Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 6.

Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 6.

25 listopada 2016

Zadania

1. Korzystając z arytmetyki granic oraz twierdzeniu o podstawianiu oblicz granice:

lim

x→√ 2

√3

x²+6 − 2 x²−2

x→0lim

2^x−1 2 ⋅ 4^x−2^x−1 2. Wiedząc, że limx→±∞(1 +_x¹)

x

=e, oblicz limx→0(1 − x)^x1. 3. Zbadaj ciągłość następujących funkcji:

f (x) = ⌊x⌋

g(x) = x⌈x⌉

h(x) =

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

x

x−⌊x⌋∶x ∉ Z x∶ x ∈ Z

4. Udowodnij, że wielomian 2x⁵−3x³+x²+4 ma w przedziale (−2, 1) co najmniej jeden pierwiastek.

5. Udowodnij, że funkcja f (x) = sin x jest jednostajnie ciągła na R. Wskazówka: ze wzorów trygonometrycz- nych: sin α − sin β = 2 cos^α+β₂ sin^α−β₂ .

6. Udowodnij, że funkcja f (x) =¹_x nie jest jednostajnie ciągła na przedziale (0, 1).

7. Wyznacz asymptoty (poziome, pionowe, ukośne) funkcji:

f (x) = 1 x + 2 g(x) = 2^x+3 h(x) =x²+3x

x + 1

1