Sens geometryczny ca÷ ki Riemanna

Ca÷ ka Riemanna

Niech dana b ¾edzie funkcja f (x) ograniczona na przedziale domkni ¾etym [a; b] (a < b). Zacznijmy od zde…niowania podzia÷u P przedzia÷u [a; b].

Obierzmy liczby x0; x₁; :::; x_n tak, by spe÷niony by÷warunek a = x0 < x₁ <

::: < x_n= b. Liczby takie nazywamy punktami podzia÷u P , za´s liczb ¾e

= maxf(xⁱ x_{i 1}) : 16 i 6 ng

´srednic ¾atego podzia÷u.

W ka·zdym z przedzia÷ów [xi 1; x_i] wybierzmy punkt ci, który nazwiemy punktem po´srednim. Sum ¾e

= Xn

i=1

f (c_i) (x_i x_{i 1})

nazywamy sum ¾a ca÷kow ¾a Riemanna dla ustalonego podzia÷u P . Podzia÷

przedzia÷u [a; b] mo·ze by´c dokonany na wiele sposobów, przy czym liczba punktów podzia÷u mo·ze by´c dowolnie du·za, a ´srednica podzia÷u dowolnie ma÷a. Ci ¾ag podzia÷ów utworzonych w taki sposób, aby ich ´srednice d ¾a·zy÷y do zera nazywamy normalnym ci ¾agiem podzia÷ów, a odpowiadaj ¾acy im ci ¾ag sum ca÷kowych - normalnym ci ¾agiem sum ca÷kowych.

Je´sli ka·zdy normalny ci ¾ag sum ca÷kowych jest zbie·zny do tej samej granicy, niezale·znie od wyboru punktów po´srednich, to t ¾e granic ¾e nazywamy ca÷k ¾a oznaczon ¾a Riemanna funkcji f w przedziale [a; b] i oznaczamy symbolem

Zb

a

f (x) dx

a o funkcji f mówimy, ·ze jest ca÷kowalna w sensie Riemannana przedziale [a; b].

Sens geometryczny ca÷ ki Riemanna

Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a i nieujemna na przedziale [a; b], to ca÷ka Rb

a

f (x) dx istnieje i jest polem obszaru ograniczonego wykresem funkcji f , osi ¾a Ox i prostymi x = a i x = b. Obszar taki nazywamy trapezem krzywoliniowym.

Twierdzenie 1(o ca÷kowalno´sci w sensie Riemanna)

a) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], to jest ca÷kowalna w tym przedziale.

b) Je·zeli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a; b] i ma w tym przedziale sko´nczon ¾a ilo´s´c punktów nieci ¾ag÷o´sci, to f jest ca÷kowalna na [a; b].

c) Je·zeli funkcja f jest monotoniczna na przedziale [a; b], to jest ca÷kowalna w tym przedziale.

Bezpo´srednio z de…nicji ca÷ki Riemanna wynikaj ¾a nast ¾epuj ¾ace w÷asno´sci:

d) Funkcja sta÷a f (x) = s jest ca÷kowalna na dowolnym przedziale [a; b], przy czym

Zb

a

f (x) dx = s (b a) :

e) Je´sli funkcja f jest ca÷kowalna i nieujemna na przedziale [a; b], to Zb

a

f (x) dx > 0:

f) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], m oznacza minimum funkcji f na przedziale [a; b], za´s M - maksimum funkcji f na tym przedziale, to

m (b a) 6 Zb

a

f (x) dx 6 M (b a) :

Twierdzenie 2(o warto´sci ´sredniej) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], to istnieje w tym przedziale taki punkt c, ·ze

Zb

a

f (x) dx = (b a) f (c) :

Twierdzenie 3 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na przedziale [a; b], to jest ona tak·ze ca÷kowalna na dowolnym przedziale [ ; ] [a; b]. Ponadto, dla dowolnego punktu c 2 [a; b]

Zb Z^c Z^b

Je·zeli a > b, to dla dowolnej funkcji f ca÷kowalnej na przedziale [b; a] sym- bolem

Rb a

f (x) dxoznacza´c b ¾edziemy liczb ¾e Ra

b

f (x) dx. Ponadto Ra

a

f (x) dx = 0.

Zwi ¾ azek mi ¾ edzy ca÷ k ¾ a Riemanna a ca÷ k ¾ a nieoznaczon ¾ a

Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b]. Dla dowolnego x2 [a; b] funkcja f jest ca÷kowalna na [a; x]. Zde…niujmy funkcj¾e

(x) = Zx

a

f (t) dt

dla x 2 [a; b].

Twierdzenie 4(pierwsze twierdzenie podstawowe rachunku ca÷kowego) Funkcja (x) jest ró·zniczkowalna na [a; b] oraz dla dowolnego x 2 [a; b]

0(x) = f (x) :

Twierdzenie 5(drugie twierdzenie podstawowe rachunku ca÷kowego) Dla dowolnej funkcji pierwotnej F (x) funkcji f (x) zachodzi równo´s´c

Zb

a

f (x) dx = F (b) F (a) :

Przyk÷ady:

1. Z4

0

pxdx = 2 3x³²

4

0

= 2 3

p4

3

= 16 3

2. Z

2

sin xdx = [ cos x]

2 = cos + cos 2 = 1

Zamiana zmiennej w ca÷ ce oznaczonej

(ca÷kowanie przez podstawienie)

Przypu´s´cmy, nale·zy obliczy´c ca÷k¾e Rb

a

f (t) dt gdzie f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a na przedziale [a; b], t = ' (x), przy czym funkcja '

- jest okre´slona na pewnym przedziale [ ; ] i ma warto´sci w przedziale [a; b],

- ' ( ) = a za´s ' ( ) = b,

- funkcja ' ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a na [ ; ].

Wówczas

Zb

a

f (t) dt = Z

f (' (x)) '⁰(x) dx.

Przyk÷ady:

3.

Z2

1

2x + 1 (x² + x)³dx =

8<

:

t = x²+ x dt = 2x + 1dx x = 1 x = 2

t = 2 t = 6

9=

;= Z6

2

t ³dt = 1 2t ²

6

2

=

= 1

2 1 6²

1

2² = 1 2

1 9

36 = 8

72 = 9 4.

Z1

0

p1 x²dx = 8<

:

x = cos t dx = sin tdt x = 0 x = 1

t = ₂ t = 0

9=

;= Z0

2

p1 cos²t sin tdt = Z2

0

sin²tdt

Ca÷ kowanie przez cz¾ e´sci w ca÷ ce oznaczonej

Je·zeli funkcje f (x) i g (x) maj ¾a ci ¾ag÷e pochodne na przedziale [a; b], to Zb

a

f (x) g⁰(x) dx = (f (b) g (b) f (a) g (a)) Zb

a

f⁰(x) g (x) dx .

5. Z

0

x sin xdx = [ x cos x]₀ + Z

0

cos xdx = + [sin x]₀ =

Ca÷ ki niew÷ a´sciwe

Niech funkcja f (x) b ¾edzie okre´slona i ci ¾ag÷a w przedziale [a; 1) . Przez ca÷k ¾e niew÷a´sciw ¾a funkcji f (x) na tym przedziale rozumiemy granic ¾e

Z1

a

f (x) dx = lim

B!1

ZB

a

f (x) dx .

Analogicznie

Za

1

f (x) dx = lim

B! 1

Za

B

f (x) dx .

Je·zeli istniej ¾a i s ¾a sko´nczone obie rozwa·zane wy·zej granice, to ca÷ki niew÷a´s- ciwe

1R

a

f (x) dx oraz Ra

1

f (x) dx nazywamy zbie·znymi. W tym przypadku istnieje te·z (i jest zbie·zna) ca÷ka

Z1

1

f (x) dx = Za

1

f (x) dx + Z1

a

f (x) dx.

Uwaga: Warto´s´c ca÷ki

1R

1

f (x) dx (o ile istnieje) nie zale·zy od wyboru punktu a.

Przyk÷ady:

6.

Z1

1

1

x³dx = lim

B!1

ZB

1

1

x³dx = lim

B!1

1 2x ²

B

1

= lim

B!1

1

B² + 1 = 1 lim

B!1

1

B² = 1

7. Z1

1

1

xdx =1

Je·zeli funkcja f (x) jest nieograniczona na ka·zdym przedziale postaci [a; b),dla a < b, ale ca÷kowalna na ka·zdym przedziale postaci [a; b "], gdzie a < b " < b, to de…niujemy ca÷k¾e nieograniczon ¾a

Zb

a

f (x) dx = lim

"!0 b "Z

a

f (x) dx .

Analogicznie de…niujemy ca÷k¾e nieograniczon ¾a, gdy f (x) jest nieograniczona na ka·zdym przedziale postaci (a; b],dla a < b, ale ca÷kowalna na ka·zdym przedziale postaci [a + "; b], gdzie a < a + " < b.

Przyk÷ad:

8.

Z1

0

1

x³dx = lim

"!0⁺

Z1

"

1

x³dx = lim

"!0+

1 2x ²

1

"

= lim

"!0+

1 2 + 1

2"² =1.

Zastosowania geometryczne ca÷ ki oznaczonej

Pole …gury p÷ askiej

Pole jDj obszaru D ograniczonego krzywymi ci ¾ag÷ymi y = f (x) i y = g (x), gdzie g (x) > f (x) dla x 2 [a; b], i prostymi x = a i x = b wyra·za si¾e wzorem

jDj = Zb

a

g (x) f (x) dx .

Przyk÷ady:

9. Pole obszaru zawartego mi ¾edzy krzywymi y = x² i y = x² oraz prostymi x = 0 i x = 3 jest równe:

jDj = Z3

0

x² x² dx = 2 Z3

0

x²dx = 2 1 3x³

3

0

= 18

10. Pole obszaru p÷askiego D ograniczonego parabol ¾a y² = 4x i prost ¾a y = 2x 4wynosi

Z1

0

2p

x 2p

x dx + Z4

1

2p

x (2x 4) dx

11. Pole obszaru ograniczonego krzyw ¾a y = _x2¹+2 oraz osi ¾a OX mo·zemy obliczy´c wykorzystuj ¾ac poj ¾ecie ca÷ki niew÷a´sciwej:

jDj = Z1

1

1

x²+ 2dx = 2 Z1

0

1

x²+ 2dx = 2 lim

A!1

ZA

0

1 x² + 2dx Obliczmy najpierw ca÷k¾e nieoznaczon ¾a

Z 1

x²+ 2dx = x =p 2t dx =p

2dt =

Z p2dt 2t²+ 2 =

p2 2

Z dt t²+ 1 =

p2

2 arctg x

p2 +C. Zatem

jDj = 2 lim

A!1

ZA

0

1

x²+ 2dx =p 2 lim

A!1 arctg x p2

A

0

=p 2 lim

A!1arctg A

p2 =p 22