3 4 Σ

3 4 Σ

Nazwisko ⁰

Imię Indeks

ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr

1

3.11.2014

PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW Zadanie

3.

Przy każdym z poniższych 22 zdań w miejscu kropek postaw jedną z liter P, F, N:

P - jest Prawdą (tzn. musi być prawdziwe) F - jest Fałszem (tzn. musi być fałszywe)

N - może być prawdziwe lub fałszywe (tzn. Nie wiadomo, czasem bywa prawdziwe, a czasem fałszywe)

Za podanie n poprawnych odpowiedzi otrzymasz max(0, n − 12) punktów.

O zdaniu T (n) wiadomo, że

• T (1) jest prawdziwe,

• dla każdej liczby naturalnej n zachodzi implikacja T (n) ⇒ T (n + 10),

• T (222) jest fałszywe,

• implikacja T (501) ⇒ T (502) jest prawdziwa.

Co można wywnioskować o prawdziwości zdania:

a) T (111) P b) T (112) F

c) T (113) N d) T (332) N

e) T (555) N f ) T (662) P

g) T (6) ⇒ T (666) P h) T (666) ⇒ T (6) N

i) T (22) ⇒ T (442) P j) T (442) ⇒ T (22) N

k) T (442) ⇒ T (992) P l) T (992) ⇒ T (442) N

m) T (22) ⇒ T (992) P n) T (992) ⇒ T (22) F

o) T (11) ⇒ T (12) F p) T (12) ⇒ T (11) P

r) T (331) ⇒ T (332) N s) T (332) ⇒ T (331) P

t) T (771) ⇒ T (772) P u) T (772) ⇒ T (771) P

w) T (991) ⇒ T (112) F y) T (441) ⇒ T (112) F

Zadanie

4.

Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C ¬

√n²+ 3 − n

√9n²+ 16 − 3n¬ 2C . Rozwiązanie:

Ponieważ zarówno w liczniku, jak i w mianowniku wyrażenia danego w treści zadania występują różnice wyrażeń zbliżonej wielkości, zastosujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów w postaci

a − b =a²− b² a + b . Otrzymujemy

√n²+ 3 − n

√9n²+ 16 − 3n=3 ·^√

9n²+ 16 + 3n^ 16 ·^√

n²+ 3 + n^ . Szacujemy ostatnie wyrażenie od góry

3 ·^√

9n²+ 16 + 3n^ 16 ·^√

n²+ 3 + n^ ¬3 ·^√

9n²+ 16n²+ 3n^ 16 ·^√

n²+ 0 + n^ =3 · (5n + 3n)

16 · (n + n) = 3 · 8n 16 · 2n=3

4 i od dołu

3 ·^√

9n²+ 16 + 3n^ 16 ·^√

n²+ 3 + n^ ­ 3 ·^√

9n²+ 0 + 3n^ 16 ·^√

n²+ 3n²+ n^=3 · (3n + 3n)

16 · (2n + n)= 3 · 6n 16 · 3n=3

8. Otrzymaliśmy więc wymagane oszacowania ze stałą C = 3/8.