) dt = Z
f (' (x)) '0(x) dx.
Przyk÷ady:
3.
Z2
1
2x + 1 (x2 + x)3dx =
8<
:
t = x2+ x dt = 2x + 1dx
x = 1 x = 2
t = 2 t = 6
9=
;= Z6
2
t 3dt = 1 2t 2
6
2
=
= 1
2 1 62
1
22 = 1 2
1 9
36 = 8
72 = 9 4.
Z1
0
p1 x2dx = 8<
:
x = cos t dx = sin tdt x = 0 x = 1
t = 2 t = 0
9=
;= Z0
2
p1 cos2t sin tdt = Z2
0
sin2tdt
Ca÷ kowanie przez cz¾ e´sci w ca÷ ce oznaczonej
Je·zeli funkcje f (x) i g (x) maj ¾a ci ¾ag÷e pochodne na przedziale [a; b], to Zb
a
f (x) g0(x) dx = (f (b) g (b) f (a) g (a)) Zb
a
f0(x) g (x) dx .
Przyk÷ad:
5. Z
0
x sin xdx = [ x cos x]0 + Z
0
cos xdx = + [sin x]0 =
Ca÷ ki niew÷ a´sciwe
Niech funkcja f (x) b ¾edzie okre´slona i ci ¾ag÷a w przedziale [a; 1) . Przez ca÷k ¾e niew÷a´sciw ¾a funkcji f (x) na tym przedziale rozumiemy granic ¾e
Z1
a
f (x) dx = lim
B!1
ZB
a
f (x) dx .
Analogicznie
Za
1
f (x) dx = lim
B! 1
Za
B
f (x) dx .
Je·zeli istniej ¾a i s ¾a sko´nczone obie rozwa·zane wy·zej granice, to ca÷ki niew÷a´s- ciwe
1R
a
f (x) dx oraz Ra
1
f (x) dx nazywamy zbie·znymi. W tym przypadku istnieje te·z (i jest zbie·zna) ca÷ka
Z1
1
f (x) dx = Za
1
f (x) dx + Z1
a
f (x) dx.
Uwaga: Warto´s´c ca÷ki 1R
1
f (x) dx (o ile istnieje) nie zale·zy od wyboru punktu a.
Przyk÷ady:
6.
Z1
1
1
x3dx = lim
B!1
ZB
1
1
x3dx = lim
B!1
1 2x 2
B
1
= lim
B!1
1 2
1
B2 + 1 = 1 2
1 2 lim
B!1
1
B2 = 1 2
7. Z1
1
1
xdx =1
Je·zeli funkcja f (x) jest nieograniczona na ka·zdym przedziale postaci [a; b),dla a < b, ale ca÷kowalna na ka·zdym przedziale postaci [a; b "], gdzie a < b " < b, to de…niujemy ca÷k¾e niew÷a´sciw ¾a
Zb b "Z
Analogicznie de…niujemy ca÷k¾e nieograniczon ¾a, gdy f (x) jest nieograniczona na ka·zdym przedziale postaci (a; b],dla a < b, ale ca÷kowalna na ka·zdym przedziale postaci [a + "; b], gdzie a < a + " < b.
Przyk÷ad:
8.
Z1
0
1
x3dx = lim
"!0+
Z1
"
1
x3dx = lim
"!0+
1 2x 2
1
"
= lim
"!0+
1 2 + 1
2"2 =1.