Pokaza´c, ˙ze operator Θ(U

Obliczenia klasyczne i kwantowe.

10. ALGORYTM SHOR’a

Wst¸ep. Dla 1-kubitowego unitarnego operatora U 2-kubitowy operator Λ(U ) jest operatorem pomiaru

na pierwszym rejestrze jako Π|0i⊗ I + Π|1i⊗ U , a na drugim rejestrze jako:

 1 0 0 λ₁



⊗Π|ξ₁i+ 1 0 0 λ₂



⊗Π|ξ₂i , gdzie wektory w lasne ¹|ξ_ii odpowiadaj¸a warto´sciom λ_i. Zadanie 1. Pokaza´c, ˙ze operator Θ(U ) = (H ⊗ I)Λ(U )(H ⊗ I) ma posta´c

1

2(1 + λ₁ 1 − λ₁ 1 − λ1 1 + λ1



⊗ Π|ξ₁i+1 + λ₂ 1 − λ₂ 1 − λ2 1 + λ2



⊗ Π|ξ₂i), gdzie prawdopodobie´nstwa warunkowe P(0|j) s¸a r´owne

1 + cos(2πφ_j)

2 , gdzie λ_j = exp(2πiφ_j).

Baza obliczeniowa: Dla ka˙zdego 0 ≤ x ≤ 2ⁿ− 1 niech |xi = |x_n−1...x₀i, gdzie x = x0+ 2x1+ ... + 2ⁿ⁻¹xn−1, xi ∈ {0, 1}.

Niech q < 2ⁿ i dla pewnej liczby a, (a, q) = 1, operator U_a dzia la nast¸epuj¸aco:

|xi → |a · x(modq)i dla x < q i to˙zsamo´sciowo dla q ≤ x < 2ⁿ. Niech t b¸edzie okresem U_a.

Zadanie 2. Pokaza´c, ˙ze wektory

|ξ_ki = 1

√t

t−1

X

m=0

exp(−2πikm t )|a^mi s¸a wektorami w lasnymi odpowiadaj¸acymi warto´sciom

λ_k = exp(2πiφ_k) , gdzie φ_k = k t.

Zadanie 3. Pokaza´c, ˙ze prawdopodobie´nstwa warunkowe operatora Θ(U_a) s¸a r´owne P(0|k) = 1 + cos(2πφ_k)

2 , P(1|k) = 1 − cos(2πφ_k)

2 , gdzie λ_k = exp(2πiφ_k).

Pokaza´c, ˙ze prawdopodobie´nstwa warunkowe operatora Θ(iU_a) s¸a r´owne P(0|k) = 1 − sin(2πφ_k)

2 , P(1|k) = 1 + sin(2πφ_k)

2 .

1operatora U

1

Kwantowa transfomata Fouriera jest okre´slona jako przekszta lcenie unitarne U_{F T} zadane w bazie obliczeniowej przez 2ⁿ× 2ⁿ-macierz o wsp´o lczynnikach

(U_{F T})_yx = hy|U_{F T}xi = 1

2^n/2(cos(xy2π/2ⁿ) + isin(xy2π/2ⁿ)) = 1

2^n/2e^i2πxy/2n. Lemat-´cwiczenie. Pokaza´c, ˙ze U_{F T} jest przeszta lceniem unitarnym.

Zastosujmy U_{F T} do stanu kwantowego

ψ =

2ⁿ−1

X

x=0

µ(x)|xi , gdzie µ(x) = hx|ψi ,

2ⁿ−1

X

x=0

|µ(x)|² = 1.

Amplituda prawdopodobie´nstwa znalezienia stanu |φi = U_{F T}|ψi w |yi jest r´owna warto´sci w y dyskretnej transformaty Fouriera funkcji µ(x):

a(φ → y) = hy|φi =

2ⁿ−1

X

x=0

hy|U_{F T}xihx|ψi = 1 2^n/2

2ⁿ−1

X

x=0

e^ixy2π/2nµ(x).

Niech

R_d : |0i → |0i , |1i → e^iπ/2d|1i

Twierdzenie. U_{F T} jest iloczynem O(n²) bramek Hadamara i przekszta lce´n typu Λ(R_d) (tzn. R_d w wersji ”sterowanej”).

Agorytm Shor’a.

Niech f (x) b¸edzie funkcj¸a okresow¸a o okresie r (tzn. ∀xf (x) = f (x + r)) tak¸a, ˙ze ka˙zda r´owno´s´c f (z + s) = f (z) implikuje, ˙ze r|s.

Startuj¸ac w stanie n + m-kubitowym

|φi = 1 2^n/2(

2ⁿ−1

X

x=0

|xi) ⊗ |0...0i = H^⊗n|0...0i ⊗ |0...0i

znajdujemy stan

|ψi = U_f|φi = 1 2^n/2

2ⁿ−1

X

x=0

|xi ⊗ |f (x)i.

Jest to superpozycja wszystkich stan´ow postaci

|ψ_ii ⊗ |f_ii , gdzie |ψ_ii = 1

√K

K−1

X

k=0

|x_i + kri i

K = [2ⁿ/r] , a xi jest najmniejsz¸a warto´sci¸a z f (x) = fi. Aplikujemy U_{F T} do np. |ψ₀i i stosujemy pomiar do otrzymanego |φ₀i.

Uwaga: p(y) = |a(φ₀ → y)|² = 1 2ⁿK|

K−1

X

k=0

e^ikry2π/2n|² , dla wektora bazowego |yi.

2

Lemat. Wynik pomiaru z prawdopodobie´nstwem 40 proc. spe lnia nier´owno´s´c

|y − j2ⁿ r | ≤ 1

2 , dla pewnego j ∈ N.

Twierdzenie. Wynik pomiaru pozwala znale´z´c okres r z prawdopodobie´nstwem 24 proc.

Uwaga-´cwiczenie. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze dwie du˙ze liczby ca lkowite b¸ed¸a wzgl¸ednie pierwsze wynosi conajmniej 60 proc.

Dla dowolnej liczby x ∈ R niech k x k= min{n − x : n ∈ Z}. Liczb¸e wymiern¸a p/q nazywa si¸e najlepszym przybli ˙zeniem liczby x, je´sli k qx k= |qx − p| i k qx k<k q⁰x k dla ka˙zdego q⁰ ∈ N spe lniaj¸acego q⁰ < q.

Euler/Lagrange: Je´sli p/q jest najlepszym przybli˙zeniem liczby x, to p/q jest reduktem liczby x. Dodatkowo, dla ka˙zdego n ≥ 1 n-ty redukt liczby x jest najlepszym przybli˙zeniem.

Zadanie 4. (a) Pokaza´c, ˙ze po przekszta lceniu u lamka la´ncuchowego w posta´c liczby wymiernej ^s_t otrzymujemy (s, t) = 1.

(b) Pokaza´c, ˙ze je´sli (r, j) = 1 i liczba wymierna u spe lnia nier´owno´s´c |u − ^j_r| ≤ _2r¹2, to u lamek la´ncuchowy dla ^j_r jest reduktem u lamka la´ncuchowego dla u.

(np. wykorzysta´c twierdzenie Eulera/Lagrange’a o najlepszej approksymacji)

3