Skrypcik podstawowych własności inwersji w 10,5 fakcikach DEF. Inwersja to przekształcenie płaszczyzny bez punktu w płaszczyzn

Skrypcik podstawowych własności inwersji w 10,5 fakcikach

DEF. Inwersja to przekształcenie płaszczyzny bez punktu w płaszczyzne bez punktu (na-_, zywanego środkiem inwersji - O), takie, że dla każdego punktu X jego obraz leży na półprostej OX i zachodzi OX · OX⁰ = r² gdzie r jest promieniem inwersyjnym. Zauważmy, że wówczas okrag o promieniu r i środku w O przechodzi w inwersji sam na siebie._,

FAKT1 Złożenie inwersji z sama sob_, a jest identyczności_, a._,

Dowód: skoro punkt X⁰ jest obrazem X, to X jest obrazem X⁰ z symetrii definicji inwersji ze wzgledu na X i X_, ⁰. Zatem inwersja jest sama do siebie przekształceniem odwrotnym.

FAKT2 Złożenie dwóch inwersji współśrodkowych o promieniach r₁ i r₂ jest jednokładno- ścia o skali_, ^r_r²²2

1 o środku w O.

Dowód: niech X bedzie punktem, X_, ⁰ jego obrazem w pierwszej inwersji zaś X⁰⁰ obrazem w złożeniu. Wówczas z definicji mamy, że OX · OX⁰ = r₁² i OX⁰ · OX⁰⁰ = r₂². Dzielac drugie_, równanie przez pierwsze mamy, że ^OX_OX⁰⁰ = ^r_r²²2

1 czyli definicji żadanej jednokładności._,

FAKT3 Niech A i B bed_, a punktami zaś A_, ⁰, B⁰ ich obrazami w inwersji wzgledem O i o_, promieniu r. Wówczas punkty A, B, A⁰, B⁰ leża na jednym okr_, egu._,

Dowód: z definicji mamy, że OA · OA⁰ = r² = OB · OB⁰ wiec z tw. odwrotnego do tw. o_, potedze punktu wzgl_, edem okr_, egu ż_, adane punkty s_, a na jednym okr_, egu._,

FAKT4 Obrazem prostej jest okrag przechodz_, acy przez środek inwersji (bez środka inwer-_, sji).

Dowód: Niech A bedzie rzutem O - środka inwersji na prost_, a k, której obraz chcemy otrzy-_, mać, zaś A⁰ jego obrazem. Niech C bedzie dowolnym innym punktem prostej k a C_, ⁰ jego obrazem. Wówczas z faktu3 wynika, że punkty A, C, A⁰, C⁰ leża na jednym okr_, egu, wi_, ec suma_, katów ∠A_, ⁰AC i ∠CC⁰A⁰ to kAt pólpełny, wi_, ec skoro ∠A_, ⁰AC jest prosty to i ∠CC⁰A⁰ także.

Zatem kat OC_, ⁰A⁰ jest zawsze prosty, wiec punkty C_, ⁰ leża na okr_, egu o średnicy OA_, ⁰. Jedno- cześnie cały ten okrag jest realizowalny, gdyż każda półprosta przecinaj_, aca prost_, a k realizuje_, pewien punkt C⁰. Oczywiście z tego faktu wynika, że obrazem okregu przechodz_, acego przez_, środek inwersji jest prosta.

FAKT5 Obrazem okregu nieprzechodz_, acego przez środek inwersji jest okr_, ag nieprzechodz_, acy_, przez środek inwersji.

Dowód: niech k bedzie naszym okż_, egiem zaś S jego środkiem. Niech punkty A, B b_, ed_, a_, przecieciami prostej OS z okr_, egiem zaś A_, ⁰, B⁰ ich obrazami. Niech C bedzie dowolnym punktem_, okregu k a C_, ⁰ jego obrazem. Wówczas z faktu3 punkty A, A⁰, C, C⁰ leża na jednym okr_, egu_, wiec łatwo zauwaźyć, że z warunku wpisywalnoŚci czworok_, ata w okr_, ag i k_, atów przyle”głych_,

∠OC⁰A⁰ = ∠CAO = α, analogicznie ∠OC⁰B⁰ = ∠CBO = β. Rozważajac zatem tw. o k_, acie_, zewnetrznym dla trójk_, ata ABC mamy że oba k_, aty ∠ACB i ∠A_, ⁰C⁰B⁰ maja miar_, e |α − β|, wi_, ec_, skoro kat ∠ACB jest prosty to i ∠A_, ⁰C⁰B⁰ jest prosty, wiec wszystkie punkty C_, ⁰ leża na okr_, egu_, ośrednicy A⁰B⁰. Analogicznie jak poprzednio pokazujemy, że cały okrag jest realizowalny._,

FAKT5a Obrazem prostej przechodzacej przez środek inwersji jest ta sama prosta._,

Dowód: Po prostu punkty z wnetrza okr_, egu inwersyjnego zamieniaj_, a si_, e z tymi na zewn_, atrz._, FAKT6 Niech A, B punkty na płaszczyźnie, zaś A⁰, B⁰ ich obrazy przy inwersji o środku w O i promieniu r. Wówczas A⁰B⁰ = AB · _OA·OB^r2 .

1

Dowód: Zauważmy, że z faktu3 wynika, że A, A⁰, B, B⁰leża na jednym okr_, egu. Wówczas łatwo_, na katach policzyć, że trójk_, aty AOB i B_, ⁰OA⁰ sa podobne (z cechy KKK, co wynika z k_, atów_, przyległych i warunki opisywalności okregu na czworok_, acie). Zatem mamy, że_, ^A_AB^0B0 = ^OA_OB⁰. Ale z definicji inwersji mamy, że OA⁰ = _OA^r2 . Wstawiajac to do wzorku otrzymujemy, że_, ^A_AB^0B0 = _OA·OB^r2 co po przemnożeniu przez AB jest szukanym wzorem.

FAKT7 Konstrukcja inwersji: Mamy punkt X poza okregiem inwersyjnym o środku w O._, Kreślimy styczna do okr_, egu z punktu X a punkt styczności to G. Wówczas punkt X_, ⁰ - rzut G na prosta OX jest szukanym obrazem. Aby uzyskać konstrukcj_, e dla punktu wewn_, atrz odwracamy_, całe postepowanie._,

Dowód: Ze styczności kat OGX jest prosty. Zatem z cechy podobieństwa KKK trójk_, aty_, OGX i OX⁰G sa podobne (bo jeden k_, at wspólny a jeden prosty). Wi_, ec mamy, że:_, ^OX_OG⁰ = _OX^OG. Wymnażajac stronami mamy, że OX · OX_, ⁰ = OG² = r² czyli definicje inwersji._,

FAKT8 Inwersja, jak każde przekształcenie różnowartościowe nie dodaje krzywym nowych punktów przeciecia. Zatem np. obrazem okr_, egów stycznych nieprzechodz_, acyh przez środek in-_, wersji bed_, a okr_, egi styczne, zaś obrazem tych okr_, egów wzgl_, edem ich punktu styczności b_, ed_, a_, dwie proste równoległe. Obrazem dwóch przecinajacych si_, e okr_, egów w inwersji o środku w_, jednym z tych punktów przecieć s_, a dwie proste przecinaj_, ace si_, e w obrazie drugiego punnktu_, przeciecia._,

FAKT9 Jedynymi okregami przechodz_, acymi same na siebie s_, a okr_, egi ortogonalne (prosto-_, padłe) z inwersyjnym (no i on sam).

Dowód: Niech O bedzie środkiem inwersji, k okr_, egiem inwersyjnym zaś l okr_, egiem prze-_, chodzacym sam na siebie. Zauważmy, że l jeśi nie jest równy k to nie może zawierać we wn_, etrzu_, punktu O, gdyż w przeciwnym razie każda półprosta od punktu O do punktu z okregu l za-_, wierałaby dokładnie jeden punkt z okregu l, wi_, ec te wszystkie punkty, aby przejść w inwersji_, na punkty z l musiałyby przejść same na siebie, wiec wszystkie leżałyby na k. Zatem założmy,_, że O leży na zewnatrz l. Poprowadźmy wi_, ec styczne do l z O i niech punkty styczności to P i_, R. Zauważmy, że te punkty to jedyne punkty na półprostych OP i OR należace do l, wi_, ec w_, inwersji musza przejść same na siebie. Zatem P i R leż_, a na okr_, egu k. Poprowadźmy proste p,r,_, prostopadłe do półprostych OP i OR w punktach P i R odpowiednio. Ponieważ te pólproste sa w tych punktach styczne do okr_, egu l, to p i r zawieraj_, a promienie okr_, egu l, wi_, ec przecinaj_, A_, sie w jego środku. Jednocześnie jako, że proste te s_, a prostopadłe do promieni okr_, egu k, to s_, a_, one stycznymi do okregu k. Zatem styczne obu okr_, egów w punkcie przeci_, ecia s_, a prostopadłe,_, wiec okr_, egi s_, a ortogonalne._,

FAKT10 Inwersja zachowuje katy mi_, edzy krzywymi. W szczególności przekształca okr_, egi i_, proste ortogonalne na okregi i proste ortogonalne (dwie proste ortogonalne to proste prostopadłe_, a prosta ortogonalna do okregu to prosta zawieraj_, aca jego średnic_, e)_,

Dowód: Jakieś obrzydliwe przeliczenie na katach, które zostawiam czytelnikowi :)_,

2