Niech (X, U) bedzie przestrzenia topologiczna

Topologia II: ¢wiczenia 2

1. Wyka», »e je»eli na zbiorze X dana jest topologia dyskretna, to prze- strze« X jest metryzowalna.

2. Niech X bedzie przestrzenia topologiczna metryzowalna. Udowodnij,

»e dla ka»dej pary a, b ró»nych punktów przestrzeni X istnieja rozªaczne zbiory otwarte Ua i Ub zawierajace odpowiednio punkty a i b takie, »e U_a∩ U_b = ∅.

3. Wykorzystujac zadanie 2, poka», »e je»eli do X nale»a co najmniej dwa ró»ne punkty i je±li na X mamy topologie trywialna, to przestrze« X nie jest metryzowalna.

4. Niech X bedzie zbiorem niesko«czonym. Sprawdzi¢, »e

U = {U ∈ 2^X | X \ U jest zbiorem sko«czonym} ∪ {∅}

jest topologia w X. Jaka topologie uzyskaliby±my, gdyby X byªo zbio- rem sko«czonym?

5. Niech (X, U) bedzie przestrzenia topologiczna. Poka», »e U⁰ = {X \ U | U ∈ U }

speªnia warunki:

(a) X, ∅ ∈ U⁰;

(b) suma dwóch zbiorów z U⁰ nale»y do U⁰;

(c) przekrój dowolnej ilo±ci zbiorów z rodziny U⁰ nale»y do U⁰. 6. Poka», »e rodzina U jest topologia na X:

(a) X = R, U = {∅} ∪ {R} ∪ {(−∞, x)|x ∈ R};

(b) X = N, U = {∅} ∪ {N} ∪ {On, n ≥ 0}, On= {n, n + 1, n + 2, . . .}; (c) X = R, U ∈ U wtedy i tylko wtedy, gdy U zawiera sie w R i dla

ka»dego s ∈ U istnieje t > s takie, »e [s, t) ⊂ U.

7. Znajd¹ liczbe ró»nych topologii w zbiorze skªadajacym sie z trzech ró»- nych elementów.

8. Poka», »e »adna z poni»szych rodzin podzbiorów zbioru R nie jest to- pologia:

1

(a) U1 = {∅} ∪ {R} ∪ {(−∞, x]|x ∈ R};

(b) U2 = {∅} ∪ {R} ∪ {(x, y)|x, y ∈ R, x < y};

9. Poka», »e ka»dy podzbiór przestrzeni topologicznej dyskretnej jest jed- nocze±nie otwarty i domkniety.

10. Poka», »e je»eli przestrze« topologiczna skªada sie ze sko«czonej liczby punktów i ka»dy podzbiór jednoelementowy jest domkniety, to topolo- gia w tej przestrzeni jest dyskretna.

11. Poka», »e w przestrzeni topologicznej (X, U), gdzie topologia U jest zdeniowana jak w zadaniu 6 (c) ka»dy przedziaª[s, t) jest jednocze±nie otwarty i domkniety.

12. Rozwa»my R z topologia zwyczajna. Znajd¹ domkniecie ka»dego z podzbiorów zbioru R : N, Q, R \ Q.

13. Poka», »e:

(a) A jest domkniety wtedy i tylko wtedy, gdy ¯A = A; (b) A = A;

(c) A ∪ B = A ∪ B;

(d) Int(Int A) = IntA;

(e) Int A ∩ B = Int A ∩ Int B;

14. Ustal zale»no±ci miedzy:

(a) A ∩ B i A ∩ B;

(b) S_j∈JA_j i S_j∈JA_j;

(c) Int (A ∪ B) i Int A ∪ Int B;

(d) T_j∈JInt Aj i Int T_j∈JA_j.

2