g;. 5. Operacje arytmetyczne.

WALENTY OSTASIEWICZ ^(Wrocław)

O rachunku liczb nieprecyzyjnych

(Praca ^przyjęta do druku 21.03.1978)

1. Wprowadzenie. Artykuł niniejszy jest ^próbą wykorzystania idei zbiorów rozmytych do formalizacji takich intuicyjnych pojęć, jak: „około 30'', „w przybli-

żeniu 5", „mało", „dużo" itp. ^Pojęcia te określają pewne liczby, które nie ^są jednak precyzyjne, stąd też dalej nazywane ^są liczbami nieprecyzyjnymi lub niedokładnymi.

Na liczbach tych mimo ich rozmytego charakteru wykonywane są różne operacje arytmetyczne oraz logiczne: X zarabia więcej aniżeli Y (chociaż obaj zarabiają

„mało"), Z zarabia tyle co X i Y razem (suma dwóch liczb) itp. Celem tego artykułu

jest ^również próba określenia operacji na takich liczbach w taki sposób, aby możliwie

dobrze odpowiadały intuicyjnym odczuciom oraz aby w pewnym sensie ^były uogól- nieniem operacji na „zwykłych" liczbach rzeczywistych. Osiągnięcie pierwszego z wymienionych celów jest trudne ze względu na jego subiektywny charakter oraz brak formalnego kryterium. Stąd też w artykule dość dużo miejsca poświęcono

uzasadnieniu takiego lub innego formalizmu.

2. Definicja liczb nieprecyzyjnych. Jako punkt wyjścia rozpatrzmy następujące

zdanie:

„zarobek 3000 to mało",

które dla pewnej grupy osób jest niewątpliwie prawdziwe. Natomiast zdanie:

„zarobek 9000 to ^mało"

ocenia się jako zupełnie fałszywe, zaś zdanie:

„zarobek 3800 to ^mało"

ocenia się jako prawie prawdziwe.

Subiektywnym ocenom typu: niewątpliwe, prawdziwe, zupełnie fałszywe, prawie prawdziwe itp. można przyporządkować pewne wartości liczbowe z odcinka [O, 1], np. 1, O, 0.8. W ten sposób można dokonać oceny „prawdościowef', tzw. waluacji

każdego zdania typu

„zarobek nnnn to mało".

[471

wyrażając nieprecyzyjną, rozmytą liczbę „mało" w postaci zbioru par:

(I) (r,, gi), i= I, 2, ... ,

gdzie

ri - wielkość zarobku, gi - jego waluacja.

Rozpatrzmy teraz nieprecyzyjną liczbę „około 30" (np. X ma ^około 30 lat). ^„Około 30" to na pewno jest liczba 30, ale 29 oraz 3 I to też „około 30". Podobnie 28 ⁱ 32

są też liczbami ^„około 30", ale 29 jest „bardziej ^około 30" ^aniżeli 28. To subiektywne

„na pewno", „bardziej" itp. też wyrażamy pewnym ułamkiem dokonując określonej

waluacji.

Załóżmy, że „około 30" ^mogą to być liczby 28, 29, 30, 3I, 32, którym przypisane

są odpowiednio następujące wagi: O.I, 0.7, I, 0.7, O.I, tzn., nieprecyzyjną liczbę

„około 30" przedstawiamy teraz „precyzyjnie" w postaci następującego zbioru par:

(2) ^około 30 = {(28, O.I), (29, 0.4), (30, 1), (3I, 0.4), (32, O.I)}, który graficznie można przedstawić następująco:

I / \

I \

I \

I \

I \

I \

/ '

/ '

/ '

/ '

/ '

28 29 30 31 32

Zauważmy, że liczba (2) intuicyjnie jest mniej precyzyjna od liczby:

(3) B = {(28, O.I), (29, 0.2), (30, 1), (31, 0.2), (32, 0.1)}, której wykres jest następujący:

---

I I I I I I

I I

I \

I \

I I

I I

I \

I I

28 29 ·' 30 31 32

Jednakże obie te liczby odczytujemy jako ^„około 30". Z kolei liczba:

(4) c ^{= {} (28, 0.1 ), (29' 0.2), (30, 0.8), (31, 0.2), (32, 0.1)}

jest prawie tak samo nieprecyzyjna jak liczba (3), ale w pewnym sensie jest od niej

„słabsza": bo przekonanie o samej 30-ce jest wyrażone liczbą 0.8 a nie 1.

Tak więc oprócz formalnego określenia liczby nieprecyzyjnej, potrzebne jest jeszcze określenie miary jej nieprecyzji.

Liczbę nieprecyzyjną A określimy jako funkcję

(5) fA: R ---+- [O, IJ,

która będzie też rozpatrywana jako relacja A c: R X [O, I] taka, ^że

(6) (r, g) E A ~ g = fA (r).

Klasę wszystkich tych liczb oznaczymy symbolem FN lub FN 1 ; czyli FN = (O, It.

W przypadku gdy dziedziną funkcji /A jest zbiór skończony {r1 , r2, ... , ^{rn },}

liczba A przedstawiana będzie w postaci zbioru:

(7)

Przyjmuje się przy tym, że liczba (8)

jest równoważna liczbie (9)

Zwykłą liczbę rzeczywistą r w ^powyższej notacji zapisuje się następująco:

(10) tzn.

(11)

r = {(r, 1)},

fA(z) =.f..(z) = {

~

Zauważmy, że w celu określenia liczby „około 30" należy dokładnie podać waluacje liczb 28, 29, 30, 31, 32, co też może nie być sprawą łatwą. W praktyce liczbę „około

30" można np. określić następująco: to na pewno 30, może być 29 lub 31 i prawie na pewno nie 28 i nie 32. Pojęcia „na pewno", „może być" i „prawie na pewno nie"

znowu można traktować jako pewne liczby nieprecyzyjne. Stąd też liczbę „około 30"

można określić w postaci zbioru rozmytego typu 2 (por. [5]). W artykule niniejszym problem ten nie będzie jednak rozpatrywany. Ponieważ liczby nieprecyzyjne okreś­

lone zostały jako szczególny przypadek zbiorów rozmytych, to w odniesieniu do tych liczb używana też będzie terminologia mnogościowa, np. będziemy mówić

o liczności liczby A, zawieraniu ^się liczby A w liczbie B itp.

W szczególności na liczbach tych można dokonywać wszystkich operacji zdefi- niowanych dla zbiorów rozmytych (por. [7]). Oprócz tego rozpatrzymy ^{też możli­}

wość określenia operacji arytmetycznych na tych liczbach.

Najpierw rozpatrzymy problem mierzenia stopnia nieprecyzji liczby niepre- cyzyjnej.

3. Miary nieprecyzji. Wprowadźmy na początek kilka ^określeń potrzebnych w dalszych rozważaniach. Modą liczby nieprecyzyjnej A nazywa się taką wielkość r*,że

(12) fA.(r*) = max fA(z).

z Mocą liczby A nazywa się liczbę g* taką, że

(13)

Przyjmijmy na razie założenie, że wszystkie rozpatrywane liczby ^są jednomodalne.

Liczby te nazywane będą również liczbami prostymi. Wprowadzimy jeszcze ^pojęcie lewego i prawego sąsiada wielkości g*, które będą oznaczone odpowiednio symbo- lami g1 oraz gp.

W przypadku liczby dyskretnej A = { (r 1 , p 1 , „., r ^n, Pn)} ^wielkości te określone są następująco:

(14)

jeśli gk = g* oraz k

>

w przeciwnym razie;

jeśli gk = g* oraz k < n, w przeciwnym razie.

W przypadku liczb ^ciągłych przyjmuje się następujące określenie:

g1 = JA(r*-1), gp = fA(r* + ^1).

DJa danej liczby niedokładnej A c R x [O, 1] jako najbliższą liczbę dokładną

p1zyjmuje się taką liczbę · d, dla której

(15) ^jeśli

jeśli

z= r*, z =far*, gdzie r* oznacza ^modę liczby A.

Miarę precyzji(! danej nieprecyzyjnej liczby A określać będziemy w następujący

sposób:

(16) (!(A) = ^g~ ·3 (A),

gdzie

g~ - moc liczby A,

3 -wskaźnik zwartości liczby A (określony niżej).

Gdy g* = 1, to (! = 3, stąd też pojęcie zwartości i precyzji w tym przypadku jest

utożsamiane.

Wskaźnikiem zwartości liczby nieprecyzyjnej nazywać będziemy wielkość 3 speł­

niającą następujące postulaty:

1) A = { (r, 1)} <=> 3 = 1, tzn. ^jeśli liczba nieprecyzyjna jest równa swojej naj-

bliższej liczbie precyzyjnej, to wskaźnik zwartości przyjmuje wartość maksymalną,

tzn. równą 1;

2) ^jeśli liczba A jest ^zupełnie „rozmyta", tzn. gdy

fA(x) = fA(Y) dla dowolnych x, y e R,

wskaźnik zwartości powinien przyjmować wartość minimalną równą O;

3) im liczba A jest „bliższa" swojej najbliższej liczbie ^dokładnej tym ^wartość

wskaźnika 3 powinna być większa.

Można skonstruować wiele wskaźników spełniających powyższe warunki, a do-

broć ich można oceniać tylko nieformalnie (wynika to z „rozmytego" charakteru postulatu 3). ^Niżej rozpatrzone ^zostaną niektóre z możliwych wskaźników.

Jednym z najprostszych wskaźników zwartości liczby nieprecyzyjnej ^{może być}

następujący:

(17)

Wskaźnik ten ^spełnia wymienione trzy postulaty, a ponadto jest bardzo prosty rachunkowo.

Do konstrukcji miar zwartości można wykorzystać pojęcie odległości dwóch zbiorów rozmytych. Na przykład miarę zwartości można konstruować w postaci

(18) 3 = I-d,

gdzie d - unormowana ^odległość liczby nieprecyzyjnej od najbliższej liczby

dokładnej.

Do mierzenia odległości dwóch liczb viedokładnych można wykorzystać jedną

z metryk proponowanych dla zbiorów rozmytych [3], np. zmodyfikowaną odległość

Hamminga:

(19) d(A, B) = K· ~ lfA(z)-fs(z)ldz

R

lub odległo~ć Euklidesa:

(20) d²(A, B) = K· ~ (/A(z)-f8(z))²dz.

R

Korzystając z jednej z powyższych metryk, miarę zwartości liczby A można określić następująco:

(21) 3(A) = 1-d(A, 4),

gdzie A ^jest dokładną liczbą najbliższą liczbie A. Jednak tak skonstruowana miara

zwartości okazuje ^się zbyt mało czuła. Na ^przykład obie liczby (2) i (3) ^według tej miary ^są jednakowo zwarte, co przeczy jednak intuicji „zdroworozsądkowej".

Do mierzenia ^zwartości liczby nieprecyzyjnej można też użyć pojęcia entropii, która dla przypadku zbiorów rozmytych została zaproponowana w pracy [4].

Entropię zbioru rozmytego A określono tam następująco:

I ⁿ

H(A) = - -

L

n i=.t

(22)

Niestety, i ta miara w odniesieniu do liczb nieprecyzyjnych nie ^spełnia intuicyjnych

oczekiwań. Intuicyjnie bez najmniejszego wahania powiemy, ^że liczba (23) A = { (4, 0.2), (5, 1), (6, 0.2)}

jest znacznie mniej nieprecyzyjna od liczby

(24) B = {(4, 0.1), (5, 0.1), (6, 0.1)},

natomiast miara (22) dla obu tych liczb jest mniej ^więcej jednakowa i wynosi odpo- wiednio 0.333 oraz 0.325.

Zauważmy też, że liczba

(25) c ^{= { (} 4, 0.9), (5, 0.9), (6, 0.9)}

według tej miary jest ^dokładnie tak samo nieprecyzyjna jak liczba (24).

Wykresy liczb A, B i C są następujące:

0.2

4 5 A

6

0.1 --- --- 5 B

6

l ^>-

0.9 >-- - - - - - -

4 5

c ⁶

Do mierzenia stopnia ^zwartości liczby ^A można wykorzystać jedną z miar stoso- wanych przy mierzeniu spłaszczenia rozkładów zmiennych losowych, np. drugi moment względem wartości oczekiwanej lub ^względem mody, ^miarę akscesu, ^rozstęp

rozkładu itp. (por. [2]). ^Niżej podany jest jeszcze jeden wskaźnik zwartości wyko-

rzystujący pojęcie cosinusa kąta między dwoma prostymi:

( 6) 2 3 ²(A) _ - 2 y' (1 +kf)(l 2+k¹k2 +k~) ' gdzie

Wskaźnik ten ma następujące własności:

1) 3²(A) = 1 tylko wówczas gdy A = { (r, 1)};

2) 3²(A) = O tylko wówczas gdy g1 = g2 = ... = gn;

3) jeśli B = {(r1^,g~'), „., ^(rn,g~)} oraz A= {(r₁,g_{1 ),} „., (rn,gn)} takie, że g~ = g; oraz ^{g~ ~} g1 , g~ ~ gp, wówczas 3²(B) ^~ 3²(A).

4. Uporządkowanie liczb nieprecyzyjnych. Określenie relacji ^porządku (szcze- gólnie liniowego) w zbiorze liczb nieprecyzyjnych (spełniającej oczekiwania „zdrowo-

rozsądkowe") nic jest zadaniem prostym. Zauważmy bowiem, że nawet intuicyjnie trudno jest określić, która z następujących liczb jest większa:

(27) czy ^też

„około 5" = {(4, O.I), (5, 0.9), (6, O.I)},

(28) „około 5" = { (3, O. I), (4, 0.5), (5, I), (6, 0.2), (7, O.I)}.

Możliwe są tu następujące odpowiedzi:

I) obie liczby są jednakowe, ponieważ obie są „około 5";

2) pierwsza jest mniejsza, ponieważ stopień przynależności (waluacja) liczby 5 jest mniejszy aniżeli analogiczna waluacja w drugiej;

3) liczb tych w ogóle nie można porównywać.

Każda z tych odpowiedzi ma jednakowo dobrą motywację i w zależności od

zastosowań każda może mieć odpowiednie znaczenie. Pierwszą z podanych odpo- wiedzi uzyskujemy określając relację porządku w sposób następujący:

(29) A ::::;; B <=> r! ::::;; r; .

Łatwo sprawdzić, że relacja ta spełnia następujące warunki:

I) A::::;; A dla ^każdego AE FN,

2) A ::::;; B A B ::::;; C ~ A ::::;; C 3) A ::::;; B /\ B ::::;; A ^~ A = B 4) A::::;; B lub B::::;; A

dla każdego A, B, CE FN, dla każdego A, BE FN, dla każdego A, BE FN, a więc jest to relacja porządku liniowego.

Drugą z podanych odpowiedzi uzyskamy określając relację następująco:

(30)

która również jest relacją porządku liniowego.

Porządek częściowy realizujący trzecią z podanych odpowiedzi może być zdefi- niowany następująco:

(3I) A ::::;; B <=> r! ::::;; r; /\ g! =

g;.

5. Operacje arytmetyczne. Przy definiowaniu działań arytmetycznych na liczbach nieprecyzyjnych żądamy spełnienia następujących warunków:

1) działania te powinny być uogólnieniem zwykłych działań arytmetycznych, 2) liczba otrzymana w wyniku wykonanego działania powinna posiadać taką samą moc jak argumenty (w przypadku jednakowych) lub być jakąś wypadkową

(w przypadku różnych mocy).

Jednym z ^możliwych sposobów określenia działań na liczbach nieprecyzyjnych jest wykorzystanie idei splatania funkcji. Jeśli przyjmiemy, że liczbę nieprecyzyjną 11 („jeden") ^określa pewna funkcja /₁₁ (x), wówczas ^liczbę In można określić na-

stępująco [3]:

k

(32) _{fin(x) =} ~f1n_1^(t)·f11^{(x-t)dt dla n=} 2, 3, ...

o

Przyjmując, że

(33)

gdzie ^~(x) jest ^funkcją Diraca, otrzymujemy ciąg

10 , 11 , 12 , ••• ,

który jest izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych [3]. Tak skonstruowane liczby nieprecyzyjne mają jednak zasadniczą wadę polegającą na tym, ^że moc ich maleje wraz ze wzrostem wskaźnika n oraz każda następna liczba jest mniej precyzyjna od poprzedniej.

Jeśli np. funkcjafi₁(x) jest krzywą Gaussa, to moc liczby In wyraża się wzorem (por. [3]):

(34)

g:

y

Ponadto dla zastosowań praktycznych skonstruowany ^wyżej monoid liczb nie- precyzyjnych jest strukturą zbyt ubogą. Przyjmijmy, ^że operacje arytmetyczne na liczbach nieprecyzyjnych: dodawanie, odejmowanie, ^mnożenie i dzielenie ^oznaczać

będziemy odpowiednio symbolami: +, - , . , / lub ^też wspólnym symbolem ^o i ^określamy je następująco:

(35) !A ^{o B(z)} = max [min(fA(x),fB(Y))].

Z=Xoy

W przypadku liczb dyskretnych A= {(r~, g~), ... , (r~, g~)}, B = {Vi', ^g~'), ...

... , (r~', g~' ) } wzór (35) przyjmie następującą postać:

(36) A ^o B = { (rb gi)I ri = r~ o r;', gi = max [min (g~, gl')]}.

'1='t or''

Przyjmijmy, ^że dla r, s e R

jeśli z= r,

w przeciwnym razie, oraz

/ 8(z) =/,(z)= {

~

A= {(r, 1)}, B = {(s, 1)};

wówczas dla dowolnych x, y e R mamy

Dalej otrzymujemy, że

x o y =I= r => min(JA (x),f8(y)) = O, x o y = r => min(JA (x),fB(Y)) = 1.

{ 1 jeśli z = r o s, fros(z)= O w przeciwnym razie, . . czyli A ^o B = { (r ^o s, 1)}.

Tak ^więc podane operacje ^są uogólnieniem ^zwykłych operacji arytmetycznych.

Zauważmy też, że gdy A = { (r1, gi ), ... , (r*, g*), ... , (rn, gn)} i B = {(s1, p1), ...

... , (s*,p*), ... , (sn,Pn)}, to

g! ^oB = min{g*,p*),

jeśli więc oba argumenty operacji „ ^{o" są} jednakowej mocy, tzn.

g* = p*, wówczas liczba A ^o B jest ^również tej samej mocy:

g!cB = g* = p*.

Poza tym łatwo zauważyć, że

W ogólnym przypadku prawdziwa jest następująca nierówność:

(37) 3 (A ^o B) ^;;?; max(3 (A), 3 (B)).

Jeśli zaś A = B, to

(38) 3 (A ^o B) = 3 (A) = 3 {B).

Dla ilustracji zdefiniowanych wyżej operacji rozpatrzmy dodawanie dwóch liczb.

Weźmy mianowicie następujące liczby:

A = {(4, 0.2), (5, 1), (6, 0.2)}, B = {{2, 0.1), (3, 1), (4, 0.2)}.

W wyniku dodawania ich otrzymujemy:

A+B = {(6, min(O.l, 0.2)), (7, max(min(l, 0.2), min(0.1, 1))),

(8, max(0.1, 0.2, 1)), (9, max(0.2, 0.2)), (10, min(0.2, 0.2))} =

= {(6, 0.1), (7, 0.2), (8, 1), (9, 0.2), (10, 0.2)}.

Tak więc dodając „około 5" do ^„około 3" otrzymaliśmy „około 8". Wykres tych trzech liczb jest następujący:

I\ I\

I \ I \

I \ I \

I \ I \

I \ I \

I \ I \

I \ I \

I \ I \

I \ I \

I \I \

I I _/ ^{/ /}

I \ I \

I \

I \

I \

I \

I \

I \

I \

I \

2 3

Ls

Dodawanie (podobnie jak i ^pozostałe operacje) wygodnie jest przedstawić w postaci

następującej tabelki:

Przy praktycznych zastosowaniach rachunku liczb nieprecyzyjnych czasami wy- godnie jest ^żądać równolicznosci wszystkich liczb. ^{Stąd też} po wykonaniu operacji i'cytmetycznej można odrzucać elementy znajdujące się najdalej od mody. W roz- patrywanym przykładzie liczbę „około 8" przedstawilibyśmy następująco:

A+B = {(7, 0.2), (8, I), (9, 0.2)}.

W celu zachowania „rozpiętości" liczby można też pozostawiać elementy naj- bardziej od mody oddalone; wówczas suma A+ B przyjmie następującą postać:

A+B = {(6, O.I), (8, I), (10, 0.2)}.

W celu zbadania niektórych ^własności algebraicznych zdefiniowanych ^wyżej ope·

racji arytmetycznych, wprowadzimy w zbiorze FN następującą relację:

(39) A ^~ B <=> r_:: = ri ^A g,! = d dla A, B E FN.

Łatwo sprawdzić, że jest to relacja równoważności, według której np. liczba { ( 4, 0.2), (5, I)} jest równoważna liczbie {(4, O.I), (5, I), (6, O.I)}, obie można odczytać jako

„około 5".

Przyjmijmy, ^że dla pewnej zadanej liczby w (O < ^w~ I) ^określimy dwie liczby I oraz Z:

(40) (4I)

I= {(r, g)I r = I<=> g = w, r "# 1 <=> g = O}, Z= { (r, g)I r = O<=> g = w, r "# O<=> g = O}.

Ponadto przyjmijmy, ^że operacja + ^określona jest następująco:

(42) { a/b jeśli b #=- O,

a+ b = 0 ^jeśli b = O;

wówczas dla danej liczby A e FN zdefiniujemy dwie liczby -A oraz A-¹ w sposób

następujący:

(43) -A= {(r, g)I r = -r', g = g', (r', g') e A},

(44) A-¹ = {(r, g)I r = 1 -;... r', g = g', (r', g') e A}, r~ #=- O.

Przyjmując powyższe definicje łatwo sprawdzić, że dla dowolnych A, B, CE FN o jednakowej mocy równej w prawdziwe są następujące własności:

1) A+B ~ B+A,

2) (A+B)+C ~ A+(B+C), 3) ^A+z~ Z+A ~A,

4) A+(-A) ~ (-A)+A ~Z,

5) A· B ~ B· A,

6) (A · B) · C ~ A · (B · C), 7) (A+ B) · C ~ A · C + ^{B · C,}

8) A · I ~ I· A ~ A, 9) A· A-^{1 ~} A-¹ ·A ^~I.

Przyjmijmy, że klasę równoważności relacji (42) wyznaczoną przez element {(r, w)} E FN oznaczymy symbolem Fn zaś zbiór {F, }, gdzie r jest dowoJną liczbą rzeczywistą, oznaczymy symbolem FRN.

Łatwo zauważyć, że zbiór FRN jest izomorficzny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

Przy tym ^własności 1)-9) przyjmą postać równości typu F,+Fs = Fs+F, itd.

Jeśli zaś przyjmiemy, ^że indeks r przebiega zbiór liczb całkowitych, to otrzymany zbiór {F,} klas równoważności będzie izomorficzny ze zbiorem liczb całkowitych;

zbiór ten oznaczymy symbolem FIN. Analogicznie można określić zbiór naturalnych liczb nieprecyzyjnych FNN jako zbiór takich klas równoważności { F,} gdy indeks r przebiega zbiór liczb naturalnych.

6. Wyrażenia arytmetyczne. ^Ponieważ liczby nieprecyzyjne określone zostały

jako szczególny przypadek zbiorów rozmytych, stąd też, oprócz zdefiniowanych w poprzednim punkcie operacji arytmetycznych, można na nich ^wykonywać wszystkie operacje zdefiniowane dla zbiorów rozmytych (por. [7]). W szczególności sumę mnogościową wygodnie jest wykorzystać do „rozkładania" liczb wielomodalnych na liczby jednomodalne. Na przykład liczbę

C = { (1, 0.2), (2, 1), (3, O.I), (4, 1), (5, 0.1) },

(którą można odczytać jako „około 2 lub 4"), można traktować jako sumę A u B, gdzie

A = { (1, 0.2), (2, 1), (3, 0.1) }, B = { (3, 0.1), (4, 1), (5, 0.1) }.

Poza tym przy operowaniu liczbami nieprecyzyjnymi („mało", „młody" itp.) ^często

posługujemy się takimi określeniami, jak „bardzo", „wyjątkowo", „nieznacznie",

„mniej więcej" itp. (np. w takich wyrażeniachjak „bardzo mało", „wyjątkowo dużo",

„mniej więcej 5" itp.). Okazuje się, że określenia takie można formalizować

w postaci operatorów jednoarg11mentowych na zbiorach rozmytych (por. [8]), a więc i na zbiorach liczb nieprecyzyjnych.

Na przykład, wyrażenia „bardzo" formalizuje ^się w postaci pewnego opera- tora V, który zdefiniowany jest następująco:

V(A) = {(r',g')I g' = g^{2 ,} r' = r, (r,g)eA}.

Jeśli przyjmiemy, że

młody { (17, 0.1), (18, 1), (19, 0.2), (20, 0.1) }, wówczas

bardzo młody = { (17, O.Ol), (18, 1), (19, 0.04), (20, O.Ol)}.

Pojęcie „wyjątkowo" formalizujemy w postaci operatora H, który definiujemy

następująco:

H(A) = V(V(A)).

W podobny sposób można definiować inne operatory (por. [8}). Aby w sposób jednoznaczny obliczać wartość wyrażenia arytmetycznego, przyjmijmy następując~

kolejność wykonywania operacji ^Ueśli nie jest zadana nawiasami w konwencjonalny sposób):

1. operatory jednoargumentowe: lingwistyczne, negacja mnogościowa, negacja arytmetyczna;

2. operatory mnożenia: mnożenie i dzielenie arytmetyczne, iloczyn ^mnogości owy;

3. operatory dodawania: suma i ^różnica arytmetyczne, suma mnogości owa.

Formalna definicja ^wyrażeń arytmetycznych oraz algorytmy obliczania war-

tości tych wyrażeń zawarte są w definicji algorytmicznego języka Fuzal przezna- czonego specjalnie do operowania liczbami nieprecyzyjnymi.

7. Zastosowania. Jednym z ciekawszych zastosowań teorii zbiorów rozmytych

są zagadnienia optymalizacyjne. Podstawową metodę rozwiązywania takich zadań

zaproponowano w pracy [l]. Idea tej metody polega na tym, ^że zarówno cele, które chcemy osiągnąć, jak ^również ograniczenia przedstawiane ^są w postaci pewnych podzbiorów rozmytych w tej samej przestrzeni możliwych rozwiązań (alternatyw).

Rozwiązaniem jest iloczyn mnogościowy zbiorów rozmytych reprezentujących

cele oraz ograniczenia. Element otrzymanego zbioru posiadający największy stopień przynależności traktowany jest jako rozwiązanie optymalne. ^Niżej przedstawiono

odmienną koncepcję rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych, polegającą na wykorzystaniu tradycyjnych technik programowania matematycznego, ale ^bazują­

cych na prezentowanych tu liczbach nieprecyzyjnych. Koncepcja ta przedstawiona jest na przykładzie nieco zmodyfikowanego zagadnienia diety optymalnej (por. [6]).

Modyfikacja polega na tym, ^że „sztywne" współczynniki określające obszar do- puszczalnych rozwiązań zastąpimy współczynnikami nieprecyzyjnymi. Jest to ^więc zadanie następujące:

Dane ^są dwa produkty A i B zawierające trzy składniki odżywcze M_{1 ,} M2 i M₃

służące jako pasza. Cena jednostkowa produktu A wynosi 20 ^zł, a cena produktu B 40 zł za jednostkę. Należy wyznaczyć takie ilości tych produktów, aby koszt ich był najniższy, ale muszą być zrealizowane pewne wymagania co do ^wartości

odżywczej paszy. A mianowicie ^składnika M1 trzeba dostarczyć nie mniej ^niż 45 jed- nostek, składnika M₂ co najmniej 16 jednostek, ale składnika M₃ nie może być więcej niż 20 jednostek. Zawartość składników M 1 , M 2 , M 3 w produktach A i B podana jest w tabeli:

zawartość w produkcie

składnik

A B

Mi ok.9 ok.3

M2 ok. 1 ok.4

M3 ok.2 ok.2

Przyjmijmy, ^że:

L1 = ok. 9 = {(8, 0.1), (9, 1), (10, 0.3)}, L2 = ok. 3 = { (2, 0.2), (3, 1), (4, 0.1) }, L3 = ok. 1 = { (0.5, 0.1), (1, 1), (1.5, 0.5) }, L4 = ok. 4 = {(3.9, 0.5), (4, 1), (4.1, 0.2)}, Ls = ok. 2 = {(1.9, 0.1), (2, 1), (2.1, 0.1)}, L6 = ok. 2 = { (1.9, 0.2), (2, 1), (2.9, 0.5) }, L7 = min 45 = { (45, 1), (46, 0.9) },

Lg = min 16 = { (16, 1), (17, 0.8), (18, 0.1) }, L9 =max 20 = {(19, 0.1), (20, l)}.

ile trzeba dostarczyć

nie mniej ^niż 45 minimum 16 maksimum 20

Wówczas zadanie sprowadza się do znalezienia minimum funkcji Koszt = 20A + ^40B

przy ograniczeniach:

LiA+L2B ^~ L1, L3A+L4B ^~Lg, L5A+L6B ^~ L9 , A~ O, B ^~O.

Ponieważ rozwiązanie wyznacza tu punkt przecięcia prostych L1 A+ L2 B = L1

oraz L3A+L4B =Lg, to współczynniki jego określimy według wzorów:

A= (L4 · L7-L2 • Lg)/D, B = (L1 · Lg-L3 • L1)/D, gdzie

D = L1 • L4 - L2 • L3 •

Obliczymy najpierw wielkość D:

D = {(8, 0.1), (9, 1), (10, 0.3)} · {(3.9, 0.5), (4, 1), (4.1, 0.2)}- - {(2, 0.2), (3, 1), (4, 0.1)}. {(0.5, 0.1), (1, 1), (1.5, 0.5)} =

= {(32.1,0.1), (32,0.1), (32.8,0.1), (35.1,0.5), (36, 1), (36.9,0.2), (39, 0.1), (40, 0.3), (41, 0.2)}-{(l, 0.1), (1.5, 0.1), (2, 0.2), (3, 1), (4, 0.1), (4.5, 0.5), (6, 0.1)} = {(25.2, 0.1), (30.6, 0.5), (33, 1), (36, 0.3), (40, 0.1)}.

Przy zapme rozmcy pozostawione zostały tylko elementy o największych war-

tościach gi oraz najbardziej skrajne (wyznaczające tzw. ^rozstęp).

W podobny sposób upraszczając obliczenia wielkości A, otrzymujemy A = { (2.6, O. I), (39, 0.8), (4, I), (4. I, 0.9), (6.2, O. I)}

oraz

B = {(1.5, O.I), (2.9, 0.9), (3, 1), (3.3, 0.8), (6.3, O.I)}.

Czyli najbardziej istotnym (stopień przynależności równy 1) rozwiązaniem jest:

4 jednostki produktu A oraz 3 jednostki produktu B, ale prawie jednakowo dobrym jest też rozwiązanie A = 2.9 oraz B = 4.1.

Innym możliwym przykładem jest wykorzystanie liczb nieprecyzyjnych do konstrukcji tzw. alternatywnych modeli ekonometrycznych oraz prognozowania alternatywnego. ^Jeśli mianowicie współczynniki A1 , A2 , ••• ,An w modelu

y = AiX1 + ^{„. +AnXn}

określone będą jako liczby nieprecyzyjne, wówczas model taki nie jest ^jedną hi-

perpłaszczyzną, lecz tworzy pęk takich hiperpłaszczyzn o różnych stopniach przy-

należności. W konsekwencji tego, w wyniku podstawienia jakiejś wartości zmien- nej X otrzymuje ^się nie jedną konkretną liczbę rzeczywistą, lecz ^liczbę nieprecy-

zyjną lub w szczególnym przypadku pewien ^skończony zbiór liczb o ^różnych stop- niach przynależności (gdy liczba nieprecyzyjna jest liczbą skończoną).

Prace cytowane

[1] R. Be 11 ma n, L. A. Z ad eh, Decision making infuzzy environment, Management Science 17 (1970).

[2] H. Cr amer, Metody matematyczne w statystyce, PWN, Warszawa 1958.

[3] A. K a uf m a n n, Introduction a ^{la thćorie} des sous-ensembles flous, Paris 1973.

[4] A. De Luc a, S. Term i n i, A definition of a nonprobabi/istic entropy in the setting of Jazzy sets theory, Inf. and Control, 20 (1972).

[5] M. Mi z u mat o , K. Ta n a ka, Some properties of fuzzy sets of Type 2, Inf. and Control 31 (1976).

[6] W. Sadowski, Teoria podejmowania decyzji, PWE, Warszawa 1964.

[7] L. A. Z ad eh, Fuzzy sets, Inf. and Control 8 (1965).

[8] L. A. Z a de h, Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes, IEEE Trans. of systems, man & Cyb. 1973, No 1.