Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa

(1)

Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa

Marcin Orchel

Spis treści

1 Wstęp 1

1.1 Błądzenie losowe . . . 1

1.2 Proces Wienera . . . 2

1.3 Stochastyczne równania różniczkowe . . . 3

1.4 Opcje . . . 5

1.5 Wyprowadzenie wzoru Blacka-Scholesa . . . 6

2 Zadania 7 2.1 Zadanie obowiązkowe. . . 7

2.2 Zadanie na 4.0 . . . 7

2.3 Zadanie na 5.0 . . . 7

1 Wstęp

1.1 Błądzenie losowe

Błądzenie losowe jest matematycznym sformalizowaniem trajektorii powstałej przez wy- konywanie kolejnych losowych kroków.

Jednowymiarowe błądzenie losowe. Niech będzie dana prosta z liczbami naturalnymi.

Błądzenie losowe zaczyna się w liczbie S₀ = 0. W każdym kroku przesuwamy się o ±1 z jednakowym prawdopodobieństwem. Formalnie mamy dane zmienne losowe Z₁, Z₂, . . . ,, gdzie każda zmienna losowa przyjmuje z jednakowym prawd. wartości -1 i 1. Jeśli:

S_n:=

n

X

j=1

Z_j (1)

to szereg {S_n} jest nazywany prostym błądzeniem losowym na Z, określa on położenie punktu po n krokach.

Błądzenie losowe dla dużych liczby kroków jest opisywane przez centralne twierdzenie graniczne, to znaczy dla dużej liczby kroków pozycja jest zgodna z rozkładem normalnym z wariancją:

σ² = t

δt² (2)

(2)

gdzie t to czas który minął od startu, długość kroku, δt czas pomiędzy dwoma nastę- pującymi po sobie krokami.

Zmniejszając krok w błądzeniu losowym do bardzo małego dostajemy aproksymację procesu Wienera. Przejście z modelu dyskretnego do ciągłego. To znaczy, jeśli ω_{N (t)} oznacza błądzenie losowe w czasie t podzielone przez √

N , a N (t) oznacza ile kroków możemy wykonać w czasie t, to przy N dążącym do nieskończoności rozkłady ω_N dążą do rozkładu ω_t, oznaczającego proces Wienera.

1.2 Proces Wienera

Proces Wienera to model matematyczny ruchów Browna. Jest przykładem procesu Gaus- sowskiego. Proces stochastyczny {ω_t}_t≥0 nazywamy procesem Wienera, gdy spełnia na- stępujące warunki:

•

ω0 = 0 (3)

• ω ma przyrosty niezależne, co oznacza, że jeśli 0 ≤ s₁ ≤ t₁ ≤ s₂ ≤ t₂, wtedy ωt1− ω_s₁ oraz ω_t₂ − ω_s₂ są niezależnymi zmiennymi losowymi

• dla każdego 0 ≤ s ≤ t

ωt− ω_s= N (0, t − s) (4)

gdzie N µ, σ² to rozkład normalny z oczekiwaną wartością µ i wariancją σ².

• trajektorie procesu ω są ciągłe prawie na pewno, z prawdopodobieństwem 1 Jest to model ruchów Browna. Rozpatrzmy cząstkę poruszającą się w jednym wy- miarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości w prawo lub lewo z prawd. 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Zmniejszając odpowiednio jednostkę długości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Proces Wienera jest procesem granicznym dla błądzenia losowego.

Wartość średnia jest dana punktem startowym:

E [ω (t)] = ω₀ = ω (t₀) = 0 (5)

a wariancja:

E^h(ω (t) − ω₀)²ⁱ= t − t₀ = t (6) a kowariancja:

E [ω (t) ω (s)] = min (t, s) (7)

(3)

1.3 Stochastyczne równania różniczkowe

Stochastyczne równanie różniczkowe to równanie w którym jeden lub więcej ze składni- ków równania jest procesem stochastycznym, co implikuje rozwiązanie będące procesem stochastycznym. Załóżmy, że x (t) jest procesem stochastycznym, który spełnia nastę- pujące stochastyczne równanie różniczkowe:

dx (t) = a (x (t) , t) dt + b (x (t) , t) dω (t) (8) gdzie ω (t) jest procesem Wienera. Przykładowe ścieżki ω (t) są ciągłe, ale nie są różnicz- kowalne. Równanie po zmianie oznaczeń możemy zapisać jako:

dx (t) = µ (x (t) , t) dt + σ (x (t) , t) dω (t) (9) i interpretować jako w bardzo małym przedziale czasowym o długości δ proces stocha- styczny x (t) zmienia swoją wartość o wartość pochodzącą z rozkładu normalnego z średnią µ i wariancją σ². Wartość µ nazywamy współczynnikiem dryftu, a wartość σ współczynnikiem dyfuzji. Proces stochastyczny x (t) jest zwany procesem dyfuzji.

Przykładem równania stochastycznego jest równanie dla geometrycznego ruchu Brow- na. Geometryczny ruch Browna to proces stochastyczny, w którym logarytm wielkości losowej podąża ruchami Browna, inaczej mówiąc jest procesem Wienera. Używany jest do opisu cen akcji. Proces stochastyczny jest geometrycznym ruchem Browna jeśli spełnia równanie:

dx (t) = µx (t) dt + σx (t) ω (t) (10) gdzie µ i σ są stałymi. Rozwiązaniem tego równania dla wartości początkowej x₀ jest:

x (t) = x0exp

µ −σ² 2

!

t + σω (t)

!

(11)

gdzie x (t) ma rozkład logarytmicznie normalny z wartością oczekiwaną

E (x (t)) = x0e^µt (12)

i wariancją

V ar (x (t)) = x²₀e^2µte^σ²^t− 1 (13) Rozwiązanie równania stochastycznego. Jeśli zdefiniujemy

α (x, t) = a (x, t) − 1

2b (x, t)∂b (x, t)

∂x (14)

to rozwiązanie równania stochastycznego jest postaci:

x (t) = x (t₀) + Z t

t0

α [x (s) , s] ds + Z t

S t0

b [x (s) , s] dω (s) (15) gdzie druga całka jest stochastyczną całką Stratonovicha.

(4)

Załóżmy, że ω (t) jest procesem Wienera i G (t, ω (t)) jest dowolnie wybraną funkcją, wtedy całka stochastyczna

I = Z t

t0

G (s, ω (s)) dω (s) (16)

jest zdefiniowana jako suma szeregu. Podzielmy przedział [t₀, t] na n podprzedziałów:

t₀≤ t₁≤ . . . ≤ t_n−1 ≤ t_n= t (17) i wybierzmy punkty {τ_i}, które leżą w każdym podprzedziale:

ti−1≤ τ_i≤ t_i (18)

Całka stochastyczna jest zdefiniowana jako granica sum częściowych:

I = lim

n→∞S_n (19)

gdzie

S_n=

n

X

i=1

G (τ_i, ω (τ_i)) [ω (t_i) − ω (t_i−1)] (20) Rozważmy przypadek szczególny, gdy

G (t) = ω (t) (21)

Wtedy wartość oczekiwana dla S_n wynosi:

E [Sn] = E

" _n X

i=1

ω (τi) [ω (t_i) − ω (t_i−1)]

#

(22)

=

n

X

i=1

[min (τ_i, ti) − min (τ_i, ti−1)] (23)

=

n

X

i=1

(τ_i− t_i−1) (24)

Jeśli wybierzemy punkty τ_i takie, że:

τi = αt_i+ (1 − α) t_i−1 (25)

gdzie 0 < α < 1, wtedy:

E [S_n] =

n

X

i=1

(t_i− t_i−1) α = (t − t₀) α (26)

Wartość sumy częściowej S_n zależy od α. Są wybierane konkretne punkty {τ_i}.

(5)

• całka stochastyczna Ito. Wybieramy τ_i = t_i−1, a zatem α = 0 i otrzymujemy:

Z t I t0

G (s, ω (s)) dω (s) = ms − lim_n→∞

( _n X

i=1

G (t_i−1, ω (t_i−1)) [ω (t_i) − ω (t_i−1)]

)

(27)

• Całka stochastyczna Stratonovicha. Wybieramy

τ_i = (t_i+ t_i−1) /2 (28)

czyli α = 0, 5 i otrzymujemy:

Z t S t0

G (s, ω (s)) dω (s) = ms−lim_n→∞

( _n X

i=1

G

t_i−1, ω

t_i+ t_i−1 2

[ω (t_i) − ω (t_i−1)]

)

(29) Obliczmy obydwa rodzaje całek dla przypadku gdy G (t) = ω (t):

Z t I t0

ω (s) dω (s) = ω²(t) − ω²(t₀) − (t − t₀)

2 (30)

Z t S t0

ω (s) dω (s) = ω²(t) − ω²(t₀)

2 (31)

1.4 Opcje

Opcje to instrumenty finansowe dające możliwość kupna lub sprzedaży instrumentu bazowego w określonym dniu w przyszłości (w dniu wygaśnięcia opcji) po określonej cenie zwanej ceną wykonania.

Różne rodzaje opcji:

• long call: pozycja długa na instrumencie bazowym, trader płaci premię opcyjną za możliwość kupna instrumentu bazowego w przyszłości

• long put: pozycja długa na instrumencie bazowym, trader dostaje premię opcyjną i jest zobowiązany kupić instrument bazowy w przyszłości

• short call: pozycja krótka na instrumencie bazowym, trader płaci premię opcyjną za możliwość sprzedaży instrumentu bazowego w przyszłości

• short put: pozycja krótka na instrumencie bazowym, trader dostaje premię opcyjną jest zobowiązany sprzedać instrument bazowy w przyszłości

Wyróżniamy opcje europejskie i amerykańskie, europejskie gdzie wykonanie opcji jest możliwe tylko w dniu wygasania i amerykańskie gdzie wykonanie opcji jest możliwe w każdym dniu.

Przykład: cena akcji spółki A wynosi 45$. Trader1 zajmuje pozycje długą na opcji call z ceną wykonania 50$. Płaci premię opcyjną traderowi2 w wysokości 5$. Liczba

(6)

pozycji otwartych 100. Jeśli cena akcji nie pójdzie w górę to trader1 traci 500$, opcja nie zostaje wykonana. A jeśli cena akcji wzrasta do 60$, trader1 wykonuje opcje kupując 100 akcji za 5000$ i sprzedaje je na giełdzie za 6000$. Ponieważ zapłacił jeszcze 500$

premii to zarobił w sumie 500$. Trader2 stracił 500$, ponieważ nie miał on wcześniej tych akcji, więc kupił je na rynku po 6000$, sprzedał je za 5000$ i miał jeszcze z premii 500$, a więc stracił 500$. Jeśli natomiast cena akcji spadła do 40$, to trader1 nie będzie kupował akcji od tradera2 po 5000$, ponieważ na rynku może kupić je za 4000$. A więc trader1 stracił premie 500$, a trader2 zyskał premie 500$.

Jesli cena jest duzo wyzsza od ceny wykonania to taka opcja ma pewna wartosc Analizując opcje long call amerykańską, wydaje się jasne, że jeśli cena jest dużo wyższa niż cena wykonania to opcja zostanie wykonana. Aktualna cena opcji będzie w przy- bliżeniu równa cenie akcji pomniejszonej o cenę obligacji dyskontowej, która wygasa w tym samym dniu co opcja, i ma wartość nominalną równą cenie wykonania. Z drugiej strony jeśli cena opcji jest dużo mniejsza niż cena instrumentu bazowego opcja wygaśnie najprawdopodobniej bez wykonania, jej wartość jest bliska zeru. Jeśli data wygaśnięcia jest odległa w czasie, to cena opcji europejskiej będzie w przybliżeniu równa cene akcji.

Z drugiej strony kiedy data wygaśnięcia jest bliska w czasie wartość opcji będzie równa wartości akcji pomniejszonej o cenę wykonania lub zero kiedy cena akcji jest mniejsza od ceny wykonania. Normalnie cena opcji zmniejsza się, jak jest coraz bliżej do daty wygaśnięcia, przy brak zmian w cenie akcji.

1.5 Wyprowadzenie wzoru Blacka-Scholesa

Niech S będzie ceną akcji. Zakładamy, że ceny akcji spełniają geometryczny ruch Browna, to znaczy:

dS = µSdt + σSdω (32)

gdzie t jest czasem, µ jest stałą i σ stałą określającą zmienność cen akcji. Niech V (s, t) będzie ceną opcji zależną od czasu i ceny akcji instrumentu bazowego. Stosujemy lemat Ito postaci, dla każdej funkcji f (t, x) dwóch zmiennych t i x zachodzi:

df (t, X_t) = ∂f

∂t + µ_t∂f

∂x+σ²_t 2

∂²f

∂x²

!

dt + σ_t∂f

∂xdB_t (33)

Wykorzystując ten lemat dla funkcji V : dV = ∂V

∂t + µS∂V

∂S +1

2σ²S²∂²V

∂S²

!

dt + σS∂V

∂Sdω (34)

Należy skonstruować portfel zawierający jedną opcję V i ∆ akcji. Wartość portfela jest dana wzorem:

P = V + ∆S (35)

Po zróżniczkowaniu:

dP = dV + ∆dS (36)

(7)

Stosując lemat Ito do zastąpienia dV i zastępując dS zgodnie z podanym wcześniej wzorem otrzymujemy:

dP = ∂V

∂t + µS∂V

∂S +1

2σ²S²∂²V

∂S² + µ∆S

! dt +

σS∂V

∂S + σ∆S

dω (37)

Człon losowy zmiany wartości portfela może zostać usunięty przez wybór

∆ = −∂V

∂S (38)

Po zastąpieniu ∆ otrzymujemy:

dP = ∂V

∂t +1

2σ²S²∂²V

∂S²

!

dt (39)

Aby nie było możliwości arbitrażu, a więc możliwości zarobku bez ryzyka, musi zacho- dzić:

dP = rP dt (40)

gdzie r jest stałą oznaczającą stopę procentową bez ryzyka. Podstawiając powyższe oraz wartość portfela otrzymujemy:

∂V

∂t +1

2σ²S²∂²V

∂S² + rS∂V

∂S − rV = 0 (41)

Powyższe równanie może być zapisane w postaci równania przewodnictwa cieplnego dla funkcji u (x, t):

∂u

∂t = α∂²u

∂x² (42)

2 Zadania

2.1 Zadanie obowiązkowe

Napisać program w Javie, który generuje 100 możliwych przewidywań dla parametrów S0 = 1, µ = 0.001, σ = 0.02 oraz wizualizuje przewidywania na wykresie wykorzystując program gnuplot.

2.2 Zadanie na 4.0

Napisać program w Javie, który generuje 100 możliwych przewidywań dla parametrów S₀ = 1, µ = 0.001, σ = 0.02. Kolejne punkty powinny być generowane na podstawie poprzednich. Przedstawić przewidywania na wykresie wykorzystując program gnuplot.

2.3 Zadanie na 5.0

Dobrać parametry S₀, µ i σ tak aby pasowały do danych historycznych indeksu NA- SDAQ. Zamieścić na wykresie dane historyczne oraz przyszłe dane wygenerowane za pomocą modelu stochastycznego cen akcji z dobranymi parametrami.