Zadania z kinematyki ∗

Zadania z kinematyki ^∗

Maciej J. Mrowi´ nski 25 lutego 2010

ZadanieKIN1

?

Na szosie biegn˛acej równolegle do toru kolejowego jedzie cyklista na rowerze ze stał˛a pr˛edko´sci˛a v_c. W pewnej chwili cyklist˛e dogania poci˛ag o długo´sci l i mija go po upływieτ sekund. Wyznacz pr˛edko´s´c poci˛agu zakładaj˛ac, ˙ze była ona stała w czasie.

Odpowied´z:v_p=_τ^l + v_c

ZadanieKIN2

?

W ci˛agu ilu sekund mijaj˛a si˛e dwa poci˛agi jad˛ace w przeciwnych kierunkach po rów- noległych torach z pr˛edko´sciamiv₁ iv₂, je˙zeli długo´sci tych poci˛agów wynosz˛a od- powiedniol₁il₂?

Odpowied´z:t=_v^l1+l2

1+v₂

ZadanieKIN3

?

Samolot szybuje ze stał˛a pr˛edko´sci˛a ponad szos˛a, równolegle do niej, na wysoko´sci h. W pewnej chwili wida´c ten samolot pod k˛atemα do poziomu. Po upływie czasu τ wida´c go pod k˛atem^π₂. Oblicz pr˛edko´s´c samolotu.

Odpowied´z:v=^h_τtg€_π

2 − αŠ

ZadanieKIN4

?

Samolot leci ponad szos˛a w kierunku równoległym do niej ze stał˛a pr˛edko´sci˛a. Z punktu A zobaczono w pewnej chwili ten samolot pod k˛atemα do poziomu. Po upływie czasuτ zobaczono go pod k˛atem β (α < β <^π₂). Po upływie jakiego czasu od pierwszej obserwacji samolot znajdzie si˛e dokładnie nad punktemA?

Odpowied´z:t=

1 −_tg^tg_β^α₋₁ τ

∗Skompilowane z wielu ´zródeł. Tylko do u˙zytku na zaj˛eciach. Do rozwi˛azania zada´n oznaczonych symbolem? potrzebna jest jedynie wiedza matematyczna z liceum. Zadania z ?? wymagaj˛a zastosowania pochodnych/całek. Zadania z ??? wykraczaj˛a poza program.

Dwa ciała ruszaj˛a ruchem jednostajnie przyspieszonym. Stosunek przyspiesze´n ich ruchu jest 2 : 3, stosunek czasów trwania ich ruchu jest 3 : 4. W jakim stosunku s˛a drogi przebyte przez te ciała?

Odpowied´z: 3 : 8

ZadanieKIN6

?

CiałoA rusza ruchem jednostajnie zmiennym z przyspieszeniem a_A. Po upływie cza- suτ₁rusza za nim ciałoB równie˙z ruchem jednostajnie przyspieszonym i po upływie czasuτ₂dogania ciałoA. Oblicz przyspieszenie ciała B.

Odpowied´z:a_B= a_A 1+^τ_τ¹

2

2

ZadanieKIN7

?

Kuli tocz˛acej si˛e po podłodze nadano pr˛edko´s´c pocz˛atkow˛av. Kula toczy si˛e ruchem jednostajnie opó´znionym z opó´znieniema. Jak˛a drog˛e przeb˛edzie kula do chwili zatrzymania si˛e?

Odpowied´z:s=¹₂^v_a⁰²

ZadanieKIN8

?

Do szybu kopalni o wysoko´scih spada swobodnie kamie´n. Po ilu sekundach od chwi- li puszczenia kamienia usłyszymy jego uderzenie w dno szybu? Pr˛edko´s´c d´zwi˛eku wynosic.

Odpowied´z:t=^h_c+q

2h g

ZadanieKIN9

?

Ciało swobodnie spadaj˛ace przebyło w ci˛agu ostatnichτ sekund drog˛e s. Z jakiej wysoko´sci spadało ciało?

Odpowied´z:h= _2g¹ _s+1 2gτ² τ

‹2

ZadanieKIN10

?

W momencie, w którym rakieta wzniosła si˛e do góry na wysoko´s´c h i osi˛agn˛eła pr˛edko´s´cv₀, odł˛aczył si˛e od niej niepotrzebny ju˙z zbiornik paliwa. Po jakim czasie zbiornik spadnie na ziemi˛e i jak˛a pr˛edko´s´c osi˛agnie przy uderzeniu?

Odpowied´z:t= ¹_g v₀+Æ

v₀²+ 2g h ,v=Æ

v₀²+ 2g h

ZadanieKIN11

?

Dwie łodzie motorowe o pr˛edko´sciachv₁iv₂wzgl˛edem wody wyruszaj˛a w dół rzeki z dwóch przystaniA i B odległych od siebie o d . W jakiej odległo´sci od przystani A spotkaj˛a si˛e łodzie, je˙zeliv₁> v₂a pr˛edko´s´c pr˛adu rzeki wynosiv₀?

Odpowied´z:s=^v_v^1+v0

1−v₂d ZadanieKIN12

?

Ciało spada swobodnie na ziemi˛e z wysoko´scih. Na jakiej wysoko´sci pr˛edko´s´c tego ciała b˛edzien razy mniejsza od jego pr˛edko´sci ko´ncowej?

Odpowied´z:h=€ 1 −_n¹2

Šh

ZadanieKIN13

?

Ciało porusza si˛e ruchem opó´znionym ze stałym opó´znieniem równym co do war- to´sciw. Wyznacz zale˙zno´s´c pr˛edko´sci ciała od przebytej drogi, je˙zeli w chwili po- cz˛atkowej pr˛edko´s´c ciała wynosiłav(t = 0) = v₀.

Odpowied´z:v=Æ

v₀²− 2w s

ZadanieKIN14

??

Zale˙zno´s´c drogi s przebytej przez ciało od czasu t okre´slona jest przez nast˛epuj˛ace równanie:

s(t) = At − B t²+ C t³.

przy czymA, B i C to stałe. Wyznacz pr˛edko´s´c i przyspieszenie ciała w funkcji czasu.

Odpowied´z:v(t) = A− 2B t + 3C t²,a(t) = −2B + 6C t

ZadanieKIN15

??

Pr˛edko´s´c cz˛astki poruszaj˛acej si˛e w dodatni˛a stron˛e osiX wynosi v = αp

x, gdzie α to dodatnia stała. Jaka b˛edzie zale˙zno´s´c pr˛edko´sci i przyspieszenia tej cz˛astki od czasu, je´sli w chwili pocz˛atkowejt= 0 cz˛astka znajdowała si˛e w punkcie x = 0?

Odpowied´z:v=^α₂²t , a= ^α₂²

ZadanieKIN16

??

Opó´znienie cz˛astki wynosi co do warto´sciw= αpv, gdzieα to dodatnia stała. Po ja- kim czasie cz˛astka si˛e zatrzyma i jak˛a drog˛e przeb˛edzie do chwili zatrzymania, je˙zeli jej pr˛edko´s´c pocz˛atkowa wynosiłav₀?

Odpowied´z:t=^2pv_α⁰,s=^2v_3α^03/2

Łódka płynie po rzece ze stał˛a, prostopadł˛a do brzegu pr˛edko´sci˛av_l (wzgl˛edem wo- dy). Pr˛edko´s´c wody wynosiv_r. Wyznacz wektor pr˛edko´sci łódki wzgl˛edem brzegu i k˛at, jaki tworzy wektor pr˛edko´sci z lini˛a brzegu.

Odpowied´z:v= v_r,v_l,α = tg^{−1 v}_v^l

r

ZadanieKIN18

?

Wio´slarz nadaje łódce stał˛a pr˛edko´s´cv_l wzgl˛edem wody. Pr˛edko´s´c pr˛adu rzeki wy- nosiv_r. W jakim kierunku powinien wio´slarz odbi´c od brzegu, aby przepłyn˛a´c w poprzek rzek˛e prostopadle do jej brzegu.

Odpowied´z:α = sin^{−1 v}_v^r

l

ZadanieKIN19

?

Samolot wznosi si˛e ze stał˛a pr˛edko´sci˛av_spod k˛atemα do poziomu. Oblicz pr˛edko´s´c wznoszenia si˛e tego samolotu w kierunku pionowym.

Odpowied´z:v= v_ssinα

ZadanieKIN20

?

Po szynach porusza si˛e pusty wagon kolejowy ruchem jednostajnym z pr˛edko´sci˛av_w. Nagle padł strzał rewolwerowy w kierunku prostopadłym do toru i w płaszczy´znie poziomej. Kula przebiła obie ´sciany wagonu. Otwór wylotowy był przesuni˛ety oa w stosunku do wlotowego. Oblicz pr˛edko´s´c kuli, je˙zeli szeroko´s´c wagonu wynosid . Odpowied´z:v= v_w^d_a

ZadanieKIN21

?

Człowiek biegn˛acy ze stał˛a pr˛edko´sci˛a v_c trzyma w r˛eku dług˛a rur˛e tak, ˙ze kropla deszczu padaj˛acego ruchem jednostajnym z pr˛edko´sci˛av_d wpada do rury przez ´sro- dek górnego otworu i wylatuje z niej przez ´srodek dolnego otworu. Jaki jest k˛at nachylenia rury do poziomu?

Odpowied´z:α = tg^{−1 v}_v^d

c

ZadanieKIN22

?

Przy jakim nachyleniu gładkiej deski przyspieszenie zsuwaj˛acych si˛e po niej ciał jest n razy mniejsze ni˙z przyspieszenie ziemskie?

Odpowied´z:α = sin^{−1 1}_n

ZadanieKIN23

?

Wysoko´s´c równi nachylonej pod k˛atemα wynosi h. W ci˛agu ilu sekund zsunie si˛e po niej gładkie ciało?

Odpowied´z:

p2g h g sinα

ZadanieKIN24

?

Przy jakim k˛acie nachylenia równi zsuwaj˛ace si˛e po niej ciała potrzebuj˛an razy wi˛e- cej czasu ni˙z przy swobodnym spadku z tej wysoko´sci?

Odpowied´z:α = sin^{−1 1}_n

ZadanieKIN25

??

Pod jakim k˛atem musi by´c nachylony dach domu, aby krople deszczu ´sciekały po nim w najkrótszym czasie?

Odpowied´z:α = ^π₄

ZadanieKIN26

?

Jak˛a pr˛edko´s´c pocz˛atkow˛a nale˙zy nada´c ciału sun˛acemu pod gór˛e wzdłu˙z równi po- chyłej o wysoko´scih, nachylonej pod k˛atemα, aby zatrzymało si˛e na szczycie równi?

Odpowied´z:v₀= p2g h

ZadanieKIN27

?

Ze szczytu równi pochyłej o długo´scil , nachylonej pod k˛atemα, zsuwa si˛e ciało A.

Jednocze´snie pchni˛eto ciałoB od dołu ku górze z tak˛a pr˛edko´sci˛a pocz˛atkow˛a, ˙ze ciała min˛eły si˛e w połowie długo´sci równi. Jak˛a pr˛edko´s´c pocz˛atkow˛a nadano ciału B?

Odpowied´z:v₀= pl g sinα

ZadanieKIN28

?

Przy strzelaniu z wiatrówki wycelowano do punktu ´srodkowego tarczy, przy czym lufa wiatrówki znajdowała si˛e w poło˙zeniu poziomym. Pocisk trafił oa ni˙zej. Odle- gło´s´c tarczy od wylotu lufy wynosid . Oblicz pr˛edko´s´c pocisku w chwili wylotu z lufy.

Odpowied´z:v= dÆ_g

2a

Ze szczytu wie˙zy o wysoko´scih rzucono ciało w kierunku poziomym, nadaj˛ac mu pr˛edko´s´c pocz˛atkow˛av₀. W jakim punkcie spadnie to ciało na ziemi˛e?

Odpowied´z:s= v₀q

2h g

ZadanieKIN30

?

Z wysoko´scih rzucono w kierunku poziomym kamie´n, nadaj˛ac mu pr˛edko´s´cv₀. W odległo´scid kamie´n uderzył w pionow˛a ´scian˛e. Na jakiej wysoko´sci kamie´n trafił w

´scian˛e?

Odpowied´z:H= h −^d_2v^2g2 0

ZadanieKIN31

?

Lotniarz szybuje na wysoko´sci h i zamierza rzuci´c kamie´n w upatrzony cel. Jak˛a pr˛edko´s´c posiada lotnia, je˙zeli kamie´n rzucony poziomo z odległo´scis (mierzonej w kierunku poziomym) od celu trafił w ten cel? Jak˛a pr˛edko´s´c b˛edzie miał kamie´n w chwili upadku na ziemi˛e?

Odpowied´z:v_lot= sÆ_g

2h,v_kam= ^s_2h^2g + 2g h

ZadanieKIN32

?

Kamie´n rzucono pod k˛atem α do poziomu z pr˛edko´sci˛a v₀. Oblicz zasi˛eg rzutu, maksymaln˛a osi˛agni˛et˛a wysoko´s´c i czas trwania ruchu.

Odpowied´z:x_max= ^{v02sin 2α}_g ,y_max=^v02sin_2g^2α,t=^2v0_g^sinα

ZadanieKIN33

?

Pod jakim k˛atem nale˙zy rzuci´c ciało, aby zasi˛eg rzutu był dwa razy wi˛ekszy od mak- symalnej osi˛agni˛etej wysoko´sci?

Odpowied´z:α = tg⁻¹2

ZadanieKIN34

?

Kamie´n rzucony z pr˛edko´sci˛av₀pod k˛atemα do poziomu trafia w pionow˛a´scian˛e znajduj˛ac˛a si˛e w odległo´scid . Na jakiej wysoko´sci kamie´n trafił w ´scian˛e?

Odpowied´z:h= d

tgα −_2v2^{g d} 0c os²α

‹

ZadanieKIN35

?

Jaki powinien by´c czast opó´znienia zapłonu granatu wyrzuconego z pr˛edko´sci˛av₀ pod k˛atemα do poziomu, aby wybuch nast˛apił w najwy˙zszym punkcie toru?

Odpowied´z:t=^v_g⁰sinα

ZadanieKIN36

?

W d˙zungli, w odległo´scix_m od my´sliwego, znajduje si˛e drzewo o wysoko´sciy_m. Na samym czubku drzewa siedzi płochliwa małpa, która puszcza si˛e gał˛ezi i zaczyna spada´c dokładnie w momencie, w którym my´sliwy strzela. Pod jakim k˛atem my´sliwy musi ustawi´c swoj˛a strzelb˛e aby trafi´c do małpy?

Odpowied´z: tgα = ^y_x^m

m

ZadanieKIN37

?

U podstawy równi pochyłej wystrzelono pod k˛atemθ do podło˙za pocisk. Jak daleko, licz˛ac wzdłu˙z powierzchni równi, upadnie pocisk, je´sli równia nachylona jest pod k˛atemφ, a pr˛edko´s´c pocz˛atkowa pocisku wynosiła v?

Odpowied´z:s=^2v2cosθ sin(θ−φ) g c os²φ

ZadanieKIN38

?

Dwa ciała wyrzucono z tego samego punktu z t˛a sam˛a pr˛edko´sci˛a pocz˛atkow˛a v₀. Jedno z nich wyrzucono do góry, drugie pod k˛atemθ do podło˙za. Jaka b˛edzie war- to´s´c odległo´sci pomi˛edzy tymi ciałami w funkcji czasu?

Odpowied´z:d= v₀tp2(1 − sinθ)

ZadanieKIN39

?

Armata wystrzeliła dwa pociski z tak˛a sam˛a pr˛edko´sci˛a pocz˛atkow˛a v₀ - jeden pod k˛atemθ₁, a drugi pod k˛atemθ₂. Jaki musi by´c czas pomi˛edzy wystrzeleniem obu pocisków, aby pociski zderzyły si˛e w locie?

Odpowied´z:t= _g(cosθ^{2v0sinθ1−θ2}

1+cosθ₂)

W chwili pocz˛atkowej dwie cz˛astki znajduj˛a si˛e w tym samym miejscu i poruszaj˛a si˛e w przeciwnych kierunkach z pr˛edko´sciamiv₁ iv₂ równolegle do podło˙za. Jaka b˛edzie odległo´s´c pomi˛edzy cz˛astkami w chwili, w której ich pr˛edko´sci stan˛a si˛e pro- stopadłe.

Odpowied´z:d=^v1+v_g ²pv₁v₂

ZadanieKIN41

?

Równia pochyła o k˛acie nachyleniaα mo˙ze przemieszcza´c si˛e w kierunku pozio- mym. Z jakim przyspieszeniem a powinna porusza´c si˛e równia, aby swobodnie spa- daj˛ace na ni˛a z góry ciało znajdowało si˛e stale w tej samej odległo´sci (liczonej wzdłu˙z linii pionowej) od nachylonej płaszczyzny równi? Zakładamy, ˙ze ruch ciała i równi rozpoczyna si˛e w tej samej chwili oraz, ˙ze przyspieszenie ziemskieg jest dane.

Odpowied´z:a= g ctgα

ZadanieKIN42

??

Biedronka i ˙zuczek znajduj˛a si˛e w dwóch s˛asiednich rogach kwadratowego stołu o kraw˛edzia. W pewnym momencie ˙zuczek z pr˛edko´sci˛av_z zaczyna i´s´c w kierunku rogu w którym znajduje si˛e biedronka. Biedronka zaczyna ucieka´c przed ˙zuczkiem w stron˛e s˛asiedniego rogu z pr˛edko´sci˛av_b. Kiedy odległo´s´c mi˛edzy biedronk˛a a ˙zucz- kiem b˛edzie najmniejsza? Załó˙z, ˙ze owady poruszaj˛a si˛e wzdłu˙z kraw˛edzi stołu.

Odpowied´z:t=_v2^avz b+v²_z

ZadanieKIN43

??

Wektor poło˙zenia ciała w funkcji czasu wyra˙za si˛e nast˛epuj˛acym wzorem:

~r = R[cosφ(t),sinφ(t)].

Wyznacz pr˛edko´s´c i przyspieszenie tego ciała w funkcji czasu.

Odpowied´z:~v = ˙~r = R ˙φ ˆφ, ~a = ¨~r = R ¨φ ˆφ−R ˙φ²ˆr, przy czym ˆr = [cosφ(t),sinφ(t)], φ = [−sinφ(t),cosφ(t)]ˆ

ZadanieKIN44

??

Samochód znajduje si˛e w punkcieA na otoczonej polem autostradzie. Kierowca chce jak najszybciej dojecha´c do oddalonego ol od autostrady punktu B. W jakiej odle- gło´sci od punktuD kierowca musi wjecha´c na pole, je˙zeli pr˛edko´s´c samochodu na polu jestη razy mniejsza od pr˛edko´sci na autostradzie?

Odpowied´z:C D=p^l

η²−1

ZadanieKIN45

??

Wektor przyspieszenia ciała zale˙zy w nast˛epuj˛acy sposób od czasu:

~a(t) =”

2e^−t, 2 cost , 3t²— .

Pr˛edko´s´c pocz˛atkowa i poło˙zenie pocz˛atkowe wynosz˛a odpowiednio

~v₀= [4,−3,2]

i

~x₀= [0,−1,1].

Wyznacz wektor pr˛edko´sci i poło˙zenia ciała dla dowolnego czasu.

Odpowied´z:~v(t) = −2e^−t+ 6,2sin t − 3, t³+ 2,

~x(t) =”

2e^−t+ 6t − 2,−2cos t − 3t + 1,¹₄t⁴+ 2t + 1—

ZadanieKIN46

??

Udowodnij, ˙ze pochodna warto´sci pr˛edko´sci po czasie jest równa składowej przyspie- szenia w kierunku wektora pr˛edko´sci (przyspieszeniu stycznemua_s).

Podpowied´z: Zró˙zniczkuj warto´s´c pr˛edko´sci po czasie i przedstaw wynik jako ilo- czyn odpowiednich wektorów.

ZadanieKIN47

?? Cma porusza si˛e po krzywej, której długo´s´c dana jest wzorem:´ s= s₀e^{c t}, gdzies₀ic to stałe. Wiedz˛ac, ˙ze wektor przyspieszenia w ka˙zdym punkcie toru tworzy k˛atφ ze styczn˛a do toru, wyznacz warto´s´c pr˛edko´sci, przyspieszenia stycznego, przyspiesze- nia normalnego i promie´n krzywizny toru jako funkcji długo´sci łuku krzywej.

Odpowied´z:v= s₀c e^{c t},a_s= s₀c²e^{c t},a_n= s₀c²tgφe^{c t},R= s ctgφ

Piłk˛e rzucono z pr˛edko´sci˛a pocz˛atkow˛av₀pod k˛atemα wzgl˛edem powierzchni zie- mi. Wyznacz wektor poło˙zenia, pr˛edko´sci i przyspieszenia ciała w dowolnej chwili czasu. Oblicz przyspieszenie styczne i normalne.

Odpowied´z:~r (t) =”

v₀t cosα, v₀t sinα −¹₂g t²—

,~v(t) = [v₀cosα, v₀sinα − g t],

~a(t) = [0,−g], a_s(t) =p ^{g(g t−v0sinα)}

v₀²−2v0g t sinα+(g t)²,a_s(t) =p ^{g v0cosα)}

v₀²−2v0g t sinα+(g t)²

ZadanieKIN49

??

Współrz˛edne poruszaj˛acej si˛e cz˛astki wynosz˛ax= a sinωt i y = a(1 − cosωt), przy czyma iω to dodatnie stałe. Jak˛adrog˛e przeb˛edzie cz˛astka po upływie czasu t? Jaki k˛at tworzy wektor pr˛edko´sci z wektorem przyspieszenia?

Odpowied´z:s= aωt, φ =^π₂

ZadanieKIN50

??

Balon odrywa si˛e od ziemi i unosi od góry ze stał˛a pr˛edko´sci˛av₀. Wiatr nadaje mu pr˛edko´s´c poziom˛a v= b y, gdzie b to stała a y to wysoko´s´c, na jakiej znajduje si˛e balon. Znajd´z drog˛e przebyt˛a przez balon w kierunku poziomym w zale˙zno´sci od wysoko´sci, przyspieszenie całkowite, styczne i normalne balonu w funkcji wysoko-

´sci.

Odpowied´z:x(y) = ^{b y}_2v²

0,a= b v₀,a_s= r ^b2y

_{b y}

v0

2

+1

,a_n=r ^{b v0}

_{b y}

v0

2

+1

ZadanieKIN51

??

Po rzece płynie łódka ze stał˛a wzgl˛edem wody pr˛edko´sci˛a v_l, prostopadł˛a do kie- runku pr˛adu. Woda w rzece płynie wsz˛edzie równolegle do brzegów, ale warto´s´c jej pr˛edko´sciv_wzale˙zy od odległo´sci y od brzegu i dana jest wzorem: v_w= v₀sin^π_Ly, gdziev₀iL to stałe (L - szeroko´s´c rzeki). Znajd´z warto´s´c wektora pr˛edko´sci łódki wzgl˛edem brzegu rzeki i odległo´s´c, na jak˛a woda zniosła łódk˛e w dół rzeki.

Odpowied´z:v=Æ

v²_l+ v₀²sin^2π_Ly, d=^2v_πv^0L

l

ZadanieKIN52

??

Łódka, której pr˛edko´s´c wzgl˛edem wody ma stał˛a w czasie warto´s´cv, porusza si˛e pro- stopadle do brzegu rzeki (wzgl˛edem obserwatora znajduj˛acego si˛e na brzegu). Woda w rzece płynie równolegle do brzegów, ale warto´s´c jej pr˛edko´sci zale˙zy od odległo´sci y od brzegu i dana jest wzorem v_r(y) = vpy/a. Szeroko´s´c rzeki wynosi a. Wyznacz zale˙zno´s´c poło˙zenia łódkiy_l(w kierunku prostopadłej do brzegów osiOY ) od czasu i oblicz czast potrzebny na przepłyni˛ecie z jednego brzegu na drugi.

(t) = a − ¹ (vt − 2a)² =^2a

ZadanieKIN53

??

Odległo´s´c cz˛astki od ´srodka układu współrz˛ednych wyra˙zona jest równaniem~r =

~

w t(1−αt), gdzie ~w to stały, niezerowy wektor aα - dodatnia stała. Znajd´z pr˛edko´s´c i przyspieszenie cz˛astki w funkcji czasu oraz czas, po jakim cz˛astka wróci do poło˙zenia pocz˛atkowego i drog˛e, jak˛a do tego czasu pokona.

Odpowied´z:~v = ~w(1 − 2αt), ~a = −2 ~wα, t =¹_α,s=_2α^w

ZadanieKIN54

??

Przyspieszenie styczne pewnej cz˛astki wyra˙zone jest nast˛epuj˛acym wzorem: a_s = w~τ, gdzie ~~ w to stały w czasie wektor równoległy do osi X , a~τ - wersor, którego kierunek i zwrot pokrywaj˛a si˛e z kierunkiem i zwrotem wektora pr˛edko´sci. Jaka jest warto´s´c pr˛edko´sci cz˛astki w funkcji jej x-sowej współrz˛ednej poło˙zenia?

Odpowied´z:v=p 2w x

ZadanieKIN55

?

Isaac Newton, w swojej ksi˛edze De Mundi Systemate Liber, zawarł eksperyment my´slowy pokazuj˛acy, ˙ze planety s˛a utrzymywane na orbitach dzi˛eki siłom do´srod- kowym. Wyobra´zmy sobie, ˙ze znajdujemy si˛e na górze o wysoko´scih i mamy do swojej dyspozycji działo, którego lufa skierowana jest w kierunku równoległym do podło˙za. Z jak˛a pr˛edko´sci˛a musimy wystrzeli´c pocisk z tego działa, aby stał si˛e on satelit˛a Ziemi? Dany jest promie´n ZiemiR (h  R).

Odpowied´z:v= pRg

ZadanieKIN56

?

Promienie okr˛egów, zataczanych przez dwa ciała, s˛a w stosunku 2 : 3, a okresy ruchu tych ciał s˛a w stosunku 3 : 4. W jakim stosunku s˛a ich przyspieszenia do´srodkowe?

Odpowied´z: 32 : 27

PunktyA i B zataczaj˛a okr˛egi o promieniachR_AiR_B. W jakim stosunku s˛a okresy ich ruchu, je˙zeli ich przyspieszenia do´srodkowe s˛a równe?

Odpowied´z:pR_A:pR_B

ZadanieKIN58

??

Wyznacz wzory na pr˛edko´s´c radialn˛av_ri transwersaln˛av_φciała oraz przyspieszenie radialnea_r i transwersalnea_φ.

Odpowied´z:v_r= ˙r, v_φ= r ˙φ, a_r= ¨r − r€φ˙Š2

,a_φ= 2˙r ˙φ + r ¨φ

ZadanieKIN59

??

Ciało porusza si˛e po okr˛egu o stałym w czasie promieniuR ze a) stał˛a pr˛edko´sci˛a k˛atow˛aω = ^d_{d t}^φ; b) stałym przyspieszeniem k˛atowym" = ^dω_{d t}. Znajd´z w obu przy- padkach zale˙zno´s´c k˛ataφ od czasu.

Odpowied´z: a)φ(t) = φ₀+ ωt; b) φ(t) = φ₀+ ω₀t+¹₂"t²

ZadanieKIN60

??

Ruch punktu materialnego w biegunowym układzie odniesienia opisuj˛a równania r = b t i φ = c/t, gdzie b i c to stałe. Znajd´z tor ruchu, pr˛edko´s´c i przyspieszenie punktu.

Odpowied´z:r(φ) = ^{b c}_φ,v= b Ç

1+€_c

t

Š2

,a= ^{b c}_t3²

ZadanieKIN61

??

Koło o promieniuR obraca si˛e tak, ˙ze k˛at obrotu promienia koła zale˙zy od czasu w nast˛epuj˛acy sposób:φ(t) = A + B t + C t³, gdzieA, B i C to stałe. Wyznaczy´c dla punktów poło˙zonych w odległo´sci 3/4 R od osi obrotu pr˛edko´s´c k˛atow˛a, pr˛edko´s´c liniow˛a, przyspieszenie styczne i normalne.

Odpowied´z:ω = B + 3c t²,v= ³₄R B+ 3c t²
, a_s=⁹₂RC t , a_n=³₄R B+ 3c t²
2

ZadanieKIN62

??

Okr˛ag o promieniu R toczy si˛e ruchem jednostajnym z pr˛edko´sci˛a k˛atow˛a ω po prostej. Wyznacz wektor poło˙zenia i pr˛edko´sci w dowolnej chwili czasu dla tego punktu na okr˛egu, który w chwili pocz˛atkowej stykał si˛e z prost˛a. Wyznacz równie˙z drog˛e przebyt˛a przez punkt w funkcji czasu.

Odpowied´z:~r (t) = R[ωt − sinωt,1 − cosωt], ~v(t) = Rω [1 − cosωt,sinωt],

ZadanieKIN63

??

Kolista tarcza o promieniuR wiruje ze stał˛a pr˛edko´sci˛aω. Ze ´srodka tarczy wyrusza biedronka i porusza si˛e wzdłu˙z promienia ze stał˛a pr˛edko´sci˛av₀. Znajd´z: a) równania ruchu i toru biedronki w nieruchomym układzie odniesienia we współrz˛ednych kar- tezja´nskich i biegunowych, b) zale˙zno´s´c od czasu warto´sci wektora pr˛edko´sci oraz je- go składowych radialnejv_ri transwersalnejv_φ, c) zale˙zno´s´c od czasu warto´sci wekto- ra przyspieszenia, jak równie˙z jego składowych: radialneja_r, transwersalneja_φoraz normalneja_ni styczneja_s.

Odpowied´z: a) r(t) = v₀t , φ(t) = ωt, ~r (t) = v₀t[cosωt,sinωt], r (φ) = ^v_ω⁰φ,

y x = tgh

ω

v₀ x²+ y²
i

, b)v_r = v₀,v_φ= ωv₀t , v= v₀Æ

1+ (ωt)², c)a_r = −ω²v₀t , a_φ= 2ωv₀,a= v₀ωÆ

4+ (ωt)²,a_s=p^ω2v0t

1+(ωt)²,a_n=^v0ω[^2+(ωt)2] p1+(ωt)²

ZadanieKIN64

??

Rzeka o szeroko´scid tworzy zakole o promieniu wewn˛etrznym D. Pr˛edko´s´c prze- pływu wody w zakolu wynosiv_w. Pływak przepływa z brzegu wewn˛etrznego na zewn˛etrzny w ten sposób, ˙ze cały czas utrzymuje kierunek prostopadły do brzegu zewn˛etrznego, a jego pr˛edko´s´c wzgl˛edem wody wynosiv_p. Znajd´z równanie toru pływakar(φ) we współrz˛ednych biegunowych, przyjmuj˛ac pocz˛atek układu odnie- sienia w ´srodku zakola. Jakiego odchylenia∆l, liczonego wzdłu˙z brzegu zewn˛etrz- nego, dozna pływak? Jak˛a drog˛e s przeb˛edzie pływak podczas przeprawy? Znajd´z przyspieszenie radialne, transwersalne styczne i normalne pływaka.

Odpowied´z: r(φ) = De^{vwv pφ},∆l = ^v_v^w

p(D + d)ln^D+d_D ,s = d

qv²_p+v_w²

v_p ,a_r = −_v^v2w

pt+D, a_φ=_v^vpvw

pt+D,a_s= 0, a_n= ^vw

qv²_p+v_w² v_pt+D

Sternik motorówki, zbli˙zaj˛acej si˛e do małej wysepki postanawia, ˙ze b˛edzie zbli˙zał si˛e do niej ze stał˛a pr˛edko´sci˛a u, jednocze´snie okr˛a˙zaj˛ac j˛a ze stał˛a pr˛edko´sci˛a k˛atow˛a ω. Zakładaj˛ac, ˙ze w momencie rozpocz˛ecia manewru odległo´s´c od ´srodka wysepki wynosiłaD, znajd´z równanie toru motorówki we współrz˛ednych biegunowych oraz składow˛a styczn˛a i normaln˛a przyspieszenia, jak równie˙z promie´n krzywizny toru jako funkcj˛e bie˙z˛acej odległo´sci od ´srodka wyspyr .

Odpowied´z:r(φ) = D −^uφ_ω,a_s= −p^{ω2u r}

u²+(ωr )²,a_n= ω

r4u²[^{u2+(ωr )2}]^{+(ωr )4}

u²+(ωr )² , R= [^{u2+(ωr )2}]³²

ωq

4u²[^{u2+(ωr )2}]^{+(ωr )4} ZadanieKIN66

??

Znajd´z tor, po jakim w płaszczy´znieXOY leci samolotem ponadd´zwi˛ekowym ze stał˛a pr˛edko´sci˛av pilot, który chce, aby jego koledzy stoj˛acy na lotnisku usłyszeli w tym samym czasie huk silnika z ka˙zdej strony. Pr˛edko´s´c d´zwi˛eku wynosic, samolot w chwili pocz˛atkowejt = 0 znajdował si˛e w odległo´sci r₀od kolegów stoj˛acych na lotnisku.

Odpowied´z:r(φ) = r₀e⁻ p φ

(^vc)²⁻¹

ZadanieKIN67

??

Punkt porusza si˛e po okr˛egu o promieniuR. Jego pr˛edko´s´c zale˙zy od przebytej drogi w nast˛epuj˛acy sposób:v= ap

s, przy czym a to dodatnia stała. Znajd´z tangens k˛ata (w funkcji przebytej drogi) pomi˛edzy wektorem pr˛edko´sci a wektorem całkowitego przyspieszenia.

Odpowied´z: tgφ =^2s_R

ZadanieKIN68

??

Znajd´z równanieφ(t) punktu poruszaj˛acego si˛e po okr˛egu, je˙zeli k˛at pomi˛edzy wek- torem przyspieszenia a promieniem wodz˛acym ma stał˛a warto´s´cα. Przyjmij, ˙ze wa- runki pocz˛atkowe s˛a nast˛epuj˛ace:φ(0) = 0, ˙φ(0) = ω₀.

Odpowied´z:φ(t) = ctgα ln(ω₀t tgα + 1)

ZadanieKIN69

??

Punkt porusza si˛e ruchem opó´znionym po okr˛egu o promieniuR w taki sposób,

˙ze jego przyspieszenia styczne i normalne s˛a sobie w ka˙zdej chwili co do modułu równe. W chwili pocz˛atkowejt= 0 pr˛edko´s´c punktu wynosiła v₀. Znajd´z warto´s´c pr˛edko´sci punktu jako funkcj˛e czasu i przebytej drogi s, oraz warto´s´c całkowitego przyspieszenia punktu jako funkcj˛e pr˛edko´sci i przebytej drogi.

Odpowied´z:v= t ¹

R+_v0¹,v= v₀e^−s/R,a=p

2^v_R²,a=p

2^v_R⁰²e^−2s/R

ZadanieKIN70

??

Ciało wiruje wokół pewnej osi z pr˛edko´sci˛a k˛atow˛aω = ω₀− aφ, gdzie ω0ia to dodatnie stałe. Znajd´z warto´s´c k˛ata i pr˛edko´sci k˛atowej od czasu.

Odpowied´z:φ(t) =^ω_a⁰(1 − e^−at), ω(t) = ω₀e^−at

ZadanieKIN71

??

Ciało wiruje wokół pewnej osi w taki sposób, ˙ze jego opó´znienie k˛atowe jest pro- porcjonalne do pierwiastka z pr˛edko´sci k˛atowej. Wyznacz ´sredni˛a pr˛edko´s´c k˛atow˛a ciała liczon˛a od chwili pocz˛atkowejt= 0 do momentu zatrzymania, je˙zeli w chwili pocz˛atkowej pr˛edko´s´c k˛atowa ciała wynosiłaω₀.

Odpowied´z:〈ω〉 =^ω₃⁰

ZadanieKIN72

??

Ciało zaczyna wirowa´c wokół pewnej osi z przyspieszeniem k˛atowym" = at, gdzie a to dodatnia stała. Po upływie jakiego czasu, licz˛ac od pocz˛atku ruchu, dla dowol- nego punktu nale˙z˛acego do ciała wektor całkowitego przyspieszenia b˛edzie tworzył k˛atα z wektorem pr˛edko´sci?

Odpowied´z:t=Ƴ ₄

atgα

Ciało wiruje wokół pewnej osi tak, ˙zeφ(t) = at − b t³, przy czyma i b to dodatnie stałe. Wyznacz ´sredni˛a pr˛edko´s´c k˛atow˛a i przyspieszenie k˛atowe od chwili t = 0 do momentu zatrzymania. Jakie przyspieszenie k˛atowe b˛edzie miało ciało w chwili zatrzymania?

Odpowied´z:〈ω〉 =²₃a,〈"〉 = −p

3ab ," = −2p 3ab

ZadanieKIN74

?

Pocisk uzyskuje pr˛edko´s´c wylotow˛av po wykonaniu n obrotów w lufie o długo´sci l . Zakładaj˛ac, ˙ze pocisk porusza si˛e w lufie z przyspieszeniem stałym, znajd´z pr˛edko´s´c k˛atow˛a pocisku w chwili opuszczenia lufy.

Odpowied´z:ω =^2πvn_l