Lista 4: Pier´ scienie
(1) Sprawdzi´ c, czy pi¸ atka (P, ∗, ◦, a, b) jest pier´scieniem z jedynk¸ a, je´sli P = {a, b}, a dzia lania ∗ oraz ◦ okre´slone s¸ a za pomoc¸ a tabelek:
∗ a b a a b b b a
◦ a b a a a b a b
Kt´ ore z element´ ow zbioru P s¸ a odwracalne wzgl¸edem dzia lania
◦?
(2) Niech P b¸edzie pier´scieniem z jedynk¸ a. Poka˙z, ˙ze (a) a · 0 = 0 · a = 0;
(b) a · (−b) = (−a) · b = −ab;
(c) (−a)(−b) = ab;
(d) a(b − c) = ab − ac;
dla dowolnych a, b, c ∈ P .
(3) W pier´scieniach Z
6, Z
7zbudowa´ c tabelki dzia la´ n.
(4) W Z
nwskaza´ c elementy przeciwne wzgl¸edem dzia lania ⊕
ni odwrotne (je´sli istniej¸ a) wzgl¸edem dzia lania
ndo:
(a) 1, 2 dla n = 3;
(b) 0, 2, 5 dla n = 7;
(c) 1, 3, 4 dla n = 8.
(5) Obliczy´ c:
(a) 2
100w Z
5, (b) 888
2w Z
889. (6) Ile rozwi¸ aza´ n i jakie maj¸ a r´ ownania?
(a) 2x = 1 w Z
3; (b) 3x + 2 = 6 w Z
7;
(c) 7x − 2 = 4 w Z
8; (d) 3x + 5 = 6 w Z
12;
(e) 6x = 2 w Z
14; (f) 6x = 9 w Z
14;
(7) Wyznaczy´ c elementy odwracalne w pier´scieniach Z × Z, R × R, R × Z.
(8) Korzystaj¸ ac z algorytmu Euklidesa w pier´scieniu Z, obliczy´c NWD danej pary liczb x, y, a nast¸epnie przedstawi´ c otrzyman¸ a liczb¸e w postaci ax + by, a, b ∈ Z.
(a) 287, 14;
(b) 213, 94;
(c) 2159, 221;
(9) Korzystaj¸ ac z tzw. rozszerzonego algorytmu Euklidesa w pier´scieniu Z, obliczy´ c odwrotno´s´ c danego elementu pier´scienia Z
1734:
(a) 343, (b) 185, (c) 1633.
1