Je´ sli nie mo˙zemy z g´ ory odrzuci´ c wyst¸ epowania interakcji mi¸edzy czynnikami A i B, to rozwa˙zamy model z interakcjami:

Skr´ oty wyk lad´ ow ze SwZ (semestr zimowy, 2014/2015) Wyk lad 10

Wyk lad 10: Dwuczynnikowa analiza wariancji

Teraz chcemy sprawdzi´ c czy zmienna odpowiedzi zale˙zy od dw´ och czynnik´ ow. Czynniki te nazwijmy: czynnik A i czynnik B. Za l´ o˙zmy, ˙ze czynnik A wyst¸epuje na k poziomach a czynnik B - na l poziomach oraz, ˙ze w ka˙zdej grupie (czyli dla ka˙zdej z kl mo˙zliwych kombinacji poziom´ ow czynnik´ ow A i B) mamy po n obserwacji - oznacza to, ˙ze przeprowadzamy eksperyment czynnikowy z n replikacjami.

Je´ sli nie mo˙zemy z g´ ory odrzuci´ c wyst¸ epowania interakcji mi¸edzy czynnikami A i B, to rozwa˙zamy model z interakcjami:

Y ijm = µ + α i + β j + γ ij + ε ijm , i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , l, m = 1, 2, . . . , n.

W powy ˙zszym modelu zak ladamy, ˙ze w ka ˙zdej grupie (tzn. dla ka˙zdej z kl mo˙zliwych kombinacji poziom´ ow czynnik´ ow A i B) rozk lad zmiennej odpowiedzi jest normalny z tak¸ a sam¸ a wariancj¸ a:

σ _ij ² = σ ² dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , l.

Za lo˙zenie to mo˙zemy zapisa´ c nast¸ epuj¸ aco:

ε ijm s¸ a niezale˙zne o tym samym rozk ladzie N (0, σ ² ).

Aby warto´ sci µ, α i , β j , γ ij , i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , l, by ly okre´ slone jednoznacznie, mu- simy co´ s o nich za lo˙zy´ c. Podobnie jak w jednoczynnikowej analizie wariancji stosowane s¸ a r´ o˙zne konwencje:

1). 

 



 



α 1 + α 2 + . . . + α k = 0 β ₁ + β ₂ + . . . + β _l = 0

γ _1j + γ _2j + . . . + γ _kj = 0 dla ka˙zdego j = 1, 2, . . . , l γ i1 + γ i2 + . . . + γ il = 0 dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , k 2). 

 



 



α 1 = 0 β ₁ = 0

γ _1j = 0 dla ka˙zdego j = 1, 2, . . . , l γ i1 = 0 dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , k

Jest to konwencja zaimplementowana w R i SAS.

Testowanie hipotez

Najpierw sprawdzamy czy interakcje mi¸ edzy czynnikami A i B s¸ a istotne. W tym celu weryfi- kujemy hipotez¸e

H 0AB : γ ij = 0 dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , k oraz j = 1, 2, . . . , l (brak interakcji) przeciwko hipotezie

H _1AB : istnieje i ∈ {1, 2, . . . , k} oraz j ∈ {1, 2, . . . , l} takie, ˙ze γ _ij 6= 0 (jest interakcja)

1

Skr´ oty wyk lad´ ow ze SwZ (semestr zimowy, 2014/2015) Wyk lad 10

Je´ sli nie odrzucimy H _0AB , tzn. uznamy, ˙ze nie ma interakcji mi¸ edzy czynnikami A i B, to zasadnym stanie si¸e

• sprawdzanie istnienia efektu g l´ ownego pochodz¸ acego od czynnika A:

H _0A : α ₁ = α ₂ = . . . = α _k = 0 (czynnik A nie ma wp lywu na zmienn¸ a odpowiedzi) H _0A : istnieje i takie, ˙ze α _i 6= 0 (czynnik A ma wp lywu na zmienn¸ a odpowiedzi)

• sprawdzanie istnienia efektu g l´ ownego pochodz¸ acego od czynnika B:

H _0B : β ₁ = β ₂ = . . . = β _l = 0 (czynnik B nie ma wp lywu na zmienn¸ a odpowiedzi) H _0B : istnieje j takie, ˙ze β _j 6= 0 (czynnik B ma wp lywu na zmienn¸ a odpowiedzi)

Natomiast je´ sli H 0AB odrzucimy, tzn. uznamy, ˙ze interakcje mi¸ edzy czynnikami A i B s¸ a istotne, to badanie wp lywu jednego z czynnik´ ow na zmienn¸ a odpowiedzi b¸ edzie mia lo sens tylko dla ustalonego poziomu drugiego czynnika.

Konstrukcja statystyk testowych

Aby skonstruowa´ c statystyki testowe do weryfikacji hipotez H _0AB , H _0A i H _0B , przeciwko odpo- wiednio hipotezom H _1AB , H _1A i H _1B , rozbijamy ca lkowit¸ a sum¸ e kwadrat´ ow SST na nast¸ epuj¸ ac¸ a sum¸ e:

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE, gdzie

Y ¯ _ij· = _n ¹ P n

m=1 Y _ijm - ´ srednie wewn¸ atrz grupowe, Y ¯ i·· = _ln ¹ P l

j=1

P n

m=1 Y ijm = ¹ _l P l

j=1 Y ¯ ij· - ´ srednia odpowied´ z dla i-tego pozimou czynnika A, Y ¯ ·j· = _kn ¹ P _k

i=1

P _n

m=1 Y _ijm = _k ¹ P _k

i=1 Y ¯ _ij· - ´ srednia odpowied´ z dla j-tego pozimou czynnika B, Y ¯ ··· = _kln ¹ P k

i=1

P l j=1

P n

m=1 Y _ijm - ´ srednia og´ olna, SST = P k

i=1

P l j=1

P n

m=1 (Y ijm − ¯ Y ··· ) ² - ca lkowita suma kwadrat´ ow, SSA = P k

i=1

P l j=1

P n

m=1 ( ¯ Y i·· − ¯ Y ··· ) ² = ln P k

i=1 ( ¯ Y i·· − ¯ Y ··· ) ² - suma kwadrat´ ow odpowiadaj¸ aca za zmienno´ s´ c mi¸ edzy poziomami czynnika A, SSB = P k

i=1

P l j=1

P n

m=1 ( ¯ Y ·j· − ¯ Y ··· ) ² = kn P l

j=1 ( ¯ Y ·j· − ¯ Y ··· ) ² - suma kwadrat´ ow odpowiadaj¸ aca za zmienno´ s´ c mi¸edzy poziomami czynnika B, SSAB = P k

i=1

P l j=1

P n

m=1 ( ¯ Y _ij· − ¯ Y _i·· − ¯ Y ·j· + ¯ Y ··· ) ² = n P k i=1

P l

j=1 ( ¯ Y _ij· − ¯ Y _i·· − ¯ Y ·j· + ¯ Y ··· ) ² - suma kwadrat´ ow odpowiadaj¸ aca za zmienno´ s´ c wynikaj¸ ac¸ a z interakcji, SSE = P k

i=1

P l j=1

P n

m=1 (Y ijm − ¯ Y ij· ) ² - suma kwadrat´ ow odpowiadaj¸ aca za zmienno´ s´ c wewn¸ atrz grupow¸ a.

Je´ sli H 0AB jest prawdziwa, to

F _AB =

1

(k−1)(l−1) SSAB

1

kl(n−1) SSE

H

∼ F (k−1)(l−1),kl(n−1) .

Ponadto, podobnie jak w przypadku jednoczynnikowej analizy wariancji, je´ sli H 0AB jest fa lszywa, to F _AB ma tendencj¸ e do przyjmowania warto´ sci wi¸ ekszych, ni˙z w sytuacji gdy H _0AB jest prawdziwa.

2

Skr´ oty wyk lad´ ow ze SwZ (semestr zimowy, 2014/2015) Wyk lad 10

St¸ ad, na poziomie istotno´ sci α, H _0AB odrzucamy na korzy´ s´ c H _1AB , gdy F _AB ≥ f 1−α;(k−1)(l−1),kl(n−1) , gdzie f 1−α;(k−1)(l−1),kl(n−1) oznacza kwantyl rz¸ edu 1 − α rozk ladu F (k−1)(l−1),kl(n−1) .

Podobnie, je´ sli H 0A jest prawdziwa, to

F _A =

1 k−1 SSA

1

kl(n−1) SSE

H

∼ F k−1,kl(n−1)

i, na poziomie istotno´ sci α, H 0A odrzucamy na korzy´ s´ c H 1A , gdy F A ≥ f 1−α;k−1,kl(n−1) . Analogicznie, je´ sli H _0B jest prawdziwa, to

F B =

1 l−1 SSB

1

kl(n−1) SSE

H

∼ F l−1,kl(n−1)

i, na poziomie istotno´ sci α, H _0B odrzucamy na korzy´ s´ c H _1B , gdy F _B ≥ f 1−α;l−1,kl(n−1) . Implementacja powy˙zszych test´ ow w R:

> model=lm(zmienna.odpowiedzi ∼ czynnik1 * czynnik2)

> anova(model)

i, aby zobaczy´ c warto´ sci wsp´ o lczynnik´ ow w modelu,

> summary(model)

Eksperyment czynnikowy bez replikacji

Je´ sli n = 1, czyli mamy tylko po jednej obserwacji w ka˙zdej grupie, to nie jeste´ smy w stanie przeprowadzi´ c test´ ow w modelu z interakcjami, bo w mianowniku statystyk testowych pojawia si¸ e kl(n − 1), kt´ ore w tym przypadku r´ owna si¸ e zero.

W tej sytuacji mo˙zemy post¸ api´ c nast¸ epuj¸ aco.

1). Narysowa´ c wykresy ´ srednich. Je´ sli lamane ´ srednich oka˙z¸ a si¸ e w przybli˙zeniu r´ ownoleg le, to b¸edzie mo˙zna uzna´ c, ˙ze nie ma interakcji mi¸ edzy czynnikami A i B i u˙zywa´ c modelu bez interakcji:

Y ijm = µ + α i + β j + ε ijm , i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , l, m = 1, 2, . . . , n.

Wtedy rol¸e SSE mo˙ze odgrywa´ c SSAB i wzory na statystyki testowe F A i F B przyjmuj¸ a posta´ c:

F _A =

1 k−1 SSA

1

(k−1)(l−1) SSAB

H

∼ F k−1,(k−1)(l−1) ,

F _B =

1 l−1 SSB

1

(k−1)(l−1) SSAB

H

∼ F l−1,(k−1)(l−1) .

Implementacja dwuczynnikowego modelu analizy wariancji bez interakcji w R:

> model.bi=lm(zmienna.odpowiedzi ∼ czynnik1 + czynnik2)

> anova(model.bi)

> summary(model.bi)

3

Skr´ oty wyk lad´ ow ze SwZ (semestr zimowy, 2014/2015) Wyk lad 10

2). Zastosowa´ c test sprawdzaj¸ acy specjalny rodzaj interakcji γ _ij = ϕα _i β _j . Testujemy wtedy hipo- tez¸e

H ₀ : ϕ = 0 (czyli brak interakcji) przeciwko hipotezie

H 1 : ϕ 6= 0.

Niestety takie podej´ scie nie jest uniwersalne, bo og´ olnie interakcje nie musz¸ a by´ c w la´ snie takiej szczeg´ olnej postaci.

Uwaga

Przed przeprowadzeniem test´ ow w modelu dwuczynnikowej analizy wariancji trzeba sprawdzi´ c czy, przynajmniej w przybli˙zeniu, s¸ a spe lnione za lo˙zenia tego modelu:

• czy w ka˙zdej grupie rozk lad zmiennej odpowiedzi jest normalny,

• czy wariancje zmiennej odpowiedzi s¸ a w ka˙zdej grupie takie same.

PRZYK LAD 10.1

Plik pszen.txt zawiera dane dotycz¸ ace wielko´ sci zbioru pszenicy z 32 poletek (zmienna plon) przy zastosowaniu czterech dawek azotu jako nawozu (czynnik azot) oraz dw´ och metod nawadniania (czynnik metoda). Przy zadanej metodzie nawadniania, dan¸ a ilo´ sci¸ a azotu nawo˙zono 4 poletka.

Sprawdzi´ c, czy przynajmniej w przybli˙zeniu s¸ a spe lnione odpowiednie za lo˙zenia analizy wa- riancji. Je´ sli mo˙zna, przeprowadzi´ c dwuczynnikow¸ a analiz¸ e wariancji, by stwierdzi´ c, czy interakcje mi¸edzy obydwoma czynnikami (nawozem i metod¸ a nawadniania) s¸ a istotne. Je´ sli interakcje nie s¸ a istotne, sprawdzi´ c, czy obecne s¸ a efekty g l´ owne.

4